Grundlagenvertiefung zu PS2. A. Biedermann Updated by W. Markowitsch 15. September 2015

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1 Grundlagenvertiefung zu PS2 A. Biedermann Updated by W. Markowitsch 15. September 2015

2 Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis 1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen 2 2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation Serienresonanz Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung Literaturangaben 6-1 -

3 1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen 1 Analogie zwischen mechanischen und elektrischen Schwingungen Es besteht eine weitgehende Analogie zwischen elektrischen und mechanischen Schwingungen, die in der ähnlichen Form der zugrundeliegenden physikalischen Gesetze begründet ist. Deshalb kann man praktisch alle beteiligten elektrischen und mechanischen Gröÿen miteinander in Beziehung setzen. So etwa entspricht dem Induktionsgesetz U = L di/dt (mit der trägen Induktivität L) das zweite Newtonsche Gesetz F = m dv/dt (mit der trägen Masse m); weitere formale Entsprechungen nden Sie in Tab. 1. Tabelle 1: Entsprechungen zwischen mechanischen und elektrischen Gröÿen Eigenschaft Mechanische Gröÿe Elektrische Gröÿe unabhängige Variable Zeit t Zeit t abhängige Variablen Auslenkung x Ladung q Geschwindigkeit v Strom I Kraft F Spannung U Koe. d. Trägheit Masse m Selbstinduktion L Koe. d. Verlustleistung Reibungszahl k Ohmscher Widerstand R Koe. d. rückstellenden Kraft Federkonstante D Reziproke Kapazität 1/C Schwerkraft mg/l Energiespeicher 1 (J) Potentielle Energie Dx2 Elektrostatische Energie q2 2 2C Energiespeicher 2 (J) Eigenfrequenz ω 0 (1/s) Dämpfungskonstante δ (1/s) Kinetische Energie mv2 Magnetische Energie LI2 2 2 D k 2m, g m l R 2L 1 LC Direkte Relevanz erhält diese Analogie bei elektromechanischen Oszillatoren wie etwa Schwingquarzen (z.b. in Quarzuhren). Diese sind zwar wie alle elastischen Festkörper mechanische Oszillatoren, können aber über Elektroden unter Ausnutzung des piezoelektrischen Eekts (Kopplung E -Feld und Verzerrungstensor ε) elektrisch angeregt werden. Deshalb werden sie auch über elektrische L-C Ersatzschaltbilder beschrieben, obwohl sie weder Kondensator noch Spule enthalten (ausser der durchaus relevanten Elektrodenkapazität). Da Quarz ein recht hartes Mineral ist (hohe elastische Konstante) überrascht es auch nicht, dass die Äquivalentkapazität wesentlich kleiner als 1 pf ist und damit auch wesentlich kleiner als die physikalische Elektrodenkapazität

4 2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation 2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation Abbildung 1: (a) Spannungsgetriebener Schwingkreis (Serienresonanz) und (b,c) stromgetriebener Schwingkreis (Parallelresonanz). Mit der Methode der komplexen Impedanzen kann Berechnung von Schwingkreisen stark vereinfacht werden, auch bei mechanischen Schwingungen (siehe Feynman Lectures Vol. I). Im Folgenden wird zunächst das Prinzip anhand der Serienresonanz (Abb. 1a) veranschaulicht. Danach wird die Methode verwendet um den (eher subtilen) Unterschied in den Resonanzkurven der Serienresonanz und der im Experiment verwendeten Schaltung Abb. 1c zu berechnen. Auÿerdem wird dabei der signikante Unterschied im Impedanzverhalten von Serien- und Parallschaltung herausgearbeitet. 2.1 Serienresonanz Man geht von der Dierentialgleichung für die Serienschaltung aus, mit dem Strom als abhängiger Variable: L di dt + IR + I/C = U, (1) - 3 -

5 2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation und verwendet für alle Spannungen und Ströme den komplexen Ansatz für harmonische (sinusförmige) Schwingungen, 1 U(t) = Ue iωt U = U 0 e iϕu (2) I(t) = Ie iωt I = I 0 e iϕ i wobei komplexe Gröÿen der Deutlichkeit halber unterstrichen sind. Dabei gilt die Übereinkunft, dass die messbaren zeitlich veränderlichen Ströme und Spannungen jeweils den Realteilen dieser komplexen Gröÿen entsprechen. Die Absolutbeträge U 0, I 0 entsprechen dann den Amplituden. Damit erhält man nach Einsetzen in die Dierentialgleichung und Kürzen des zeitabhängigen Faktors e iωt : iωli + RI + I iωc = U (3) Umgeformt ergibt das ein dem Ohmschen formal ähnliches Gesetz für die komplexe Spannung, den komplexen Strom und die komplexe Gesamtimpedanz Z: U = I(R + iωl i ) = IZ (4) ωc Ein Vorteil der Methode ist, dass man zwischen kartesischer und polarer Darstellung A exp(iϕ) = A(cos ϕ + i sin ϕ) wechseln und Produkte und Summen recht einfach berechnen und anschaulich in der komplexen Ebene darstellen kann (Zeigerdiagramm). Bei der Resonanzfrequenz ω 0 wird ω 0 L = 1/(ω 0 C), die komplexen Widerstände von Induktivität und Kapazität kompensieren einander und Gleichung (4) verwandelt sich in das richtige Ohmsche Gesetz U 0 = I 0 R. Die Serienimpedanz erreicht damit ihren Minimalwert, der Strom ist nur mehr durch den Ohmschen Widerstand begrenzt und die Phasenverschiebung zwischen I und U verschwindet. Die Spannung U für beliebige Kreisfrequenz ω folgt aus der Spannungsteilerformel: U C = U Z C Z = U (5) Der Absolutbetrag der Gleichung (kann für Zähler und Nenner getrennt berechnet werden) ergibt mit der Güte Q = ω 0 /(2δ) und der Dämpfung δ = R/(2L) die Resonanzkurve: 1 Hier wird ausnahmsweise dasselbe Formelzeichen für die zeitabhängige und zeitunabhängige Gröÿen U(t) und U verwendet, um eine Ination von Formelzeichen zu vermeiden

6 2 Der elektrische Schwingkreis in Wechselstromnotation U C0 = U 0 (1 ω2 LC) 2 + (ωrc) 2 = U 0 (1 ω2 /ω 2 0) 2 + (ω 2 /ω 2 0)(1/Q 2 ). (6) Diese Resonanzkurve entspricht in der Form genau der Resonanzkurve bei mechanischen Schwingungen. Die Resonanzkurve für die Parallelresonanz, die nachfolgend behandelt wird, weicht jedoch in einigen Details davon ab. 2.2 Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung Der Fall der Parallelresonanz mit kapazitiver Einkopplung liegt etwas komplizierter. Der Kopplungskondensator erfüllt den Zweck einer Strom-Spannungswandlung (die Parallelschaltung kann nur bei Einprägen eines Stromes ungehindert schwingen, weil die Spannung in der Parallelschaltung an beiden Kondensator und Spule gleich ist, siehe Schaltung in Abb. 1c). Zunächst wird die Schwingkreisimpedanz C RL (ohne C ) in der Näherung für schwache Dämpfung berechnet: Z RL C = 1 iωc + 1 R+iωL = R + iωl ω 2δ iωl (7) Bei Resonanz ω 2 0LC = 1 ist der Kreis wieder rein Ohmsch und die Parallelimpedanz Z RL C erreicht ihren Maximalwert: Z RL C = L/(RC). Den Zusammenhang zwischen Eingangs- und Kondensatorspannung erhält man wieder durch die Spannungsteilerformel: Z RL C U C = U (8) Z C + Z RL C Die Impedanz Z C = 1/(ωC ) des Einkoppelkondensators muss wesentlich gröÿer als die maximale Schwingkreisimpedanz L/(RC) sein, um die Strom-Spannungswandlung auch bei Resonanz zu gewährleisten. Daraus kann man unmittelbar die Bedingung C/C Lω 0 /R = ω 0 /(2δ) = Q ableiten. Die Spannungsteilerformel vereinfacht sich dann zu U C C C Q U Z RL C Z C (9) und man erhält U C Uω 2 LC (10) - 5 -

7 3 Literaturangaben Dieses Ergebnis unterscheidet sich von dem der Serienresonanz Glg. (5) also nur um den Faktor ω 2 LC und einer Änderung der Phasenverschiebung um π, wegen des Minus im Zähler von Glg. (10). Die Form der Resonanzkurve unterscheidet sich insofern von der des Serienschwingkreises, als die Kurve für kleine Frequenzen gegen Null strebt und für groÿe gegen einen konstanten Wert. Bei der Serienresonanz ist es umgekehrt. 3 Literaturangaben Bergmann Schäfer Band 2 Elektromagnetismus, de Gruyter, Berlin, 1999 Purcell, Berkeley Physik Kurs 2, Elektrizität und Magnetismus, Vieweg, Braunschweig, 1983 (zur komplexe Methode für mechanische und elektrische Schwingungen) Feynman, Leighton, Sands, Feynman Lectures on Physics Vol I, Addison Wesley, Reading,