Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen Die komplexen Zahlen Folgen und Reihen in C

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1 Kapitel 5. Die trigonometrischen Funktionen 5.1. Die komplexen Zahlen 5.. Folgen und Reihen in C Definition. Eine Folge (c n n N komplexer Zahlen heißt konvergent gegen c C, falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, sodass c n c < ε für alle n N Satz. Sei (c n n N eine Folge in C, c n = x n + iy n mit x n, y n R. Dann konvergiert (c n n N genau dann (in C, wenn beide Folgen (x n n N, (y n n N konvergieren (in R. Falls (c n n N konvergent, so gilt lim c n = lim x n + i lim y n. n n n Beweis. Folgte mit Hilfe der Definition und der Eigenschaft des Betrages max { x n x, y n y } c n c x n x + y n y für c n = x n + iy n, c = x + iy Definition. Eine Folge (c n n N in C heißt Cauchy-Folge, falls zu jedem ε > 0 ein N N existiert, sodass c n c m < ε für alle n, m N Satz. Eine Folge (c n n N in C, c n = x n + iy n mit x n, y n R, ist genau dann eine Cauchy-Folge (in C, wenn beide Folgen (x n n N, (y n n N Cauchy-Folgen (in R sind. Beweis. Analog zu Satz. In C sind alle Cauchy-Folgen konvergent (das heißt C ist vollständig. 1

2 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Beweis. Sei (c n n N Folge in C, c n = x n + iy n mit x n, y n R. Dann gilt (c n n N Cauchy-Folge in C (x n n N, (y n n N sind Cauchy-Folgen in R (Satz 5.14 (x n n N, (y n n N sind konvergent in R (R vollständig (c n n N konvergent in C. (Satz Satz. Seien (c n n N, (d n n N zwei konvergente Folgen in C. Dann sind auch (c n + d n n N sowie (c n d n n N in C konvergent und es gilt lim (c n + d n = lim c n + lim d n, n n n lim (c nd n = lim c n lim d n. n n n Ist außerdem lim n d n 0 so existiert ein n 0 N mit d n 0 für alle n n 0, die Folge ( cn d n n n0 konvergiert in C und es gilt c n lim n d n = lim n c n lim n d n. Beweis. Analog zum Beweis der entsprechenden Aussagen im reellen Fall Definition. Eine Reihe n=1 c n komplexer Zahlen heißt konvergent, falls die Folge der Partialsummen (s n n N, s n := n k=1 c k, in C konvergiert. Die Reihe heißt absolut konvergent, falls die Reihe n=1 c n konvergiert Proposition. Falls n=1 c n absolut konvergiert, so ist n=1 c n konvergent. Beweis. Falls n=1 c n absolut konvergent, so ist ( n k=1 c k n N Cauchy-Folge. Es gilt weiter für s n := n k=1 c k und n < m s n s m = m k=n+1 c k m k=n+1 c k = n c k k=1 m c k. k=1 Dann ist also (s n n N Cauchy-Folge in C und nach Satz 5.15 konvergent Satz (Majorantenkriterium. Sei n=1 a n eine konvergente Reihe nichtnegativer reeller Zahlen. Weiter sei (c n n N eine Reihe komplexer Zahlen und es gelte c n a n für alle n n 0 für ein n 0 N. Dann konvergiert die Reihe n=1 c n absolut.

3 5.. FOLGEN UND REIHEN IN C 3 Beweis. Analog zum rellen Fall Satz (Quotientenkriterium. Sei n=1 c n eine Reihe komplexer Zahlen mit c n 0 für alle n n 0 für ein n 0 N. Es gebe ein θ R mit 0 < θ < 1, sodass c n+1 θ für alle n n0. c n Dann konvergiert die Reihe n=1 c n absolut. Beweis. Wie im reellen Fall Satz. Seien n=1 c n, n=1 d n zwei absolut konvergente Reihen in C. Für n N 0 setze n e n := c k d n k. Dann ist auch die Reihe e n absolut konvergent mit ( ( e n = c n d n. Beweis. Wie im reellen Fall. 5.. Satz (Exponentialreihe im Komplexen. Für jedes z C ist die Exponentialreihe z n exp(z := n! absolut konvergent. Beweis. Wie im reellen Fall mit dem Quotientenkriterium Satz (Funktionalgleichung. Für alle z 1, z C gilt Insbesondere gilt exp(z 0 für alle z C. exp(z 1 + z = exp(z 1 exp(z. Beweis. Analog zum reellen Fall mit Satz Proposition. Für jedes z C gilt exp(z = exp(z.

4 4 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Beweis. Setze s n (z := n z k k! s n(z := Nach den Rechenregeln für die Konjugation gilt für alle n N Dann folgt mit Korollar 5.1, dass s n (z = s n(z. n z k k!. exp(z = lim n s n (z = lim n s n(z = exp(z Definition. Sei D eine Teilmenge von C und f : D C eine Funktion auf D mit komplexen Werten. Dann heißt f stetig in z D, falls lim f(w = f(z. w z w D 5.6. Satz. Die Exponentialfunktion exp : C C, z exp(z ist stetig auf ganz C. Beweis. Zunächst zeigen wir die Stetigkeit an z = 0. Es gilt exp(w 1 = n=1 w n n! n=1 w n n! w m=0 w m (m + 1! w exp( w. Damit folgt exp(w exp(0 = 1 für w 0 in C. Mit Hilfe der Funktionalgleichung folgt für z C beliebig, dass exp(w exp(z = exp(z exp(w z 1 0 für w z, w C wegen der Stetigkeit von exp in 0 C Sinus und Kosinus 5.7. Definition. Für x R definieren wir die Funktionen sin : R R, cos : R R durch cos(x := Re(exp(ix, sin(x := Im(exp(ix für x R.

5 5.3. SINUS UND KOSINUS 5 Im(z exp(ix sin(x cos(x Re(z Abbildung 1. Sinus und Kosinus am Einheitskreis 5.8. Bemerkung. Damit gilt die Eulersche Formel exp(ix = cos(x + i sin(x für alle x R. Weiterhin gilt für alle x R exp(ix = exp(ix exp(ix = exp(ix exp( ix = exp(0 = 1, und damit exp(ix = 1. Daher liegt exp(ix auf dem Einheitskreis in der Gaußschen Zahlenebene und Kosinus bzw. Sinus sind die Koordinaten des Punktes exp(ix auf der reellen bzw. imaginären Achse Satz. Für alle x R gilt (i (ii cos(x = 1 cos( x = cos(x, ( i ( exp(ix + exp( ix, sin(x = exp(ix exp( ix, sin( x = sin(x, (iii cos (x + sin (x := ( cos(x + ( sin(x = 1.

6 6 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN Beweis. (i, (ii folgen aus der Definition von sin, cos und aus exp(ix = exp( ix. (iii folgt aus exp(ix = Satz. Die Funktionen sin : R R, cos : R R sind stetig auf ganz R. Beweis. Sei x 0 R und (x n n N eine Folge in R mit x n x 0 (n. Dann gilt ix n ix 0 (n und wegen der Stetigkeit der Exponentialfunktion auf C folgt Mit Satz 5.11 ergibt sich dann lim exp(ix n = exp(ix 0. n lim cos(x n = lim Re(exp(ix n = Re(exp(ix 0 = cos(x 0 n n und entsprechend lim n sin(x n = sin(x Satz (Additionstheoreme. Für alle x, y R gilt cos(x + y = cos(x cos(y sin(x sin(y, sin(x + y = cos(x sin(y + sin(x cos(y. Beweis. Aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion erhalten wir exp ( i(x + y = exp(ix exp(iy und es folgt cos(x + y = Re ( exp ( i(x + y = Re ( exp(ix exp(iy = Re ( exp(ix Re ( exp(iy Im ( exp(ix Im ( exp(iy = cos(x cos(y sin(x sin(y. Entsprechend beweist man das Additionstheorem für die Sinus-Funktion Korollar. Für alle x, y R gilt ( x + y ( x y sin(x sin(y = cos sin, ( x + y ( x y cos(x cos(y = sin sin.

7 Beweis. Wir setzen 5.3. SINUS UND KOSINUS 7 u := x + y, v := x y, sodass x = u + v, y = u v. Es folgt dann mit Satz 5.31 sin(x sin(y = sin(u + v sin(u v = cos(u sin(v + sin(u cos(v = cos(u sin(v = cos x + y Der Beweis der zweiten Identität ist ähnlich. ( cos(u sin( v + sin(u cos( v sin x y Satz. Für alle x R gilt cos(x = 1 x + x4 4! x6 6! = ( 1 k xk (k!, sin(x = x x3 3! + x5 5! x7 7! = ( 1 k x k+1 (k + 1! Beide Reihen konvergieren für alle x R absolut. Beweis. Die absolute Konvergenz folgt mit dem Majorantenkriterium aus der absoluten Konvergenz der Exponentialreihe. Für die Potenzen von i gilt für alle k N 0 i 4k = 1, i 4k+1 = i, i 4k+ = 1, i 4k+3 = i. Damit ergibt sich für die Exponentialreihe (ix n exp(ix = = n! = = x 4k (4k! + i (ix 4k (4k! + x 4k+1 (4k + 1! (ix 4k+1 (4k + 1! + [ ( 1 k xk (k! + i ( 1 k x k+1 ]. (k + 1! x 4k+ (4k +! i Damit folgt die Behauptung aus der Definition von sin(x, cos(x. (ix 4k+ (4k +! + x 4k+3 (4k + 3! (ix 4k+3 (4k + 3! Proposition. Es gilt Beweis. Es ist für x 0 sin(x x 1 = sin(x lim x 0 x x 0 = 1. ( 1 k x k (k + 1! = x k=1 ( 1 k x k (k + 3!

8 8 5. DIE TRIGONOMETRISCHEN FUNKTIONEN und damit sin(x x 1 x lim x 0 x 0 Mit der Stetigkeit der Exponentialfunktion folgt sin(x x und somit die Behauptung. x k (k + 3! x exp( x. 1 = Lemma. Es gilt (i (ii (iii cos( < 0, sin(x > 0 für alle x (0, ], x cos(x ist streng monoton fallend in [0, ]. Beweis. (i Es ist ( cos( = 1! ! 6! 8 8! < = 1 3, ( 10 10! 1 1!... denn es gilt für alle k 1 dass k k! > k+ (k+!. (ii Es ist für 0 x ( sin(x = x [1 x x 4 ( 6 + 5! x6 x 8 + 7! 9! x10 11! ] +... denn für 0 x und alle k N 0 gilt x k (k + 1! xk+ (k + 3! = x k ((k + (k + 3 x (k + 3! (iii Mit Korollar 5.3 und (ii folgt für alle 0 x < y cos(y cos(x = sin ( x + y (y x sin < 0. x Satz. Die Funktion cos hat im Intervall [0, ] genau eine Nullstelle t 0. Wir definieren dann π := t 0. Beweis. Da cos stetig und cos(0 = 1 sowie cos( < 0 existiert nach dem Zwischenwertsatz eine Nullstelle t 0 (0,. Da cos streng monoton fallend in [0, ] ist diese Nullstelle eindeutig.

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