Abiturprüfung. Analytische Geometrie. Trainingsaufgaben zum Thema. Gebäude berechnen

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Anneliese Weiner
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1 Abiturprüfung Analytische Geometrie Trainingsaufgaben zum Thema Gebäude berechnen Mit sehr, sehr ausführlichen Lösungen und Erklärung von Hintergrundwissen Datei Nr Stand 13. August 2014 FRIEDRICH W. BUCKEL INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK

2 72241 Vektorentraining: Gebäude 2 Vorwort Ich stelle hier eine Reihe schöner (und guter) Abituraufgaben zusammen. Sie alle haben das Thema Gebäude. Da es für einige Aufgabenstellungen ganz verschiedene Lösungswege geben kann, stelle ich sie oft alle dar, was natürlich die Lösung in die Länge zieht. Aber damit will ich dem Leser entgegenkommen und aufzeigen, mit welchen Methoden man hier arbeiten kann. Ab und zu verwende ich Screenshots eines CAS-Rechners. Doch dieser soll ja nur Hilfsmittel zur Lösung sein. Daher kann jeder selbst manche Berechnungen mit seinem eigenen Rechner anstellen und dann die Ergebnisse hier vergleichen. Die Lösungen sind sehr ausführlich gehalten, damit es sich auch um ein wirkliches Trainingsprogramm handelt. Am Ende findet man einen Index zum Suchen bestimmter Fragestellungen. Fast alle Abbildungen wurden mit MatheGrafix Version 10.2 erstellt. Die Dateien dazu findet man demnächst auch auf der Mathe-CD im Ordner Mathegrafiken in mgf zip. Inhalt: Aufgabe Thema Seite Lösung Seite 241 GK 1992 Garage, rollender Ball, Kugelbehälter GK 1993 Pyramidendach für Sandkasten GK 1994 Kletterturm LK 1995 Baukörper mit Telefonleitung GK 1996 Partyzelt mit Fenster und Kugelgrill LK 1997 Turmdach GK 2000 Ägyptische Pyramide mit Rampe GK 2001 Pavillon GK 2002 Lagerhalle mit Zwischenboden Die Sammlung wird fortgesetzt.

3 72241 Vektorentraining: Gebäude 3 Aufgabe 241 Abitur Grundkurs Baden-Württemberg Eine Garage ist festgelegt durch die Eckpunkte A, B, C, D, E, F, G und H. Die Garage ist vorne 4 m und hinten nur 3 m hoch. Zur Unterbringung von Gartengeräten ist ein Abstellraum angebaut, der durch die Punkte D, C, P, Q, G und H festgelegt ist. P liegt auf der Verlängerung von BC. (Siehe Zeichnung; Maße in Meter; drei Kanten der Garage Iiegen auf den Koordinatenachsen) a) Geben Sie eine Koordinatengleichung der Türebene E T durch A, B und F an. Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der Dachebene E 1 durch F, G und H. Welchen Neigungswinkel hat E 1 gegen die x 1 x 2 -Ebene? Bestimmen Sie eine Koordinatengleichung der zweiten Dachebene E 2 durch Q, P und G. Berechnen Sie das Volumen der Garage mit Abstellraum. b) Ein nasser Ball rollt von der Mitte von EF zur Mitte von HG und hinterlässt dabei eine geradlinige Spur auf dem Garagendach. Beschreiben Sie diese Spur mit Hilfe einer Geradengleichung. Nun rollt der Ball die Dachebene E 2 aus Teilaufgabe a) hinunter. Der Ball hat einen Durchmesser von 0,4 m, sein Mittelpunkt bewegt sich in einer Ebene E 3 parallel zu E 2. Geben Sie eine Koordinatengleichung von E 3 an. c) Neben der Garagenwand durch B, C und G steht auf dem Erdboden ein kugelförmiger Gasbehälter K mit dem Durchmesser 2 m. Er berührt diese Wand von außen senkrecht über der Mitte der Kante BC. Bestimmen Sie eine Gleichung von K. (Kugelgleichung!) Eine Person (Augenhöhe 1,50 m) steht senkrecht zur x 1 x 2 -Ebene in der Mitte der Dachfläche EFGH. Ist ein Teil des Gasbehälters für die Person sichtbar, oder liegt er ganz unterhalb der Sehebene durch F und G?

4 72241 Vektorentraining: Gebäude 4 Aufgabe 242 Abitur Grundkurs Baden-Württemberg Ein Sandkasten, dessen obere Kanten das Quadrat ABCD bilden, soll einen Holzdeckel von der Form einer senkrechten Pyramide mit der Spitze S erhalten. (siehe Skizze; Maße in Dezimeter). Gegeben sind die Koordinaten: A 8 8 0, B 8 8 0, C 8 8 0, D 8 8 0, S a) Zuerst werden die Seitenflächen des Deckels ausgesägt. Berechnen Sie dazu die Länge der Pyramidenkante AS und den Winkel zwischen AS und BS. Für die Montage muss man den (stumpfen) Winkel zwischen zwei benachbarten Seitenflächen kennen. Berechnen Sie. Wieviel Quadratmeter Holz benötigt man zum Bau des Deckels, wenn man vom Verschnitt absieht? b) Der Sandkasten ist mit Sand gefüllt, der eingeebnet genau bis zur Fläche ABCD reicht. Ein Ball mit dem Radius 2,5 dm liegt mitten auf dieser Sandfläche. Zeigen Sie, dass der Ball beim Aufsetzen des. Deckels auf den Sandkasten nicht zusammengedrückt wird. Ein anderer Ball hat den Radius r und liegt ebenfalls mitten auf der Sandfläche. Bestimmen Sie eine Kugelgleichung für diesen Ball. Wie groß darf der Radius des Balles höchstens sein, wenn der Ball beim Aufsetzen des Deckels weder verformt noch in den Sand gedrückt werden soll? c) Zum Anheben des Deckels wird auf den Seitenkanten AS bzw. CS in gleicher Höhe je ein Haltegriff angebracht. Der Befestigungspunkt H 1 des ersten Griffs soll vom Befestigungspunkt H 2 des zweiten Griffs einen Abstand von 4 dm haben. Berechnen Sie die Koordinaten von H 1 und H 2.

5 72241 Vektorentraining: Gebäude 5 Aufgabe 243 Abitur Grundkurs Baden-Württemberg Auf einem Kinderspielplatz steht ein Stangengerüst als Kletterturm. Es besteht aus einem Würfel P 1 P 2 P 3 P 4 Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 der Kantenlänge 3 m. Die Deckfläche Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 ist aus einer massiven Holzplatte; ihr ist ein 1 m hohes Quadergerüst aufgesetzt. Die Dachkanten bilden eine 2 m hohe symmetrische Pyramide. Von der Kante Q 2 Q 3 führt eine 3 m breite und 5 m lange rechteckige Rutschfläche zum Boden. Die Kanten des Gerüsts liegen auf den Koordinatenachsen, der Boden liegt in der horizontalen x 1 x 2 -Ebene (siehe Skizze). S x 1 Q 1 x 3 P1 P2 g Q 4 P 4 Q 2 a) Das Dach soll gedeckt werden. Berechnen Sie den Flächeninhalt des Daches. R Q 3 P 3 Bestimmen Sie die Koordinatengleichung der Ebene E, in der die Rutschfläche liegt. Bestimmen Sie den Winkel zwischen der Deckfläche Q 1 Q 2 Q 3 Q 4 und der Rutschfläche. b) Vertikal über dem Mittelpunkt der Rutschfläche soll eine Lampe angebracht werden. Sie soll 2,50 m über dem Mittelpunkt hängen. Bestimmen Sie die Koordinaten der punktförmig gedachten Lichtquelle. Aus Sicherheitsgründen muss die Lampe einen Mindestabstand von 1,80 m zur Rutschfläche haben. Untersuchen Sie durch eine Rechnung, ob diese Vorschrift hier eingehalten ist. c) Eine geradlinige Markierung g auf dem Boden verläuft parallel zur x 1 -Achse; sie beginnt in der Mitte der Kante P 1 P 2 (siehe Skizze). Auf dieser Markierung steht ein Kind 3 m vor der Seitenfläche P 1 P 2 Q 1 Q 2. Kann es von dort aus die Dachecke R sehen, wenn seine Augenhöhe 1 m beträgt? Wie groß muss der Abstand des Kindes auf der Markierung g von der Seitenfläche P 1 P 2 Q 1 Q 2 sein, damit das Kind den Punkt R gerade noch sieht? x 2

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