Umwelt-Campus Birkenfeld Technische Mechanik II

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Eike Raske
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10. 9.4 Stoffgesetze Zug und Druck Zug- und Druckbeanspruchungen werden durch Kräfte hervorgerufen, die senkrecht zur Wirkfläche stehen.

1 Stoffgesetze Zug und Druck Zug- und Druckbeanspruchungen werden durch Kräfte hervorgerufen, die senkrecht zur Wirkfläche stehen. Zur Übertragung großer Zugkräfte eignen sich Seile und Stäbe, Druckkräfte können durch knicksteif ausgeführte Träger aufgenommen werden. Olympiapark München, Dachkonstruktion 1

2 10.1 Prinzip von St. Vernant Wird ein eingespannter Rechteckstab axial durch eine Einzelkraft beansprucht, wird der Bereich der der asteinleitung und der agerung am stärksten verzerrt, während in den dazwischenliegenden bschnitte die Verformung gleichmäßig verteilt ist. Schnitte Belastung verzerrt die Gitterlinien an der asteinleitungsstelle Gitterlinien entfernt von der asteinleitungsstelle bleiben unverzerrt Reaktionskräfte verzerren die Gitterlinien nahe der agerung aus Hibbeler:

Da bei elastischem Material die Spannungen mit den Verformungen über das Hook sche Gesetz zusammenhängen, sind auch die Spannungen in einem ausreichendem bstand von der Störstelle über dem

3 Da bei elastischem Material die Spannungen mit den Verformungen über das Hook sche Gesetz zusammenhängen, sind auch die Spannungen in einem ausreichendem bstand von der Störstelle über dem Querschnitt gleichmäßig verteilt. a a aus Hibbeler: Das Prinzip von Saint-Vernant sagt aus, dass die Störung des Kraftflusses im bstand der größten Querschnittsabmessung a von der Störstelle entfernt bereits abgeklungen ist. 3

4 10. xiale Beanspruchung Wird ein konischer Stab der änge in seiner ängsachse durch axiale Streckenlasten q beansprucht, treten axial veränderliche Normalkräfte N(x) auf. x und mit der Verlängerung dl des Elements die Dehnungen q σ ε N ( x) ( x) dl N(x) Betrachtet man im bstand x ein Stabelement der änge mit der Querschnittsfläche (x), ergibt sich die Normalspannungen dl N(x) 4

5 ür linear-elastisches Materialverhalten folgt aus dem Hook schen Gesetz σ E ε N ( x) E dl ( x) Durch Integration über die änge erhält man die Verlängerung und damit die Gesamtdehnung des Stabes N ( x) 1 E ( x) E 0 0 σ ( x) ür Stäbe mit konstantem Querschnitt, die bereichsweise unterschiedlichen Normalkräften, Querschnitte oder Materialeigenschaften besitzen, gilt n i i 1 Ei N i i ε 1 E 0 σ ( x) 1 3 q 1 q q 3 wobei für jedes Segment n die Normalkraft aus den Gleichgewichtsbedingungen zu ermitteln ist. 1, E 1, E 3, E 3 5

6 Beispiel: Holzpfosten in Erdreich Gegeben:,5 kn, q 5 kn/m, d 5 mm, m E N/mm Gesucht: Einschlagtiefe t und Verlängerung x t S S 1 q 6

7 Übung: Herausziehen eines Bohrgestänges Gegeben: t 5000 m, d i 10 mm, d a 140 mm, q 300 N/m, E N/mm Gesucht: Zugkraft, Spannung σ und Verlängerung x t q 7

8 Umwelt-Campus Birkenfeld Die Gewichtskraft ergibt sich für homogene Körper aus G m g g ρ V xialer Beanspruchung durch Eigengewicht mit der Masse m, dem spezifischen Gewicht (Dichte) ρ und dem Volumen V. Wird ein Stab mit konischem Querschnitt und der Dichte ρ aufgehängt ergibt sich die Normalkraft aus dem Kräftegleichgewicht am herausgeschnittenen Volumenelement x 0 ( N + dn ) dg N dn dg g ρ dv g ρ ( x) Integration liefert die Stabkraft N ( x) g ρ ( x) + C x dv (x) Die Integrationskonstante C ergibt sich aus den Randbedingungen. dg N N+dN 8

9 ür einen Stab mit konstantem Querschnitt ergibt sich N ( x) g ρ g ρ x + C Bei x 0 gilt N ( x 0) 0 C C 0 Einsetzen der Integrationskonstante liefert N ( x) g ρ x und daraus folgt mit σ N/ die veränderliche Spannung σ ( x) g ρ x Die Verlängerung ergibt sich aus x 1 σ( x) E 0 1 ( g ρ x) E 0 1 g ρ x E 0 g ρ E 9

10 Die größte Spannung tritt im ufhängepunkt bei x auf σ max g ρ ls Reißlänge R wird diejenige änge bezeichnet, bei der ein Seil nur unter seinem eigenen Gewicht abreißen würde Rm σ max g ρ R m R g ρ d. h., dass die Maximalspannung σ max die Zugfestigkeit R m des Werkstoffs erreicht. Die Reißlänge ist unabhängig vom Querschnitt. R Beispiel: g 9,81 m/s, ρ 7850 kg/m 3 und R m 400 N/mm R Damit wird klar, warum es nicht möglich ist, von einem Satelliten in einer geostationären Umlaufbahn (Höhe ca km) ein Stahlseil auf die Erdoberfläche herabzulassen, um etwa Versorgungsgüter heraufzuziehen. Rm g ρ m 5 km 9,

11 Beispiel: Hängender konischer Stab unter Eigengewicht Gegeben: H 100 m, ρ 7850 kg/m 3, E N/mm Gesucht: Max. Spannung σ max Verlängerung (x) x R H 11

12 10.. Körper gleicher axialer Beanspruchung Bauteile, deren Spannung in jedem Querschnitt gleich ist, werden als Körper gleicher Beanspruchung bezeichnet. ür die Belastung durch Eigengewicht ergibt sich aus dem Kräftegleichgewicht die Bedingung σ zul dg d Durch Trennung der Variablen d g ρ σ zul dv g ρ g ρ const. d d liefert die Integration in den Grenzen von 0 bis h h x V 0 u (x) dv u 0 d g ρ σ zul h 0 g ρ ln[ 0 σ h ] u [ x] 0 zul ln u 0 g ρ h σ zul 1

13 Nach Umformung ergibt sich damit die Grundfläche u 0 e g ρ h σ zul ür Körper gleicher Druckbeanspruchung unter Eigengewicht ändern sich die Querschnitte exponentiell. Beispiel: ernsehturm aus Beton Gegeben: G 1000 to, h 300 m, ρ 500 kg/m 3, σ zul,4 N/mm Gesucht: lächen 0 und u G h 13

14 10..3 Beanspruchung durch liehkräfte Rotierende Bauteile (z. B.Turbinenschaufeln, Rotoren) werden durch Zentrifugalkräfte beansprucht. Rotiert ein Stab mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Drehachse, wirkt auf das Massenelement dm die Zentrifugalkraft d r ω dm R Gleichgewicht am Massenelement ω m dm r 0 ( N + dn ) + d N r dr liefert dn d r ω dm Mit dm ρ dv ρ dr folgt dn ρ ω r dr und mit dn dσ ergibt sich die xialspannung dσ ρ ω r dr N dm d N+dN 14

15 Die Integration liefert 1 σ ρ ω r + C Mit der Randbedingung σ (rr) 0 folgt C ρ R ω / und somit 1 σ ρ ω ( R r ) Die größte Spannung tritt im Drehpunkt bei r 0 auf 1 σ max ρ ω R Die Normalspannung in einem rotierenden Stab sind unabhängig von seinem Querschnitt. Beispiel: Turbinenschaufel aus Titan Gegeben: ρ 4500 kg/m 3, R 800 mm, ω min σ max ρ ω R ,8 1,96 10 Pa (130 N/mm ) 15

16 In einem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω um eine Drehachse rotierenden dünnwandigen Ring treten am Massenelement dm nur Tangentialspannungen auf, die über dem Querschnitt als gleichmäßig verteilt angenommen werden können. us dem Kräftegleichgewicht in radialer Richtung t 0 d sin( ϕ / ) r t mit d r ω dm und dm ρ dv ρ r dϕ folgt für kleine Winkel sin(dϕ/) dϕ/ die Tangentialkraft ϕ ω r und mit σ / die Tangentialspannung σ ϕ ω r t Die Tangentialspannung in einem dünnwandigen, rotierendem Ring ist unabhängig von seinem Querschnitt. Bei gegebenem r und ω ist sie doppelt so groß wie die Normalspannung in einem umlaufenden Stab. ω dϕ r t t dm d 16

17 10.3 lächenpressung lächenpressung p tritt in den Kontaktfläche zweier gegeneinander gedrückter Körper auf und spielt bei Bolzen, Schrauben, in agern und undamenten eine Rolle. p Bei starren, ebenen Berührflächen geht man von einer gleichmäßig verteilten lächenpressung p m Bei ungleichmäßig verteilter Pressung (z. B. infolge unterschiedlicher Steifigkeiten der Körper) stellt p m die mittlere lächenpressung dar. Die Einheit der lächenpressung entspricht der einer Spannung [N/m, N/mm, MPa]. 17

18 Steht die Kontaktfläche schräg zur Presskraft, so ist diese in Richtung der lächennormalen zu zerlegen. Die Normalkraft setzt sich vektoriell aus der Druckkraft und der agerkraft zusammen. n α Die mittlere lächenpressung ergibt sich α p n m m p cosα proj b wobei man die läche proj durch Projektion der Kontaktfläche senkrecht zur Presskraft erhält. proj Die Normalkraft n greift nicht im Schwerpunkt der Kontaktfläche an, so dass die lächenpressung i. allg. nicht gleichmäßig verteilt ist. Die reale Druckverteilung ist von der örtlichen elastischen Verformung abhängig. l proj n 18

19 Beispiel: Eingepresster Kegelstumpf Gegeben: 10 kn, D 0 mm, h 30 mm, α 80 Gesucht: lächenpressung p h α Bei gewölbten Pressflächen (z. B. in Gleitlagern, Gelenkbolzen oder Stiftverbindungen) ist die lächenpressung ebenfalls nicht konstant. In bhängigkeit vom agerspiel und den elastischen Eigenschaften der Bauteile kommt es zu einer parabel- oder sinusförmigen Verteilung der Pressung (ochleibung). D proj p m / proj p max 1,5 p m 19

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