Klausur Technische Mechanik I (Sommersemester 2011)

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1 Prof. Dr.-Ing. Stefan artmann Clausthal-Zellerfeld, 9. Juli 011 Institut für Technische Mechanik Fachgebiet Festkörpermechanik TU Clausthal Nachname, Vorname (Druckbuchstaben) Punkte Matrikelnr. Klausur Technische Mechanik I (Sommersemester 011) Das Aufgabenblatt darf bis auf den Namen sowie der Matrikelnummer nicht beschrieben und muss abgegeben werden! Aufgabe 1 ( Punkte) Zwei Zylinder mit dem RadiusRliegen in einer alterung (Balken), welche durch ein Seil gehalten wird. Der Balken wird zusätzlich durch sein Eigengewicht, welches in Form einer aialen Streckenlast (n() = n 0 ) wirkt, belastet. Alle Kontakte mit den Zylindern sind reibungsfrei. Die ewichtskraft eines Zylinders beträgt. (a) Berechnen Sie die Belastung, die der Zylinder auf den Balken ausübt. Schneiden Sie hierzu das System frei. (b) Bestimmen Sie die Lagerreaktionen im Lager A sowie die Seilkraft S. (c) Berechnen Sie den Normalkraft-, Querkraft- und Biegemomentenverlauf N(), Q z () undm y () und geben Sie diese grafisch an. egeben:,,r,,n 0 R Seil R 1 A n 0 z

2 Lösung zu Aufgabe 1 (a) Berechnung der BalkenbelastungN (Zeichnen des Freikörperbildes) S n 0 R N N h = R(1+sin) N 1 h z A A z Fz = 0 = N 1 cos N F = 0 = N 1 sin N = cos sin = cot (b) Berechnung der Lagerreaktionen A, A z und der Seilkraft S Momentengleichgewicht um das LagerAliefert die Seilkraft S MA = 0 = N h+s S = cot R(1+sin) Aufstellen des Kräftegleichgewichts in- und z-richtung F = 0 = A + n()d = A n 0 0 A = n 0 ( Fz = 0 = A z +N S = A z +cot ( ) R(1+sin) A z = cot 1 1 R(1+sin) )

3 (c) Aufstellen der Schnittkraftverläufe Bereich II N() M y () Q z () Bereich I N() M y () Q z () N n 0 n 0 h = R(1+sin) z A z A z NormalkraftverlaufN(): A A Alternative: F = 0 = N()+A + n(ξ)dξ = N()+A N() = A + N () = dn d = n() = n 0 N() = n 0 +C 0 0 n 0 dξ = n 0 ( ) Einbau der Randbedingung N() = 0 C = n 0 : N() = n 0 ( ) 0 n 0 dξ QuerkraftverlaufQ z (): Bereich I: 0 R(1+sin) Fz = 0 = A z +Q z () ( ) R(1+sin) Q z () = A z = cot 1 Bereich II: R(1+sin) < Fz = 0 = A z +N +Q z () Q z () = A z N = cot R(1+sin) 3

4 MomentenkaftverlaufM y (): Bereich I: 0 R(1+sin) ( R(1+sin) M y () = Q z ()d = cot Einbau der Randbedingung M y (0) = 0 C = 0 ( ) R(1+sin) M y () = cot 1 Bereich II: R(1+sin) < M y () = Q z ()d = cot R(1+sin) +C ) 1 +C Einbau der Randbedingung M y () = 0 C = cotr(1+sin) M y () = cot R(1+sin) ( ) N() Q z () M y () cot R(1+sin) ( R(1 +sin)) cot(1 R(1+sin) ) n 0 cot R(1+sin) R(1 +sin) R(1 +sin) 4

5 Aufgabe ( Punkte) Eine ebebühne (Eigengewicht wird vernachlässigt) wird durch eine ewichtskraft belastet, die von einem Zylinder (KolbenkraftK) gehalten wird. (a) Bestimmen Sie die statische Bestimmtheit des Systems. (b) Wie groß sind die Kräfte in den elenken, den Lagern sowie die KolbenkraftK. (c) Berechnen Sie die SchnittgrößenverläufeN(ˆ), Qẑ(ˆ) und Mŷ(ˆ) im Stab. egeben: a, b, c,, = arctan(a/b) c 1 ˆz ˆ a/ 3 K 4 5 a/ b/ b/ z 5

6 Lösung zu Aufgabe (a) statische Bestimmtheit n = 3: Anzahl der starren Einzelteile der ebebühne a = 4: Anzahl der Lagerreaktionen (einschließlich unbekannter KolbenkraftK) z = 5: Anzahl der Verbindungsreaktionen Für ein statisch bestimmtes System in der Ebene muss Folgendes gelten: 3n = a+z 3 3 = 4+5 statisch bestimmt (b) Berechnung der Lager- und elenkkräfte sowie der KolbenkraftK F = 0 F = 0 F M1 = 0 = bf z (b c) F 1z b c F z M = 0 = c bf 1z F 1z = c b ( F z = 1 c ) b F 1z F z 3 a/ F M4 = 0 = bf 5z +af bf z M5 = 0 = af +bf 1z bf 4z K a/ F 4z = F 1z = c b ( F 5z = F z = 1 c ) b F 4z F 5z F 5 b/ b/ Aufstellen des Momentengleichgewichts für Teilkörper im Knoten 3 liefert M3 = 0 = a F 5 + b F 5z + b F 1z F 5 = b a (F 1z +F 5z ) = b a 6

7 Aufstellen des Momentengleichgewichts für Teilkörper 3 im Knoten 3 liefert M3 = 0 = a F b F z + a K b F 4z K = b a (F z +F 4z ) = b a Berechnen der elenkkräfte im Knoten 3 F 1z F = 0 = F 3 +F 5 F 3z F 3 F 3 = F 5 = b a Fz = 0 = F 5z +F 3z F 1z ( ) c F 3z = F 1z F 5z = b 1 F 5z F 5 (c) Berechnung der Schnittgrößenverläufe im Stab Bereich I Bereich II F 1z ˆz ˆ F 1z Qˆz (ˆ) N(ˆ) ˆz Mˆy (ˆ) ˆ F 3z F 3 Qˆz (ˆ) N(ˆ) Mˆy (ˆ) Um die Schnittgrößenverläufe anzugeben, müssen die berechneten elenkkräfte über trigonometrische Beziehungen durch den Winkel in entsprechende Komponenten des ˆ, ẑ -Koordinatensystems zerlegt werden. ( a = arctan b) z ˆz ˆ 7

8 Bereich I: 0 ˆ NormalkraftverlaufN(ˆ): a +b N(ˆ)+sinF 1z = 0 N(ˆ) = sinf 1z = sin c b QuerkraftverlaufQẑ(ˆ): Qẑ(ˆ)+cosF 1z = 0 Qẑ(ˆ) = cosf 1z = cos c b BiegemomentenverlaufMŷ(ˆ): Bereich II: Mŷ(ˆ)+ ˆcosF 1z = 0 Mŷ(ˆ) = ˆcosF 1z = ˆcos c b a +b NormalkraftverlaufN(ˆ): < ˆ a +b 0 = N(ˆ)+sinF 1z +cosf 3 sinf 3z N(ˆ) = sinf 1z cosf 3 +sinf 3z ( c ) = sin b 1 cos b a QuerkraftverlaufQẑ(ˆ): 0 = Qẑ(ˆ)+cosF 1z sinf 3 cosf 3z Qẑ(ˆ) = cosf 1z +sinf 3 +cosf 3z ( c ) = cos b 1 +sin b a BiegemomentenverlaufMŷ(ˆ): ( ) a +b 0 = Mŷ(ˆ)+ ˆcosF 1z +( sinf 3 cosf 3z ) ˆ ( ) a +b Mŷ(ˆ) = ˆcosF 1z +(sinf 3 +cosf 3z ) ˆ = 0 ( = sin b ) ( ( a +b ˆ a +b +cos 1 c ) ( c ) ) + ˆ a b b 1 8

9 Aufgabe 3 ( Punkte) Ein Skifahrer mit dem ewicht hält sich an einem Ankerlift fest. Der Winkel des Seils sei β und der des angs sei. Die aftreibungszahl zwischen Ski und Schnee seiµ 0. In welchem Bereich muss die Kraft F liegen, damit der Skifahrer weder nach unten rutscht noch nach oben gezogen wird. egeben: = 80N, = 45, β = 30, µ 0 = 1/10,sin = cos = /,sinβ = 1/, cosβ = 3/ F β µ 0 9

10 Lösung zu Aufgabe 3 F β y N R 0 Aufstellen des Kräftegleichgewichts in- undy-richtung R 0 = F cosβ sin N = cos F sinβ Für die aftreibungskraftr 0 gilt R 0 µ 0 N Aus der Betragsgleichung resultieren zwei renzfälle µ 0 N R 0 µ 0 N 1. renzfall R 0 µ 0 N F cosβ sin µ 0 (cos F sinβ) F cosβ +µ 0 F sinβ sin+µ 0 cos F µ 0cos+sin µ 0 sinβ +cosβ F N 67.93N unter Zuhilfenahme nachfolgender trigonometrischer Beziehungen folgt µ 0 = tanρ 0 = sinρ 0 cosρ 0 sinρ 0 cos = sin(ρ 0 +) sincosρ 0 sinρ 0 sinβ = cos(ρ 0 β) cosρ 0 cosβ F sin(ρ 0 +) cos(ρ 0 β) F sin(arctan( 1 10 )+45 ) cos(arctan( 1 80N 67.93N 10 ) 30 ) 10

11 . renzfall R 0 µ 0 N F cosβ sin µ 0 (cos F sinβ) F cosβ µ 0 F sinβ sin µ 0 cos F µ 0cos sin µ 0 sinβ cosβ F N 6.38N unter Zuhilfenahme nachfolgender trigonometrischer Beziehungen folgt µ 0 = tanρ 0 = sinρ 0 cosρ 0 sinρ 0 cos = sin(ρ 0 )+sincosρ 0 sinρ 0 sinβ = cos(ρ 0 +β)+cosρ 0 cosβ F sin( ρ 0) cos(ρ 0 +β) F sin(45 arctan( 1 )) 10 cos(arctan( 1 80N 6.38N 10 )+30 ) 11