Musso: Physik I. Teil 11 Gravitation

Transkript

1 Tiple-Mosca 11. Gavitation (Gavity) 11.1 Die eple'sche Gesetze (eple's laws) 11. Das Newton'sche Gavitationsgesetz (Newton's law of gavity) 11. Die potentielle negie de Gavitation (Gavitational potential enegy) 11.4 Das Gavitationsfeld (The gavitational field) 11.5 Beechnung des Gavitationsfelds eine ugelschale duch Integation (Finding the gavitational field of a spheical shell by integation) Univesität Salzbug Seite

2 Univesität Salzbug Seite

3 11.1 Die eple'sche Gesetze (eple's laws) Infomationen zum Sonnensystem siehe Univesität Salzbug Seite

4 Die llipse is de geometische Ot alle Punkte, fü die die Summe de ntfenungen zu zwei festen Punkten F konstant ist: + = konst. 1 Diese beide Punkte F heißen die Bennpunkte de llipse. Stecke a: goße Halbachse ode Hauptachse, Stecke b: kleine Hauptachse ode Nebenachse. ntfenung Sonne - de: 11 sonnennächste Punkt = Peihel p = m 11 sonnenfenste Punkt = Aphel a = m 11 Mittelwet = Hauptachse = m = 1 astonomische inheit A Univesität Salzbug Seite

5 Flächensatz, folgt aus de Dehimpulsehaltung in Planet bewegt sich in de Nähe de Sonne asche als in gößee ntfenung zu Sonne Univesität Salzbug Seite

6 T = C a Das Gesetz ist eine Folge davon, daß die Gavitationskaft de Sonne auf den Planeten umgekeht popotional zum Quadat seine ntfenung von de Sonne abnimmt. Beispiel 11.1: Die Umlaufbahn von Jupite Jupite: mittlee ntfenung d Jup = 5.0 A gesucht: Daue de Umlaufbahn Jup Jup = a Jup = Jup d = d = Td d aus Gl. (11.) T C fü den Jupite T C fü die de T C mit T Jup Jup 5.0 A = 1 a, d = 1 A TJup = Td = T d = ( 1 a) 11.9 a d = d 1.00 A Univesität Salzbug Seite T

7 11. Das Newton'sche Gavitationsgesetz (Newton's law of gavity) a) zwei punktfömige Teilchen bei und 1 b) beide Teilchen üben eine anziehende aft auf das jeweils andee Teilchen aus. 1, ˆ 1, = inheitsvekto von Teilchen 1 zu Teilchen 1, G = N m kg Gavitationskonstante Übung m1 / kg m / kg G / N m kg / m F / N Newton: Gavitationstheoie veöffentlicht 1686 Cavendish: 1798 Päzisionsbestimmung von G 4 6 de: Masse M = kg, Radius R = m aft auf ein Teilchen de Masse m in ntfenung vom dmittelpunkt M F M F = G m Fallbeschelunigung a G = = G m M in de Nähe de dobeflächen ag = g = G R Univesität Salzbug Seite

8 g ntfenung de Mond M = 60 R ag,m = 60 π π 60R aus Umlaufzeit T = 7. d =.6 10 s Umlaufgeschwindigkeit v = = M Zentipetalbeschleunigung a a 60 R 6 M M TM TM ( π) a ( π) ( ) vm M R π R ZP = M = = = R M TM g TM GM T M GM ( π ) ( R ) a aus dem. epleschen Gesetz T M M = = GM g Fallbeschleunigung in eine ntfenung > R vom dmittelpunkt GM GM R aus Gl a g a g GR, = = G = = R 60 = 60 Messung de Gavitationskonstante Wegen de Gavitationsanziehung deht sich de Daht um θ aus de Gleichgewichtslage. Bei bekannte Tosionskonstante D des Dahtes aft F = Dθ zwischen m und m aus θ bestimmba. 1 1 Aus m und m und den Abstand zwischen ihnen G bestimmba Dehwaage von de Seite Dehwaage von oben Univesität Salzbug Seite

9 Beispiel 11.: De Fall zu de Umlaufbahn des Space Shuttle 400 km übe de dobefläche, gesucht : F M aus Gl ag = = G mit = R km wobei m R = M = a G = a G km und kg 4-4 ( N m kg ) ( kg) ( m) = 8.70 m s Schweelosigkeit de Astonauten wegen Zentifugalkaft, siehe Teil 5-1 Schwee Masse und täge Masse Die igenschaft eines öpes, die fü dessen Gavitationskaft auf einen andeen öpe veantwotlich ist, heißt die schwee Masse des öpes. Mm F = G R Die igenschaft eines öpes, die seinen Widestand gegenübe eine Beschleunigung kennzeichnet, wid die täge Masse genannt. F = ma Alle xpeimente zeigen, daß a Masse popotional zu täge Masse ist gleich gesetzt. G = - g fü alle öpe gleich ist, d.h. daß die schwee -1 Aus xpeimenten Äquivalenz innehalb eines elativen Fehles von 10. Univesität Salzbug Seite

10 Ableitung de eple'sche Gesetze Newton: die Bahn eines Himmelsköpes in einem 1 befindet, hat die Fom eines egelschnitts (llipse, Paabel, Hypebel). llipse: geschlossene Bahn Paabel, Hypebel: nichtgeschlossene Bahn -aftfeld, in dessen Zentum die Sonne Die aft, die von de Sonne auf einen Planeten ausgeübt wid, ist zu Sonne hin geichtet: Zentalkaft. Planet mit Masse m, Radiusvekto und Geschwindigkeit v Fläche d A, die vom im Zeitintevall d t übestichen wid: da 1 da = vdt = mvdt = pdt = Ld t = L = konst da τ = F = 0 wegen m m m dt m aus L = konst v = vsinϕ = konst am Aphel bzw. Peihel ϕ = 90 v = v A A P P F Univesität Salzbug Seite

11 Speziallfall eisbahn: Planet mit Masse m, Geschwindigkeit v und eisbahm mit Radius aus. Newton'sches Gesetz F = m a mit a = Zentipetalbeschleunigung msompl v MS G = m Pl wobei MS Masse de Sonne v = G aus eisbahn mit Umfang π und Umlaufzeit T π v = T 4π M 4π T GM S = G T = S Pl Pl Da G bekannt aus Gl die Masse eines Himmelköpes bestimmba wenn T und eines umkeisenden Satelliten bekannt. Falls Masse des Satelliten nicht venachlässigba die beiden öpe 4π ( m1+ m) umkeisen ihen gemeinsamen Mittelpunkt T = Gm m Beispiel 11.: Die Raumstation in de Umlaufbahn 1 Info übe ISS Raumstation ISS, keisfömige Umlaufbahn, Höhe h = 85 km, gesucht Zeitintevall zwischen Sichtungen: 4π GM Zeitintevall = Umlaufzeit aus Gl T = mit Gl g = GM R 4π 4π π 6 T = = ( R + h) T = ( R + h) mit R = m GM gr R g π 6 T = 1 ( m m) = 559 s = 9.14 min m 9.81 m ( ) ( ) s Übung: Rotation de de wähend eine Umlaufpeiode ϕ = T = 60 4 h s = Univesität Salzbug Seite

12 11. Die potentielle negie de Gavitation (Gavitational potential enegy) aus Gl 6.0b d = Fds = Fd da F adiale konsevative aft und d s adiale Veschiebung pot Mm Mm mit Gl F = G d pot = G d Mm Mm unbestimmte Integation ( ) = d = + da nu Ändeung de potentiellen negie entscheidend pot,0 pot pot G G pot,0 wobei pot,0 kann so gewählt weden, daß fü eine beliebige Lage = 0 bequem zu setzen Mm pot( ) = G = 0 bei = pot,0 = 0 pot,0 = Integationskonstante Potentielle negie eines öpes de Masse m, de de Gavitation duch die de (Masse M, Radius R ) unteliegt. Univesität Salzbug Seite

13 Die Fluchtgeschwindigkeit Beechung de Fluchtgeschwindigkeit: fu = 0 = 0 kin, pot, 1 Mm fü = R = mv = G R kin, esc pot, aus haltung de mechanischen negie 1 Mm GM = mv G v = mit g esc esc R R M = G vesc = gr R mit g = 9.81 m s und R = m v = 11. km s = 4050 km h esc Beispiel 11.4: Höhenflug von einem Geschoß Geschoss v i = -1 8 km s gesucht maximale Höhe: 1 Mm aus dem haltungssatz de mechanischen negie mit = mv = G = mgr = 0 = G i kin,i i pot,i kin,f pot,i R R 1 Mm Mm M M vi mv G = 0 G G = G vi = mit GM = gr R R + h R + h R R + h R GM 1 1 vi 1 v i R vi v i v i vi = = 1 R + h = R + h h = R h 1 = R + h R gr R gr vi g gr gr g 1 gr vi g h = vi 1 gr 1 1 = = R = g 1 gr 1 vi R vi m Mm + h Univesität Salzbug Seite

14 Beispiel 11.5: Geschwindigkeit eines Geschosses mögliches Püfungsbeispiel Gebundene und ungebundene Bahnen Beispiel 11.6: Gesamtenegie eines Satelliten Gesamtenegie eines Satelliten auf eine kesfömigen Bahn: 1 = + = Mm kin pot mv G v = G = mg inetische negie eines öpes in de ntfenung vom dmittelpunkt: = - ( ) kin < 0 gebundene Bahn, maximale ntfenung pot > 0 ungebundene Bahn Wenn negativ ist, nennt man die Bindungenegie. Sie jene negie die man dem System zufühen muß, um die Gesamtenegie auf null zu ehöhen. Mm v Zweites Newton'sches Axiom F = ma wobei hie a = Zentipetalbeschleunigung G = m M 1 M 1 1 pot Mm Mm G G = = max Univesität Salzbug Seite

15 11.4 Das Gavitationsfeld (The gavitational field) Die Gavitationskaft F dividiet duch die Masse m des Teilchens im Punkt P nennt man das Gavitationsfeld g in P. De Punkt, in dem sich die Pobemasse m befindet, heißt Aufpunkt. Die Punkte, in denen die das Feld g = gi veusachenden Punktmassen lokalisiet sind, heißen die Quellpunkte des Felds. i Beechnung de Gavitationsfeldes eines ausgedehnten öpes in einem Aufpunkt Feld d g veusacht duch ein kleines Volumselement de Masse dm bestimmen, dann übe Massenveteilung integieen: g = dg Univesität Salzbug Seite

16 Beispiel 11.7: Das Gavitationsfeld von zwei Punktmassen Zwei Punktmassen mit Masse m bei y =+ a und y = a, 1 gesucht Gavitationsfeld auf de x-achse: M Betag de Feldstäke g1 = g = G M aus Symmetiegünden gy = 0 gx = g1, x + g, x = g1 cosθ = G cos θ x M x Mx mit cos θ = gx = G = G Mx mit = a + x gx = G a + x fü x = 0 g = 0 x ( ) M M fü x a gx = G = G x x Beispiel 11.8: Das Gavitationsfeld eines gleichfömigen Stabes mögliches Püfungsbeispiel Univesität Salzbug Seite

17 Gavitationsfeld eine ugelschale und eine massiven ugel ine Punktmasse m innehalb eine homogenen ugeschale efäht keine esultieende Gavitationskaft m und m weden von m mit dem gleichen Raumwinkel betachtet m m = keine esultieende Gavitationskaft auf m0 Gavitationsfeld eine Vollkugel egibt sich aus de weiteung von Gl 11.6a Univesität Salzbug Seite

18 Das Gavitationsfeld innehalb eine massiven ugel Zum Gavitationsfeld an einem Ot im Inneen de ugel tägt nu de Anteil M ' de Gesamtmasse bei, de sich innehalb eine ugel mit dem Radius befindet: 4 π M ' Annahme gleichmäßige Massenveteilung = = M 4 πr R M' M im Abstand vom ugelmittelpunkt g = G = G R Univesität Salzbug Seite

19 Beispiel 10.9: De Hohlplanet ' Hohlplanet = gleichfömige, dicke ugelschale mit Masse m, Außenadius, Innenadius / ' Teil a) Gesucht Teil de Gesamtmasse m nähe als am Mittelpunkt des Planeten: 4 aus Dichte m = ρv ' m m m m mit Dichte de ugelschale ρ = = = = V π π π 1 π 8 6 Volumen de ugelschale nähe als V' = π π = π = π = π Masse de ugelschale nähe als 4 ' m m = ρv' = π = m 7 π Teil b) Gavitationsfeld bei = 4 19 ' m m 56 m m 19 m 8 aus g = G g = G = G = G = G Univesität Salzbug Seite

20 Beispiel 10.10: ugelsymmetische Massenveteilung mögliches Püfungsbeispiel Univesität Salzbug Seite

21 11.5 Beechnung des Gavitationsfelds eine ugelschale duch Integation (Finding the gavitational field of a spheical shell by integation) Gavitationsfeldstäke auf de Achse eines homogenen Rings: dm Ring Gesamtmasse m, Radius a Feld d g im Aufpunkt veusacht duch Massenelement d m dg = G s dm dm aus Symmetiegünden dgy = 0 dgx = dgcosα = G cos α g cos x = G s α s m da s und α fü alle Punkte auf dem Ring gleich gx = G cosα s Sei Aufpunkt P außehalb de ugelschale: aus Symmetiegünden Feld kugelsymmetisch Massenelement dm Steifen ezeugt dg x dm = G s cosα sei Steifen aus de ugelschale Gesamtmasse m de ugelschale popotional zu Fläche 4 πr da d m popotional zu Fläche d A des Steifens (Umfang πrsin θ Beite des Steifens Rd θ ) m m 1 dm = da = πrsinθrdθ = m sinθd θ 4πR 4πR Univesität Salzbug Seite

22 dm 1 aus dg = G cos α mit dm = m sinθd θ s 1 m sinθdθ Gavitationsfeld d g eine Rings dg = G cosα s = R+ s s = + R R θ s θ mit aus osinussatz: cos nach diffeenziet sds d s s = Rsinθd θ sinθdθ = R mit = R+ s aus osinussatz: R = + s scos α cos α = eingesetzt + s R s 1 m sinθdθ m + s R sds m m R dg = G cosα = G = G ( + s R ) ds = G 1 ds + s s s R 4s R 4 R s Aufpunkt P außehalb de ugelschale Integation von θ = 0 entspicht s = R bis θ = 180 entspicht s = + R + R + R m R m + R R m g = G 1 ds G s G R R R R 4R + = = + + ( ) m s 4R s 4R R = G [ 4 R] R R 4R m g = G Univesität Salzbug Seite

23 Aufpunkt P innehalb de ugelschale Integation von θ = 0 entspicht s = R bis θ = 180 entspicht s = + R + R + R m R m + R R m m g = G 1 ds G s G R R R + = = R 4R s 4R s 4R R + = G R R 4 R g = 0 ( ) [ 0 ] Univesität Salzbug Seite

24 Univesität Salzbug Seite

25 Alonso-Finn 11. Gavitationswechselwikung 11.1 infühung 11. Das Gavitationsgesetz 11. Newton'sche Ableitung des aftgesetzes 11.4 Tägheitsmasse und Schweemasse 11.5 Potentielle negie de Gavitation 11.6 Beziehung zwischen negie und Bahnbewegung 11.7 Gavitationsfeld 11.8 Gavitationspotential 11.9 Gavitationsfeld eines kugelfömigen öpes Das Pinzip de Äquivalenz Gavitation und molekulae äfte 1. Raumfaht 1.1 infühung 1. dgebundene Satelliten 1. Reise zum Mond 1.4 kundung des Sonnensystems Univesität Salzbug Seite