1 Wahrscheinlichkeit und Statistik

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1 Themen für GFS Die Themen müssen nicht unbedingt mit dem Unterricht zu tun haben. Sie sollten zu eigenständigen Aktivitäten anregen. Es gibt je eine Note für die mündliche Präsentation und den schriftlichen Teil, die zu gleichen Teilen zur Gesamtnote beitragen. Der mündliche Vortrag sollte frei gehalten werden und sich möglichst auf wesentliche Aspekte beschränken. Die schriftliche Ausarbeitung enthält dann die vollständige, selbst formulierte Dokumentation der geleisteten Arbeit. Ans Ende der Ausarbeitung gehört ein Literatur- bzw. Quellenverzeichnis. WICHTIG: Im schriftlichen Teil sollten auch Zitate aus den verwendeten Quellen enthalten sein (und als solche kenntlich gemacht werden). Da Quellen eindeutige Verfasser haben, können Webseiten ohne eindeutigen Autor (z.b. Wikipedia) nicht im Text verwendet werden. Bei der Suche nach Literatur bin ich gerne behilflich. Themenvorschläge: 1 Wahrscheinlichkeit und Statistik 1. Benfords Gesetz Wahrscheinlichkeit, Statistik, Datenerhebung Erklären und Begründen des Gesetzes von Benford Überprüfung an mehreren Beispielen 2. Irrtümer der Wahrscheinlichkeit und Statistik Wahrscheinlichkeit, Statistik 3. Lügen mit Statistik Wahrscheinlichkeit, Statistik, Datenerhebung 4. Das Sekretärinnenproblem (Heiratsproblem) Wahrscheinlichkeit, Spiel- und Entscheidungstheorie Fehlschlüsse, bedingte Wahrscheinlichkeit, Fehler 1. und 2. Art Tests z.b. in der Medizin Krebsvorsorge Diagramme, Korrelation Wie viel Prozent aller Kandidatinnen müssen getestet werden, um mit hoher Wahrscheinlichkeit die Beste zu finden? 37%-Regel, Eulersche Zahl e

2 5. Das Taxiproblem Statistik, Schätztheorie Wie kann man die Anzahl der Taxis in einer Stadt abschätzen? Überprüfung an mehreren Beispielen 6. Das Pascal-Dreieck Kombinatorik, Folgen, Fraktale Aufbau und Eigenschaften Anwendungsmöglichkeiten Zusammenhang mit dem Sierpinski-Dreieck 7. Mathematik in der Zeitung Statistik, Prozentrechnung, Funktionen Rechenfehler Fehlschlüsse Irrtümer Abschätzungen Diagramme Kritische Untersuchung von Angaben und Diagrammen 2 Geometrie 1. Labyrinthe Geometrie, Algorithmen Labyrinthe in Kunst und Architektur Wie findet man aus einem Labyrinth wieder heraus? Evtl. Computerprogramm 2. Die Wurstvermutung Geometrie, Kugelpackungen 3. Mathematik und Kunst Perspektive Darstellende Geometrie Analytische Geometrie Optimale Verpackungen, Wurstkatastrophe, höhere Dimensionen Fluchtpunkt Zentralperspektive Schattenkonstruktion

3 4. Die vierte Dimension Geometrie, Koordinaten, Körper Körper in der vierten Dimension Volumen Platonische Körper Basteln eines Modells 5. Topologie Die Geometrie der Verformung Geometrie, Flächen, Körper Möbiusband, Kleinsche Flasche Knoten Mannigfaltigkeiten Basteln eines Modells 6. Kegelschnitte Ebene Kurven, Algebra 7. Eckige Räder Reuleaux-Dreiecke (Gleichdicks) 8. Seil um Erde Satz des Pythagoras Kreisgeometrie Eigenschaften und Konstruktion der Kegelschnitte (Ellipse, Hyperbel, Parabel) Anwendungen Algebraische Darstellung Konstruktion, Eigenschaften Vergleich von Umfang und Fläche mit einem entsprechenden Kreis Wieso funktioniert das Rollen? Anwendungen (z.b. Plattform des Wiener Fernsehturms, Wankelmotor, Bohrer für quadratische Löcher) Ein Seil wird um die Erde gespannt und dann um einen Meter verlängert. a) Wenn es wieder so gespannt wird, dass es überall den gleichen Abstand zum Boden hat: Wie hoch befindet es sich über der Erdoberfläche? b) Wenn das Seil an einer Stelle hochgezogen wird: Welche Höhe kann es erreichen? Veranschaulichungen Bau eines Fahrzeugs mit eckigen Rädern

4 3 Angewandte Mathematik 1. Die Mathematik der Codierungstheorie Fehlerkorrigierende Codes - Compact Disc 2. Warum ISBN besser als EAN ist Codierungstheorie Fehlerkorrigierende Codes - 3. Pizza-Essen für Fortgeschrittene - Gerechtes Teilen Spiel- und Entscheidungstheorie Verfahren zur gerechten Teilung bei 2, 3 oder mehr Personen 4. Computertomografie Lineare Gleichungssysteme Medizinische Grundlagen Modellierung Beispiel 5. Chaos beim logistischen Wachstum Wachstumsprozesse Funktionen Iterationen dynamische System Der Begriff Chaos Beispiele Feigenbaumkonstante Computerprogramm 6. Das Braess- Paradoxon Spieltheorie Optimierung Mechanik Braess-Paradoxon in Netzwerken Mechanisches Paradoxon

5 7. Tempolimit oder Freie Fahrt Modellierung Funktionsuntersuchung Bestimmen der optimalen Geschwindigkeit für maximalen Verkehrsfluss Staubildung Evtl. Computersimulation 8. Mathematik und Psychologie 9. Mathematik und Medizin Logik Zahlen und Rechnen Wahrscheinlichkeit Statistik Dynamische Systeme (Scheinbar) irrationales Verhalten Einfluss von Emotionen auf Entscheidungen Wason-Test Distanzeffekt beim Lernen Mögliche Themen: Planung von Operationen Auswertung von Studien Ausbreitung von Krankheiten Krebs-Früherkennung Bildgebende Verfahren Hörgeräte 10. Spieltheorie Wahrscheinlichkeit Zwei-Personen-Nullsummenspiele Gleichgewicht, Strategien Zwei-Personen-Nicht-Nullsummenspiele Gefangenendilemma 11. Staatsverschuldung Exponentialfunktion, Wachstumsvorgänge, Umgang mit Daten 12. Mathematik und die Steuern Finanzmathematik Funktionen, Schaubilder, Stetigkeit Wächst die Staatsverschuldung exponentiell? Bestimmung des jährlichen und täglichen Wachstumsfaktors Veranschaulichung Konsequenzen für Wirtschaft und Gesellschaft Zusammenhang zwischen Einkommen und Steuersatz: Steuerbetragsfunktion Grenzsteuersatz Verlauf der Steuerfunktion erklären Berechnung am Beispiel Experimente Experimente Daten für mehrere Länder vergleichen Aktuelle Daten beschaffen

6 4 Reine Mathematik 1. Das Unendliche Mengenlehre, Abzählbare und überabzählbare Mengen, - Zahlbereiche Rationale Zahlen, reelle Zahlen, Cantormenge 2. Komplexe Zahlen Zahlbereiche, Algebra Zahlkörper, Zahlenebene, Rechnen mit komplexen Zahlen 3. Elementare Zahlentheorie Zahlentheorie Restklassen, 4. Primzahlen Zahlentheorie Kleiner Satz von Fermat Primzahltests Pseudoprimzahlen Primzahlrekorde 5. Die Kaninchenplage - Fibonaccizahlen Folgen, vollständige Induktion Rekursive und iterative Darstellung von Folgen Anwendungen der Fibonaccizahlen Entdecke eine neue Primzahl