4. Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten

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1 4. Rechnen mt Wahrschenlchketen 4.1 Axome der Wahrschenlchketsrechnung De Wahrschenlchketsrechnung st en Telgebet der Mathematk. Es st üblch, an den Anfang ener mathematschen Theore enge Axome zu setzen, aus denen sch dann alle weteren Sätze deser Theore deduktv ableten lassen. De Axome selbst werden gesetzt, d.h. se snd ncht bewesbar. Se haben n der Regel jedoch enen Bezug zur Anschauung. Wr werden auch n der Wahrschenlchketsrechnung auf dese Wese vorgehen und begnnen daher mt dem Axomensystem, das 1935 von KOLMOGOROV engeführt wurde. Deses Axomensystem stellt de Grundlage der modernen Wahrschenlchketsrechnung dar. Axom 1 (Nchtnegatvtät): (A) 0 Wahrschenlchketen snd nchtnegatve, relle Zahlen, de den Eregnssen zugeordnet snd. Axom 2 (Normerung): (Ω) = 1 De Wahrschenlchket des scheren Eregnsses st 1, womt ene Normerung der Wahrschenlchket erfolgt. Aus den beden ersten Axomen ergbt sch, dass Wahrschenlchketen reelle Zahlen snd, de m Intervall [0; 1] legen.

2 Axom 3 (Addtvtät): (AB) = (A) + (B), falls A B = De Wahrschenlchket ener Verengung dsjunkter Eregnsse st glech der Summe der Enzelwahrschenlchketen. Bespel 4.1: (A) st de Wahrschenlchket, bem Würfelwurf ene 2 (Eregns A) zu werfen, und (B) de Wahrschenlchket des Eregnsses B = {5,}. Da bede Eregnsse dsjunkt snd, also kene Schnttmenge aufwesen, berechnet sch de Wahrschenlchket dafür, dass A oder B entrtt nach Axom 3 als Summe beder Enzelwahrschenlchketen. A B 2,5, A B 2 5, A 2 B 5,

3 Axome und relatve Häufgketen De Axome snd ene räzserung unserer Erfahrung, was man nsbesondere be enem Verglech mt dem statstschen Wahrschenlchketsbegrff seht. Be allen dre Axomen lässt sch en Bezug zu den Egenschaften der relatven Häufgketen herstellen: 1. h(a) = n(a) / n 0 2. h(ω) = n(ω) / n = 1 3. n(ab) / n = n(a) / n + n(b) / n, falls A B = oder h(ab) = h(a) + h(b), falls A B =

4 4.2 Enge Rechenregeln für Wahrschenlchketen De Sätze der Wahrschenlchketsrechnung lassen sch deduktv aus dem Axomensystem herleten. Man gewnnt auf dese Wese Rechenregeln für Wahrschenlchketen. Wahrschenlchket des Komplementäreregnsses De Wahrschenlchket des Komplementäreregnsses sch durch (4.1) A 1 A, da entweder A oder A entrtt. A berechnet Bespel 4.2: A se das Eregns, ene 2 bem enmalgen Würfelwurf zu würfeln. We groß st de Wahrschenlchket für das Komplementäreregns? A 1. Lösungsweg: 5 A 1,3,4,5, 0, Lösungsweg: mt A 2 1 A 2 5 A 1 A 1 0, 833 1,3,4, A 5,

5 Wahrschenlchket des unmöglchen Eregnsses De Wahrschenlchket für das unmöglche Eregns st glech 0: (4.2) () = 0. Da das Komplementäreregns zu Ω st, glt und und 1 1, d.h. 0. Wahrschenlchket enes Teleregnsses Wenn A Teleregns von B st, A B, glt (4.3) (A) (B). Bespel 4.4: Wr betrachten bem Würfelwurf de beden Eregnsse A = {1, 2} und B = {1, 2, 5}. 2 A und B 3 A B, da A A 1,2 B 5 B

6 Wahrschenlchket für de Dfferenz von A und B De Wahrschenlchket für de Dfferenz von A und B, (A\B), st durch (4.4) (A\B) = (A) (AB) gegeben. Bewes: Es st A = (A\B) (AB). De Wahrschenlchket für das Entreten des Eregnsses A st glech (A) = [(A\B) (AB)]. Da A\B und AB dsjunkt snd, kann Axom 3 angewendet werden, womt man (A) = (A\B) + (AB) und damt (A\B) = (A) (AB) erhält. Abbldung: Venn-Dagramm für das Dfferenzeregns A\B A B

7 Bespel 4.5: Es seen A = {1, 2, 3, 4} und B = {1, 5} Eregnsse bem Würfelwurf, so st de Schnttmenge zwschen beden Eregnssen ncht leer. We groß st dann de Wahrschenlchket für A ohne B? A\B A A B 1,2,3, ,5 2,3,4 5 A A 1 B B

8 Wahrschenlchket für de Verengung von zwe Eregnssen Betrachtet wrd nun de Wahrschenlchket für de Verengung belebger Eregnsse. Man beachte, dass Axom 3 nur für dsjunkte Eregnsse glt. Addtonssatz für zwe Eregnsse De Wahrschenlchket, dass entweder das Eregns A oder das Eregns B entrtt, (AB), st glech der Summe beder Enzelwahrschenlchketen, vermndert um de gemensame Wahrschenlchket (AB): (4.5) (AB) = (A) + (B) - (AB). Bewes: AB wrd als Verengung dsjunkter Eregnsse geschreben, um Axom 3 anwenden zu können. Es st A B = A (B\A) Da A und B\A dsjunkt snd, kann Axom 3 angewendet werden: (AB) = (A) + (B\A), woraus sch (4.5) ergbt, wenn für (B\A) de Formel (4.4) für das Dfferenzeregns verwendet wrd. Glechung (4.5) gbt den Addtonssatz für zwe belebge Eregnsse an. Im Fall dsjunkter Eregnsse st (AB) = 0, womt (AB) = (A) + (B) folgt. Damt ergbt sch ken Wderspruch zu Axom 3. Man beachte, dass zur Berechnung von (AB) de Kenntns von (A), (B) und (AB) erforderlch st. Wenn A und B dsjunkt snd, dann, aber auch nur dann, recht de Kenntns von (A) und (B) aus, um (AB) zu berechnen.

9 Bespel 4.: Gegeben snd de beden Eregnsse A = {1, 2, 3, 4} und B = {1, 5} bem Würfelwurf. Um de Schnttmenge AB = {1} ncht doppelt zu zählen, muss be der Berechnung der Wahrschenlchket der Verengungsmenge de Wahrschenlchket der Schnttmenge abgezogen werden. 1. Lösungsweg (logsche Überlegung): De Wahrschenlchket, dass A oder B entreten wrd, st 5 A B 1,2,3,4,5 0, Lösungsweg (Addtonssatz): 1 A B 1 A B A B A B ,833. 2,3,4 5 A A 1 B B

10 Bespel 4.7: Wr berechnen de Wahrschenlchket, dass n enem Kartenspel mt 32 Karten ene rote Karte oder en Ass gezogen werden. Es se A: de gezogene Karte st rot. B: de gezogene Karte st en Ass. Dann st A 1 32; B 4 32 und A B 2 32 Mt dem Addtonssatz (4.5) erhält man A B , 525 De Wahrschenlchket, ene rote Karte oder en Ass zu zehen, beträgt somt 0,525.

11 Wahrschenlchket für de Verengung von dre Eregnssen Addtonssatz für dre Eregnsse Es seen A, B und C Eregnsse und (A), (B), (C), (AB), (AC), (BC) sowe (ABC) gegeben. Dann ergbt sch de Wahrschenlchket für de Verengung von A, B und C durch (4.) (ABC) = (A) + (B) + (C) - (AB) (AC) - (BC) + (ABC). Bespel 4.8: Be enem Würfelwurf werden de Eregnsse A = {2, 4, }, B = {2, 3, 4} und C = {4, 5, } betrachtet. We groß st de Wahrschenlchket, dass A oder B oder C entrtt? Eregnsse und Wahrschenlchketen: (A) = 0,5; (B) = 0,5; (C) = 0,5 AB = {2, 4} (AB) = 1/3 AC = {4, } (AC) = 1/3 BC = { 4 } (BC) = 1/ A B ABC = { 4 } (ABC) = 1/ Wahrschenlchket von A oder B oder C: (ABC) = (A)+(B)+(C)-(AB) (AC)-(BC)+(ABC) = 0,5 + 0,5 + 0,5-1/3-1/3-1/ + 1/ = 5/ = 0,833 5 C

12 4.3 Bedngte Wahrschenlchket Bsher haben wr de Wahrschenlchket für das Entreten von Eregnssen unabhängg von der Realsaton anderer Eregnsse betrachtet. Wr fragen nun, ob sch de Wahrschenlchket für en Eregns A ändert, wenn wr de zusätzlche Informaton haben, dass en Eregns B berets engetreten st. De Wahrschenlchket für A, de sch unter deser Vorabnformaton ergbt, heßt bedngte Wahrschenlchket (A B). De bedngte Wahrschenlchket (A B) gbt de Wahrschenlchket für A unter der Bedngung (Vorabnformaton), dass B berets engetreten st, an: A B (4.7) A B, (B) > 0. B Wenn B berets engetreten st; können außerhalb von B legende Eregnsse ncht mehr stattfnden. Dass gemensam mt B auch A entrtt, st durch de Schnttmenge AB dargestellt. Daher gbt B de Anzahl der möglchen Ergebnsse und AB de Anzahl der günstgen Ergebnsse an: A B A B / A B A B B B / B A A B B

13 Bespel 4.10: In ener Stadt X snd 52% der 0 Tsd. Erwerbspersonen männlch und 48% weblch. 3,24 Tsd. ersonen snd arbetslos (Eregns A), worunter 1,31 Tsd. männlch (M) und 1,93 Tsd. weblch (W) snd. a) We groß st de Wahrschenlchket, dass ene zufällg ausgewählte Erwerbsperson n der Stadt X arbetslos st? Gesucht st de (unbedngte) Wahrschenlchket, arbetslos (A) zu sen, d.h. (A): (A) A 3,24 0 0,054. b) We groß st de Wahrschenlchket, dass en zufällg ausgewählter Mann arbetslos st? De Grundgesamthet der Erwerbspersonen Ω wrd jetzt auf de männlchen Erwerbspersonen M engeschränkt. Gesucht st daher de bedngte Wahrschenlchket arbetslos (A) zu sen unter der Bedngung ene männlche Erwerbsperson (M) zu sen: (A M) A M M 1,31 00,52 1,31 31,2 0,042. oder mt (M) = 0,52 und (AM) = AM / Ω = 1,31/0 = 0,022 (A M) (A M) (M) ,52 0,042.

14 c) We groß st de Wahrschenlchket, dass ene zufällg ausgewählte Frau arbetslos st? De Grundgesamthet der Erwerbspersonen Ω wrd jetzt auf de weblchen Erwerbspersonen W engeschränkt. Gesucht st daher de bedngte Wahrschenlchket arbetslos (A) zu sen unter der Bedngung ene weblche Erwerbsperson (W) zu sen: (A W) A W W 1,93 00,48 1,93 28,8 0,07. oder mt (W) = 0,48 und (AW) = AW / Ω = 1,93/0 = 0,032 (A W) (A W) (W) 0,032 0,48 0,07.

15 Bespel 4.9: Be ener Qualtätskontrolle haben von 0 kontrollerten Stücken 15 den Defekt A und 12 den Defekt B. 38 Stück beten kenen Anlass zur Beanstandung. Gesucht wrd de Wahrschenlchket dafür, dass en Stück, das den Defekt A aufwest, auch den Defekt B hat. Insgesamt snd 22 (= 0 38) Stück defekt. Haben 15 Tele den Defekt A und 12 Stück den Defekt B, müssen ( ) 22 = 5 Tele glechzetg den Defekt A und den Defekt B haben. Folgende Wahrschenlchketen snd gegeben: A 15 B 12 A B 5 A 0, 25, B 0, 20, A B 0, Wr wssen, dass das Eregns A "Tel hat den Defekt A" berets engetreten st. Gesucht st de Wahrschenlchket dafür, dass zusätzlch noch B "Tel hat den Defekt B" entrtt. Herbe handelt es sch um de Wahrschenlchket von B unter der Bedngung von A, d.h. (B A). B A 0, 333 oder B A A B A A B A ,083 0,25 0,333 A B 5 A 15 B 12 0

16 In (4.7) muss (B) > 0 sen, da für (B) = 0 de bedngte Wahrschenlchket ncht defnert st. Für bedngte Wahrschenlchketen gelten folgende Aussagen: - Snd A und B dsjunkt, A B =, dann st (A B) = 0. Wenn de Eregnsse A und B elementefremd snd, d.h. sch ncht überlappen, kann A ncht mehr entreten, wenn B berets engetreten st. A B - Ist A en Teleregns von B, A B, dann st (B A) = 1. Wenn A en Teleregns von B st, trtt B stets zuglech en, sobald A engetreten st. A B

17 Ene überaus wchtge Folgerung ergbt sch, wenn de Formel für de bedngte Wahrschenlchket enfach umgestellt wrd. Man erhält dann den Multplkatonssatz für zwe Eregnsse. Multplkatonssatz für zwe Eregnsse De Wahrschenlchket für das gemensame Entreten der Eregnsse A und B lässt sch durch (4.8a) oder (4.8b) berechnen. A B A BB A B BA A De Kenntns der Wahrschenlchket des Durchschntts AB zweer Eregnsse, (AB), st auch zur Berechnung der Wahrschenlchket für de Verengung von zwe belebgen Eregnssen und zur Berechnung der Wahrschenlchket der Dfferenz A\B zweer belebger Eregnsse, (A\B), notwendg.

18 Bespel 4.10: In ener Urne befnden sch 12 Kugeln, 4 davon snd weß und 8 rot. Zwe Kugeln werden gezogen, wobe de entnommenen Kugeln ncht n de Urne zurückgelegt werden (Zehen ohne Zurücklegen). We groß st de Wahrschenlchket, zwe weße Kugeln zu zehen? Wr defneren de Eregnsse: A 1 : de erste gezogene Kugel st weß, A 2 : de zwete gezogene Kugel st weß. In jeder der zwe Zehungen glt das Glechmöglchketsmodell. Es st A da vor der 1. Zehung unter den 12 Kugeln 4 weße Kugeln snd. De Wahrschenlchket, m 2. Zug ene weße Kugel zu zehen, st ene bedngte Wahrschenlchket, d.h., st de Wahrschenlchket unter der Bedngung, dass m 1. Zug ene weße Kugel gezogen wurde. Es st A A da vor der zweten Zehung unter den 11 Kugeln nur noch 3 weße Kugeln snd. De Wahrschenlchket dafür, zwe weße Kugeln zu zehen, st also glech A A A A A ,

19 Man beachte, dass dese Wahrschenlchket abhängg von der Zehungsmethode st. Würde nach dem ersten Zug de entnommene Kugel n de Urne zurückgelegt (Zehen mt Zurücklegen), wäre (A 2 A 1 ) = 4/12 = 1/3 und damt A A , Multplkatonssatz für dre Eregnsse De Wahrschenlchket für das gemensame Entreten der Eregnsse A, B, und C st durch (4.9) A BC CA BBA A gegeben. Bewes: Es se D = AB. Dann glt mt (4.8) (CD) = (C D) (D) und nach Ensetzen von AB für D (AB C) = (C AB ) (AB). Wegen (4.8) st (AB) = (BA) = (B A) (A), so dass folgt. A BC CA BBA A ٱ

20 Bespel 4.11: In ener Schachtel snd 10 Schrauben, 4 davon snd verznkt. Dre Schrauben werden entnommen, wobe de gezogenen Schrauben ncht n de Schachtel zurückgelegt werden (Zehen ohne Zurücklegen). We groß st de Wahrschenlchket, dre verznkte Schrauben zu zehen? Wr defneren de Ergebnsse A 1 = erste Schraube st verznkt, A 2 = zwete Schraube st verznkt, A 3 = drtte Schraube st verznkt. In jeder der dre Zehungen glt das Glechmöglchketsmodell. Es st A da von den 10 Schrauben 4 verznkt snd. De Wahrschenlchket, m 2. Zug ene verznkte Schraube zu zehen, st ene bedngte Wahrschenlchket: A A denn vor dem 2. Zug snd von den 9 verblebenden Schrauben nur noch 3 verznkt. De Wahrschenlchket, m 3. Zug ene verznkte Schraube zu zehen, wrd ermttelt unter der Bedngung, dass m 1. Zug und m 2. Zug ene verznkte Schraube gezogen wurde, d.h., dass A 1 A 2 berets engetreten st. Damt erhält man A 1 3 A2 A ,

21 da vor dem 3. Zug unter den 8 verblebenen Schrauben nur noch zwe verznkte snd. De Wahrschenlchket, dre verznkte Schrauben zu erhalten, st also wegen (4.9) A1 A2 A3 A3 A2 A1 A2 A1 A , Auch her seht man, dass dese Wahrschenlchket abhängg von der Zehungsmethode st. Hätten wr nach jedem Zug de entnommene Schraube n de Schachtel zurückgelegt (Zehen mt Zurücklegen), würde A 2 3 A2 A (A A1) 1 2 sen, da vor jedem Zug von den 10 Schrauben 4 verznkt snd, so dass A A A , st. Wenn wr mt Zurücklegen zehen, dann spelt es z.b. für das Entreten des Eregnsses A 2 kene Rolle, was m 1. Zug (Eregns A 1 ) gezogen wurde. Das Zehen ener verznkten Schraube m 1. Zug ändert also ncht de Chance für das Zehen ener verznkten Schraube m 2. Zug. De Bedngung, dass A 1 engetreten st, st somt rrelevant für de Realserungschance von A

22 4.4 Stochastsche Unabhänggket Be velen Fragestellungen st es wchtg zu wssen, ob Eregnsse stochastsch unabhängg snd. Man kann de stochastsche Unabhänggket von Eregnssen auf zwe Arten überprüfen: - durch Verglech von bedngten und unbedngten Wahrschenlchketen, - anhand des Multplkatonssatzes für unabhängge Eregnsse. Abbldung: Überprüfung der stoschastschen Unabhänggket Überprüfung der stochastschen Unabhänggket Verglech der bedngten Wahrschenlchket (A B) mt der unbedngten Wahrschenlchket (A) Verglech der gemensamen Wahrschenlchket (AB) mt dem rodukt der Wahrschenlchketen (A) und (B)

23 Überprüfung der Unabhänggket zweer Eregnsse durch Verglech der bedngten und unbedngten Wahrschenlchketen Zwe Eregnsse A und B heßen stochastsch unabhängg vonenander, wenn de Tatsache, dass B vorlegt, kenerle zusätzlche Informatonen m Hnblck auf de Wahrschenlchket (A) lefert: (4.10a) (A B) = (A). Be stochstscher Unabhänggket st es also unerheblch für das Entreten des Eregnsses A, ob das Eregns B engetreten st oder ncht: A B B Wahrschen lchket für A, wenn B engetrete n st A A B A Wahrschen lchket für A, wenn ncht bekannt st, ob B engetrete n st Unabhänggket Stochastsche Abhänggket besteht entsprechend dann, wenn das Entreten von B enen Enfluss auf de Wahrschenlchket von A hat: A B B Wahrschen lchket für A, wenn B engetrete n st A A B A Wahrschen lchket für A, wenn ncht bekannt st, ob B engetrete n st Abhänggket

24 Wenn de beden Eregnsse A und B vonenander unabhängg snd, muss ncht nur (4.10a) (A B) = (A) gelten, sondern ebenfalls (4.10b) (B A) = (B). Überprüfung der Unabhänggket zweer Eregnsse durch Verglech der gemensamen Wahrschenlchket mt dem rodukt der Enzelwahrschenlchketen Multplkatonssatz für zwe unabhängge Eregnsse Zwe Eregnsse A und B heßen stochastsch unabhängg vonenander, wenn de Wahrschenlchket des Durchschntts AB, (AB), glech dem rodukt der Enzelwahrschenlchketen (A) und (B) st: (4.11a) Bewes: (AB) = (A) (B). Durch Auflösen der Berechnungsformel für de bedngten Wahrschenlchketen (4.7) nach (AB) erhält man A B B A B A B A B B Da be Unabhänggket von A und B de Bezehung (4.10a), (A B) = (A), glt, folgt A B A B. ٱ.

25 Abbldung: Überprüfung stochastscher Unabhänggket Beleg für Stochastsche Unabhänggket A B A B A A B B B A Stochastsche Abhänggket A B A B A A B B B A Während de stochastsche Unabhänggket zweer Eregnsse be Kenntns der bedngten und unbedngten Wahrschenlchketen auf der Grundlage der Bezehung (4.10a) oder (4.10b) überprüft werden kann, lässt se sch mt dem Multplkatonssatz (4.11) überprüfen, wenn de Wahrschenlchket der Schnttmenge und de Enzelwahrschenlchketen bekannt snd.

26 Bespel 4.12: Be dem Zufallsexperment Werfen zweer Würfel werden zwe Eregnsse betrachtet: A: "gleche Augenzahl be beden Würfeln" und B: "ungerade Augenzahl be dem zweten Würfel". We groß st de Wahrschenlchket, ene "gleche Augenzahl" be beden Würfeln und glechzetg ene "ungerade Augenzahl bem zweten Würfeln" zu erhalten? Snd bede Eregnsse unabhängg vonenander? Anhand der n der folgenden Tabelle lassen sch de Wahrschenlchketen für bede Eregnsse bestmmen: 2. Würfel 1. Würfel (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (2,5) (2,) 3 (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (3,5) (3,) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) (4,5) (4,) 5 (5,1) (5,2) (5,3) (5,4) (5,5) (5,) (,1) (,2) (,3) (,4) (,5) (,)

27 (A) = ("gleche Augenzahl be beden Würfeln") (B) = ("ungerade Augenzahl bem zweten Würfel") (AB) = ("gleche Augenzahl" und "ungerade Augenzahl bem zweten Würfel") De stochastsche Unabhänggket kann her auf de beden vorgestellten Arten überprüft werden: 1. Überprüfung der Unabhänggket durch Verglech der bedngten und unbedngten Wahrschenlchketen B und A 1 A B ,50 B 0, 50 A Unabhänggket A B B A B A Unabhänggket

28 2. Überprüfung der Unabhänggket durch Verglech der gemensamen Wahrschenlchket mt dem rodukt der Enzelwahrschenlchketen (A B) (A) (B) Unabhänggket Vollständge Unabhänggket von dre Eregnssen De Eregnsse A, B und C heßen vollständg unabhängg vonenander, wenn se paarwese unabhängg snd, (4.11a) (4.11b) (4.11c) und de Bedngung (AB) = (A) (B), (AC) = (A) (C), (BC) = (B) (C), (4.12) (ABC) = (A) (B) (C) erfüllen. aarwese Unabhänggket von Eregnssen st somt ene notwendge, aber kene hnrechende Bedngung für de vollständge Unabhänggket von Eregnssen.

29 Bespel 4.13: Zwe Würfel werden glechzetg geworfen. Wr defneren de Eregnsse A: Augenzahl bem 1. Würfel st gerade. B: Augenzahl bem 2. Würfel st ungerade. C: Augensumme gerade. Dann st A , B , C , A B 9 3 1/ 4, A C 9 3 1/ 4, B C 9 3 1/ 4, A BC 0. De Berechnung deser Wahrschenlchketen lässt sch lecht anhand der n Bespel 4.12 wedergegebenen Ergebnstabelle nachvollzehen. Es st z.b. ABC = und damt (ABC) = 0, wel AB das Eregns st, dass der 1. Würfel ene gerade und der 2. Würfel ene ungerade Augenzahl aufwest. Als Ergebns kann dann aber kene gerade Augensumme entreten. Wr wollen nun de Unabhänggket der Eregnsse A, B und C überprüfen. Zunächst enmal st ene paarwese Unabhänggket der Eregnsse wegen gegeben. A B 1 4 A B / 4 A C 1 4 A C / 4 B C 1 4 B C / 4

30 Für de vollständge Unabhänggket st noch de Gültgket der Bedngung (4.12) erforderlch. Es st jedoch A BC 0 A B C Somt snd de Eregnsse A, B und C zwar paarwese unabhängg, aber ncht vollständg unabhängg.

31 4.5 Totale Wahrschenlchket und Bayessche Formel Totale Wahrschenlchket Der Satz der totalen Wahrschenlchket geht von enem vollständgen System von Eregnssen aus, das allgemen durch (4.13) defnert st. A 1 A 2 A n = Ω A A j =, j Abbldung: Zerlegung der Ergebnsmenge Das Eregns B lässt sch als Verengung der Schntteregnsse BA darstellen: A 1 A 2 B (4.14) B = (BA 1 ) (BA 2 ) (BA n ) A 4 A 3

32 Da de Schntteregnsse BA dsjunkt snd, (BA ) (BA j ) =, j, lässt sch de Wahrschenlchket (B) = [(BA 1 ) (BA 2 ) (BA n )] unter Verwendung des Axoms 3 n der Form (B) = (BA 1 ) + (BA 2 ) + + (BA n ) schreben. De Wahrschenlchketen (BA ) lassen sch be Kenntns der bedngten Wahrschenlchketen (B A ) und den unbedngten Wahrschenlchketen (A ) mt dem Multplkatonssatz (4.8a/b) berechnen: (4.15a) oder (4.15b) (B) (BA1) (A1) (BA2) (A2)... (BAn) (An) n (B) (BA ) (A) 1 Glechung (4.15a/b) gbt de Formel der totalen Wahrschenlchket weder.

33 Bespel 4.14: Gegeben snd 5 Urnen. Jede Urne enthält 10 Kugeln. In der j-ten Urne, j=1,2,3,4,5, befnden sch j rote Kugeln. Ene Urne wrd unter Berückschtgung der Auswahlwahrschenlchketen 0,4 für de Urne 1, 0,3 für de Urne 2, 0,1 für de Urne 3, 0,2 für de Urne 4 und 0 für de Urne 5 ausgewählt, aus der dann ene Kugel gezogen wrd. We groß st de Wahrschenlchket, dass de gezogene Kugel rot st? Wr defneren de Eregnsse: A j : Auswahl der j-ten Urne, j = 1,2,3,4,5, B: De gezogene Kugel st rot. Urne 1 Urne 2 Urne 3 Urne 4 Urne 5 Auswahlwahrschenlchket für de j-te Urne A 1 0, 4 A 2 0, 3 A 3 0, 1 A 4 0, 2 A 5 0 Wahrschenlchket dafür, dass ene rote Kugel gezogen wrd, wenn de j-te Urne berets ausgewählt wurde BA 0, B A 2 10 B A 3 10 B A 4 10 BA 2 0,2 3 0,3 4 0,4 5 0,5 5 10

34 Da de Eregnsse A j en vollständges System von Eregnssen blden, A 1 A 2 A 5 = Ω (5 Urnen snd verfügbar) A A j =, j (Kene Kugel st mehreren Urnen zugeordnet) lässt sch zur Berechnung der der gesuchten Wahrschenlchket (B) mt der Formel (4.15) der totalen Wahrschenlchket berechnen: so dass man 5 B BA A 1 BA1 A1 BA2 A2 BA A BA A BA A, 3 3 B 0,1 0,4 0,2 0,3 0,3 0,1 0,4 0,2 0,5 0 0, erhält. De Wahrschenlchket, ene rote Kugel zu zehen, beträgt also 0,21.

35 Bayessche Formel Angenommen, wr haben ene rote Kugel gezogen, d. h. das Eregns B st engetreten. Wr fragen nun nach der Wahrschenlchket dafür, dass dese Kugel aus der j- ten Urne A, =1, 2,..., 5, entnommen wurde, d. h. wr suchen (A j B). De Lösung deses roblems ergbt sch aus dem Satz von Bayes, den wr jetzt vorstellen werden. De n Eregnsse A 1, A 2,..., A n blden en vollständges System. Weter st B en Eregns mt (B)>0. Dann glt der Satz von Bayes (4.1) A B n 1 BA A BA A BA A B, 1,,n (A ): (A B): A-pror-Wahrschenlchket A-posteror-Wahrschenlchket Mt Hlfe der Bayesschen Formel lassen sch de A-posteror-Wahrschenlchketen (A B) aus den bekannten A-pror-Wahrschenlchketen (A ) bestmmen.

36 Herletung der Bayesschen Formel (4.1): Nach (4.8a/b) lässt sch de Wahrschenlchket des Schntteregnsses A B durch de beden Glechungen (4.17a) und (4.17b) A B A BB A B B A A wedergeben. Unter Verwendung von (4.17b) können daher de n (4.7) defnerte bedngte Wahrschenlchet n der Form A A B B B A (B) B A A B darstellen. Nach Ensetzen der totalen Wahrschenlchket (4.15b) erhält man heraus de Bayessche Formel A B n 1 B A A B A A

37 Bespel 4.15: Wr knüpfen an das Bespel 4.14 an und fragen nach der Wahrschenlchket dafür, dass de gezogene rote Kugel aus der zweten Urne stammt? De Eregnsse A blden en vollständges System von Eregnssen: A 1 A 2 A 5 = Ω (5 Urnen snd verfügbar) A A j =, j (Kene Kugel st mehreren Urnen zugeordnet). Wr wssen, dass ene rote Kugel gezogen wurde, d.h. dass das Eregns B engetreten st. We groß st de Wahrschenlchket, dass zusätzlch das Eregns A 2 entrtt? Gesucht st de Wahrschenlchket von A 2 unter der Bedngung B. Da her en vollständges System von Eregnssen vorlegt, lässt sch de gesuchte Wahrschenlchket mt der Bayesschen Formel bestmmen: A2 B 0,0 0,21 B A A 2 2 n 5 B A A 1 0,2 0,3 0,1 0,4 0,2 0,3 0,3 0,1 0,4 0,2 0,5 0 0,28.