VORSCHAU. zur Vollversion. Inhalt. Seite. Vorwort 5. Zahlenarten 6 10 Zahlenarten. Grundrechenarten 7-11
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- Florian Seidel
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1 Inhlt Seite Vorwort Zhlenrten 6 10 Zhlenrten Grundrechenrten 7-11 Die vier Grundrechenrten Übungskiste C Übungskiste D Punktrechnung und Strichrechnungen Positive und negtive Zhlen 1 16 Übungen m Zhlenstrhl Mit positiven und negtiven Zhlen rechnen Bechte ds Vorzeichen Bruchrechnung 17 0 Beispiele Grundübungen 1 Grundübungen Allgemeine Verhältnisrechnung 3 4 Direktes Verhältnis Indirektes Verhältnis Prozentrechnung 5 30 Prozentrechnung Formeln umstellen Grundübungen Zinsrechnung Vergütung für geliehenes Geld Zinsrechnung Berechnung von Zinsen Übungskiste Potenzen und Wurzeln Potenzen Wurzeln Algebr Gleichungen Aufstellen von Gleichungen Mßeinheiten 45 Mßeinheiten umrechnen Seite 3 Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
2 Inhlt Seite Plnimetrie Formeln zur Flächenlehre Textufgben Dreiecke Stz des Pythgors Vierecke und Dreiecke Formeln zur Kreisberechnung Übungskiste C Übungskiste D Stereometrie Formeln Grundübungen Linere Funktionen Grundlgen Sttistik 7 73 Fchbegriffe Grundübungen Whrscheinlichkeitsrechnung Zum Begriff der Whrscheinlichkeit Grundübungen Übungskiste Überblick & Zusmmenfssung Ws hst du gelernt? Lösungen Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 4
3 Vorwort Liebe Kolleginnen und Kollegen, so mnchen Schülerinnen und Schülern fehlt bereits reltiv einfches mthemtisches Wissen. Um in dieser Hinsicht bzuhelfen, behndelt der vorliegende Bnd elementre Grundkenntnisse im Schulfch Mthemtik der Sekundrstufe I. Viele drgebotene Mterilien (häuig in den Versionen A und B) lssen sich im Unterricht uch ls Tests oder Klssenrbeiten einsetzen. Des Öfteren gibt es zu einzelnen Themen vorweg Informtionsblätter mit Aufgbenbeispielen, deren jeweilige Lösung vorgerechnet wird. Alle Mterilien wurden häuig von mir erprobt und bewährten sich in der Regel in der Schulprxis. Sie trugen wesentlich dzu bei, dss Schülerinnen und Schüler mehr elementre mthemtische Grundkenntnisse erwrben und diese uch später wiedergeben sowie nwenden konnten. Viel Erfolg beim Einstz der Kopiervorlgen wünschen Ihnen der Kohl-Verlg und Friedhelm Heitmnn Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 5
4 1 Zhlenrten Aufgbe 1: Ordne die Nmen der folgenden 10 Zhlenrten den Beschreibungen richtig zu. Wie heißt die jeweils beschriebene Zhlenrt? Nenne ußerdem zu jeder Zhlenrt ls Beispiele 5 (weitere) Zhlen. Bru hzhle Dezi lzhle = Dezi l rü he Ge is hte )hle Gerde )hle Ntürli he )hle Negive )hle Posiive )hle Pri zhle U gerde )hle )erleg re = zus e gesetzte )hle Nr Nmen der Zhlenrten Beschreibungen der Zhlenrten = gnze Zhlen wie 1,, 3, 4, 5... = gnze Zhlen, die durch ohne Rest teilbr sind = gnze Zhlen, die beim Teilen durch 1 den Rest 1 hben = ntürliche Zhlen, die nur durch und durch sich selbst teilbr sind = ntürliche Zhlen, die sich ls Produkt zweier nderer ntürlicher Zhlen drstellen lssen = Zhlen, die einen Zähler und einen Nenner hben = Zhlen, die us einer gnzen Zhl und einem Bruch bestehen 8 = Zhlen mit einem Komm 9 = Zhlen, die größer ls 0 (Null) sind Zhlen z. B. Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P = Zhlen, die kleiner ls 0 (Null) sind Seite 6
5 Grundrechenrten Die vier Grundrechenrten Aufgbe 1: Setze diese 16 Wörter pssend in die Lücken der folgenden Sätze ein. ddiere Addiio Difere z dividiere Divisio Geteiltzei he Mlzei he Mi uszei he Muliplikio ulipliziere Pluszei he Produkt Quoie t su trhiere Su trkio Su e ) Diese 4 Grundrechenrten gibt es die ( = ds Zusmmenziehen)... die ( = ds Abziehen)... die ( = ds Mlnehmen)... die ( = ds Teilen) b) Ds Rechenzeichen für die Addition ist ds. (+).... für die Subtrktion ist ds. ( ).... für die Multipliktion ist ds. ( ).... für die Division ist ds. ( ). c) Ds Verb:... zur Addition heißt.... zur Subtrktion heißt.... zur Multipliktion heißt.... zur Division heißt. d) Ds Ergebnis bei der Addition nennt mn.... bei der Subtrktion nennt mn.... bei der Multipliktion nennt mn.... bei der Division nennt mn. Merke dir: Ds Gegenteil von der Addition ist die Subtrktion. Ds Gegenteil der Multipliktion ist die Division. Vertuschen: 4 + ergibt dsselbe Ergebnis wie ergibt dsselbe Ergebnis wie 4. Aber: 4 ergibt nicht dsselbe Ergebnis wie 4. 4 ergibt nicht dsselbe Ergebnis wie 4. Seite 7! Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
6 6 Prozentrechnung Übungskiste A 1. Verwndle die Prozentsätze zuerst in Brüche und dnn in Dezimlzhlen. Kürze die Brüche so weit wie möglich. ) 7 % = = 0, c) 0 % = = 0, b) 51 % = = 0, d) 85 % = = 0, Verwndle die Brüche zunächst in Dezimlzhlen und dnch in Prozentsätze. ) 40 = 0, = % c) 4 = 0, = % ) 100 = 0, = % c) 0 = 0, = % 3. Berechne den Prozentwert. Wie viel sind 9 % von 600 Euro? 4. Berechne den Prozentstz. Wie viel Prozent sind 160 g von 400 g? 5. Berechne den Grundwert. Prozentwert = 65 %; Prozentwert = 165 m 6. Von 5 Schülern einer Klsse können Schüler schwimmen. Wie viel Prozent der Schüler können schwimmen? 7. Der Preis eines Kühlschrnkes betrug 640 Euro. Nun sind für den Kühlschrnk 15 % weniger zu zhlen. Wie viel kostet der Kühlschrnk jetzt? 8. Die Kosten eines Gerätes sind 180 Euro + 19% Mehrwertsteuer. Wie viel Geld ht der Käufer für ds Gerät insgesmt zu zhlen? Schüler (= 60 %) einer Schule sind Jungen. Wie viele Schüler ht die Schule insgesmt? 10. Die Tempertur ging innerhlb von 4 Stunden von 5 Celsius um 30 % zurück. Welche Tempertur herrscht nun? Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 9
7 8 Potenzen & Wurzeln Potenzen Potenzen sind in der Mthemtik die kurzen Schreibweisen für ds Multiplizieren der gleichen Zhlen. Hochzhl 4 3 zum Beispiel ist eine Potenz, dbei gilt: 4 3 Bsis Die Grundzhl (= Bsis) gibt n, welche Zhl multipliziert wird. Die Hochzhl (= Exponent) besgt, wie oft diese Zhlen multipliziert wird. Ds Ergebnis des Multiplizierens ist der Potenzwert. 4 3 = = 64 Ds Wort Potenz kommt vom lteinischen Wortes potenti (= Mcht). Qudrtzhlen sind die Zhlen, die sich ls Resultt ergeben, wenn ntürliche Zhlen jeweils einml mit sich selbst multipliziert werden. Beispiele: 1 = 1 1 = 1; = = 4; 3 = 3 3 = 9... Kubikzhlen sind die Zhlen, die sich ls Resultt ergeben, wenn ntürliche Zhlen jeweils zweiml mit sich selbst multipliziert werden. Beispiele: 1 3 = = 1; 3 = = 8; 3 3 = = 7... Rechnen mit Potenzen ist eine höhere Rechenrt und ht in Verbindung mit Grundrechenrten Vorrng. Ds heißt: Die Potenzen müssen zuerst berechnet werden. Beispiel: 6 5 = 64 5 = = 14 Weitere Beispiele für Potenzen: (1,3) = 1,3 1,3 = 1,69; (0,) 3 = 0, 0, 0, = 0,008; ( ) = = Als Zehnerpotenzen werden in den Wissenschften (sehr) große und (sehr ) kleine Zhlen geschrieben. Zwei Beispiele: 1, km = km ungefähre Entfernung Erde-Sonne cm = = 0,0001 cm ungefähre Länge einer Bkterie Merke! Potenz vor Punkt vor Strich Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 35
8 10 Mßeinheiten Geld Zeitmße Euro = Cent Cent = Euro 3. Schreibe ls Euro mit Komm. 63 Euro Cent =, Euro 4. Schreibe ls Euro mit Komm. 9 Cent =, Euro 5. 1 Tg = Std. = Min. = Sek Sek. = Min. = Std. = Gewichtsmße 7. 3 t = kg = g = mg mg = g = kg = t Längenmße 9. km = m = dm = cm = mm mm = cm = dm = m = km 11. 0,76 km = m = dm = cm = mm 1. 4 mm = cm = dm = m = km Kleine Flächenmße m = dm = cm = mm mm = cm = dm = m Große Flächenmße 15. 8,1 km = h = = m m = = h = km Rummße 17. 0,7 m 3 = dm 3 = cm 3 = mm mm 3 = cm 3 = dm 3 = m 3 Hohlmße Mßeinheiten umrechnen 19. 0,8 hl = l = ml ml = l = hl Seite 45 1 m 3 = 10 hl 1 dm 3 = 1 l 1 cm 3 = 1ml Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
9 11 Plnimetrie (= Flächenlehre) Stz des Pythgors In jedem rechtwinkligen Dreieck sind die beiden Qudrte der zwei Ktheten zusmmen genu so groß, wie ds Qudrt der Hypotenuse. Die Hypotenuse ist die längste Seite im rechtwinkligen Dreieck. Sie liegt direkt gegenüber vom rechten (= 90 ) Winkel. Kthete I + Kthete II = Hypotenuse + b = c (3 cm ) + (4 cm ) = (5 cm ) 9 cm + 16 cm = 5 cm 5 cm = 5 cm Beispiel für die Berechnung der Kthete: Seite 48 Kthete Kthete b Hypotenuse c Mit Hilfe des Stzes des Pythgors lssen sich in rechtwinkligen Dreiecken die Seitenlängen berechnen. Beispiel für die Berechnung der Hypotenuse: Hypotenuse = Kthete I + Kthete II Hypotenuse = (4 cm ) + (3 cm ) Hypotenuse = 16 cm + 9 cm Hypotenuse = 5 cm Hypotenuse = 5 cm Kthete II Kthete II = (13 cm ) (5 cm ) Kthete II = 169 cm 5 cm Kthete II = 144 cm Kthete II = 1 cm = Hypotenuse + Kthete I Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
10 11 Plnimetrie (= Flächenlehre) Übungskiste C 18. Wie groß sind der Umfng und der Flächeninhlt der folgenden zusmmengesetzten Fläche? 3 m U = 3 m 5 m A = m 19. Berechne den Umfng und die Fläche dieser zusmmengesetzten Figur. 3 m 8 m 5 m 4 m 0. Ermittle den Umfng sowie die Fläche der zusmmengesetzten Figur. 6 m 9 m 3 m U = A = U = A = Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 59
11 11 Plnimetrie (= Flächenlehre) Übungskiste D 8. Wie lng ist jede Seite eines Qudrtes, wenn die Fläche 56 cm groß ist? Erkläre den Lösungsweg. 9. Berechne den Flächeninhlt eines Prllelogrmms, dessen Grundseite 14 cm lng ist und die dzugehörige Höhe 9 cm beträgt! Erkläre den Lösungsweg. 10. Zeichne ein Trpez. Notiere ußerdem die Formel für die Berechnung des Flächeninhlts deines Trpezes. 11. Welche 3 verschiedenen Arten von Dreiecken werden nch der Winkelgröße unterschieden? 1. Konstruiere ein Dreieck, dessen Grundseite c = 9 cm ist. Die Seite b soll 7 cm betrgen, der Winkel β = 45. Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 61
12 11 Plnimetrie (= Flächenlehre) Übungskiste D 18. Welchen Umfng und welche Flächengröße besitzt die zusmmengesetzte Fläche? U = 3 m m 6 m A = 3 m 19. Rechne den Umfng sowie den Flächeninhlt der zusmmengesetzten Figur us. 4 m 4 m 6 m 5 m 10 m 6 m 0. Finde herus, wie viel der Umfng und die Flächengröße der zusmmengesetzten Figur betrgen. U = A = 6 m U = A = Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P Seite 63
13 1 Stereometrie (= Rumlehre) Formeln zur Rumlehre Würfel V Würfel = 3 O Würfel = 6 Quder V Quder = b c O Quder = b + c + b c Qudrtische (= regelmäßige) Pyrmide V Pyrmide = Bechte: Zylinder V Zylinder = π + r h Kegel O Pyrmide = h s O Zylinder = π r + π r h 1 V Kegel = 3 π r h O Kegel = π r + π r s Bechte: Kugel 1 3 h ( ) h s = h + s = h + r V Kugel = 4 O Kugel = 3 π r 3 4 π r c b b Seite 64 c h h s h r r r s c h b b c Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
14 17 Die Lösungen 9 Aufgbe 5: 7x + 6 = Probe: = 118 7x = = 118 x = = 118 Aufgbe 6: 9x 79 = Probe: = 9 9x = = 9 9x = = 9 x = 1 Aufgbe 7: 169 = 8x + 41 Seitentusch Probe: 169 = x + 41 = = x = = 169 8x = 18 8 x = 16 Aufgbe 8: 5x + 4,5 = 14,5 4,5 Probe: ,5 = 14,5 5x = ,5 = 14,5 x = 0 Aufgbe 9: 8x + 37 = 3x Probe: = x = 3x = x = 3x x 93 = 93 5x = 35 x = 7 Aufgbe 10: 4x 19 = 7x 55 Seitentusch Probe: = x 55 = 4x = x = 4x x 9 = 9 3x = 36 3 x = 1 Übungskiste B Aufgbe 1: x + 44 = Probe: = 73 x = = 73 x = 9 Aufgbe : x 37 = Probe: 8 37 = 45 x = = 45 x = 8 Aufgbe 3: 6x = 7 6 Probe: 6 1 = 7 x = = 7 x = Aufgbe 4: 8 x = 13 8 Probe: 8 = 13 x = = 13 x = 104 Aufgbe 5: 5x + 18 = Probe: = 98 5x = = 98 5x = = 98 x = 16 Aufgbe 6: 7x 5 = Probe: = 66 7x = = 66 7x = = 66 x = 13 Aufgbe 7: 13 = 4x + 67 Seitentusch Probe: 13 = x + 67 = = x = = 13 4x = 56 : 4 x = 14 Seite 88 Grundwissen fchgerecht in kleinen Portionen Bestell-Nr. P11 660
Grundsätzliche Voraussetzungen für die Fachoberschule ab Klasse 11 im Fach Mathematik
Grundsätzliche Vorussetzungen für die Fchoberschule b Klsse im Fch Mthemtik Zum Eintritt in die Fchoberschule ist der mittlere Bildungsbschluss Vorussetzung. Ds heißt, im Fch Mthemtik werden die, bis zur
Lösung: a) 1093 1100 b) 1093 1090
OvTG Guting, Grundwissen Mthemtik 5. Klsse 1. Ntürliche Zhlen Dezimlsystem Mn nennt die Zhlen, die mn zum Zählen verwendet, 10963 = 1 10000+ 0 1000+ 9 100+ 6 10 + 3 1 ntürliche Zhlen. Der Stellenwert der
Teilbarkeitsregeln. 6.1 Grundwissen Mathematik Algebra Klasse 6. Teilbarkeit durch 2: Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn die Endziffer gerade ist.
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Grundwissen l Klasse 5
Grundwissen l Klsse 5 1 Zhlenmengen und Punktmengen {1; 2; 3; 4; 5; 6;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen. 0 {0; 1; 2; 3; 4; 5;... } Die Menge der ntürlichen Zhlen mit Null. M {; ; C;... } Die Menge der
Großdruck. ohne Beispiele. (a + b) = a + 2ab + b. (a - b) = a - 2ab + b. (a + b) (a - b) = a - b. Zeitspannen: erste binomische Formel:
16 7 8 9 4 5 6 1 2 3 1 2 13 14 15 5 6 1 2 3 4 b c A B 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 17 18 19 20 21 22 23 24 25 C 13 14 15 16 9 10 11 12 7 8 2 2 2 erste binomische Formel: ( + b) + 2b + b 2 2 2 zweite binomische
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2 P a) Temperaturabnahme um 9 C b) Temperaturabnahme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6
Gnze Zhlen 1 35 Ausgngstempertur +6 C... ) Temperturbnhme um 9 C b) Temperturbnhme um 12 C (+6) (+9) = 3 (+6) (+12) = 6 36 Ausgngstempertur 4 C... ) Temperturzunhme um 10 C b) Temperturzunhme um 21 C (
Rechenregeln. Bezeichnung Regel Bemerkung/Beispiel. Der Betrag einer Zahl ist stets ein positiver Wert. Strichrechnungen
1 Rechenregeln Betrg einer Zhl Subtrktion Kommuttivität der Addition (Vertuschungsgesetz) Assozitivgesetz der Addition (Verbindungsgesetz) Vorzeichenregeln Vorzeichen vor Klmmern Definition der Multipliktion
{ } Menge der natürlichen Zahlen { } Menge der natürlichen Zahlen mit Null { } Menge der ganzen Zahlen
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Ich kann LGS mit drei Gleichungen und drei Unbekannten mit dem Gauß-Verfahren lösen.
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Begriffe: Addition Subtraktion Multiplikation Division. Summe Differenz Produkt Quotient a + b a b a b a : b
Grundlgen 0.0. Zhlbereiche ntürliche Zhlen: N = {0; ; 2;...} (nch DIN 547) N = N \ {0} gnze Zhlen: Z = {... 2; ; 0; ; 2;...} rtionle Zhlen: Q = { p p, q Z, q 0} q Q besteht us llen Bruchzhlen. reelle Zhlen:
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