Statistik Klausur Wintersemester 2012/2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN!

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1 Statistik 1 1. Klausur Wintersemester 2012/2013 Hamburg, BITTE LESERLICH IN DRUCKBUCHSTABEN AUSFÜLLEN! Nachname: Vorname: Matrikelnummer: Studienfach: Fachsemester: Art der Anmeldung: STiNE Zulassung unter Vorbehalt Sonstiges Mit Ihrer nachfolgenden Unterschrift bestätigen Sie die Klausur auf Vollständigkeit überprüft zu haben. Diese Klausur besteht aus 8 Aufgaben und aus 14 Seiten. Unterschrift der/des Studierenden: Bemerkungen: Aufgabe max. Pkt. err. Pkt Summe 100

2 Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 Hinweise für die Aufgaben 1.1 bis 1.10: Es ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: (a) Wird ausschließlich die korrekte Antwort angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. (b) In allen Fällen außer der in (a) beschriebenen Situation erhält man 0 Punkte. Hinweise für die Aufgaben 2.1 bis 2.5: Es ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Zur Punktevergabe: Werden ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten angekreuzt, so erhält man die volle Punktezahl. Werden unter anderem korrekte Antwortmöglichkeiten angekreuzt, jedoch nicht ausschließlich alle korrekten Antwortmöglichkeiten, so erhält man 1 Punkt. Allgemeiner Hinweis: Falls Sie Ihre bereits gewählte Antwort revidieren möchten, so kreuzen Sie alle Felder der entsprechenden Zeile an und schreiben die korrekte(n) Antwort(en) neben die entsprechende Tabellenzeile. Aufgabe (a) (b) (c) (d)

3 Aufgabe 1 (30 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 1.1 bis 1.10 ist exakt eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte Antwort durch ein Kreuz in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 1.1 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen, eine empirische Verteilungsfunktion betreffend, ist korrekt? (a) Eine empirische Verteilungsfunktion nimmt jeden Wert zwischen Null und Eins an. (b) Eine empirische Verteilungsfunktion nimmt auf keinen Fall jeden Wert zwischen Null und Eins an. (c) Eine empirische Verteilungsfunktion nimmt den Wert Null niemals an. (d) Eine empirische Verteilungsfunktion nimmt den Wert Eins niemals an. Aufgabe 1.2 (3 Punkte) Für einen unbekannten Datensatz soll die empirische Varianz s 2 ausgerechnet werden. Welche der nachfolgenden Angaben ist hierfür ausreichend? (a) Größe des Datensatzes n und arithmetisches Mittel x. (b) Arithmetisches Mittel x und Median x Med. (c) Größe des Datensatzes n sowie n x 2 i. (d) Arithmetisches Mittel x und Variationskoeffizient v. i=1 Aufgabe 1.3 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen das Bestimmtheitsmaß betreffend ist korrekt? (a) Das Bestimmtheitsmaß misst den Anteil, den die Varianz der unabhängigen Variablen an dem Produkt der beiden arithmetischen Mittel besitzt. (b) Das Bestimmtheitsmaß misst die absolute Abweichung der bivariaten Daten zu ihren jeweiligen arithmetischen Mitteln. (c) Das Bestimmtheitsmaß misst den Anteil der Streuung, die durch das Modell erklärt wird, an der Gesamtstreuung. (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. -3-

4 Aufgabe 1.4 (3 Punkte) Gegeben sei ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P ). Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Es existiert immer ein A A, für das P (A) = 1 gilt. (b) Es ist möglich, dass zwei Elemente A, B A existieren, für die P (A B) nicht definiert ist. (c) Es ist möglich, dass ein Element A A existiert, für das P (A) = gilt. (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. Aufgabe 1.5 (3 Punkte) Die Zufallsvariable X sei binomialverteilt mit den Parametern n und p (X B(n, p)). Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Es gilt E(X) V ar(x). (b) Die möglichen Merkmalsausprägungen der Zufallsvariablen X sind überabzählbar. (c) Werden die Parameter n und p sehr groß gewählt, so können einzelne Wahrscheinlichkeiten der Zufallsvariablen X größer als 1 werden. (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. Aufgabe 1.6 (3 Punkte) Betrachtet wird die Dichtefunktion f 1 einer standardnormalverteilten Zufallsvariablen sowie die Dichtefunktion f 2 einer t(n)-verteilten Zufallsvariablen. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Für alle x R gilt: f 1 (x) > f 2 (x). (b) Für alle x R gilt: f 1 (x) < f 2 (x). (c) Für n > 30 gilt für alle x R: f 1 (x) = f 2 (x) (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. -4-

5 Aufgabe 1.7 (3 Punkte) Für einen beliebig gegebenen Datensatz werden alle möglichen Konzentrationsraten CR k berechnet und die zugehörige Grafik wird gezeichnet. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Der Graph der Konzentrationsraten ist konkav. (b) Der Graph der Konzentrationsraten ist konvex. (c) Der Graph der Konzentrationsraten ist konvex und konkav. (d) Über die Krümmung des Graphen der Konzentrationsraten lässt sich keine Aussage machen. Aufgabe 1.8 (3 Punkte) Für einen bivariaten ordinalskalierten Datensatz wurden Ränge gemäß nachfolgender Tabelle erstellt. Für welche von diesen Rangtabellen ist die Berechnung des Korrelationskoeffizienten von Spearman nicht möglich. (a) (b) (c) i rg(x i ) rg(y i ) i rg(x i ) rg(y i ) i rg(x i ) rg(y i ) (d) Die Berechnung des Korrelationkoeffizienten von Spearman ist in allen obigen Fällen möglich. Aufgabe 1.9 (3 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen die Potenzmenge P(Ω) einer gegebenen Menge Ω betreffend ist korrekt? (a) Die Potenzmenge P(Ω) ist niemals leer. (b) Die Menge Ω kann kein Element der Potenzmenge P(Ω) sein. (c) Die Potenzmenge P(Ω) enthält immer unendlich viele Elemente. (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. -5-

6 Aufgabe 1.10 (3 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Funktion: 1 für x {0, 1} 2 x! g(x) := 0 sonst Hinweis: 0! := 1 Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Die Funktion g ist eine Wahrscheinlichkeitsfunktion. (b) Die Funktion g ist eine Dichtefunktion. (c) Die Funktion g ist eine Verteilungsfunktion. (d) Keine der bisherigen Aussagen ist korrekt. -6-

7 Aufgabe 2 (20 Punkte) Hinweise: In den Aufgaben 2.1 bis 2.5 ist mindestens eine Antwortmöglichkeit korrekt. Markieren Sie die korrekte(n) Antwort(en) durch ein Kreuz bzw. mehrere Kreuze in der Lösungstabelle für die Aufgaben 1 und 2 auf Seite 2. Aufgabe 2.1 (4 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen ein Histogramm betreffend sind richtig? (a) Der Flächeninhalt aller Rechtecksflächen ist gleich der Anzahl der beobachteten Merkmalsausprägungen. (b) Bei äquidistanten Klassenbreiten ist die Höhe des Rechtecks gleich der relativen Häufigkeit. (c) Fällt eine Merkmalsausprägung auf eine Klassengrenze, so ist dieser Wert beiden Klassen zuzuordnen. (d) Der Flächeninhalt eines Rechtecks im Histogramm entspricht der relativen Häufigkeit. Aufgabe 2.2 (4 Punkte) Für einen gegebenen Datensatz x i (i = 1,..., n) ist welche der nachfolgenden Größen immer eine Merkmalsausprägung des Datensatzes? (a) Das arithmetische Mittel. (b) Der Modus. (c) Der Median. (d) Das Höldermittel für q. Aufgabe 2.3 (4 Punkte) Welche der nachfolgenden Aussagen die Verteilungsfunktion F X einer Zufallsvariablen X betreffend sind korrekt? (a) Die Verteilungsfunktion ist immer stetig. (b) Die Verteilungsfunktion kann streng monoton steigend auf der gesamten reellen Zahlengeraden sein. (c) Die Verteilungsfunktion kann stetig auf der gesamten reellen Zahlengeraden sein. (d) Es kann sein, dass kein x R existiert, für das F X (x) = 1 gilt. -7-

8 Aufgabe 2.4 (4 Punkte) Die Zufallsvariable X sei hypergeometrisch verteilt mit den Parametern n, M und N (X H(n, M, N)). Welche der nachfolgenden Aussagen sind korrekt? (a) Es gilt E(X) V ar(x). (b) Die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X nimmt den Wert 1 nie exakt an, sondern nur im Grenzwert. (c) Der Wertebereich der Zufallsvariablen X kann mehr als n + 1 Elemente enthalten. (d) Es gilt M N. Aufgabe 2.5 (4 Punkte) Betrachtet werden die Zufallsvariablen X F (m, n) sowie Y F (n, m) mit n, m N. Welche der nachfolgenden Aussagen ist korrekt? (a) Eine F (m, n)-verteilung lässt sich durch zwei stochastisch unabhängige χ 2 -Verteilungen konstruieren. (b) Für n {1, 2} ist der Erwartungswert einer F (m, n)-verteilung Null. (c) Für a > 0 gilt: P (X > a) = P ( ) Y 1 a (d) Die Verteilungsfunktion einer F (m, n)-verteilung ist punktsymmetrisch zum Punkt (n, 0.5). -8-

9 Aufgabe 3 (8 Punkte) Für n = 300 Merkmalsausprägungen wurden K = 5 Klassen gebildet und die absoluten Häufigkeiten n k (k = 1,..., K) notiert. Dabei resultierte nachfolgende Tabelle: Klasse über 50 bis 70 über 70 bis 80 über 80 bis 90 über 90 bis 100 über 100 bis 150 n k (a) Erstellen Sie eine Tabelle mit allen nötigen Informationen um ein entsprechendes Kreisdiagramm zeichnen zu können (Hinweis: Das Kreisdiagramm basiert auf den Informationen über die jeweiligen Klassen). (b) Erstellen Sie eine Tabelle mit allen nötigen Informationen um ein entsprechendes Histogramm zeichnen zu können. Hinweis: Es sollen keine Zeichnungen erstellt werden. Lösung von Aufgabe 3 (a) (b) Klasse über 50 bis 70 über 70 bis 80 über 80 bis 90 über 90 bis 100 über 100 bis 150 n k h k α k Klasse über 50 bis 70 über 70 bis 80 über 80 bis 90 über 90 bis 100 über 100 bis 150 n k h k x k x k l k

10 Aufgabe 4 (6 Punkte) Um die Entwicklung der Telefonkosten der letzten 6 Monate des vergangenen Jahres zu analysieren, wird Claudia von ihrem Vater beauftragt, die mittleren Telefonkosten sowie deren Streuung zu berechnen. Die Telefonkosten betrugen (in EUR): Montat Juli Aug. Sept. Okt. Nov. Dez. Kosten (EUR) (b) Claudia, die im Dezember häufig bei teuren Hotlines angerufen hat, ist entsetzt über den hohen Mittelwert und befürchtet Taschengeldentzug durch ihren Vater. Helfen Sie Claudia aus der Patsche, indem Sie ein alternatives Lagemaß, zu Claudias Gunsten, vorschlagen. Begründen Sie (nicht mehr als drei Sätze) Ihren Vorschlag kurz und berechnen Sie den Wert Ihres vorgeschlagenen Lagemaßes. Hinweis: Rechnen Sie mit drei Nachkommastellen. Lösung von Aufgabe 4 (a) x = 49.47, s = (b) x Med = (a) Berechnen Sie das arithmetische Mittel sowie die Standardabweichung der Telefonkosten. -10-

11 Aufgabe 5 (12 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Zeitreihe: t y t (a) Schätzen Sie den langfristigen Trend mittels linearer Regression. Geben Sie dabei die geschätzte Regressionsgerade an. (b) Wenden Sie das Phasendurchschnittsverfahren auf die Zeitreihe an und geben Sie die saisonbereinigten Zeitreihenwerte an. Verwenden Sie als langfristigen Trend die geschätzte Regressionsgerade aus (a) und gehen Sie von zwei Saisonfiguren aus (bspw. Sommer und Winter). Lösung von Aufgabe 5 (a) ŷ t = t (b) t yt sb

12 Aufgabe 6 (7 Punkte) Gegeben sei nachfolgende Verteilungsfunktion F X der Zufallsvariablen X: 0 für x < für 1 x < 1 F X (x) = 0.4 für 1 x < für 3.5 x < 4 1 sonst Berechnen Sie: (a) P (X 0) (b) P (X = 0) (c) P (X = 1) (d) P ( 1 < X 2) (e) P ( 1 X < 2) (f) P (1 < X 2) (g) P (X 3.5) Lösung von Aufgabe 6 (a) P (X 0) = 0.25 (b) P (X = 0) = 0 (c) P (X = 1) = 0.15 (d) P ( 1 < X 2) = 0.15 (e) P ( 1 X < 2) = 0.4 (f) P (1 < X 2) = 0 (g) P (X 3.5) =

13 Aufgabe 7 (9 Punkte) Ein Casinobetreiber unterstellt für einen beliebigen Kunden seines Casinos folgende Wahrscheinlichkeiten: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde, der mit einem Gewinn das Casino verlässt, während seines Besuchs Alkohol getrunken hat, beträgt 5%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde, der mit einem Verlust von weniger als 100. EUR das Casino verlässt, während seines Besuchs Alkohol getrunken hat, beträgt 30%. Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde, der mit einem Verlust von mehr als 100. EUR das Casino verlässt, während seines Besuchs Alkohol getrunken hat, beträgt 40%. Die Wahrscheinlichkeit für einen Gewinn im Casino beträgt 20% und die Wahrscheinlichkeit für einen Verlust von weniger als 100. EUR beträgt 50%. Es werden folgende Ereignisse definiert: A := Kunde trinkt Alkohol B 1 := Kunde verlässt mit einem Gewinn das Casino B 2 := Kunde verlässt mit einem Verlust von weniger als 100. EUR das Casino B 3 := Kunde verlässt mit einem Verlust von mehr als 100. EUR das Casino Geben Sie die obigen Wahrscheinlichkeiten mit Hilfe der Ereignisse A, B 1, B 2 und B 3 an und berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Kunde, der Alkohol getrunken hat, mit einem Gewinn das Casino verlässt. Lösung von Aufgabe 7 P (B 1 A) =

14 Aufgabe 8 (8 Punkte) Die Zufallsvariable X sei Poisson-verteilt. Es ist bekannt, dass E(X 2 ) = 12 und E 2 (X) = 9 gilt. Berechnen Sie folgende Wahrscheinlichkeiten: (a) P (X = 0) (b) P (X > 2.5) Lösung von Aufgabe 8 (a) P (X = 0) = (b) P (X > 2.5) =

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