Bei 95%iger Konfidenz wäre der Mittelwert der GG zwischen 1421,17DM und 1778,83DM zu erwarten.

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1 Aufgabe 36 (S. 346: Schätzverfahre für Mittelwert ud Stadardabweichug a Puktschätzuge für µ aufgrud der Werte der kleie Stichprobe aus Aufgabe 3 Bei eier Puktschätzug wird für de zu schätzede Parameter der Grudgesamtheit aufgrud des Ergebisses der Stichprobe lediglich ei eiziger Schätzwert agegebe, also ist µ& = x = 16, DM b Bestimmug vo ofidezbereiche für µ: mit ( 1 = x = 16, DM s$ = 5, DM, bzw. 99,. = 1 1 = = 5 N 5,,, also kei Edlichkeitsfaktor σ ist ubekat ud = 1 3, damit ist µ ~ = x ± t ; φ b1 Eisetze bei ( 1 - a =, : x t,5;9 µ x t,5; ,6 µ 16 +,6 =, 1 1 ( 141,17DM µ 1778,83DM =, =, Bei %iger ofidez wäre der Mittelwert der GG zwische 141,17DM ud 1778,83DM zu erwarte. b Eisetze bei ( 1 - a =, 99:

2 x t,5;9 µ x + t,5; ,5 µ ,5 =, ( 1343,6DM µ 1856,94DM =, 99 =,99 Bei 99%iger ofidez wäre der Mittelwert der GG zwische 1343,6DM ud 1856,DM zu erwarte. Amerkug: Ei prozetualer Vergleich der ofidezbereiche zeigt, daß eie Erhöhug des ofideziveaus vo % auf 99% zu eier Vergrößerug des Usicherheitsbereiches um 44% führt. Dies etspricht dem prozetuale Awachse des t o - Wertes. a ofidezitervalle für µ für die größere Stichprobe (aus Aufgabe 3 Ausgagsdate für die Bereichsschätzuge mit eiem ofideziveau vo, : N = 1 = 55 x = 155, DM s$ =, DM ( 1 =, bzw.,99 Der Edlichkeitsfaktor musste agewadt werde, weil N = 55 =, 55 1 >, 5 σ ist ubekat ud = 55 > 3, daraus folgt ~ s$ µ = x ± z ( N N 1 µ 1 µ µ = 1, daraus folgt für die Berechug der ofidezbereiche bei =, z = 1, 96 s$ N s N x z x z N + $ µ =,, 5, 5 1 N µ ,, =, ( µ 153, 13DM 1567, 87DM =, Bei %iger ofidez wäre der Mittelwert der GG zwische 153,13DM ud 1567,87DM zu erwarte.

3 Aufgabe 37: Schätzverfahre für Mittelwerte N = 1 = 5 x = 5, DM s$ = 5, DM a Berechug eies ofidezitervalls für µ bei =5 ud eier %ige ofidez σ ist ubekat, = ( µ µ µ = 1 1 s µ ~ $ = x ± t ; φ 5 3 Das Itervall ist t verteilt. Daraus folgt Auf de Edlichkeitsfaktor ka verzichtet werde, weil N = 5 = 5 1 5,, ist: s$ s$ x t µ x + t =,, 5 5 4, ; ; 4 5, 64 5 µ 5+, 64 5 =, 5 5 ( µ 9, 36DM 7, 64DM =, Der Durchschitt der Ausgabe für Fleisch pro Haushalt i diesem Stadtteil bewegt sich bei %igem Vertraue im Itervall vo 9,36DM bis 7,64DM. b ofidezitervall für µ bei =1: Dabei ergebe sich die selbe Stichprobewerte. Wie groß ist das ofidezitervall jetzt? N = 1 = 1 x = 5, DM s$ = 5, DM σ ist ubekat, = 1 > 3. Daraus folgt ( µ 1 µ µ = 1 ~ s$ µ = x ± z Auf de Edlichkeitsfaktor ka verzichtet werde, weil N = 1 = Eisetze:,, ist.

4 s$ s$ x z µ x + z =,, 5, , µ , =, 1 1 ( µ 4, DM 59, 8DM =, Der Durchschitt der Ausgabe für Fleisch pro Haushalt i diesem Stadtteil liegt bei %igem Vertraue im Itervall vo 4,DM bis 59,8DM. Aufgabe 38: Schätzverfahre für σ: a Puktschätzug für σ: Bei eier Puktschätzug wird für de zu schätzede Parameter der Grudgesamtheit aufgrud des Ergebisses der Stichprobe lediglich ei eiziger Schätzwert agegebe, also ist σ& = = 5DM = 1 3, damit ist b ofidezitervalle für σ bei kleie Stichprobe: GG = NV, = 1 ud ŝ = 5, da =1 3ergebe sich die ofidezitervalle wie folgt: b1 bei ( 1 =, : 1 1 s$ s = σ $,, 5, 5 ; φ 1 ; φ 1 1 = σ 5,,, 7 ( σ 171, 96DM 456, 44DM =, Bei %iger ofidez wäre die Stadardabweichug der GG zwische 171,96DM ud 456,44DM zu erwarte. b bei ( 1 =, 99:

5 s$ s = σ $, 99, 1, 1 ; φ 1 ; φ 1 = σ 5, 99, 1735, ( = 154, 4DM 569, 39DM =, 99 Bei 99%iger ofidez wäre eie Stadardabweichug der GG zwische 154,47DM ud 569,39DM zu erwarte. Amerkug: Bei der Stadardabweichug wächst der ofidezbereich mit steigedem ofideziveau um 46%. Eie eifache Proportioalität zwische der Veräderug des ofidezbereiches ud der - Werte ist icht gegebe. c ofidezitervalle für σ bei große Stichprobe: c1 bei ( 1 =, : Aus = 55 > 3 folgt ei %-ofidezbereich mit: φ φ + z σ φ φ z = 1 für =, z = 1,96 ud φ = 1 = 55 1= 549 φ φ 1 + Z / σ ,96 ( 7,8DM 33,DM =, φ =, φ 1 Z / 549 =, 549 1,96 Bei %iger ofidez wäre die Stadardabweichug i der GG zwische 7,8DM ud 33,DM zu erwarte. c bei ( 1 =, 99: Aus = > ,58 4,19 38,69 =, 55 3 folgt ei 99%-ofidezbereich mit: [ ] 549 = 549,58

6 Bei 99%iger ofidez wäre also eie Stadardabweichug i der GG zwische 4,19 DM ud 38,69 DM zu erwarte. zusätzlich zu de gestellte Aufgabe werde die ofidezitervalle für σ aus de Aufgabe 37 a ud b berechet: a ofidezitervalle für σ bei eier kleie Stichprobe = 5, ŝ = 5 DM, ofideziveau =, = 5 3, daraus folgt: 1 s$ s$ ; φ 1 ;φ = σ 39, =, 1,41 ( 39,4DM 69,56DM =, Die Stadardabweichug der Ausgabe für Fleisch pro Haushalt i diesem Stadtteil bewegt sich bei %igem Vertraue im Itervall vo 39,4DM bis 69,56DM. b ofidezitervall für σ bei eier große Stichprobe: = 1 > 3, daraus folgt: s$ φ s$ φ φ 1+ z φ z = 1 Eisetze: ,96 ( 43,98DM 58,6DM =, 5 99 =, 99,96 Die Stadardabweichug der Ausgabe für Fleisch pro Haushalt i diesem Stadtteil liegt bei %igem Vertraue im Itervall vo 43,98DM bis 58,6DM.

7 Aufgabe 39: ofidezschätzug für Ateilswerte = k = 8 =,1 bzw. =,5 k 8 p = = =, 4 ( VAR( k = p p =,, =, N , also Approximatio über ( ; Der Edlichkeitsfaktor muß icht verwedet werde, weil N = = 5, 4 <, 5 bei =,5 Z bei =,1 Z Formel: ~π = p ± z p = 1,96 =,58 ( 1 p Die z -Werte ergebe sich wie folgt: 1, 5 =, z = 1, 96 Ergebis: p z, 5 p,4,96,4,96 π (,31 π,49 =, ( 1 p p ( 1 p π p + z,4 + 1,96 = 1,4,96 = 1,5 Mit %iger ofidez (Vertraue ist der Ateilswert i der GG zwische 3,1% ud 4,9% zu erwarte. Aufgabe 4: Bestimmug des Stichprobeumfags für die Schätzug vo µ a Zusammehag zwische ud dem ofidezbereich Je größer der Stichprobeumfag, desto kleier die ofidezbereiche für µ ud σ.

8 Vergleichede Aalyse der Wirkug eier Stichprobeumfagserhöhug auf die Aussagegeauigkeit des Schätzverfahres: Bei = 5 ergabe sich folgede ofidezitervalle: ( 9, 36 µ 7, 64 =, ; das etspricht eier Spaweite vo DM DM 41, 8DM ( 39, 4DM 69, 56DM =, 3, 5DM ; das etspricht eier Spaweite vo Bei = 1 ergabe sich folgede ofidezitervalle: ( 4, µ 59, 8 =, ; das etspricht eier Spaweite vo DM DM 19, 6DM ( 43, 98DM σ 58, 6DM =, 14, 8DM ; das etspricht eier Spaweite vo Eie Vervierfachug des Stichprobeumfags bewirkt hier etwa eie Halbierug der Spaweite der ofidezbereiche. b miimale Größe der Stichprobe Wie groß muss gewählt werde, damit bei %iger ofidez ud σ = 49 der maximale Schätzfehler (e = x µ icht mehr als 5DM (e 5 DM ist? Aus z 5 196,, = folgt durch Eisetze i z σ = e 1,96 49 = 5 = 368, Es müsse midestes 369 Persoe befragt werde. Aufgabe 41: Bestimmug des Stichprobeumfags für die Schätzug vo π

9 Verwedug der Date aus Aufgabe 33c Wie groß muss die Stichprobe ( sei, damit der Stichprobefehler ( e = p π icht größer als,5% ist? für =,5. Vermutug p=π =,5 (5%-Hürde. Formel: Z = p π p umgestellt ach : Z = ( 1 p / [ π (1 π ] e laut Tabelle ist z = 1, 96 bei =, 5. Eigesetzt ergibt sich: 1,96,5 ( 1,5 = = 799,4 73 Persoe bei %iger ofidez.,5 Achtug: Bei diesem ist sicherheitshalber zu prüfe, ob der Edlichkeitsfaktor hätte berücksichtigt werde müsse! de Auswahlsatz teste: >, 5 Formel mit Ef: 73? =, Ef! N 5 Z / π (1 π ( N = e ( N 1,96²,5, (5 73 = = 633,51,5² Eigesetzt: 634 Wichtig: Es wird immer aufzurude, weil es sich um eie Midestaforderug hadelt. Die Stichprobe müsste 634 Mesche umfasse, damit ei solch geriger Stichprobefehler erwartet werde ka.