Einführung Finanzmathematische Grundlagen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite
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- Helmut Fried
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1 Inhltsübersicht A B C D E F Einführung Finnzmthemtische Grundlgen Zinsrechnungen Rentenrechnungen Tilgungsrechnungen Bestimmung von Kurs und Rendite Dr. A. Brink Dr. A. Brink 1 1 A. Einführung Finnzmthemtik ls trditionelles und bewährtes Instrument der Betriebswirtschftslehre im Berufsleben und in der Privtsphäre Dr. A. Brink Dr. A. Brink 2 2
2 A. Einführung Literturhinweise Skript + Aufgbensmmlung Grob/Everding: Finnzmthemtik mit dem PC Kobelt/Schulte: Finnzmthemtik Litertur unter der Signtur R VIII Dr. A. Brink Dr. A. Brink 3 3 A. Einführung Informtionen zur Vorlesung /bibliothek/studieren/fim1.html Dr. A. Brink Dr. A. Brink 4 4
3 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 5 5 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 6 6
4 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 7 7 A. Einführung Didktisches Konzept 1 Vorbereitung der nächsten Vorlesung (Skript) 2 Besuch der Vorlesung - Chrkterisierung von Problemstellung und Lösung, - Lösungshinweise zu den Husufgben, - Bentwortung von Frgen. 3 Nchbereitung der Vorlesung (Skript) 4 Lösung usgewählter Aufgben (Aufgbensmmlung) 5 Vertiefung und Wiederholung des Stoffes nhnd weiterer Aufgben (Aufgbensmmlung) 6 Vorbereitung uf die Klusur nhnd lter Klusurufgben (Tutorium) Dr. A. Brink Dr. A. Brink 8 8
5 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1 Gegenstnd der Finnzmthemtik 2 Folgen- und Reihenrechnung ls Bsis der Finnzmthemtik 3 Rechnen mit Logrithmen 4 Aufgben zu Finnzmthemtische Grundlgen Dr. A. Brink Dr. A. Brink 9 9 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Gegenstnd der Finnzmthemtik = Hergbe, Verzinsung und Rückgbe von Geld Finnzmthemtisch relevnte Größen: Einzhlungen und Auszhlungen bzw. Einnhmen und Ausgben Einzhlungen => Geldmittelzufluss => positive Zhlungsgröße Auszhlungen => Geldmittelbfluss => negtive Zhlungsgröße Dr. A. Brink Dr. A. Brink 10 10
6 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Zeitstrhl einer Investition Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Zeitstrhl einer Investition Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink Dr. A. Brink 12 12
7 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Zeitstrhl einer Finnzierung Unternehmung t Legende Geldmittelbfluss (-) Geldmittelzufluss (+) Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Entscheidungskriterium für Investition Rtionlprinzip Mximumvrinte Minimumvrinte Wähle diejenige Investition, die bei gegebenen Auszhlungen die höchsten Einzhlungen erwirtschftet! Wähle diejenige Investition, die bei gegebenen Einzhlungen die geringsten Auszhlungen verurscht! Dr. A. Brink Dr. A. Brink 14 14
8 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Entscheidungskriterium für Finnzierung Rtionlprinzip Mximumvrinte Minimumvrinte Wähle diejenige Finnzierung, die bei gegebenen Auszhlungen die höchsten Einzhlungen erbringt! Wähle diejenige Finnzierung, die bei gegebenen Einzhlungen die geringsten Auszhlungen verurscht! Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Grundlegende Probleme der Finnzmthemtik: Prognose der relevnten Zhlungsgrößen (Unsicherheit) Bestimmung des nzusetzenden Zinsstzes Begriffe: Zinsen = Entgelt für die Überlssung von Kpitl Zinsstz = Prozentstz vom Kpitl, der für die Überlssung des Kpitls zu entrichten ist (wird uch ls Zinsfuß bezeichnet) Zinsperiode = Zeitrum, für den die Zinsen fällig werden Dr. A. Brink Dr. A. Brink 16 16
9 B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Aufgbe des Zinsstzes t 0 t 1 t Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 1. Gegenstnd Aufgbe des Zinsstzes t 0 t 1 t - 90,9 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 18 18
10 B. Finnzmthemtische Grundlgen 21. Begriffsdefinitionen und erläuterungen 22. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen 221. Arithmetische Folgen und Reihen 222. Geometrische Folgen und Reihen 23. Abschreibungen ls Anwendungsbeispiel 231. Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen 232. Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Linere Abschreibung Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1. Begriffsdefinition und -erläuterungen Folge = endliche oder unendliche Aneinnderreihung von Zhlen 1, 2,, i,, n Symbole: i = i-tes Element der Zhlenfolgen, mit i = 1,..., n * n * = Anzhl der Elemente der Zhlenfolge n * = unendliche Zhlenfolge n * N 1 N 1 N = endliche Zhlenfolge, flls N 1 endlich viele Elemente umfsst Dr. A. Brink Dr. A. Brink 20 20
11 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.1. Begriffsdefinition und -erläuterungen Reihe = Summe der Glieder eine (Zhlen-) Folge Symbole: S * S 1 2 = Summe der Elemente einer Zhlenfolge n * = unendliche Zhlenreihe n * N 1 N 1 N = endliche Zhlenreihe, flls N 1 endlich viele Elemente umfsst n n i 1 i Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Jhr Provision Änderung (bsolut) Änderung (reltiv) % + 9,09% + 8,33% + 7,96% Dr. A. Brink Dr. A. Brink 22 22
12 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Bildungsgesetz: i = i -1 + d, wobei i i -1 = d und 1 vorgegeben sowie i = 2,, n * Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Bestimmung des llgemeinen Gliedes i : i = i -1 + d = 1 + (i-1) d Bestimmung des n-ten Gliedes n* : n *= 1 + (n * -1) d Dr. A. Brink Dr. A. Brink 24 24
13 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Rechenvereinfchung durch zweistufige Vorgehensweise: 1. lle Glieder der Reihe mit Hilfe des llgemeinen Ausdrucks formulieren 2. die Reihe zweiml untereinnder ufschreiben und dbei die Reihenfolge beim zweiten Ml umkehren Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Arithmetische Folgen und Reihen Formel: S 1 2 n n i1 i n 1 2 n Dr. A. Brink Dr. A. Brink 26 26
14 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Jhr Provision ,10 Änderung (bsolut) Änderung (reltiv) , % + 10% + 10% + 10% Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Bildungsgesetz: i wobei sowie i1 i i1 q i, q 2,, n und 1, q * vorgegeben Dr. A. Brink Dr. A. Brink 28 28
15 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Bestimmung des llgemeinen Gliedes i : i i1 q Bestimmung des n-ten Gliedes n* : n 1 q n 1 1 q i1 Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Rechenvereinfchung durch drei-stufige Vorgehensweise: 1. lle Glieder der Reihe mit Hilfe des llgemeinen Ausdrucks formulieren 2. Summengleichung mit q * multiplizieren 3. Ausgngsgleichung von der mit q * multiplizierten Gleichung bziehen Dr. A. Brink Dr. A. Brink 30 30
16 B. Finnzmthemtische Grundlgen 2.2. Finnzmthemtisch relevnte Folgen und Reihen Geometrische Folgen und Reihen Formel: S n q 1 1 mit q 0undq 1 q 1 Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen Abschreibungen externes Rechnungswesen internes Rechnungswesen gesetzliche Bestimmungen historische Anschffungs- bzw. Herstellungskosten bilnzielle Abschreibungen keine Bestimmungen je nch Zweck der Rechnung z.b. Wiederbeschffungswert klkultorische Abschreibungen Dr. A. Brink Dr. A. Brink 32 32
17 B. Finnzmthemtische Grundlgen Begriff, Funktionen und Arten von Abschreibungen Abschreibungsverläufe: Linere Abschreibung Arithmetisch-degressive Abschreibung Geometrisch-degressive Abschreibung Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Linere Abschreibung Prämisse: konstnter, klenderzeitbhängiger Werteverzehr des Investitionsobjektes S At, wobei At A konstnt n Symbole: A t = Abschreibungsbetrg der Periode t S = Abschreibungsusgngsbetrg n = Nutzungsduer Dr. A. Brink Dr. A. Brink 34 34
18 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Linere Abschreibung S 0 A L E n L n Symbole: 0 = Anschffungsuszhlung (oder Wiederbeschffungswert) L ne = Einzhlungen bei Liquidtion des Investitionsobjektes L na = Auszhlungen bei Liquidtion des Investitionsobjektes Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Linere Abschreibung Beispiel: Anschffungsuszhlung = Nutzungsduer = 5 Jhre Liquidtionsnettoerlös = A t Dr. A. Brink Dr. A. Brink 36 36
19 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Linere Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,- 1 A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- 4 A , , ,- 5 A , , ,- Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung Prämisse: Werteverzehr in fllenden Rten, wobei die Differenz des Werteverlustes zwischen zwei Perioden konstnt ist Spezilfll: digitle Abschreibung, d.h. die letzte Abschreibungsrte A n entspricht der Abschreibungsdifferenz D Dr. A. Brink Dr. A. Brink 38 38
20 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung Beispiel: Letzte Abschreibungsrte A n = D = Anschffungsuszhlung = Nutzungsduer = 4 Jhre Liquidtionsnettoerlös = Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung Problem: Wie lässt sich D bestimmen, so dss der Restbuchwert m Ende der Nutzungsduer gerde dem Liquidtionsnettoerlös entspricht? Dr. A. Brink Dr. A. Brink 40 40
21 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung Formel: D 2 S n n 1 A n Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung D lterntiv: D Dr. A. Brink Dr. A. Brink 42 42
22 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,- 1 A , , ,- 2 A , , ,- 3 A , , ,- Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Arithmetisch-degressive Abschreibung A 0 = A , , ,- Arithmetischdegressiv A 1 > A 2 > A 3 A 1 -A 2 = D A n D digitl A n = D A A A A A A n =2.000 D=500 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 44 44
23 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung Prämisse: Werteverlust in konstnten Rten vom Restbuchwert Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung Abschreibungsbetrg ls konstnter Prozentstz p vom Restbuchwert der Vorperiode Abschreibung im Flle einer endlichen Nutzungsduer uf Null nicht möglich ber uf einen positiven Restbuchwert RBW n bzw. Liquidtionsnettoerlös L n = L ne -L n A Dr. A. Brink Dr. A. Brink 46 46
24 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung Problem: Wie bestimmt mn den Prozentstz p, der bei geometrisch-degressiver Abschreibung über n (z.b. n = 5) Jhre usgehend von der Anschffungsuszhlung (z.b. 0 = ) zum Liquidtionsnettoerlös (z.b. RBW 5 = ) führt? Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung Allgemein gilt: RBW n n 1 p 0 p 1 n RBW 0 n Dr. A. Brink Dr. A. Brink 48 48
25 B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung Auf die Problemstellung ngewndt: p ,12% Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen Verteilung des Abschreibungsusgngsbetrges uf Geometrisch-degressive Abschreibung t Abschreibungen Kumulierte Rest-Buchwert Abschreibungen ,00 1 A , , ,25 2 A , , ,12 3 A , ,45 4 A , , ,38 5 A , , ,- Dr. A. Brink Dr. A. Brink 50 50
26 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3. Rechnen mit Logrithmen 3.1. Finnzmthemtisch relevnte Logrithmen Wichtige Eigenschften von Logrithmen: 1) log 2) log 3) log 4) log 5) log 1 0 U V U V 1 log log U U log V U V log U log V V Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 3. Rechnen mit Logrithmen 3.1. Finnzmthemtisch relevnte Logrithmen Wichtig: Durch Logrithmieren lssen sich bestimmte nichtlinere Problemstellungen linerisieren! Dr. A. Brink Dr. A. Brink 52 52
27 B. Finnzmthemtische Grundlgen 3. Rechnen mit Logrithmen 3.2. Anwendungsbeispiele stetige Verzinsungsprozesse stetige Wchstumsprozesse Bestimmung der Nutzungsduer von Investitionen bzw. der Lufzeit von Finnzierungsobjekten Dr. A. Brink Dr. A. Brink B. Finnzmthemtische Grundlgen 3. Rechnen mit Logrithmen 3.2. Anwendungsbeispiele Beispiel: Kpitl Verzinsung 6 % Wnn übersteigt ds Konto erstmls den Betrg von ? ,06 n lg n lg1,06 lg n 6,9585 Jhre Dr. A. Brink Dr. A. Brink 54 54
28 B. Finnzmthemtische Grundlgen Aufgben Aufgben: 4, 8, 9, 11, 13 und 14 Aufgbenheft S. 7-9 Dr. A. Brink Dr. A. Brink 55 55
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