Die Winkelsumme im Dreieck beträgt 180. Herleitung bzw. experimentelle Begründung in der Schule: Durch Punktspiegelung. Bedeutung+Winkelsumme 1
|
|
- Paul Heintze
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 edeutung+winkelsumme 1 Winkelsumme Kpitel 5: Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels Sätzen üer Dreieke (z.. Winkelsumme, Fläheninhlt, Kongruenz) 5. Winkelsumme im Dreiek Die Winkelsumme im Dreiek eträgt 180. Herleitung zw. experimentelle egründung in der Shule: Durh Prkettierung experimentell Durh Punktspiegelung Durh Winkel n Prllelen Stz 5.1 Die Winkelsumme im n-ek eträgt (n-) 180. n = (n ) 180 (n ) 180
2 esondere Punkte im Dreiek esondere Punkte im Dreiek esondere Linien und Punkte im Dreiek Stz 5. (Stz vom Mittendreiek) Verindet mn die Seitenmitten eines Dreieks, so liegen die Seiten des entstehenden Dreieks prllel zu Seiten des usgngsdreieks und sind hl so lng. eweis trivil mit Hilfe der Strhlensätze ( Üungen) eweis ohne Strhlensätze (Shule): usgngsdreiek, Mittendreiek. Spiegle ds Mittendreiek n seinen Seitenmitten M, M, M.. ei Punktspiegelung gilt: ildstreke Originlstreke. Hinweis: Eigentlih wird so nur ewiesen, dss mn, usgehend von ein Dreiek erhält, dessen Mittendreiek ist. Es wäre zu zeigen, dss mn - usgehend von und dessen Mittendreiek - durh diese Spiegelung wieder zu gelngt. ' M' ' M' M' ' Stz 5.3 (esondere Linien im Dreiek) In einem Dreiek shneiden sih ) die Mittelsenkrehten im Umkreismittelpunkt U; Dreiek spitzwinklig: U innerhl des Dreieks Dreiek rehtwinklig: U uf der längsten Dreieksseite Dreiek stumpfwinklig: U ußerhl des Dreieks ) die Winkelhlierenden im Inkreismittelpunkt; ) die Seitenhlierenden im Shwerpunkt S; dieser teilt die Seitenhlierenden im Verhältnis :1; d) die Höhen im Höhenshnittpunkt.
3 Umkreismittelpunkt Inkreismittelpunkt Umkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die durh und gehen? Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die durh und gehen? Mittelsenkrehte von M Mittelsenkrehte von M Der Mittelpunkt des Kreises, der durh lle Ekpunkte geht, ist der Shnittpunkt der Mittelsenkrehten. Inkreismittelpunkt Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die die Seiten und erühren? Wo liegen die Mittelpunkte ller Kreise, die die Seiten und erühren? Winkelhlierende Winkelhlierende Der Mittelpunkt des Kreises, der lle Seiten erührt, ist der Shnittpunkt der Winkelhlierenden.
4 Höhenshnittpunkt Shwerpunkt Höhenshnittpunkt Mittelsenkrehte H h Die Mittelsenkrehten von Dreiek gehen durh einen Punkt h h Mittelsenkrehte Die Höhen von Dreiek gehen durh einen Punkt Mittelsenkrehte Shwerpunkt M M M M s s M M M M M M S S s s M M Die Prllelen hen lle gleihen stnd teilt die rote Linie im Verhältnis :1. Eenso die lue. M
5 Euler-Gerde Kongruenzsätze 1 Euler-Gerde Umkreismittelpunkt U, Shwerpunkt S und Höhen-Shnittpunkt H liegen uf einer Gerden. Diese heißt Euler-Gerde. Es ist SH = US. F M H S F U M geht durh Strekung mit Zentrum S und Strekfktor ½ in M M M üer. Die Höhen von gehen dei in die Höhen M M M üer. F M Diese sind die Mittelsenkrehten von. Dmit geht H durh Strekung mit Zentrum S und Strekfktor -½ in U üer. 5.4 Kongruenzsätze Die Kongruenzsätze hen wir zu eginn ls xiome in der folgenden Form vorusgesetzt: Stimmen zwei Dreieke in den drei Seiten (sss), den zwei n eine Seite nliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw), üerein, dnn stimmen sie in llen Mßen üerein.
6 Kongruenzsätze Ähnlihe Figuren 1 Wir hen in den vorngehenden Kpiteln gezeigt: Je zwei in llen estimmungsstüken üereinstimmenden Dreieke können durh genu eine Kongruenzildung ufeinnder geildet werden. Dmit wird der Shverhlt ls rihtiger Kongruenzstz formuliert: Stimmen zwei Dreieke in den drei Seiten (sss), den zwei n eine Seite nliegenden Winkeln (wsw), zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws), zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw), üerein, dnn können sie durh eine Kongruenzildung ufeinnder geildet werden. 5.5 Ähnlihe Figuren und Ähnlihkeitssätze Definition 5.1 Zwei Figuren heißen ähnlih es git eine Ähnlihkeitsildung, die die Figuren ufeinnder ildet. Stz 5.4 Ähnlihe Figuren stimmen in llen einnder entsprehenden Winkeln und in den Längenverhältnissen ller einnder entsprehenden Linien üerein. eweis: Winkel: trivil Längenverhältnisse: ei einer zentrishen Strekung, werden lle Streken mit dem gleihen Fktor k multipliziert, die Kongruenzildung erhält die Strekenlängen
7 Ähnlihe Figuren Ähnlihe Figuren 3 emerkung: Die Gleihheit von Längenverhältnissen gilt niht nur für Längen von Streken sondern uh für die Längen niht gerdliniger Linien (z.. Kreisögen usw.) α k α k Um die Ähnlihkeit von Dreieken nhzuweisen enutzt mn häufig die Ähnlihkeitssätze für Dreieke. Mn gewinnt sie unmittelr us den entsprehenden Kongruenzsätzen für Dreieke. Ähnlihkeitsstz entsprehender Kongruenzstz Zwei Dreieke sind zueinnder ähnlih, wenn sie üereinstimmen in Zwei Dreieke sind kongruent, wenn sie üereinstimmen in den Verhältnissen der drei Seiten zwei Winkeln den Verhältnissen von zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel den Verhältnissen von zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel den drei Seiten (sss) einer Seite und den nliegenden Winkeln (wsw) zwei Seiten und dem eingeshlossenen Winkel (sws) zwei Seiten und dem der größeren Seite gegenüer liegenden Winkel (Ssw)
8 Geometrishe Orte 1 Geometrishe Orte 5.6 Geometrishe Orte Gegeen: Dreiek. Die Seite wird festgehlten. wird so ewegt, dss der Fläheninhlt, der Umfng, der Winkel γ unverändert leit. uf welher Linie läuft? n welhem Ort efindet sih? Mn nennt diese Kurven (Punktmengen) den geometrishen Ort der Punkte mit einer gewissen Eigenshft. ufge Definieren Sie die folgenden Kurven jeweils ls geometrishen Ort : Der Kreis mit Mittelpunkt M und Rdius r. Die Mittelsenkrehte der Streke. Die Winkelhlierende des Winkels h f, h g h f, h g ls Shenkel. mit den Hlgerden Die Seitenhlierende s zur Seite im Dreiek. Welhe Definition einer Ellipse ls Ortslinie ergit sih us der. Eigenshft der eispiele der vorngehenden Seite?
9 Winkelsätze 1 Winkelsätze 5.7 Winkelsätze: Umfngwinkelstz Stz 5.5 ) Die Umfngswinkel ( Peripherie-Winkel ) uf einem Kreisogen sind lle gleih groß (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel) ) Die Sheitel ller Dreieke mit gleihem Winkel π ei üer einer Streke liegen uf einem Kreisogen, der durh und verläuft. Kurz: Der geometrishe Ort ller Punkte, für die die Streke unter dem gleihen Winkel π ersheint, ist ein Kreisogen durh die Punkte und. Sonderfll: Stz des Thles ) Der Winkel zwishen der Sehne und der Tngente in (Sehnen-Tngenten-Winkel) ist eenso groß wie der Peripheriewinkel π (und ½ so groß wie der zugehörende Mittelpunktswinkel). 5.7 Winkelsätze: Umfngwinkelstz zu (): Umfngswinkel = π = α + β Mittelpunktswinkel = λ α α π γ β λ δ λ/ β π α+γ = 180 β+δ = 180 λ = γ - δ = (180 -α) - (180 -β) = α + β Umfngswinkel = 1/ λ konstnt! ndere Lgen des Punktes? Zu () Sei K der Kreis üer zum Winkel π us (). Für Punkte ußerhl des Kreises K ist der Winkel ei kleiner ls π, für innerhl von K größer ls π. egründung?
10 Flähensätze 5.8 Flähensätze: Stzgruppe des Pythgors Stz 5.6 Im rehtwinkligen Dreiek ist ein Kthetenqudrt so groß wie ds Rehtek us Hypotenuse und nliegendem Hypotenusenshnitt, ist ds Hypotenusenqudrt so groß wie die Summe der Kthetenqudrte, ist ds Qudrt üer der Höhe so groß wie ds Rehtek us den eiden Hypotenusenshnitten. Der klssishe eweis des Kthetenstzes D Ds Qudrt üer der Kthete wird durh Sherung in eine flähengleihes Prllelogrmm üerführt. Grundseite des Prllelogrmms ist D,die Höhe ist eenso lng wie die Seite. D q Ds Prllelogrmm wird um 90 um die Eke gedreht. q Ds Prllelogrmm knn wieder durh Sherung in ds flähengleihe Rehtek mit den Seitenlängen q und üerführt werden. D q eweis Kthetenstz
11 Der klssishe eweis des Stzes des Pythgors us dem Kthetenstz Der Stz des Pythgors folgt unmittelr us der nwendung des Kthetenstzes uf die eiden Kthetenqudrte. eweis Pythgors eweis des Höhenstzes us dem Stz des Pythgors h = p h = q h = + p q = ( p + q) p q = p + q + pq p q = pq h = pq eweis Höhenstz
12 nwendung des Höhenstzes: Umwndlung eines Rehteks in ein flähengleihes Qudrt mit Zirkel und Linel. ufge Gegeen ist ein elieiges Rehtek mit den Seitenlängen und. Gesuht ist ein flähengleihes Qudrt. Zur Streke mit der Länge + wird der Thleskreis K konstruiert und ds Lot h in F errihtet. h Der Shnittpunkt von K mit H ist die Eke eines rehtwinkligen Dreieks mit der Höhe h. Es gilt h = zw. h = F nwendung Höhenstz
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS DEISSLER skript05-temp.doc
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 50 DEISSLER skript05-temp.do 5 Dreiekslehre 5.1 edeutung der Dreieke Durh Tringultion lssen sih Vieleke in Dreieke zerlegen ( n Ek in n- Dreieke) eweis von Sätzen mittels
Mehra) Spezielle Winkel bei schneidenden Geraden und Parallelen α 3 β 4 Institut für Automatisierungstechnik Prof. Dr. Ch. Bold Vorsemester V.
0.05.0 Geometrie und Trigonometrie ) Spezielle Winkel ei shneidenden Gerden und Prllelen 4 4 Sheitelwinkel sind gleih (z.. zw. ) Neenwinkel ergänzen sih zu 80 0 (z.. + 80 0 ) Stufenwinkel sind gleih (z..
MehrGrundwissenkatalog / g8 Geometrie / 7. Jahrgangsstufe
Grundwissenktlog / g8 Geometrie /. Jhrgngsstufe Die folgende ufstellung enthält mthemtishe Grundfertigkeiten, die ein Shüler nh der. Jhrgngsstufe eherrshen sollte. Dieses Wissen wird in den folgenden Jhren
MehrKapitel 5: Dreieckslehre. 5.1 Bedeutung der Dreiecke
edeutung+winkelsumme 1 Kapitel 5: Dreieckslehre 5.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke
MehrKapitel 4: Dreieckslehre. 4.1 Bedeutung der Dreiecke
Kapitel 4: Dreieckslehre 4.1 edeutung der Dreiecke Durch Triangulation lassen sich Vielecke in Dreiecke zerlegen ( n Eck in n- Dreiecke) eweis von Sätzen mittels Sätzen über Dreiecke (z.. Winkelsumme,
Mehr10 1 Grundlagen der Schulgeometrie. 1.3 Das Dreieck
10 1 Grundlgen der Shulgeometrie 13 Ds Dreiek In diesem shnitt findet lles in der ffinen Stndrdeene 2 = R 2 sttt Drei Punkte, und, die niht uf einer Gerden liegen, ilden ein Dreiek Die Punkte,, nennt mn
MehrDie Satzgruppe des Pythagoras
7 Die Stzgruppe des Pythgors In Klssenstufe 7 hen wir uns ei den Inhlten zur Geometrie insesondere mit Dreieken und ihren Eigenshften eshäftigt. In diesem Kpitel wirst du erkennen, dss es ei rehtwinkligen
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/20 08:57:49 hk Exp $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2015 Montg 20.4 $Id: dreiek.tex,v 1.15 2015/04/20 08:57:49 hk Exp $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mthemtishe Proleme, SS 2013 Montg 15.4 $Id: dreiek.tex,v 1.5 2013/04/15 09:12:15 hk Exp hk $ 1 Dreieke 1.4 Dreiekserehnung mit Seiten und Winkeln In der letzten Sitzung htten wir egonnen die vershiedenen
MehrDownload. Hausaufgaben Geometrie 1. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
ownlod Otto Myr Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ownloduszug us dem Originltitel: Husufgen Geometrie 1 Üen in drei ifferenzierungsstufen ieser ownlod ist ein uszug us dem Originltitel
MehrÄhnlichkeitssätze für Dreiecke
Klsse 9 Mth./Ähnlihkeitssätze S.1 Let Ähnlihkeitssätze für Dreieke Def.: Die Verkettung (Hintereinnderusführung) einer zentrishen Strekung mit einer Kongruenzbbildung heißt Ähnlihkeitsbbildung. Zwei Figuren,
MehrSatzgruppe des Pythagoras
Stzgruppe des Pythgors Jürgen Zumdik I. ntdeken des Stzes 1) Seilspnnergeshihte oder Zimmermnnsgeshihte (in Zimmermnn legt us Ltten der Länge 1,0 m, 1,60 m und,00 m ein Dreiek). ) us einer Werung von Ritter-Sport
Mehr01 Proportion Verhältnis Maßstab
5 Ähnlihkeit und Strhlensätze LS 01.M1 01 Proportion Verhältnis Mßst 1 Lies die folgende Informtion sorgfältig. Mrkiere wihtige egriffe und Formeln. ) Proportionle Zuordnung ei einer proportionlen Zuordnung
MehrSeite 50. Einstieg. 1 a) α und γ sind Scheitelwinkel. b) α und α sind Stufenwinkel. c) β und δ sind Scheitelwinkel. d) β und δ sind Wechselwinkel.
Dreieke Shüleruhseite 8 5 Dreieke uftkt Seiten 8, 9 Seite 8 Ds Rehtek knn niht mehr verformt werden, wenn mn zwei gegenüerliegende Eken mit einem 5er-Streifen verindet. Dmit ds Sehsek seine Form ehält,
MehrH Dreiecke und Vierecke
H Dreieke und Viereke 1 eziehungen zwishen Seiten und Winkeln im Dreiek In einem Dreiek liegt der längsten Seite der größte Winkel gegenüer. Umgekehrt liegt dem größten Winkel uh die längste Seite gegenüer.
MehrEinige elementargeometrische Sätze über Dreiecke
Seite I Einige elementrgeometrische Sätze üer Dreiecke Durch drei nicht uf einer Gerden gelegene (d.h. nicht-kollinere) Punkte A, B, C in der euklidischen Eene ein Dreieck ABC mit Seiten,, c und (Innen-)Winkeln,,
MehrDEMO. Dreiecke: Geometrie INTERNETBIBLIOTHEK FÜR SCHULMATHEMATIK. Konstruktionen. Kongruente Dreiecke. Datei Nr
Geometrie Dreieke: Konstruktionen Kongruente Dreieke Dtei Nr. 11111 DEM Friedrih ukel Stnd: 19. Juni 2017 INTERNETILITHEK FÜR SHULMTHEMTIK www.mthe-d.shule 11111 Dreieke 1 Kongruenz 2 Inhlt 1. Konstruktion
MehrDreiecke können einerseits nach den Eigenschaften ihrer Seiten und andererseits nach ihren Winkeln benannt werden. Einteilung nach den Seiten:
gnz klr: Mthemtik 2 - s Ferienheft mit Erfolgsnzeiger 3 Rettungsring Eigenshften von reieken & Viereken Eigenshften von reieken Ein reiek ht immer 3 Ekpunkte, 3 Seiten un 3 Innenwinkel. ie eshriftung eines
Mehr2 Die Bildsprache Der relevante Winkel im grünen Dreieck ist stumpf; die gleichschenkligen Dreiecke haben den Basiswinkel 180 :
Hns Wlser, [20080409] Eine Visulisierung des Kosinusstzes 1 Worum es geht Es wird eine zum Pythgors-Piktogrmm nloge Figur für niht rehtwinklige Dreieke esprohen. Dei werden ähnlihe gleihshenklige Dreieke
MehrÄnderungen in Zweitauflagen von Buch, Arbeits- und Theorieheft und Begleitordner
Änderungen in Zweituflgen von uh, reits- und Theorieheft und egleitordner lle uflgen des Shüleruhes, des reits- und Theorieheftes und des egleitordners lssen sih prolemlos neeneinnder verwenden. Shüleruh
MehrGeometrische Figuren und Körper
STNRUFGEN Geometrishe Figuren und Körper Geometrishe Figuren und Körper Welhe Shreiweisen geen den Winkel β des neenstehenden reieks PQR rihtig wieder? β = Qrp β = rp β = PQR R β = QRP β = pq q p P r Q
MehrEin Winkel zwischen 0 und 90 heißt spitzer Winkel, ein Winkel zwischen 90 und 180 heißt stumpfer Winkel.
Geometrie 1 3 Winkelsummen Der von zwei Nhrseiten eines Vieleks geildete Winkel heißt Innenwinkel. Die Summe der Innenwinkel eines Dreieks eträgt 180. + + = 180 Die Summe der Innenwinkel eines Viereks
Mehr7.4. Teilverhältnisse
7... erehnung von Teilverhältnissen ufgen zu Teilverhältnissen Nr. 7.. Teilverhältnisse Die Shwerpunkte von Figuren und Körpern lssen sih mit Hilfe von Teilverhältnissen usdrüken und erehnen. Definition
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lernzirkel / Stationenlernen: Höhensätze (Pythagoras und Euklid)
Unterrihtsmterilien in digitler und in gedrukter Form uszug us: Lernzirkel / Sttionenlernen: Höhensätze (Pythgors und Euklid) Ds komplette Mteril finden Sie hier: Downlod ei Shool-Soutde SHOOL-SOUT Lernzirkel
MehrSymmetrien und Winkel
5-04 1 10 mthuh 1 LU reitsheft + weitere ufgen «Grundnforderungen» Symmetrien 301 Zeihne Grossuhsten des lphets, sortiert nh vier Typen: hsensymmetrish punktsymmetrish hsen- und punktsymmetrish weder hsen-
MehrDie Dreiecke ADM A und BCM C sind kongruent aufgrund
Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mthemtisches Institut pl. Prof. Dr. Lutz Hille Dr. Krin Hlupczok Üungen zur Vorlesung Elementre Geometrie Sommersemester 010 Musterlösung zu ltt 4 vom 3. Mi 010
MehrPythagoras. Suche ein rechtwinkliges Dreieck mit ganzzahligen Seitenlängen. ... c Roolfs
Pythgors Suhe ein rehtwinkliges Dreiek mit gnzzhligen Seitenlängen..... 1 Pythgors Für ein Dreiek mit den Seitenlängen = 3 und = 4 (in m) gilt vermutlih = 5. Weise diese Vermutung nh. Tipp: Bestimme den
MehrMuss der Umfang (u) oder der Flächeninhalt (A) berechnet werden? Kreuze an! Der Umfang (u) ist die Länge des Weges um eine Fläche herum.
9 Rettungsring Umfng und Fläheninhlt von Figuren Begriffe: Umfng und Fläheninhlt 1 Muss der Umfng (u) oder der Fläheninhlt () erehnet werden? Kreuze n! u B C D E F G H Zun eines Grundstüks Rsenflähe eines
MehrWir haben ein Koordinatensystem mit der x-achse und der y-achse. Nun wird ein Kreis gebildet mit dem Radius r=1.
Trigonometrie In diesem Themenereih wenden wir uns den Winkeln im rehtekigen Dreiek zu. Du hst uf deinem Tshenrehner siher shon die Tsten sin, os und tn gesehen. Doh ws edeuten sie? Ds wollen wir herusfinden.
Mehr2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeihne ds Dreiek ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erehne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und C(8
MehrR. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 17.11.2010
R. rinkmnn http://rinkmnn-du.de Seite 7..2 Grundegriffe der Vektorrehnung Vektor und Sklr Ein Teil der in Nturwissenshft und Tehnik uftretenden Größen ist ei festgelegter Mßeinheit durh die nge einer Mßzhl
Mehr2 Mathematische Grundlagen
Mthemtishe Grundlgen. Mthemtishe Grundegriffe.. Grundgesetze Kommuttivgesetze + = + = ssozitivgesetze ( + ) + = + ( + ) ( ) = ( ) Distriutivgesetz ( + ) = +.. Gesetze der nordnung < > ( ) > 0 us < folgt:
MehrKonstruktion mit Zirkel und Lineal
Alert Ludigs Universität Freiurg Institut für Mthemtik Ateilung für Reine Mthemtik Prof Dr D Wolke Dipl Mth S Feiler Üungen ur Vorlesung Ergänungen ur Elementren Zhlentheorie Wintersemester 9/ 9 Üungsltt
MehrFlächensätze am rechtwinkligen Dreieck
Flähensätze m rehtwinkligen Dreiek ufge: Zeihne ein rehtwinkliges Dreiek us = 7 m, = 5 m γ = 90 o und zeihne die Höhe h ein. γ Kthete h Kthete q Hypotenusenshnitte Hypotenuse p MERKE: Ktheten: Hypotenuse:
MehrMathematik Trigonometrie Einführung
Mthemtik Trigonometrie Einführung Ws edeutet ds Wort Trigonometrie und mit ws eshäftigt sih die Trigonometrie? Eine kleine Wortkunde: tri edeutet 'drei' Beispiel: Trithlon,... gon edeutet 'Winkel'/'Ek'
MehrM 2 - Übungen zur 2. Schularbeit
M - Üungen zur. hulreit ) erehne ds Ergenis! ) ( ) + ) ( ) ) ( ) ( ) + 0 ) erehne! )( ) + ( ) ) ( + ) )( ) ( ) + ) hreie ds Ergenis ls gemishte Zhl! (Kürze ereits vor dem Multiplizieren!) ) ) ) Löse die
MehrGeometrie - Lösungen C E. Bestimmungsaufgaben Aufgabe 1) Geg.: (a) DE AC; (c) FDB = 145 ; Ges.: = ECG; = DEB. (Bezeichnungen siehe Figur)
Geometrie - Lösungen estimmungsufgben ufgbe 1) Geg.: () ; (b) ; () F = 145 ; Ges.: = G; =. (ezeihnungen siehe Figur) F G Lösung: () (1) = 180-145 = 35 ; [Nebenwinkelstz für F]. (),(1) () = = 35 ; [Stufenwinkelstz].
MehrDer Begriff der Stammfunktion
Lernunterlgen Integrlrehnung Der Begriff der Stmmfunktion Wir gehen von folgender Frgestellung us: welhe Funktion F x liefert ls Aleitung eine gegeene Funktion f x. Wir suhen lso eine Umkehrung der Aleitung
MehrII Dreiecksgeometrie. Schülerbuchseiten Lösungshinweise zu den Erkundungen L 22. Gruppe 4 (gegeben 2. = 50 ): Es gilt 2
Schüleruchseiten 44 45 II reiecksgeometrie Lösungshinweise zu den Erkundungen Seite 44 Ein gnz esonderer Kreis Vorüerlegungen reiecke, ei denen (mindestens) zwei Seiten gleich lng sind, nennt mn gleichschenklige
MehrKonstruktion des regulären Fünfecks mit dem rostigen Zirkel (rusty compass)
onstruktion des regulären Fünfeks mit dem rostigen Zirkel (rusty ompss) Vrinte 1 Oliver ieri ie hier vorliegende Methode zur onstruktion eines regulären Fünfeks unter Zuhilfenhme eines rostigen Zirkels
MehrGrundwissen 7. Jahrgangsstufe 1. Symmetrie Wissen Können Beispiele a) Achsenspiegelung : Symmetrieachse Mittelsenkrechte Winkelhalbierende
Grundwissen 7. Jhrgngsstufe 1. Symmetrie ) chsenspiegelung : Symmetriechse Mittelsenkrechte Winkelhlbierende Konstruktion Spiegelpunkt, Spiegelchse Mittelsenkrechte: Winkelhlbierende: Lot: Eigenschften
MehrCheckliste Sinus, Kosinus, Tangens
Chekliste Sinus, Kosinus, Tngens Nr. K 1 K K 3 K 4 K 5 K 6 K 7 K 8 Kompetenz Ih knn... in einem rehtwinkligen Dreiek Kthete, Gegenkthete und Hypotenuse estimmen in einem rehtwinkligen Dreiek die Seitenverhältnisse
MehrFORMELSAMMLUNG GEOMETRIE. by Marcel Laube
FORMELSAMMLUNG GEOMETRIE y Mrcel Lue PLANIMETRIE... 4 PUNKT... 4 LINIE... 4 FLÄCHE... 4 KÖRPER... 4 WINKEL... 5 Arten von Winkeln... 5 Neenwinkel... 5 Scheitelwinkel... 6 Komplementwinkel... 6 Supplementwinkel...
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III
Mthemtik mht Freu(n)de KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, III 1. Aufgenstellungen Aufge 1.1. Zur Shneelsterehnung wird der Neigungswinkel α des in der nhstehenden Aildung drgestellten Dhes enötigt. Dei gilt:
MehrEine Anmerkung zur Neuberg-Kurve
Eine nmerkung ur Neuerg-Kurve Ekrt hmidt Die usreitung etrifft ds PM-Prolem P1059 PM 5/45.Jg.00,.44 Der Punkt P in der Eene des Dreieks wird n dessen eiten gespiegelt. Die piegelpunkte P, P, P ilden ds
MehrDas geteilte Quadrat
1 Ds geteilte Qudrt Puzzles from round the world by Dik Hess 19. Juli 001 Gegeben sei ein Qudrt mit der Seitenlänge. Ds Qudrt soll in zwei untershiedlihe Rehteke geteilt werden, wobei ds kleine Rehtek
MehrM3 Übung: Strahlensatz, Teilungsrechnung, Strecken teilen Name: 1)Stelle eine Verhältnisgleichung auf und berechne x!
M Üung: Strhlenstz, Teilungsrehnung, Streken teilen Nme: 1)Stelle eine Verhältnisgleihung uf und erehne! 1,5 4,0,0 2)Berehne mit einer Proportion! (Mße in m!) 6,0 6,5 1, )Stelle eine Verhältnisgleihung
MehrOber- und Untersummen, Riemann Integrale
Oer- und Untersummen, Riemnn Integrle 1. Ds Prolem des Fläheninhlts Ausgngspunkt für die Entwiklung des Integrlegriffs wren vershiedene Frgestellungen, u.. ds Prolem der Messung des Fläheninhltes eines
MehrGrundwissen Mathematik 8.Klasse Gymnasium SOB. Darstellung im Koordinatensystem: Der Kreisumfang ist direkt proportional zu seinem Radius.
Gymso 1 Grundwissen Mthemtik 8.Klsse Gymnsium SOB 1.Funktionle Zusmmenhänge 1.1.Proportionlität Ändern sih ei einer Zuordnung die eiden Größen im gleihen Verhältnis, so spriht mn von einer direkten Proportionlität.
MehrKapitel 3: Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie. 3.1 Die Gruppe (K,o) aller Kongruenzabbildungen einer Ebene
Gruppe er Kongruenzilungen 1 Gruppe er Kongruenzilungen 2 Kpitel 3: ekilungen von Figuren - Symmetrie 3.1 ie Gruppe (K,o) ller Kongruenzilungen einer Eene K ist ie Menge ller Kongruenzilungen E E; o ist
MehrDreiecke Vierecke 11. Lösungen B211-01
reieke Viereke 11 211-01 1 5 1 ei den Winkelhalbierenden sind zwei Seiten, ausgehend von einem Ekpunkt, aufeinanderzulegen. ei genauem Falten treffen sih die drei Winkelhalbierenden in einem Punkt, dem
MehrAT = λ TB. Kapitel 5: Teilverhältnisse und Ähnlichkeit. Definition Teilverhältnis λ. Allgemeiner
Definition Teilverhältnis Definition Teilverhältnis Üung Kpitel 5: Teilverhältnisse und Ähnlihkeit Definition Teilverhältnis λ λ T T llgemeiner T λ T T T T T ist innerer Teilpunkt, flls λ > 0 T ist äußerer
MehrFacharbeit über den Beweis der Existenz der Euler schen Gerade in ebenen Dreiecken.
Fhreit üer den Beweis der Eistenz der Euler shen Gerde in eenen Dreieken. Verfßt von Ing. Wlter Höhlhumer im Mi und ergänzt im Juli Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der Euler shen Gerde Eistenz der
MehrWir wählen einen Punkt O des zwei- bzw. dreidimensionalen euklidischen Raums als Ursprung oder Nullpunkt. b 3 c. b 2
IV. Teilung und Teilverhältnis im Punktrum ================================================================ 4.1 Der Punktrum Wir wählen einen Punkt O des zwei- zw. dreidimensionlen euklidischen Rums ls
MehrBesondere Linien und Punkte im Dreieck
Sttion 6 Aufge Besondere Linien und Punkte im Dreiek Nme: Betrhte folgende Begriffe. Shreie diese n die rihtige Stelle neen den Dreieken. Höhenlinie Winkelhlierende Seitenhlierende Mittelsenkrehte Mittelpunkt
MehrDie Näherung ist umso genauer, je kleiner die Zellen sind. Der Grenzwert ist
Höhere Mthemtik Mehrfhintegrle sind Integrle üer eiete R n Zweifhintegrle treten B ei der Berehnung des Fläheninhltes und von Flähenträgheitsmomenten uf Dreifhintegrle kommen ei der Berehnung des Volumeninhltes
MehrParallelprojektion einer Ebene in eine andere Ebene: Motivation für die Abbildungsvorschrift von Achsenaffinitäten.
rllelprojektion durch Sonne 1 rllelprojektion durch Sonne 2 Kpitel 4: ffine bbildungen rllelprojektion einer Ebene in eine ndere Ebene: Motivtion für die bbildungsvorschrift von chsenffinitäten. E 1 Figuren
MehrDr. Michael Gieding ph-heidelberg.de/wp/gieding. Skript zur gleichnamigen Vorlesung im Wintersemester 2006/2007
Dr. Mihel Gieding h-heidelerg.de/w/gieding Einführung in die Geometrie Skrit zur gleihnmigen Vorlesung im Wintersemester 2006/2007 Kitel 3: Prllelität Vo r l e s u n g 1 1 : D e r I n n e n w i n k e l
MehrÜbungen zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Lösungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 2015 Bltt 6 26.05.2015 Üungen zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Lösungsvorschlg 21. ) Ein Qudrt mit der Seitenlänge + und dmit dem
MehrDownload. Trigonometrie an Stationen. Übungsmaterial zu den Bildungsstandards. Marco Bettner, Erik Dinges. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Downlod Mro Bettner, Erik Dinges Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Downloduszug us dem Originltitel: Trigonometrie n Sttionen Üungsmteril zu den Bildungsstndrds Dieser Downlod
MehrInhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:
Stzgruppe des Pytgors Inlt: 1 Der Stz des Pytgors Pytgors im Rum 3 ufstellen von Formeln 4 Prktise nwendungen 5 Der Ktetenstz 6 Der Höenstz 7 Exkurs: Konstruktion retwinkliger Dreieke 8 ekliste 9 Hinweise
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 2. Runde 2013/2014
Lndeswettewer Mthemtik Bden-Württemerg Musterlösungen. Runde 0/04 Aufge Eine Zhlenfolge eginnt mit den positiven Zhlen und. Die weiteren Zhlen werden geildet, indem mn wehselnd die Summe und den Quotienten
MehrKapitel IV Euklidische Vektorräume. γ b
Kpitel IV Euklidische Vektorräume 1 Elementrgeometrie in der Eene Sei E die Zeicheneene In der Schule lernt mn: (11) Stz des Pythgors: Sei E ein Dreieck mit den Seiten, und c, und sei γ der c gegenüerliegende
Mehr3 Punkte, Ortsvektoren und Verbindungsvektoren. Zunächst im 2-dimensionalen: A 4 1 , C 2 4. und D 3 1 Koordinatensystem. in einem kartesischen
Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Punkte Ortsvektoren und Verindungsvektoren Zunähst im -dimensionlen: A 4 Gegeen sind die Punkte B 5 C 4 und D Koordintensystem. in einem krtesishen AB CD d Zu
MehrDownload. Basics Mathe Flächenberechnung. Fläche von Rechteck, Quadrat, Drachen, Raute, Parallelogramm, Dreieck. Michael Franck
Downlod Mihel Frnk sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm, Dreiek Downloduszug us dem Originltitel: sis Mthe Flähenerehnung Flähe von Rehtek, Qudrt, Drhen, Rute, Prllelogrmm,
Mehrder reellen Zahlen umfasst alle rationalen und irrationalen Zahlen.
. Zhlen. Die Qudrtwurzel Die Qudrtwurzel ist die positive Lösung der Gleihung Ein Teil der Qudrtwurzeln sind rtionle Zhlen. 0! z.b. 9, 0,0 0, oder, 0 0! 9 heißt Rdiknd ndere dgegen irrtionle Zhlen z. B.,
Mehr1. Berechnen Sie in den folgenden Strahlensatzfiguren die unbekannten Stücke! z y 23
Trigonometrie 1: Strhlensätze 1. Berehnen Sie in den folgenden Strhlenstzfiguren die uneknnten Stüke! ) 2.5 4 5 9 ) 4 3 5 10 z w 7 9 7 z 23 11 w 13 15 d) 18 3 e) 8 6 8 4 3 z 2. Welhe der folgenden Verhältnisse
Mehr2. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 1999/2000
Lndeswettewer Mthemtik Bern Runde 999/000 Aufge Ein Würfel wird durh je einen Shnitt rllel zur order-, Seiten und Dekflähe in ht Quder zerlegt (siehe Skizze) Können sih die Ruminhlte dieser Quder wie :
MehrGrundwissen. Die Menge der reellen Zahlen 0 =0. Beispiele
Grundwissen Klsse 9 Die Menge der reellen Zhlen Die Umkehrung des Qudrierens wird für nicht negtive Zhlen ls Ziehen der Wurzel oder Rdizieren ezeichnet. Die Qudrtwurzel us (kurz: Wurzel us ) ist dei die
Mehr5 Vierecke. 1 Quadrat
Viereke Shüleruhseite ((nm: Seitenereihe folgen in. Korr)) Viereke uftkt Seiten 8, 9 Seite 8 Qurt Viereksformen Seiten 0, Seite 0 Einstieg rotes Vierek: Rehtek lues Vierek: Rute grünes Vierek: Prllelogrmm
Mehr6. Landeswettbewerb Mathematik Bayern 2. Runde 2003/04 Aufgaben und Lösungsbeispiele
6. Lndeswettbewerb Mthemtik yern. Runde 00/04 ufgben und Lösungsbeispiele ufgbe 1 ie Seite [] eines reiecks wird über hinus bis zum Punkt so verlängert, dss = n gilt (n N n>1). ie Gerde durch und den Mittelpunkt
MehrI. Zahlen. II. Funktionen. Direkt proportionale Zuordnungen. Indirekt proportionale Zuordnungen. Funktion. Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 8 ---
Grundwissen Mthemtik Jhrgngsstufe 8 I. Zhlen --- II. Funktionen Direkt proportionle Zuordnungen x und y sind direkt proportionl zueinnder, wenn... zum n-fhen Wert von x der n-fhe Wert von y gehört die
MehrElemente der Geometrie 1
Elemente der Geometrie Inhlt Der Rote Fden. Definition. Geschichte Elementre Längenverhältnisse und Flächen 4. Elementre Bezeichnungen 4. Kreisögen 5.3 Flächen 5 3 Ds Innendreieck 6 4 Der Kreis des Archimedes
MehrSeitenmittenvierecke. von Sven Klein
von Sven Klein von Sven Klein liederung: 0. Worum geht es? 1. die qudrtishe etrhtung 2. ezug uf ds Rehtek 3. ds unvollständige us der Viereke 4. der Spezilfll: ds llgemeine Vierek 5. esetzmäßigkeiten 6.
MehrLandeswettbewerb Mathematik Baden-Württemberg Musterlösungen 1. Runde 2005
Lndeswettewer themtik den-württemerg usterlösungen 1. Runde 005 ufge 1 Ein Stück Ppier wird in oder Stücke zerschnitten. Nun wird eines der vorhndenen Stücke wieder whlweise in oder Stücke zerschnitten;
MehrVektorrechnung in der Ebene Beweis des Satz des Thales. u v ACB. = a b a a + b b b a. = a b a + b a b. Beispiel 3 Satz des Thales
Vektorrehnung in der Eene Beweis des St des Thles Beispiel 3 St des Thles Mn eweise den St des Thles: Jeder Peripheriewinkel üer einem Kreisdurhmesser AB ist ein rehter Winkel. C 1 C C 3 Beweis: A M B
MehrMathematik - Oberstufe
Mathematik - Oberstufe Aufgaben und Musterlösungen zu linearen Funktionen Zielgruppe: Oberstufe Gmnasium Shwerpunkt: Geraden, Streken und Dreieke im Koordinatensstem Aleander Shwarz www.mathe-aufgaben.om
Mehr4 Ähnlichkeitsabbildungen
EINFÜHRUNG IN DIE GEOMETRIE SS 05 41 DEISSLER 4 Ähnlichkeitsaildungen eispiele Verkleinerungen, Vergrößerungen ijektive, geradentreue ildungen, ei denen die Winkel erhalten werden, aer nicht notwendig
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag 8.4. $Id: dreieck.tex,v /04/09 10:49:12 hk Exp hk $
$Id: dreiek.tex,v 1.2 2013/04/09 10:49:12 hk Exp hk $ 1 Dreieke In diesem Kpitel wollen wir die sogennnte Dreiekslehre ls Teil der Elementrgeometrie der Eene ehndeln. Wie in dieser gnzen Vorlesung sind
MehrMusterlösung zur Probeklausur zur Geometrie
UNIVERSITÄT ULM Institut für Zhlentheorie un Whrsheinlihkeitstheorie Musterlösung zur Proeklusur zur Geometrie Prof. Dr. Helmut Mier, Hns- Peter Rek Gesmtpunktzhl: 3 Punkte, Punkte= % keine Age. Gi Definitionen
MehrFunktionen und Mächtigkeiten
Vorlesung Funktionen und Mähtigkeiten. Etws Mengenlehre In der Folge reiten wir intuitiv mit Mengen. Eine Menge ist eine Zusmmenfssung von Elementen. Zum Beispiel ist A = {,,,,5} eine endlihe Menge mit
Mehr3 Deckabbildungen von Figuren - Symmetrie
EINFÜHRUNG IN IE GEOMETRIE SS 05 33 EISSLER skript05-temp.o 3 ekilungen von Figuren - Symmetrie 3.1 ie Gruppe (K,o) ller Kongruenzilungen einer Eene K ist ie Menge ller Kongruenzilungen E E; o ist ie Hintereinnerusführung
MehrErkundungen. Terme vergleichen. Rechteck Fläche als Produkt der Seitenlängen Fläche als Summe der Teilflächen A B
Erkundungen Terme vergleihen Forshungsuftrg : Fläheninhlte von Rehteken uf vershiedene Arten erehnen Die Terme () is (6) eshreien jeweils den Fläheninhlt von einem der drei Rehteke. Ordnet die Terme den
MehrBeispiellösungen zu Blatt 24
µthemtischer κorrespondenz- zirkel Mthemtisches Institut Georg-August-Universität Göttingen Aufge Beispiellösungen zu Bltt Mn eweise, dss mn ein Qudrt für jede Zhl n 6 in genu n kleinere Qudrte zerlegen
MehrTutorium zur Vorlesung Grundlagen der Mathematik II Bearbeitungsvorschlag
MATHEMATISCHES INSTITUT DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Dr. E. Schörner SS 017 Bltt 8 0.06.017 Tutorium zur Vorlesung Grundlgen der Mthemtik II Berbeitungsvorschlg 9. Zu betrchten ist ein gleichseitiges Dreieck
MehrThemenbereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6
Themenereich: Kongruenzsätze Seite 1 von 6 Lernziele: - Kenntnis der genuen Formulierung der Kongruenzsätze - Kenntnis der edeutung der Kongruenzsätze - Fähigkeit, die Kongruenzssätze gezielt zur egründung
Mehr2.6. Prüfungsaufgaben zu Kongruenzabbildungen
2.6. Prüfungsufgben zu Kongruenzbbildungen Aufgbe 1: Kongruenzsätze Konstruiere die Dreiecke us den gegebenen Größen und ergänze die fehlenden Größen: Teil b c α β γ A ) 5 cm 7 cm 9 cm b) 5 cm 7 cm 30
Mehr12. Erweitern von Brüchen der kleinste gemeinsame Nenner
D Alger II. Erweitern von Brühen der kleinste gemeinsme Nenner Erweitere den Bruh mit. Hinweis: Beim Erweitern multiplizierst du Zähler und Nenner mit derselen Zhl zw. Vrilen. Der Wert des Bruhs leit eim
MehrMarco Bettner/Erick Dinges. Grundwissen Pythagoras und Trigonometrie. 9./10. Klasse VORSCHAU. Bergedorfer Kopiervorlagen.
Mro ettner/erik Dinges Grundwissen Pythgors und Trigonometrie 9./10. Klsse ergedorfer Kopiervorlgen VORSHU Inhltsverzeihnis Grundwissen Pythgors und Trigonometrie Stzgruppe des Pythgors Stz des Pythgors
Mehr1.1. Vorspiel bei den alten Griechen
1.1. Vorspiel bei den lten Griechen Die Mthemtiker der griechischen Antike wren ihrer Zeit und uch ihren Epigonen im "finsteren Mittellter" um Etliches vorus. Einige ihrer Entdeckungen werden wir im Lufe
Mehra b = a b a b = 0 a b
Vektorlger Zusmmenfssung () Sklrprodukt weier Vektoren im Rum Unter dem Sklrprodukt os os weier Vektoren und versteht mn den Sklr woei der von den eiden Vektoren eingeshlossene Winkel ist ( 8) * os Rehenregeln
MehrExamen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke. 24. Juni 2014
Examen Kurzfragen (sortiert) VI. Dreiecke 24. Juni 2014 VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden im rechtwinkligen Dreieck die beiden Seiten genannt, die dem rechten Winkel anliegen? VI. Dreiecke Frage 1 Wie werden
MehrDOWNLOAD Freiarbeit: Geometrische Flächen
DOWNLOAD Günther Koh Freireit: Geometrishe Flähen Mterilien für die 9. Klsse in zwei Differenzierungsstufen Downloduszug us dem Originltitel: Ds Werk ls Gnzes sowie in seinen Teilen unterliegt dem deutshen
MehrAufgaben zur Vorbereitung auf die Landesrunde der Mathematik-Olympiade für Klasse 7 - Teil 2
Bezirkskomitee Chemnitz zur Förderung mthemtish-nturwissenshftlih begbter und interessierter Shüler www.bezirkskomitee.de Aufgben zur orbereitung uf die Lndesrunde der Mthemtik-Olympide für Klsse 7 - Teil
MehrErweiterung der Euklidischen Flächensätze auf das allgemeine Dreieck nebst Anwendung zur Volumenbestimmung des allgemeinen Tetraeders.
Arno Fehringer, Gymnsillehrer für Mthemtik und Physik 1 Erweiterung der Euklidischen Flächensätze uf ds llgemeine Dreieck nest Anwendung zur Volumenestimmung des llgemeinen Tetreders. Arno Fehringer Juni
MehrInhalt: Die vorliegenden Folienvorlagen enthalten folgende Elemente:
Inhlt: 1 Seiten und Winkel im rehtwinkligen reiek edienen des Tshenrehners erehnungen in rehtwinkligen reieken 4 erehnungen in llgemeinen reieken 5 erehnungen in Vieleken 6 erehnungen mit Prmetern Exkurs:
Mehr2.2. Aufgaben zu Figuren
2.2. Aufgen zu Figuren Aufge 1 Zeichne ds Dreieck ABC in ein Koordintensystem. Bestimme die Innenwinkel, und und erechne ihre Summe. Ws stellst Du fest? ) A(1 2), B(8 3) und C(3 7) ) A(0 3), B(10 1) und
MehrDownload. Hausaufgaben: Trigonometrie. Üben in drei Differenzierungsstufen. Otto Mayr. Downloadauszug aus dem Originaltitel:
Downlod Otto Myr Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Downloduszug us dem Originltitel: Husufgen: Üen in drei Differenzierungsstufen Dieser Downlod ist ein uszug us dem Originltitel Husufgen Mthemtik
Mehr2. Runde Aufgaben und Lösungen. Bundeswettbewerb Mathematik
Bundeswettewer Mthemtik Wissenshftszentrum, Postfh 20 4 48, 5344 Bonn Fon: 0228-3727 4 Fx: 0228-3727 43 e-mil: info@undeswettewer-mthemtikde wwwundeswettewer-mthemtikde Korrekturkommission Krl Fegert Aufgen
MehrRund um den Satz des Pythagoras
Wolfgng Shlottke Rund um den Stz des Pythgors Lernen n Sttionen und weiterführende ufgben für den Mthemtikunterriht uerverlg GmbH 3 Sroghty Pythgors rükwärts Die Umkehrung des Stzes des Pythgors (1) Du
Mehr