Grundwissen 9. Klasse G8

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1 Leibniz-Gymnsium Altdorf Grundwissen 9. Klsse G8 Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen I) Reelle Zhlen Für eine nichtnegtive Zhl heißt diejenige nichtnegtive Zhl, deren Qudrt ergibt, Qudrtwurzel von, kurz. Viele Qudrtwurzel sind keine rtionlen Zhlen (mit endlicher oder unendlich periodischer Dezimlbruchdrstellung), sondern irrtionle Zhlen mit unendlichen, nicht periodischen Dezimlbruchdrstellungen. Die Mengen der rtionlen ( ) und der irrtionlen ( ) Zhlen ergeben zusmmen die Menge der reellen Zhlen, die durch Intervllschchtelung ngenähert werden können. Rechenregeln für Qudrtwurzeln: für lle 0 ber: für lle R b b ; : b : b,b0 für lle, b 0 Binomische Formeln: Plusformel ( + b) = + b + b Minusformel ( b) = b + b Plus-Minus-Formel ( + b)( b) = b Rtionlmchen des Nenners: Nenner enthält eine Wurzel eine Summe/Differenz von Wurzeln => erweitere mit => erweitere mit der entsprechenden derselben Wurzel Differenz/Summe von Wurzeln (.bf). Hndelt es sich um rtionle oder irrtionle Zhlen? ) 7 b) 5, c), d),. Berechne! ) b) 7 c) 8 : d) 9. Berechne! ) (x + 5y) b) (,5 b) c) u 8v u 8v. Mche den Nenner rtionl! ) b) 5 5. ) 7 R\Q, d 7 keine Qudrtzhl ist b) 5,5 5 Q 99 c), =,8 Q d), R\Q: nicht period.. ) b) 7 c) 8 : 8: d) 9 7 BEACHTE!!! ) (x + 5y) = 9x + 0xy + 5y b) (,5 b) =,5 b + 9 b c) u 8v u 8v = = u 8v. ) b) = Grundwissen 9. Klsse G8 Seite von

2 Leibniz-Gymnsium Altdorf Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen Für eine nichtnegtive Zhl hießt diejenige nichtnegtive Zhl, deren n-te Potenz ergibt, n-te Wurzel von, kurz n, n. Potenzen mit rtionlen Exponenten: Für R + gilt: p p Potenzgesetze: Für r, s Q und, b R + gilt: p p ; p Z, N () gleiche Bsis: r s = r + s r : s = r s () gleicher Exponent: r b r = (b) r r : b r = (:b) r () Potenz einer Potenz: ( r ) s = r s 5. Berechne! ) b) 5 c) 8. Berechne! ) 9 b) 5 0 c) : ) b) c) 8 ist nicht definiert! ber: x = (-8) ht die Lsg. x = (-)!! 5. ) b) 0 0 : 5 5 c) 5 5 II) Stzgruppe des Pythgors Im rechtwinkligen Dreieck (hier: = 90 ) gilt: () Kthetenstz: Ds Qudrt über einer Kthete ist flächengleich zum Rechteck us der Hypotenuse und dem nliegenden Hypotenusenbschnitt: = cp ; b = c () Höhenstz: Ds Qudrt über der Höhe ist flächengleich zum Rechteck us den beiden Hypotenusenbschnitten: h = p () Stz des Pythgors: Die Qudrte über den beiden Ktheten sind zusmmen flächengleich zum Qudrt über der Hypotenuse: + b = c. Im Dreieck ABC gilt: = 90 ; c = 0 cm; b =,5 cm ; ADB = 90. Berechne die Länge ller in der Figur vorkommenden Strecken mit Hilfe dreier unterschiedlicher Sätze. C A D. Verwndle ein Rechteck mit Seitenlänge = 5,0 cm und b =,8 cm nch dem Höhenstz in ein flächengleiches Qudrt! B. Mit AD h,cd und DB p gilt: Pythgors: = b c => = 7,5 cm Kthetenstz: p = c : => p = cm Hypotenuse: = p => =,5 cm Höhenstz: h = p => h = 8 cm Grundwissen 9. Klsse G8 Seite von. () E liegt uf [CD und k (D; b) () M ist Mittelpunkt von [EC] () F liegt uf Thleskreis über [EC] und Lot zu [EC ] durch D (Schnittpunkt der Hypotenusenbschnitte ist Höhenfußpunkt!) () h ist eine Seite des gesuchten Qudrts

3 Leibniz-Gymnsium Altdorf Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen Kehrstz zum Stz des Pythgors: Wenn in einem Dreieck ABC gilt: + b = c, dnn ht ds Dreieck bei C einen rechten Winkel. Berechnungen n Figuren und Körpern: Digonle im Rechteck: d = b im Qudrt: d = Rumdigonle im Quder: d = b c im Würfel: d = gleichseitiges : Höhe: h = Fläche: A = III) Qudrtische Funktionen und udrtische Gleichungen Funktionen der Form heißen udrtische Funktionen. Ihre Grphen G f heißen Prbeln. Der Grph der Funktion g (x) = x heißt Normlprbel. G f ist für > 0 nch oben geöffnet, < 0 nch unten geöffnet; für > enger ls die Normlprbel, < weiter ls die Normlprbel. Der jeweils tiefste ( > 0) bzw. höchste ( < 0) Punkt von G f heißt Scheitel. Sonderfälle: f (x) = x + e f: x x + bx + c, 0 => G f ist eine um e Einheiten in y Richtung verschobene Normlprbel; S (0 e) f (x) = (x d) => G f ist eine um d Einheiten in x Richtung verschobene Normlprbel; S (d 0). Berechne den Flächeninhlt eines Dreiecks mit = cm; b = cm und c = 5 cm!. Berechne die Seitenlänge eines Qudrts mit Digonle d = cm! 5. Berechne für eine udrtische Pyrmide mit den Kntenlängen = 0 cm und s = 5 cm die Pyrmidenhöhe h und die Höhe k einer Seitenfläche!. Beschreibe den Grphen der gegebenen Funktion möglichst genu, ohne ihn zu zeichnen! f (x) = x x +. Bestimme die Funktionsgleichung zu dem gezeichneten Grphen! y x. + c = b => ist rechtwinklig mit = 90 => c und A = c = 0 cm d d. d = => = cm 5. e = => e = 0 cm Grundwissen 9. Klsse G8 Seite von h = k = s h (0,5e) (0,5). f (x) = x x + = 5cm 5cm = [ x x ] = = [ (x ) 9 + ] = = (x ) 00cm 5 7 cm 00cm 5 = => Gf nch oben geöffnet ( < 0) und enger ls die Normlprbel ( >) S ( -) => f (x) nimmt ihren kleinsten Wert y = für x = n => Wf = [-; + [ cm f (x) ht zwei Nullstellen, d S unter der x Achse liegt und Gf nch oben geöffnet ist.. S ( -) => f (x) = (x ) P (0 ) Gf => = (0 ) => = => = => 0,75 = => f (x) = 0,75 (x )

4 Leibniz-Gymnsium Altdorf Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen Scheitelpunktform: f (x) = x + bx + c udrt. Ergänzung Lösungsformel für udrtische Gleichungen: f (x) = (x d) + e udr. Gleichung: x + bx + c = 0; Diskriminnte D = b c D > 0 => Lösungen D = 0 => Lösung D < 0 => keine Lsg. IV) Anwendungen udrtischer Funktionen Bestimmen des Funktionsterms: geg.: drei Punkte G f Lös.: f (x) = x + bx + c liefert ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen zur Best. von, b und c -> eine Gleichung nch einer Vriblen uflösen; diese durch Einsetzen in den nderen beiden Gleichungen eliminieren; dnn Einsetz- oder Additionsverfhren Sonderfll : S und P gegeben => f (x) = (x d) + e Sonderfll : zwei NS gegeben => f (x) = (x n ) (x n ) Extremwertprobleme: b x / = b c Führt die Suche nch dem Extremwert einer Größe uf eine udrtische Funktion, so liefert die y Koordinte des Scheitels von G f diesen Extremwert. Schnittpunkte von Funktionsgrphen berechnen: Funktionsterme gleichsetzen; jede Lösung dieser Gleichung liefert x Koordinte eines SP; y Koordinte eines SP erhält mn durch Einsetzen der x Koordinte in eine der beiden Funktionsgleichungen;. Berechne die Lösungen folgender Gleichungen: ) x = 0 b) 5x = x c) x x = x +. Bestimme die Gleichung der udrtischen Funktion f (x), deren Grph Gf durch die Punkte A ( 0), B ( -) und C ( ) verläuft!. Mit einem Zun der Länge 800 m soll eine möglichst große rechteckige Fläche eingezäunt werden!. Berechne die Schnittpunkte der Grphen der beiden Funktionen x f (x) = x +,5 und g (x) =! x. ) x = => x = 8 => x = 8 ; x = 8 b) 5x x = 0 => x (5x ) = 0 => x = 0 ; x = 5 c) x x = 0 => x/ => x = ; x = ( ) ( ) 8. A Gf => I) 0 = + b + c = + b + c B Gf => II) = + b + c = + b + c C Gf => III) = + b + c = 9 + b + c I) c = b in II): II) = + b in III): III) = 8 + b II) b = in III) : = 8 9 ; = ( 5) in II) b = ( 5); b =, b in I) c = ( 5) ; c = ( 9) f(x) = 5x + x 9. x: Länge; z: Breite x + z = 800 => z = 00 x (x) = x(00 x) = x + 00x = = [x 00 x ] = = (x 00) S ( ) Die größtmögliche Fläche von m erhält mn für Länge (x) = Breite (00 x) = 00 m.. x +,5 = x x => ( x +,5) (x ) = x + => x + 8x 8 = 0 : (-) => x x + = 0 => (x ) = 0 x = ; y = f () =,5 : S (,5) Grundwissen 9. Klsse G8 Seite von

5 Leibniz-Gymnsium Altdorf Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen V) Whrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufllsexperimenten Ein ZE, ds us n Teilexperimenten besteht, nennt mn mehrstufiges ZE. Seine Ergebnisse schreibt mn ls n Tupel ( ; ; ; n ). Jedes Ergebnis stellt einen Pfd im Bumdigrmm vom Strt- bis zu einem Endpunkt dr. Grundregel: Die Summe der Wsk.en n den Ästen, die von einem Knoten usgehen, beträgt immer.. Pfdregel: Die Wsk. eines Ergebnisses erhält mn durch Multipliktion der Whrscheinlichkeiten längs des zugehörigen Pfdes im Bumdigrmm.. Pfdregel: Die Wsk. eines Ereignisses erhält mn durch Addition der Whrscheinlichkeiten der Pfde, die zu dem Ereignis gehören. VI) Trigonometrie Im rechtwinkligen Dreieck gilt für jeden spitzen Winkel : sin = cos = tn = Gegenkthete von Hypotenuse Ankthetevon Hypotenuse Gegenkthete von Ankthetevon Besondere Werte von Sinus, Kosinus und Tngens: sin 0 cos tn 0 0 n. def. Eine Urne enthält rote, schwrze und blue Kugeln. Es werden ncheinnder Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Berechne die Whrscheinlichkeit ) der einzelnen Ergebnisse! b) des Ereignisses B: Es wird genu eine blue Kugel gezogen.. Berechne die fehlenden Seiten und Winkel im Dreieck ABC mit = 90! ) = 7 m ; = 8 b) =,0 cm; b = 5,8 cm. Eine Leiter der Länge 7,5 m lehnt in der Höhe, m n einer Huswnd. Bestimme den Neigungswinkel! ) P ( {rr} ) = b) P (B) = 5 usw ) = 90 = 5 sin = b = c c c 59, m sin, m b) c = b 9, m tn = tn b = 90 =,5 8,5 b. sin = h h sin, l l Grundwissen 9. Klsse G8 Seite 5 von

6 Leibniz-Gymnsium Altdorf Wissen / Können Aufgben und Beispiele Lösungen Beziehungen zw. Sinus, Kosinus, Tngens: 0 90 () sin = cos (90 ) ; cos = sin (90 ) () sin + cos = () tn = sin cos VII) Rumgeometrie ; 90 Neigungswinkel einer Gerden g gegen eine Ebene E: FQP mit Lotfußpunkt F im rechtwinkligen Stützdreieck QFP Neigungswinkel zwischen zwei Ebenen E und E : spitzer zwischen zwei Gerden g und h, die im selben Punkt P uf der Schnittger. s senkrecht stehen Volumen- und Oberflächenformeln: Prism: V = Gh O = G + M Zylinder: V = r h M = rh O = r + rh. Berechne us cos = folgende Werte: ) sin, tn b) sin (90 ), cos (90 ), tn (90 ). Berechne Volumen und Oberfläche eines Prisms mit Höhe h =,5 cm, dessen Grundfläche ein gleichseitiges Dreieck mit Kntenlänge = cm ist!. ) Berechne Volumen und Oberfläche einer gerden Pyrmide mit udrtischer Grundfläche ( =,0 cm) und Höhe h =,0 cm! b) Berechne den Neigungswinkel der Seitenknten und Seitenflächen gegen die Grundfläche! 8. ) sin = cos 9 sin tn = cos b) sin (90 ) = cos ; cos (90 ) = sin ; tn (90 ) = sin 90 cos 90. Grundfläche: G = h G = 9 cm V = Gh =,5 cm O = G + M = G + h = 8 cm + 5 cm. ) V = Gh = h = cm O = G + 0,5hs = + = cm + 8 cm b) Grundflächendigonle d d = cm tn = 0,5d tn = 0,5 h d h = h => = tn h h => = tn h h d,7 5, Pyrmide: V = / Gh. d = r => r = 0,5d = 0, m =, dm O = G + M V = Gh = r h = 0,9 dm Kegel: V = / r h M = rs O = r + rs. Berechne Volumen, Mntel- und Oberfläche eines Kegels mit d = 0, m und h = 0,5 cm! M = r s = r O = r + r s = r + r h r,9 dm h r 9,9 dm Grundwissen 9. Klsse G8 Seite von

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