9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung"

Transkript

1 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst. Ω = { 1,,,, 5, 6 } Anzahl der Elemente von Ω: Ω = 6 Definition: gerade Zahl A = {,, 6 } ungerade Zahl B = { 1,, 5 } Primzahl C = { 1,,, 5 } keine Primzahl D = {, 6 } Zahl E = { 1, } Zahl > F = { 5, 6 } Schnittmenge ( A : Alle Elementarereignisse aus A und B Vereinigungsmenge ( A : Alle Elementarereignisse aus A oder B Definition: Teilmengen von Ω heißen Ereignisse und werden mit A, B, C, abgekürzt. Einelementige Teilmengen heißen Elementarereignisse: ω1, ω, ω, Beispiel (Einmaliges Würfeln): Ungerade Zahl oder Primzahl: B C = { 1,,, 5 } = C Zahl > oder gerade Zahl: F A = {,, 5, 6 } Zahl > und gerade Zahl: F A = { 6 } Gerade Zahl und ungerade Zahl: A B = Ø = { } 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

2 Beispiel (Einmaliges Würfeln): Definition: verbal mengentheoretisch gerade Zahl A = {,, 6 } ungerade Zahl B = { 1,, 5 } Primzahl C = { 1,,, 5 } keine Primzahl D = {, 6 } Zahl E = { 1, } Zahl > F = { 5, 6 } Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ω = { (1, 1), (1, ), (1, ),, (1, 6), (, 1), (, ),, (6, 6)} Ω = { 1,,,, 5, 6 } { 1,,,, 5, 6 } : Kartesisches Produkt (von Mengen) Ω = 6 6 = 6. Zwei Ereignisse A und B heißen disjunkt (unvereinbar), falls A B = Ø. Beispiel (Einmaliges Würfeln): C und D sind disjunkt. E und F sind disjunkt. Satz: Wird ein Zufallsexperiment mit k Elementarereignissen n-mal wiederholt, dann hat das zusammengesetzte Zufallsexperiment n k Elementarereignisse. Definition: Die Menge A aller Elemente in Ω, die nicht in A liegen, heißt Komplementärereignis zu A. Beispiel (Dreimaliges Würfeln): Ω = {1,,,, 5, 6} {1,,,, 5, 6} {1,,,, 5, 6} Beispiel (Einmaliges Würfeln): B ist Komplementärereignis zu A. C ist Komplementärereignis zu D. E und F sind zwar disjunkt, aber keine Komplementärereignisse Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

3 II. Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen Zweimaliges Würfeln Ω = 6 = 6 Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Ereignisse: A : Beide Zahlen sind gleich B : Keine Sechs C : Nur ungerade Zahlen D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen Gesucht: Definition:,, C), D), E) ( P für Probability = Wahrscheinlichkeit) Falls alle Elementarereignisse gleich wahrscheinlich sind, spricht man von einem Laplace-Experiment. A = { (1,1), (,), (,), (,), (5,5), (6,6) } 6 1 A B = {1,,,, 5} {1,,,, 5} 5 B 5 6 C = {1,, 5} {1,, 5} 9 C 9 C) 6 D = { (1,6), (,5), (,), (,), (5,), (6,1) } D ) E = {,, 5, 6} {,, 5, 6} E ) Satz: Bei einem Laplace-Experiment gilt für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A P ( A. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

4 Satz: Rechenregeln für Wahrscheinlichkeiten Ω) = 1 Ø) = 0 1 A A Sind A und B disjunkt ( A B = Ø ), dann gilt: A Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: Gesucht: (iii) B : Keine Sechs D : Augensumme ist 7 E : Beide Zahlen Keine Sechs oder Augensumme ist 7 oder beide Zahlen ) B D {(,5), (5,), (,), (,)} B E {,,5} {,,5} A BC) C) A AC) BC) ABC) A A Beispiel (Zweimaliges Würfeln): Es war: A : Beide Zahlen sind gleich C : Nur ungerade Zahlen Gesucht: (i) beide Zahlen verschieden) A ) (ii) beide Zahlen gleich oder nur ungerade Zahlen) 5 6 A C) C) AC) D E {(,), (,)} B DE {(,), (,)} B D E) D) E) B D) B E) D E) B D E) Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

5 Situation (): Ein Unternehmen hat 50 Beschäftigte, davon sind 08 weiblich. 6 der Beschäftigten fahren nicht mit dem Auto zur Arbeit, davon 156 weiblich. Sie gehen über den Flur des Firmengebäudes und hören hinter der nächsten Ecke Schritte. (Es ist Kernarbeitszeit, d.h. alle Beschäftigten sind anwesend, und die Wahrscheinlichkeit, um diese Ecke zu kommen, ist für jeden Beschäftigten gleich Laplace-Firma) Gesucht: Wahrscheinlichkeit, in der Firma einem männlichen PKW-Fahrer zu begegnen. Bezeichnung der Ereignisse: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

6 Lösung zur Situation (): Bezeichnung der Ereignisse: Bekannt: W : Weibliche Angestellte A : Autofahrer/-in 08 6 W ) 0, 0, W 0, 50 Einfache Lösung zur Situation (): W W A W W A ) A W W A ) W ) W ) 1 Gesucht: W W ) 1 W ) 10, 0,6 W W 0,55 0, W W 0,5 W ) W W 0,6 W 0,5 W 0,5 W W A 0,1 0,5 0,5 A 0, 0,5 0,55 0, 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

7 III. Bedingte Wahrscheinlichkeiten und unabhängige Ereignisse Beispiel (Zweimaliges Würfeln): A : 11 mindestens eine 6 = 6 Bekannte Vorinformation: B : Augensumme ist höchstens 7 Definition: B 1 A 1 A A heißt bedingte Wahrscheinlichkeit von A gegeben B, falls > 0. Situation (): Angenommen, Sie erkennen am Klang der Schritte, dass die Person, die gleich um die Ecke kommt, eine Frau ist. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass es sich um eine Autofahrerin handelt, also A W ) A W ) W ) 0,1 0,5 0, 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

8 Definition: Zwei Ereignisse A und B heißen (stochastisch) unabhängig, falls A. Satz: A A [ B ] Situation (): Frage: Sind Geschlecht und Beförderungsmittel unabhängig? Bekannt: W ) 0, A ) 0, 55 W ) 0, 0,55 0, Antwort: Nein. und W 0, Beispiel: Situation: In einer Schachtel befinden sich 6 Akkus, davon sind zwei leer. Jetzt werden zwei Akkus für die Digitalkamera gebraucht. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden entnommenen Akkus voll sind. A : Der erste Akku ist voll. B : Der zweite Akku ist voll. Bemerkung: Gesucht: P ( A Gründe für die Bedeutsamkeit der stochastischen Unabhängigkeit: Der Nachweis, dass zwei Ereignisse abhängig sind, führt oft zur Suche nach dem kausalen Zusammenhang. Ermöglicht die Überprüfung, ob eine modellmäßige Annahme der Unabhängigkeit mit konkret vorliegenden Beobachtungen verträglich ist. A ) 6 B 5 A B 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9 Beispiel: Alternative Lösung über Wahrscheinlichkeitsbaum Situation: Aus einem Kartenspiel mit Karten werden nacheinander Karten gezogen. Gesucht: Wahrscheinlichkeit, im dritten Zug zu ziehen. Ai : Im i-ten Zug wird gezogen Gesucht: ( A ) P A 1 ) ( A A ) P 1 A A1 ) A 1 ) ( A A ) P 1 7 ( A A ) usw. P 1. Zug 1. Zug. Zug k. Zug 1. Zug k 7. Zug k Günstige Kombinationen A 1A A A 1A A A 1A A A 1A A Wahrscheinlichkeiten 7 disjunkte Ereignisse 70 0, Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Zug. Zug k Die jeweiligen Wege zum Ziel. Zug sind disjunkt. Deshalb ergibt sich die Gesamtwahrscheinlichkeit durch Addition der Einzelwahrscheinlichkeiten:. Zug ) =. Zug 7. Zug k. Zug 7. Zug k 7. Zug 0,15 6. Zug k 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

10 IV. Lotto (Auszüge der Kombinatorik) Situation: Beim Lotto werden aus 9 durchnummerierten Kugeln (zufällig) 6 Kugeln nacheinander durch Ziehen ohne Zurücklegen ausgewählt. Dabei spielt die Reihenfolge der gezogenen Zahlen keine Rolle. (Hier: Ohne Zusatzzahl) Von Interesse: A : 6 Richtige Jede Kombination der 6 gezogenen Zahlen ist gleich wahrscheinlich Laplace-Experiment A A ) Offensichtlich: A = 1 Gesucht: Ω Ω : Anzahl aller Möglichkeiten, aus 9 Kugeln 6 Kugeln ohne Zurücklegen zu ziehen. Satz: Sei k n, dann gibt es n! n k!( n k)! k Möglichkeiten, k-elementige Teilmengen aus einer n-elementigen Menge zu bilden. 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

11 Beim Lotto: Platz für Notizen 9 9! !! Damit ist die Wahrscheinlichkeit für 6 Richtige 1 A ) 0, (also ca. 1:1 Millionen) Noch ein Lotto-Beispiel: B : Richtige beim Lotto (ohne Berücksichtigung der Zusatzzahl) Gesucht: B ) B 6 B B , Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung - 1 -

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1, 2,, 6 des Experiments werden zur Ergebnismenge Ω ( Ergebnisraum ) zusammengefasst.

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeitsräume (Teschl/Teschl 2, Kap. 26 Ein Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P ist eine Menge Ω (Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments: Ergebnismenge versehen mit einer Abbildung

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017

htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Hans-Peter Hafner WS 2016/2017 htw saar 1 KAPITEL 4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT htw saar 2 Gliederung 25.01. Bedingte Wahrscheinlichkeit: Motivation und Definition Multiplikationssatz Stochastische Unabhängigkeit:

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Satz 16 (Multiplikationssatz)

Satz 16 (Multiplikationssatz) Häufig verwendet man die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit in der Form Damit: Pr[A B] = Pr[B A] Pr[A] = Pr[A B] Pr[B]. (1) Satz 16 (Multiplikationssatz) Seien die Ereignisse A 1,..., A n gegeben.

Mehr

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1

Vorlesung Statistik WING ASW Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften ableiten: Beweis zu 1) Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 2 Aufgabe Die Wahrscheinlichkeit

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff?

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? 2. Übung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? a) P ist nichtnegativ. b) P ist additiv. c) P ist multiplikativ.

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen

Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Zufallsprozesse, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten die Grundlagen Wichtige Tatsachen und Formeln zur Vorlesung Mathematische Grundlagen für das Physikstudium 3 Franz Embacher http://homepage.univie.ac.at/franz.embacher/

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Abiturvorbereitung Wahrscheinlichkeitsrechnung S. 1 von 9 Wahrscheinlichkeitsrechnung Kombinatorik Formeln für Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Zusammenfassung wichtiger Begriffe Übungsaufgaben

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen)

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren. 1. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen) Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜUNG. - LÖSUNGEN. Zweimaliges Ziehen aus einer Urne (ohne Zurücklegen Die Urne enthält 4 weiße und 8 rote Kugeln.

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)

Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Ausgehend von der Darstellung der bedingten Wahrscheinlichkeit in Gleichung 1 zeigen wir: Satz 18 (Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit) Die Ereignisse A 1,..., A n seien paarweise disjunkt und es gelte

Mehr

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren

Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK. Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren Dr. Jürgen Senger INDUKTIVE STATISTIK Wahrscheinlichkeitstheorie, Schätz- und Testverfahren ÜBUNG - LÖSUNGEN. Zweimaliges Werfen eines Würfels mit Berücksichtigung der Reihenfolge a. Ergebnismenge (Ereignisraum)

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei der Betrachtung der Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments muss man die beiden im folgendem beschrieben zwei Situationen unterscheiden. 1. Das Ereignis A und B tritt

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 8. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 8. Übung SS 16: Woche vom 30. 5. 3.6. 2016 Stochastik II: Klassische Wkt.-Berechnung; Unabhängigkeit Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/...

Mehr

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente

Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum. Kombinatorik. Dr. Thomas Zehrt. Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Kombinatorik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Endliche Mengen 2. Einfache Urnenexperimente 2 Teil 1 Endliche Mengen Eine endliche Menge M ist eine Menge,

Mehr

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Grundlegende Begriffe Der Begriff wahrscheinlich wird im Alltag in verschiedenen Situationen verwendet, hat dabei auch unterschiedliche Bedeutung.

Mehr

Sachrechnen/Größen WS 14/15-

Sachrechnen/Größen WS 14/15- Kapitel Daten & Wahrscheinlichkeit 3.1 Kombinatorische Grundlagen 3.2 Kombinatorik & Wahrscheinlichkeit in der Grundschule 3.3 Daten Darstellen 3.1 Kombinatorische Grundlagen Verschiedene Bereiche der

Mehr

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte 1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten Ziel: komplexere Modelle aus Verkettung ( Koppelung ) von Zufallsexperimenten bauen, insbesondere Ziehung von n-personen aus n-maliger

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom

K. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 7. Übung SS 16: Woche vom Übungsaufgaben 7. Übung SS 16: Woche vom 23. 5. 27. 5.. 2016 Stochastik I: Klassische Wkt.-Berechnung Aufgaben: s. pdf auf der homepage von Dr. Vanselow http://www.math.tu-dresden.de/ vanselow/... (SS16).html

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

2. Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten

2. Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten 2. Zufallsvorgänge und Wahrscheinlichkeiten Ziel des Kapitels: Einführung elementarer Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung (definitorisch) Ziel der Wahrscheinlichkeitsrechnung: Modellierung von zufälligen

Mehr

UE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele

UE Statistik 1, SS 2015, letztes Update am 5. März Übungsbeispiele UE Statistik, SS 05, letztes Update am 5. März 05 Übungsbeispiele Beispiele mit Musterlösungen finden Sie auch in dem Buch Brannath, W., Futschik, A., Krall, C., (00) Statistik im Studium der Wirtschaftswissenschaften..

Mehr

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master)

Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Willkommen zur Vorlesung Statistik (Master) Thema dieser Vorlesung: Wahrscheinlichkeit und Zufallsvorgänge Prof. Dr. Wolfgang Ludwig-Mayerhofer Universität Siegen Philosophische Fakultät, Seminar für Sozialwissenschaften

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 . Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen

Mehr

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufälliger Versuch: Vorgang, der (zumindest gedanklich) beliebig oft wiederholbar ist und dessen Ausgang innerhalb einer

Mehr

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7:

Discrete Probability - Übungen (SS5) Wahrscheinlichkeitstheorie. 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: 2. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 7: Discrete Probability - Übungen (SS5) Felix Rohrer Wahrscheinlichkeitstheorie 1. KR, Abschnitt 6.1, Aufgabe 5: Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Augensumme von zwei geworfenen Würfeln

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil V Wahrscheinlichkeitsrechnung Inhaltsangabe 6 Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung 125 6.1 Kombinatorik......................... 125 6.2 Grundbegri e......................... 129 6.3 Wahrscheinlichkeiten.....................

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA : Table of Contents 1 Statistik: Einführung 2 Deskriptive Statistik 3 Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58

Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie 3 p.2/58 Statistik Einführung Wahrscheinlichkeitstheorie Kapitel 3 Statistik WU Wien Gerhard Derflinger Michael Hauser Jörg Lenneis Josef Leydold Günter Tirler Rosmarie Wakolbinger Statistik Einführung // Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet

STATISTIK Teil 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung und schließende Statistik. Mögliche Ergebnisse, auch Elementarereignisse bezeichnet Kapitel 10 Zufall und Wahrscheinlichkeit 10.1. Grundbegriffe Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgang Klein-Omega ω Groß-Omega Ω Stellt Modelle bereit, die es erlauben zufallsabhängige Prozesse abzuschätzen

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Unabhängigkeit KAPITEL 4

Unabhängigkeit KAPITEL 4 KAPITEL 4 Unabhängigkeit 4.1. Unabhängigkeit von Ereignissen Wir stellen uns vor, dass zwei Personen jeweils eine Münze werfen. In vielen Fällen kann man annehmen, dass die eine Münze die andere nicht

Mehr

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag

Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2013 Blatt 3 0.05.2013 Übungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag 9. Wir betrachten die Ereignisse A, B, C A;

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit Schülerbuchseite 174 176 Lösungen vorläufig und Unabhängigkeit 1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit S. 174 1 Ein Schätzwert für die Wahrscheinlichkeit von Sau kann nur mithilfe der relativen

Mehr

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie

Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie Population und Stichprobe: Wahrscheinlichkeitstheorie SS 2001 4. Sitzung vom 15.05.2001 Wahrscheinlichkeitstheorie in den Sozialwissenschaften: Stichprobenziehung: Aussagen über Stichprobenzusammensetzung

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 2.1 Axiome der Wahrscheinlichkeitsrechnung Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist ein Teilgebiet der Mathematik. Es ist üblich, an den Anfang einer mathematischen Theorie

Mehr

Wahrscheinlichkeiten

Wahrscheinlichkeiten Wahrscheinlichkeiten Bestimmung der Wahrscheinlichkeit Bei einem Zufallsexperiment kann man nicht voraussagen, welches Ereignis eintritt, aber manche Ereignisse treten naturgemäß mit einer größeren Wahrscheinlichkeit

Mehr

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit

6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 219 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit 6: Diskrete Wahrscheinlichkeit Stefan Lucks Diskrete Strukturen (WS 2009/10) 220 Wahrscheinlichkeitsrechnung Eines der wichtigsten

Mehr

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3.

P (A B) P (B) = P ({3}) P ({1, 3, 5}) = 1 3. 2 Wahrscheinlichkeitstheorie Beispiel. Wie wahrscheinlich ist es, eine Zwei oder eine Drei gewürfelt zu haben, wenn wir schon wissen, dass wir eine ungerade Zahl gewürfelt haben? Dann ist Ereignis A das

Mehr

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis

Aufgabe 2.1. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Aufgabe 2. Ergebnis, Ergebnismenge, Ereignis Ergebnis und Ergebnismenge Vorgänge mit zufälligem Ergebnis, oft Zufallsexperiment genannt Bei der Beschreibung der Ergebnisse wird stets ein bestimmtes Merkmal

Mehr

KAPITEL 2. Kombinatorik

KAPITEL 2. Kombinatorik KAPITEL 2 Kombinatori In der Kombinatori geht es um das Abzählen von Kombinationen 21 Geburtstagsproblem Beispiel 211 (Geburtstagsproblem In einem Raum befinden sich 200 Studenten Wie groß ist die Wahrscheinlicheit,

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung. In einer Urne befinden sich 3 schwarze und weiße Kugel. Wir entnehmen der Urne eine Kugel, notieren die Farbe und legen die Kugel in die Urne zurück. Dieses

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability]

Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Wahrscheinlichkeitsrechnung [probability] Hinweis: Die Wahrscheinlichkeitsrechnung ist nicht Gegenstand dieser Vorlesung. Es werden lediglich einige Begriffsbildungen bereitgestellt und an Beispielen erläutert,

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 Bedingte

Mehr

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung

8. Wahrscheinlichkeitsrechnung Didaktik der Geometrie und Stochastik WS 09/10 Bürker 27. 1. 11 8. Wahrscheinlichkeitsrechnung 8.1 Begriffe 8.1.1 Zufallsexperiment Was ist ein Zufallsexperiment? a) Mehrere Ergebnisse möglich b) Ergebnis

Mehr

Eigenschaften der relativen Häufigkeit ( Zur Erinnerung) Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit: Vorlesung Statistik WING

Eigenschaften der relativen Häufigkeit ( Zur Erinnerung) Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit: Vorlesung Statistik WING Eigenschaften der relativen Häufigkeit ( Zur Erinnerung) Axiomatische Definition der Wahrscheinlichkeit: Melanie Kaspar, Prof. Dr. B. Grabowski 1 Aus diesen Eigenschaften lassen sich alle weiteren Eigenschaften

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing.

Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Technische Universität München SS 2006 Zentrum Mathematik Blatt 7 Prof. Dr. J. Hartl Dr. Hannes Petermeier Dr. Cornelia Eder Dipl.-Ing. Martin Nagel Höhere Mathematik 2 (Weihenstephan) 1. In einer Urne

Mehr

P A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit

P A P( A B) Definition Wahrscheinlichkeit Unabhaengige Ereignisse edingte Wahrscheinlichkeit Definition Wahrscheinlichkeit Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der günstigen Ergebnisse zur Gesamtmenge der Ergebnisse nzahl

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1

Kombinatorik kompakt. Stochastik WS 2016/17 1 Kombinatorik kompakt Stochastik WS 2016/17 1 Übersicht Auswahl/Kombinationen von N aus m Elementen Statistische unterscheidbare ununterscheidbare Physik Objekte (gleiche) Objekte ( ohne m N m+n 1 ) N mit

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6} Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management

Statistik. Sommersemester Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA. für Betriebswirtschaft und International Management Statistik für Betriebswirtschaft und International Management Sommersemester 2014 Prof. Dr. Stefan Etschberger HSA Zufallsvorgänge, Ereignisse und Wahrscheinlichkeiten Zufallsvorgang: Geschehen mit ungewissem

Mehr

Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X:

Wir setzen daher den Anteil der weiblichen Nichtraucher gleich dem Anteil der Nichtraucher und berechnen X: Übungsblatt 1 Beispiel 1. Von den 50 Teilnehmern eines Kurses sind 35 weiblich und 10 Raucher/innen. Wie viele nicht-rauchende Teilnehmerinnen sind zu erwarten, wenn die Merkmale Geschlecht und Rauchverhalten

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Dr. H. Grunert Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts. Vorlesung 1. Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Vorlesungscharts Vorlesung 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung Zufallsvorgänge und Zufallsereignisse Definitionen der Wahrscheinlichkeit Seite 1 von 11 Chart 1: Vorgänge deterministisch zufällig

Mehr

1. Grundlagen. R. Albers, M. Yannik Skript zur Vorlesung Stochastik (Elementarmathematik)

1. Grundlagen. R. Albers, M. Yannik Skript zur Vorlesung Stochastik (Elementarmathematik) 1. Grundlagen 1.1 Zufallsexperimente, Ergebnisse Grundlage für alle Betrachtungen zur Wahrscheinlichkeitsrechnung sind Zufallsexperimente. Ein Zufallsexperiment ist ein Vorgang, der - mehrere mögliche

Mehr

Permutation und Kombination

Permutation und Kombination Permutation und Kombination Aufgaben Aufgabe 1 Wie viele verschiedene Wörter lassen sich durch Umstellen der Buchstaben aus den Wörtern a. Mississippi, b. Larissa, c. Stuttgart, d. Abrakadabra, e. Thorsten,

Mehr

Stochastik (Laplace-Formel)

Stochastik (Laplace-Formel) Stochastik (Laplace-Formel) Übungen Spielwürfel oder Münzen werden ideal (oder fair) genannt, wenn jedes Einzelereignis mit gleicher Wahrscheinlichkeit erwartet werden kann. 1. Ein idealer Spielwürfel

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen

1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen 1 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Zufallsvariablen Zoltán Zomotor Versionsstand: 18. Mai 2015, 09:29 Die nummerierten Felder bitte während der Vorlesung ausfüllen. This work is licensed under the Creative

Mehr

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING)

Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Vorlesung 03.01.09 Stochastik Gründe für die Behandlung von stochastischen Problemen (nach KÜTTING) Der Mathematikunterricht der Schule hat die Aufgabe, eine Grundbildung zu vermitteln, die auf ein mathematisches

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe

Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wahrscheinlichkeitsrechnung für die Mittelstufe Wir beginnen mit einem Beispiel, dem Münzwurf. Es wird eine faire Münze geworfen mit den Seiten K (für Kopf) und Z (für Zahl). Fair heißt, dass jede Seite

Mehr

Pfadwahrscheinlichkeiten

Pfadwahrscheinlichkeiten Pfadwahrscheinlichkeiten Die Wahrscheinlichkeit, beim zweimaligen Würfeln eine Doppelsechs zu erzielen, beträgt 6. Das Ergebnis legt die Vermutung nahe, dass wir lediglich, also die Wahrscheinlichkeit,

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen

Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen 7. Vorlesung im Brückenkurs Mathematik 2017 Hilfsmittel aus der Kombinatorik, Vollständige Induktion, Reelle Zahlenfolgen Dr. Markus Herrich Markus Herrich Kombinatorik, Vollständige Induktion, Zahlenfolgen

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften

Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften Statistik I für Humanund Sozialwissenschaften 3. Übung Lösungsvorschlag Gruppenübung G 8 a) Ein Professor möchte herausfinden, welche 5 seiner insgesamt 8 Mitarbeiter zusammen das kreativste Team darstellen.

Mehr

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit

7 Unabhängigkeit von Ereignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit Übungsmaterial 7 Unabhängigkeit von reignissen; bedingte Wahrscheinlichkeit 7. Unabhängigkeit von reignissen Wir betrachten folgendes Beispiel: Zwei unterscheidbare Münzen werden geworfen. Man betrachtet

Mehr

KAPITEL 5. Erwartungswert

KAPITEL 5. Erwartungswert KAPITEL 5 Erwartungswert Wir betrachten einen diskreten Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, P) und eine Zufallsvariable X : Ω R auf diesem Wahrscheinlichkeitsraum. Die Grundmenge Ω hat also nur endlich oder abzählbar

Mehr

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassung vom 12. Januar 2001 121 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Stichproben-Raum. 9.1 9.1 Stichproben-Raum. Die bisher behandelten Beispiele von Naturvorgängen oder Experimenten

Mehr