Investition und Finanzierung

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1 Investition und Finanzierung - Vorlesung Prof. Dr. Rainer Elschen Prof. Dr. Rainer Elschen

2 Inflation und dynamische Modelle (1) Reale Zahlung in t (in Preisen von heute) Nominale Zahlung in t t (1 Inflationsrate) Z.B.: 1000 bei 10 % für 20 Jahre angelegt, ergeben: nominale Zahlung = 1000 * (1+0,1) 20 = 6.727,50 bei einer Inflationsrate von 6 % folgt: 6.727,50 reale Zahlung = = 2.097,67 20 (1 0,06) Prof. Dr. Rainer Elschen

3 Inflation und dynamische Modelle (2) Realzins 1 1 Nominalzins Inflationsrate 1 FISHER-GLEICHUNG 1 0, 10 z.b. Realzins ,, 774 % In einem Entscheidungsmodell sind die Zahlungsgrößen und die Zinssätze entweder einheitlich nominal oder einheitlich real anzugeben. Regelmäßig wird mit Nominalgrößen gerechnet, da z.b. zur Steuerberechnung regelmäßig Nominalgrößen benötigt werden. Literaturhinweise: Brealey / Myers Prof. Dr. Rainer Elschen

4 Der Planungshorizont Er muss grundsätzlich alle Perioden umfassen, in denen die betrachteten Alternativen zusätzliche Zahlungen auslösen. Ein sehr langer Planungshorizont ist problematisch: zunehmende Unsicherheiten (Prognoseprobleme) zunehmende Planungskosten bei sinkendem Planungsertrag Prof. Dr. Rainer Elschen

5 Die Kapitalwertmethode (1) Entscheidungsgröße: Kapitalwert C 0 (Net present value) Entscheidungsregel: C 0 Max u.d.b. C 0 > 0 Für das Beispiel ergibt sich: C 0 -A 0 t n 1 N (1 t i) t Typ A t E t A t N t BWF (i=10%) Barwert , ,00 1, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, ,95 Kapitalwert = ,29 E t = Einnahmen A t = Ausgaben N t = Einnahmen-Ausgaben BWF= Diskontierungsfaktor Prof. Dr. Rainer Elschen

6 Die Kapitalwertmethode (2) Typ t E t A t N t BWF (i=10%) Barwert , ,00 1, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, ,39 Kapitalwert = ,25 Der Kapitalwert entspricht dem im Planzeitpunkt im Vergleich zur Anlagealternative zusätzlich entziehbaren Betrag oder dem nach Begleichung der Finanzierungskosten noch vorhandenen Betrag. Ein negativer Kapitalwert zeigt, dass die Investition nicht durchgeführt werden sollte. Ein Kapitalwert von 0 zeigt an, dass diese Investition genauso ertragreich ist wie der zugrunde gelegte Zins, der die beste Alternative darstellen soll. B Prof. Dr. Rainer Elschen

7 Was geschieht in den Perioden 4-6 bei Investition in Typ B? Komplementärinvestition am Kapitalmarkt Kapitalwert unverändert (übliche pauschale Prämisse bei Kapitalwertmethode) Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 (explizite Prämisse über Komplementärinvestition) Typ B* t E t A t N t BWF Barwert , ,00 1, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, , , , ,00 0, ,76 i = 10 % Kapitalwert = ,26 Prof. Dr. Rainer Elschen

8 Beurteilung der Kapitalwertmethode Investition und Finanzierung Beurteilung der Kapitalwertmethode Zeitliche Verteilung der Ein- und Auszahlungen wird über die Zinseszinswirkungen erfasst. Es wird immer eine ganze Handlungsalternative betrachtet. Genauigkeit hängt von der Periodenlänge (Tag, Woche, Monat, Jahr) ab. Oft werden alle Zahlungen auf das Periodenjahresende bezogen. Bei unterjähriger Verzinsung gilt für den Abzinsungsfaktor: 1 q n 1 1 i m m n Unterschiedliche Kapitalbindungen sind nur bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß unbeachtlich. Prof. Dr. Rainer Elschen

9 Endwert- und Zeitwertmethode Unterschiedlicher zeitlicher Bezugspunkt, auf den die Ein- und Auszahlungen auf- bzw. abgezinst werden. Ansonsten mit der Kapitalwertmethode identisch. Endwertmethode: Alle Zahlungen auf das Ende des Planungshorizonts t n bezogen. Zeitwertmethode: Alle Zahlungen werden auf einen beliebig, aber einheitlich gewählten Bezugspunkt t i bezogen. Prof. Dr. Rainer Elschen

10 Die Interne Zinsfußmethode (1) Entscheidungsgröße: Interner Zinsfuß r Entscheidungsregel: r Max u.d.b. r > i Der Interne Zinsfuß entspricht dem Zinssatz, bei dem sich ein Kapitalwert von 0 ergibt: Lösung dieses Polynoms n-ten Grades ist nicht immer einwertig, z.t. auch ohne reelle Lösung. Interpolation als eine mögliche Näherungslösung Der Interne Zinsfuß ist die durchschnittliche Wachstumsrate des investierten Kapitals. Prof. Dr. Rainer Elschen

11 Die Interne Zinsfußmethode (2) C 0 Lineare Interpolation: i * i 1 C 01 i C 2 02 i1 C 01 r i * C 01 C 02 i 1 r i 2 i Prof. Dr. Rainer Elschen

12 Die Interne Zinsfußmethode (3) Betrachtet wird aus unserem Beispiel die Investition Typ B: Versuchszinssätze 15% und 16% 0,15 0,16 Jahr Überschuß q -t Barwert q -t Barwert , , , , , , Summe der Barwerte Anschaffungskosten = Kapitalwert Co r i 1 C 01 i C 2 02 i1 C 01 0, , , , ,83% Prof. Dr. Rainer Elschen

13 Die Interne Zinsfußmethode (4) Die Berechnung nach Newton (Tangential-Annäherung): C 0 mit q=1+r 1. Man startet mit einem beliebigen Wert r 0 und berechnet für diesen C(q 0 ) und die 1. Ableitung C (q 0 ) 2. Dann setzt man den Startwert (x=0) und die damit berechneten Werte C und C in diese Formel ein q x+1 =q x -C/C C 0 (r 1 ) C 0 (r 2 ) C 0 (r 3 ) r 0 r 1 r 2 r r 3. Dies geschieht solange, bis sich die vierte Stelle hinter dem Komma nicht mehr ändert (uns reicht das!) Klappt im übrigen auch, wenn man mit r 1 > r startet! Prof. Dr. Rainer Elschen

14 Die Interne Zinsfußmethode (5) Die Berechnung des internen Zinsfußes (Newton) Beispiel: to t1 t2 t3 Zahlungsreihe , , , ,00 C' , , ,00 mit q=1+r q 0 C C' 1, , , , ,73-714, , , , ,77 q 1 = q 0 - C(q 0 ) / C'(q 0 ) q 1 1, = q 1 C C' 1, , , , ,11 1, , , , ,82 q 2 = q 1 - C(q 1 ) / C'(q 1 ) q 2 1, = q 2 C C' 1, , , , ,30 0, , , , ,88 q 3 = q 2 - C(q 2 ) / C'(q 2 ) q 3 1, = Prof. Dr. Rainer Elschen

15 Für unser Beispiel gilt: Die Interne Zinsfußmethode (6) Typ A Typ B r A1 =0,13 r A2 =0,14 r B1 =0,15 r B2 =0, , , ,02-714,97 r A = 13,29% r B = 15,83% Was geschieht in den Perioden 4-6 und was mit der geringeren Kapitalbindung? (1) Komplementärinvestition zum internen Zinsfuß (übliche Prämisse der Internen Zinsfußmethode, oft kritisiert) läßt internen Zinsfuß unverändert (2) Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 (explizite Prämisse über Komplementärinvestition) Prof. Dr. Rainer Elschen

16 Die Interne Zinsfußmethode (7) Der interne Zinsfuß gibt auch die Verzinsung des noch nicht amortisierten Kapitals an. Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 15,83% Investition 0 Kalk. Investitionsertrag , , , ,00 15,83% 15,83% 15,83% Amortisation , , , ,00 (Rest-)Kapital , , ,74 0, ,83 Nachträglich, d.h. wenn man den internen Zinsfuß schon berechnet hat (wie wir mit dem Newton`schen Verfahren), lässt er sich auch als Relation der Summe aller Zahlungen und der Kapitalsumme darstellen: 15,83% , , , ,83 Prof. Dr. Rainer Elschen

17 Die Interne Zinsfußmethode (8) Bei einem Kredit ohne Disagio mit jährlichen Zinszahlungen und endfälliger Rückzahlung ist der interne Zinsfuß (IZ) einfacher zu berechnen: Effektivzins jährliche Zinszahlung Kreditbetrag % Finanzierung 1 Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 8,00% Kalk. Investitionsertrag , , , ,00 8% 8% 8% Amortisation - 0,00 0, , ,00 (Rest-)Kapital , , ,00 0, ,00 Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital verändert sich nicht! Prof. Dr. Rainer Elschen

18 Die Interne Zinsfußmethode (9) Zum gleichen Effektivzins kann man auch mit einem Disagio (Abschlag vom Nennwert) und einer geringeren Nominalverzinsung kommen. Kredit (nominal) = Disagio = (10,31%) Nominalzins = 4 % Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,00 Effektivzins (IZ) 8,00% Finanzierung 1a Kalk. Investitionsertrag , , , ,92 8% 8% 8% Amortisation , , , ,08 (Rest-)Kapital , , ,04 ~ 0, ,04 Disagio-Varianten werden i.d.r. aus steuerlichen Gründen vom Kreditnehmer gewählt. Hierbei wird zur Effektivzins-Berechnung wieder das Newton`schen Verfahren benötigt. Besonderes Kennzeichen: Das (Rest-)Kapital steigt zwischenzeitlich, da Effektivzins > Nominalzins. Prof. Dr. Rainer Elschen

19 Die Interne Zinsfußmethode (10) Zur Investition 0 würde aber besser die nachfolgende Finanzierung 2 passen: Finanzierung 2 Zeitpunkt Summen Zahlungsreihe , , , , ,75 Effektivzins (IZ) 8,00% Kalk. Investitionsertrag , , , ,75 8% 8% 8% Amortisation , , , ,00 (Rest-)Kapital , , ,74 0, ,82 Besonderes Kennzeichen: Gleicher Kapitalverlauf wie bei Investition 0! Prof. Dr. Rainer Elschen

20 Die Interne Zinsfußmethode (11) Die Finanzierung 2 könnte durch Aufnahme von drei Einzelkrediten konstruiert werden: Finanzierung , , ,44 konstruiert durch: 1.Zerobond-Kredit (1 Jahr) 1, , ,91 2.Zerobond-Kredit (2 Jahre) ,85 1, ,40 3.Zerobond-Kredit (3 Jahre) 1, , ,44 Prof. Dr. Rainer Elschen

21 Die Interne Zinsfußmethode (12) Den Kapitalwert einer Investition kann man auch über die periodischen Überschüsse berechnen. Wenn man die kapitalkongruente Finanzierung kennt oder die Marge und den Kapitalverlauf Investition , , , ,00 Finanzierung , , , ,44 Marge 7,83% 7,83% 7,83% x Kapital , , ,74 = Überschuß , , ,56 1.Kredit (1 Jahr) ,97 1, ,09 2.Kredit (2 Jahre) ,94 1, ,60 3.Kredit (3 Jahre) ,13 1, , ,05 Prof. Dr. Rainer Elschen

22 Die Interne Zinsfußmethode (13) Bei Wiederholung der Investition Typ B am Ende der Periode 3 folgt unter Beachtung der geänderten Absatzzahlen: Typ B t E t A t N t Barwert (1) Barwert (2) , , , , , , , , , , , , , , , ,26 C , ,27 Typ B r Ai 7,00% 8,00% C , ,27 r B = 7,59% Typ B r B1 15,00% 16,00% C ,02-714,97 r B = 15,83% Gesamtinvestition (B+B ) r B+B 12,00% 13,00% C , ,38 r B+B 12,47% Weiterhin Problem durch unterschiedliche Kapitalbindung! Prof. Dr. Rainer Elschen

23 Beurteilung der Internen Zinsfußmethode Zeitliche Verteilung der Ein- und Auszahlungen wird über die Zinseszinswirkungen erfasst. Genauigkeit hängt von der Länge der Periode (Tag, Woche, Monat, Jahr) ab Oft werden alle Zahlungen auf das Periodenjahresende bezogen. Unterschiedliche Kapitalbindungen sind nur bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum jeweiligen internen Zinsfuß der Ausgangsinvestition unbeachtlich. Prof. Dr. Rainer Elschen

24 Kapitalwertfunktion (C 0 ) Investition und Finanzierung Finanzierungsrechnung und Investitionsrechnung t 0 t 1 I: Investition Finanzierung Zins t 0 t 1 F: Investitionsrechnung und Finanzierungsrechnung sind mathematisch äquivalent. In der Praxis findet man aber in der Finanzierungsrechnung selten den Kapitalwert, dafür aber den Effektivzinssatz. Prof. Dr. Rainer Elschen

25 Die Annuitätenmethode Entscheidungsgröße: Annuität a Entscheidungsregel: a Max u.d.b. a > 0 a C 0 i(1 i) (1 n i) n 1 Annuität = Kapitalwert * Kapitalwiedergewinnungsfaktor Für unser Beispiel folgt: Typ A Typ B KZF i 10% 10% Nutzungdauer n 6 3 WGF(i;n) 0, , Kapitalwert C , ,25 Annuität a , ,68 Die Annuität entspricht dem jährlich während des Planungshorizontes entziehbaren Betrag. Prof. Dr. Rainer Elschen

26 Beurteilung der Annuitätenmethode nur bei identischen Planungshorizonten sinnvoll (hier nicht gegeben) Bei identischem Planungshorizont ist die unterschiedliche Kapitalbindung bei der impliziten Prämisse von Komplementärinvestitionen zum Kalkulationszinsfuß unbeachtlich. Die Vor- und Nachteile der Annuitätenmethode entsprechen weitgehend denen der Kapitalwertmethode, außer in der Exaktheit der Ergebnisse und u.u. in der leichteren Verständlichkeit des Ergebnisses. Prof. Dr. Rainer Elschen

27 Literaturhinweise zu Vorlesung 5 Blohm, H. / Lüder, K.: Investition, 10. Aufl., München Brealey, R. A. / Myers, S. T.: Principles of Corporate Finance, 10. Aufl., Boston Götze, U.: Investitionsrechnung, 6. Aufl., Berlin et al Kruschwitz, L.: Investitionsrechnung, 13. Aufl., München Perridon, L. / Steiner, M.: Finanzwirtschaft der Unternehmung, 16. Aufl., München Rolfes, B.: Moderne Investitionsrechnung, 3. Auflage, München-Wien Schmidt, R. H. / Terberger, E.: Grundzüge der Investitions- und Finanzierungstheorie, 4. Aufl., Wiesbaden Süchting, J.: Finanzmanagement, 6. Aufl., Wiesbaden Prof. Dr. Rainer Elschen

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