Übungsaufgaben zum Thema Kreisbewegung Lösungen

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1 Übungsaufgaben zum Thema Keisbewegung Lösungen 1. Ein Käfe (m = 1 g) otiet windgeschützt auf de Flügelspitze eine Windkaftanlage. Die Rotoen de Anlage haben einen Duchmesse von 30 m und benötigen fü eine Umdehung 2 s. Mit welche Kaft muss sich de Käfe mit seinen kleinen Käfebeinen am Flügel festhalten, damit e daauf sitzen bleiben kann? De Käfe muss sich mit eine Kaft festhalten, die mindestens so goß ist wie die Zentipetalkaft, die sich aus de Keisbewegung egibt. Es gilt also: F K = F Z = m v2 2 T = m F Z = 0,001kg m 2s 2 F Z = 0,15N 2 = m 4 2 T 2 mit: m = 0,001kg = 15m T = 2 s = 0,15 N De Käfe muss sich also mit eine Kaft festhalten, die dem 150fachen seines Köpegewichts entspicht.

2 2. Eine Achtebahn soll einen Looping duchfahen. Dabei duchfäht sie den höchsten Punkt des Loopings mit v = 50 km/h. Wie goß daf de Radius des Loopings höchstens sein? Was passiet am höchsten Punkt des Loopings? Duch die angegebene Geschwindigkeit können wi eine Zentipetalkaft beechnen. Mit actio = eactio ehalten wi eine Zentifugalkaft, die die Wagen de Achtebahn gegen die Schienen dückt. Diese muss mindestens so goß sein wie die Gewichtskaft de Wagen, die nach unten zeigt. Also: F G F Z m g m v2 v2 g mit : v = 50 km h = 13,89 m s 19,69 m g = 9,81 m s 2 De Radius des Loopings daf nicht göße als 19,7 m sein.

3 3. Aus welche Höhe h muss eine Kugel eibungsfei heabollen, um einen senkechten Keis mit dem Radius 2 m (Looping) ohne heabzufallen duchollen zu können? Wie schnell muss die Kugel im tiefsten und im höchsten Punkt des Loopings sein? Um den Looping duchollen zu können, muss die Zentipetalkaft und damit die Zentifugalkaft gleich de Gewichtskaft de Kugel sein. Wi können also zunächst notieen: F G = F Z m g = m v2 v = g Das ist die Mindestgeschwindigkeit v min de Kugel am höchsten Punkt des Loopings. 1 Zuest eine Skizze: Fü die efodeliche Höhe h, die die Kugel vo dem Looping heabollt, benötigen wi den Enegieehaltungssatz. Am Punkt 1 haben wi ausschließlich potentielle Enegie voliegen, die sich auf dem Weg in Richtung des tiefsten Punkts 2 in kinetische Enegie umwandelt. Im Punkt 3, dem höchsten Punkt, wideum haben wi kinetische und potentielle Enegie voliegen. Daaus folgt: h 1 3 h 3 E pot,1 = E kin,2 = E kin,3 E pot,3 m g h 1 = 1 2 m v 2 2 = 1 2 m v 2 3 m g h 3 2 In de letzten Zeile bedeuten: h 1 die Höhe, von de die Kugel heabollen muss v 2 die Geschwindigkeit im Punkt 2 (= v max ) v 3 die Geschwindigkeit im Punkt 3 (= v min ) h 3 die Höhe von Punkt 3 (= 2) Zunächst wollen wi die benötigte Höhe beechnen: m g h 1 = 1 2 m v 2 m g h 3 3 mit : v 3 = g h 3 = 2 m g h 1 = 1 m g m g 2 2 h 1 = = 5 2 h 1 = 5m mit: = 2 m

4 Die Geschwindigkeit im tiefsten Punkt (Punkt 2) ehalten wi auch aus de Enegieehaltung: m g h 1 = 1 2 m v 2 2 v 2 = 2 g h 1 v 2 = 2 9,81 m s 2 5m v 2 = 9,9 m s Fü die Geschwindigkeit in Punkt 3 haben wi schon notiet: v 3 = g v 3 = 2 m 9,81 m s 2 v 3 = 4,43 m s

5 4. Wie oft müsste sich die Ede täglich um ihe Achse dehen, damit die Edanziehung am Äquato aufgehoben weden wüde (g am Aquato: 9,78 m/s 2, Edadius: 6370 km)? Es gilt: F G = F Z m g = m v2 v = g mit : v = 2 f 2 f = g f = g 2 m m 9,78 s 2 f = m f = 1, s 1 Da die Dehfequenz po Tag gefagt wa, müssen wi das Egebnis noch umechnen: 60 s 60 min 1 min 1 h 24 h 1 d = s 1 d Damit: f = 1, s s 1 d f = 17d 1 Die Ede müsste sich am Tag 17-mal um die eigene Achse dehen, damit die Schwekaft am Äquato aufgehoben wüde.

6 5. Eine fiktive Raumstation hat die Fom eine Tonne mit einem Radius von 9 m. Wie schnell müsste sie sich in de Schweelosigkeit dehen, damit an de Außenwand künstlich die Schwekaft de Ede hegestellt wüde? Wie goß ist die Dehfequenz? Die Schwekaft de Ede weist einen Otsfakto von 9,81 m/s 2 auf. Also muss hie gelten: F G = F Z m g = m v2 v = g v = 9m 9,81 m s 2 v = 9,4 m s Mit dem Egebnis kann man weiteechnen: v = 2 f f = v 2 9,4 m s f = 2 9m f = 0,17 s 1 ode f = 9,96 min 1

7 6. Angenommen, zwei identische Gegenstände bewegen sich auf Keisen mit gleichem Duchmesse, de eine Gegenstand bewegt sich abe zweimal so schnell wie de andee. Die Zentipetalkaft, die efodelich ist, um den schnelleen Gegenstand auf de keisfömigen Bahn zu halten, ist 1. genauso goß wie die Kaft, die den langsameen Gegenstand auf de Bahn hält. 2. ein Vietel so goß wie die Kaft, die den langsameen Gegenstand auf de Bahn hält 3. halb so goß wie die Kaft, die den langsameen Gegenstand auf de Bahn hält 4. viemal so goß wie die Kaft, die den langsameen Gegenstand auf de Bahn hält. Bitte begünde die Antwot. De Zusammenhang zwischen Zentipetalkaft F Z und de Geschwindigkeit v ist folgende: F Z v 2 Daaus folgt: Wenn die Geschwindigkeit vedoppelt wid, veviefacht sich die Zentipetalkaft, also ist Antwot 4 die ichtige.

8 7. Mit welche Geschwindigkeit daf ein Auto höchstens um die Kuve fahen, wenn diese einen Radius von 75 m aufweist? Die Fahbahn ist nicht geneigt und de Reibkoeffizient zwischen Reifen und Staße betägt f = 0,6. Die einzige Kaft, die die Keisbewegung emöglicht, ist die Reibkaft zwischen Reifen und Staße. Damit können wi scheiben: F R = F Z m g f = m v2 v = g f v = 75m 9,81 m s 2 0,6 v = 21,01 m s ode v = 75,64 km h

9 8. Auf eine um 30 geneigten Kuve sollen dei Radfahe im Abstand von 1 m nebeneinande im Keis fahen. De Kuveninnenadius, und damit die Fahbahn des untesten Radfahes, betägt 20 m. Die Reibung zwischen de Fahbahn und den Autoeifen wid duch den Koeffizienten f = 0,5 beücksichtigt. Mit welche Geschwindigkeit muss de mittlee Radfahe fahen, damit e nicht mit dem unteen Fahe zusammenstößt? Gefagt ist nach de Geschwindigkeit: F Z = m v2 v = F Z m De Radius des mittleen Radfahes betägt = 21 m. Die Zentipetalkaft wid duch die geneigte Fahbahn und duch die Reibung ebacht. Hie gilt de Zusammenhang: F Z = F G (tanα + f ) Die ebachte Zentipetalkaft (zweite Fmel) wid in die este Fomel mit de benötigten Zentipetalkaft eingesetzt: v = F G (tanα + f ) m m g ( tanα + f ) v = m v = g ( tanα + f ) v = 9,81 m ( tan30 + 0,5) 21 m 2 s v = 14,90 m s ode v = 53,63 km h E muss also mit mindestens 53,63 km/h fahen, um auf de Position zu bleiben.

10 9. Eine Eistänzein deht auf dem Eis eine Piouette. Sie deht sich in eine Sekunde dei Mal um die eigene Achse. Dabei hat sie die Ame weit von sich gesteckt und man kann den Radius ihes sich dehenden Köpes mit = 0,8 m annehmen. Auf welche Fequenz steigt ihe Dehbewegung, wenn sie die Ame an den Köpe zieht und damit einen Köpeadius von etwa 0,3 m ezeugt? Die Geschwindigkeit v veändet sich daduch nicht. Die Geschwindigkeit hängt sowohl von dem Radius als auch von de Fequenz ab: v = 2 π f Da die Geschwindigkeit als konstant gelten soll, ist das Podukt aus Radius und Fequenz konstant: v 2 π = f f = konstant 1 f 1 = 2 f 2 mit : 1 = 0,8 m 2 = 0,3m f 1 = 3s 1 f 2 = 1 2 f 1 = 0,8 m 0,3 m 3s 1 f 2 = 8 s 1

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