Lösung allgemeiner linearer Programme

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1 Lösung allgemeiner linearer Programme Bisher: Für Anwendung des Simplexalgorithmus muss eine primal oder eine dual zulässige Basislösung vorliegen. Für allgemeine lineare Programme können wir dies direkt nicht gewährleisten. Im Folgenden: Unter Ausnutzung dualer Techniken leiten wir eine Methode her, mit der zu jedem LP, dass eine optimale Lösung hat, eine solche berechnet werden kann. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

2 Allgemeine Form Wir gehen von einem LP mit n Variablen und m Nebenbedingungen aus. Die Zielfunktion habe die Gestalt min oder max z = nx c j x j j=1 unter den Nebenbedingungen 8 9 nx < = a ij x j : = ; b i für i =1,...,m j=1 apple und Nichtnegativitätsbedingungen x j 0für einige oder alle j =1,...,n. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

3 Anforderungen für primalen Simplex zu maximierende Zielfunktion nur Gleichheitsbedingungen Nichtnegativitätsbedingungen für alle Variablen ein nichtnegativer Vektor auf der rechten Seite ein primal zulässiges Ausgangstableau in kanonischer Form, d.h.mit m Einheitsvektoren, die eine Basis bilden Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

4 Zielfunktion, rechte Seite, Vorzeichenbeschränkung (1) Falls eine zu minimierende Zielfunktion vorliegt, multipliziere diese mit 1undmaximiere z. (2) Multipliziere alle Gleichungen und Ungleichungen der Nebenbedingungen mit b i < 0mitdemFaktor 1. (3) Ersetze jede nicht vorzeichenbeschränkte Variable x j durch zwei vorzeichenbeschränkte Variablen x 0 j 0undx 00 j 0mitx j = x 0 j x 00 j. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

5 Damit hat das lineare Programm die Gestalt: max z = unter den Nebenbedingungen nx c j x j j=1 nx a ij x j apple b i für i =1,...,m 1 j=1 nx a ij x j b i für i = m 1 +1,...,m 1 + m 2 j=1 nx a ij x j = b i für i = m 1 + m 2 +1,...,m 1 + m 2 + m 3 j=1 und Vorzeichenbedingungen x j 0für j =1,...,n Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

6 Bemerkungen: n ist die Anzahl der Variablen nach Schritt (1) bis (3). m 1, m 2, m 3 bezeichnet dabei die Anzahl der apple-, -und =-Nebenbedingungen. m := m 1 + m 2 + m 3 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

7 Erzeuge Normalform (4) Wandle jede apple-nebenbedingung durch eine Schlupfvariable um in eine Gleichung der Form nx a ij x j + x n+i = b i j=1 (5) Wandle jede -Nebenbedingung durch eine Schlupfvariable um in eine Gleichung der Form nx a ij x j j=1 x n+i = b i Alle Schlupfvariablen x n+i sind vorzeichenbeschränkt, also x n+i 0. Jetzt haben wir Normalform, aber keine kanonische Normalform und damit noch kein primal zulässiges Tableau. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

8 Künstliche Variablen (6) Addiere zu jeder ursprünglichen -Nebenbedingung eine künstliche Variable y k 0, so dass die Nebenbedingung lautet: nx a ij x j j=1 x n+i + y k = b i (7) Addiere zu jeder ursprünglichen =-Nebenbedingung eine künstliche Variable y k 0, so dass die Nebenbedingung lautet: nx a ij x j + y k = b i j=1 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

9 Jetzt haben wir ein Simplextableau in kanonischer Form mit der Basislösung x m+i = b i für die x m+i von ursprünglichen apple-nebenbedingungen und y k = b k für die ursprünglichen - und =-Nebenbedingungen. Problem: Nur wenn für alle künstlichen Variablen y k = 0 gilt, ist dieses LP äquivalent zum ursprünglichen LP. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

10 Zweite Zielfunktion (8) Bilde aus den künstlichen Variablen die zusätzliche Zielfunktion min Y = mx 2 +m 3 k=1 Entsteht bei der Minimierung Y = 0, dann wird die Erweiterung nivelliert und wir haben eine zulässige Basislösung. (9) Multipliziere die zusätzliche Zielfunktion mit dem Faktor 1, um eine Maximierung zu erhalten. y k max y = Y = mx 2 +m 3 k=1 y k Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

11 (10) Löse alle Gleichungen mit künstlichen Variablen nach diesen auf y k = b i 0 a ij x j 1 x m+i A bzw. y k = b i j=1 nx a ij x j und ersetze sie in der zweiten Zielfunktion durch die gewonnenen Ausdrücke. Dieser Schritt dient dazu, dass die Koe zienten der y k in der Zielfunktionszeile zu 0 werden zu lassen, damit ein primal zulässiges Tableau vorliegt. Insgesamt haben wir jetzt ein primal zulässiges Simplextableau vorliegen. j=1 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

12 Algorithmus 5.15 Bearbeite das durch die Schritte (1) bis (10) aufgestellte Tableau in zwei Phasen: 1 Erö nungsphase Maximiere die Zielfunktion y = Y mit Hilfe des primalen Simplexalgorithmus. Transformiere dabei die ursprüngliche Zielfunktion z stets mit. I Gilt für das Optimum y < 0, dann existiert keine zulässige Lösung für das ursprüngliche LP. I Gilt y = 0, dann streiche die Zeile mit der zweiten Zielfunktion und die künstlichen Variablen und fahre mit Phase 2 fort. 2 Optimierungsphase Maximiere die erste Zielfunktion mit dem primalen Simplex-Algorithmus. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

13 Bemerkung In der Erö nungsphase nähert man sich schrittweise einer Ecke der Menge X der zulässigen Lösungen. In der Optimierungsphase bestimmt man ausgehend von der gefundenen Ecke aus der Erö nungsphase eine optimale Lösung des LP. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

14 Beispiel: Beispiel 5.16 Wir betrachten das folgende LP: unter den Nebenbedingungen min Z = x 1 2x 2 x 1 + x 2 apple 8 (I) 2x 1 + x 2 2 (II) x 1 x 2 = 3 (III) x 1, x 2 0 (1) max z = Z = x 1 +2x 2 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

15 Fortsetzung Beispiel. (2) Wir multiplizieren (III) mit 1underhaltendieneueGleichung(III): x 1 + x 2 =3 (3) entfällt, alle Variablen sind vorzeichenbeschränkt (4,5) Wir führen für (I) und (II) Schlupfvariablen ein: x 1 + x 2 + x 3 = 8 (I) 2x 1 + x 2 x 4 = 2 (II) (6,7) Künstliche Variablen für (II) und (III): 2x 1 + x 2 x 4 + y 1 = 2 (II) x 1 + x 2 + y 2 = 3 (III) Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

16 Fortsetzung Beispiel. (8) Zusätzliche Zielfunktion: min Y = y 1 + y 2 (9) Optimierungsrichtung der zusätzlichen Zielfunktion herumdrehen: max y = Y = y 1 y 2 (10) Wir lösen (II) und (III) nach y 1 bzw. y 2 auf y 1 = 2 2x 1 x 2 + x 4 y 2 = 3 + x 1 x 2 und setzen die Terme der rechten Seiten in die Zielfunktion ein. Hierdurch entsteht y = 5+x 1 +2x 2 x 4 Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

17 Fortsetzung Beispiel. Damit können wir das 1. Tableau für die Erö nungsphase aufstellen: BV x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 b x y y z y Wir maximieren y und wählen dazu x 2 als Pivotspalte. Damit ist y 1 die Pivotzeile. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

18 Fortsetzung Beispiel. 2. Tableau Erö nungsphase: BV x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 b x x y z y Man beachte, dass auch die Zeile für die ursprüngliche Zielfunktion angepasst wurde. Jetzt bleibt nur x 1 als Pivotspalte, dann ist y 2 die Pivotzeile. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

19 Fortsetzung Beispiel. 3. Tableau Erö nungsphase: BV x 1 x 2 x 3 x 4 y 1 y 2 b x x x z y Damit ist die Erö nungsphase abgeschlossen und wir haben mit x = B 3 5 A 1 eine Startecke für die Optimierungsphase. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

20 Fortsetzung Beispiel. Wir streichen die künstlichen Variablen und die zusätzliche Zielfunktionszeile und erhalten damit das 1. Tableau der Optimierungsphase: BV x 1 x 2 x 3 x 4 b x x x z Es liegt noch keine optimale Lösung vor. Pivotspalte wird x 1, Pivotzeile x 3. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

21 Fortsetzung Beispiel. 2. Tableau Optimierungsphase: BV x 1 x 2 x 3 x 4 b x /2 0 5/2 x /2 0 11/2 x /2 1 17/2 z 0 0 3/2 0 27/2 Damit terminiert der.! x = ist eine optimale Lösung des originären LP, mit Zielfunktionswert Z = Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298

22 Zusammenfassung Zu jedem primalen LP gibt es ein korrespondierendes duales LP. Die Betrachtung sowohl des primalen als auch des dualen LP ermöglicht tiefergehende Einblicke in das zu Grunde liegende Problem. Zueinander duale LPs sind eng miteinander verbunden: gegenseitige Schranken, Gleichheit der Zielfunktionen in den Optima, Entsprechungen bei Struktur-, Schlupf-, Basis-, und Nichtbasisvariablen. Zwei-Phasen-Simplexalgorithmus zur allgemeinen Lösung von linearen Programmen. Peter Becker (H-BRS) Operations Research I Sommersemester / 298