Aufgabe 5.3 Duale Simplexverfahren

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1 Aufgabe 5.3 Knut Krause Thomas Siwczyk Stefan Tittel Technische Universität Dortmund Fakultät für Informatik Algorithmen und Datenstrukturen 15. Januar 2009

2 Gliederung 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

3 Gliederung 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

4 Aufgabenstellung Aufgabenstellung und Motivation Erläutern Sie das duale Simplexverfahren ( und revidierte Simplex-Methode) und veranschaulichen Sie das Verfahren anhand eines Beispiels.

5 Motivation Beispiel Lösung eines LPs, welches weder in kanonischer Form vorliegt, noch leicht in diese transformiert werden kann max F(x 1, x 2 ) = 2x 1 + x 2 s. t. x 1 + x 2 8 3x 1 + x 2 12 x 1 + x 2 10 x 1, x 2 0 Erweiterung eines LPs, zu dem eine optimale Lösung besteht, die nach der Erweiterung des LPs keine Lösung mehr ist

6 Gliederung Aufgabenstellung und Motivation 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

7 Gliederung Aufgabenstellung und Motivation 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

8 Überblick finde zulässige (nicht notwendigerweise optimale) Basislösung für das Problem übergib diese Basislösung an primalen Simplex falls Start mit dual zulässiger 1 Lösung, so ist erste primal zulässige Basislösung zugleich optimal Schritt 1 und 2 (Wahl von Pivotzeile und Pivotspalte) anders als beim primalen Algorithmus Schritt 3 (Tableautransformation/Matrizenrechnung) identisch zum primalen Algorithmus 1 alle Eintragungen in der F-Zeile 0

9 Umwandlung des Ausgangsproblems Umformung des Ausgangsproblems in kanonische Form mit Schlupfvariablen, aber negative b i zulässig Beispiel der kanonischen Form zugrundeliegendes LGS F = 2x 1 + x 2 x 3 = x 1 + x 2 8 x 4 = 3x 1 + x 2 12 x 5 = x 1 x

10 Start-Tableau/-Matrix für : für revidierte Simplex-Methode: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x F

11 Wahl der Pivotzeile Voraussetzung Basislösung eines LPs (muss nicht zulässig sein); aktuelle Eintragungen im Simplextableau seien mit a ij, b i, c j bezeichnet 1 gibt es kein b i < 0: zulässige Basislösung liegt vor Abbruch 2 sonst: wähle Zeile s mit kleinstem b s als Pivotzeile (bei mehreren mit gleichem kleinsten Wert wähle beliebige)

12 Wahl der Pivotspalte 1 gibt es kein a sj < 0 in Pivotzeile s: Problem hat keine zulässige Basislösung Abbruch des gesamten Verfahrens 2 ansonsten wähle Spalte t mit c t a st { c j = max a sj } j = 1,..., n mit a st< 0 als Pivotspalte Anmerkung Beim primalen Simplex wird zuerst die Pivotspalte, dann die Pivotzeile ausgewählt, beim dualen ist es andersherum.

13 Gliederung Aufgabenstellung und Motivation 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

14 Beispiel Tableau 1 Aufgabenstellung und Motivation x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x F Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x 3 = 8 und x 4 = 12! 2 b i = 12 ist minimal, Zeile 2 wird Pivotzeile 3 c 1 a 21 4 a 22 = 2 3 = 2 3 und c 2 a 22 wird Pivotelement = 1 1 = 1 Spalte 2 wird Pivotspalte Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)!

15 Beispiel Tableau 2 Aufgabenstellung und Motivation x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x F Test: Basis-Lösung zulässig? Nein: x 5 = 2! 2 b i = 2 ist minimal, Zeile 3 wird Pivotzeile 3 a 31 4 a 31 ist einzige Auswahlmöglichkeit, Spalte 1 wird Pivotspalte wird Pivotelement Jetzt: Transformation (wie beim primalen Simplex)!

16 Beispiel Tableau 3 Aufgabenstellung und Motivation x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x F Test: Basis-Lösung zulässig? Ja! Nun primaler Simplex: x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 b i x x x F Optimal: x 1 = 10, x 3 = 2, x 4 = 18, x 2 = x 5 = 0, F = 20

17 Gliederung Aufgabenstellung und Motivation 1 Aufgabenstellung und Motivation 2

18 Ã 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F b i B 1 x 2 x 3 x 5 F x 2 x 3 x 5 F B 1 1 x 2 x 3 x 5 F x 2 x 3 x 5 F

19 Ã 1 B 1 1 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F b i B 2 x 1 x 2 x 3 F x 1 x 2 x 3 F B 1 2 x 1 x 2 x 3 F x 1 x 2 x 3 F

20 Ã 2 B 1 2 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 F b i Lösung ist gültige primale Basislösung Algorithmusstop

21 Literatur Literatur Wolfgang Domschke und Andreas Drexl. Einführung in Operations Research. Springer, Berlin [u.a.], 2005.

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