Lehrveranstaltung: Diskrete Mathematik Übungen Blatt 2. Thomas Aichholzer

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1 13. Man verwende das Kontrapositionsgesetz p q q p um folgende Aussagen umzuformulieren: (a) Wenn heute Ostersonntag ist, dann ist morgen Ostermontag. (b) Wenn x² ungerade ist, ist auch x ungerade. Wenn morgen nicht Ostermontag ist, dann ist heute nicht Ostersonntag. ad (b) Wenn x gerade ist (nicht ungerade), ist x² auch gerade (nicht ungerade). 14. Geben Sie bei den folgenden verbalen Schlüssen die verwendeten Schlussfiguren an und prüfen Sie deren Gültigkeit: (a) (b) Die Studenten sind dann und nur dann glücklich, wenn keine Klausur geschrieben wird. Wenn die Studenten glücklich sind, fühlt sich der Professor wohl. Aber wenn der Professor sich wohl fühlt, hat er keine Lust, Vorlesung zu halten, und wenn er keine Lust hat, Vorlesung zu halten, wird eine Klausur geschrieben. Also sind die Studenten nicht glücklich. Wenn das Portrait dem Auftraggeber ähnelt, sind er und der Künstler enttäuscht. Wenn das Portrait dem Auftraggeber nicht ähnelt, wird sich seine Frau weigern, zu zahlen, und dann ist der Künstler enttäuscht. Also ist der Künstler enttäuscht. Es werden folgende Prädikate verwendet: S Studenten sind glücklich K Klausur wird geschrieben P Professor fühlt sich wohl V Vorlesung wird gehalten Die textuelle Angabe lässt folgende Schlüsse zu: S K daher gilt: K S (wenn Klausur geschrieben wird, sind die Studenten nicht glücklich) weiteres gilt: S P P V V K es gilt: S P V K daher: S K S somit gilt: S S ist gleichbedeutend mit: S S daher gilt immer: S (Studenten sind nicht glücklich) Seite 1

2 ad (b) Es werden folgende Prädikate verwendet: P Porträt ähnelt dem Auftraggeber K Künstler enttäuscht F Frau zahlt das Porträt Die textuelle Angabe lässt folgende Schlüsse zu: P K P F F K daher gilt: P K Kontradiktion ( P K) (P K) ( P K) ( P K) K ( P P) K k K der Künstler ist daher immer enttäuscht. 15. p(x) bedeutet x ist männlich, q(x) x raucht Zigaretten Diese Aussageformen seien über die Grundmenge X der Studierenden einer bestimmten Universität erklärt. (a) (b) (c) Man formuliere folgende Aussagen verbal. Man verneine die Aussagen formal. Man formuliere die verneinten Aussagen verbal. x q(x) x q(x) x p(x) x q(x) x q(x) x p(x) x p(x) x q(x) x p(x) x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) Alle Studierenden (Studenten) rauchen. raucht. Alle Studierende sind nicht männlich. (Also sind alle weiblich) x p(x) Nicht alle Studierenden sind männlich (daher eine ist sicher weiblich). x q(x) x p(x) x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) nicht Zigaretten raucht. männlich ist. Alle Studierenden sind männlich und rauchen Zigaretten. Alle Studierenden sind männlich und alle Studierenden rauchen Zigaretten. männlich ist und Zigaretten raucht. männlich ist und es gibt (mindestens) einen Studierenden der Zigaretten raucht. männlich ist und alle Studierenden rauchen Zigaretten. Seite 2

3 ad (b) formal verneinen: x q(x) [ x q(x) ] x q(x) x q(x) [ x q(x) ] x q(x) x p(x) [ x p(x) ] x [ p(x) ] x p(x) x p(x) [ x p(x) ] x p(x) x q(x) [ x q(x) ] x [ q(x) ] x q(x) x p(x) [ x p(x) ] x p(x) x [ p(x) q(x) ] [ x [ p(x) q(x) ] ] x [ p(x) q(x) ] x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) [ x p(x) x q(x) ] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x [ p(x) q(x) ] [ x [ p(x) q(x) ] ] x [ p(x) q(x) ] x [ p(x) q(x) ] x p(x) x q(x) [ x p(x) x q(x) ] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) [ x p(x) x q(x) ] x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) Seite 3

4 ad (c) verbale Beschreibung der formalen Verneinung Angabe x q(x) Verneinung der Angabe verbale Beschreibung der Verneinung x q(x) nicht Zigaretten raucht. x q(x) x q(x) Alle Studierenden rauchen nicht Zigaretten. x p(x) x p(x) männlich ist. x p(x) x p(x) Alle Studierenden sind männlich. x q(x) x q(x) Alle Studierenden rauchen Zigaretten. x p(x) x p(x) Alle Studierenden sind nicht männlich. x [ p(x) q(x) ] x [ p(x) q(x) ] nicht männlich ist oder nicht raucht. x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) nicht männlich ist oder es gibt (mindestens) einen Studierenden der nicht raucht. x [ p(x) q(x) ] x [ p(x) q(x) ] Alle Studierenden sind nicht männlich oder rauchen nicht Zigaretten. x p(x) x q(x) x p(x) Alle Studierenden sind nicht männlich oder x q(x) alle Studierenden rauchen nicht Zigaretten. x p(x) x q(x) x p(x) x q(x) nicht männlich ist oder alle Studierenden rauchen nicht Zigaretten. 16. Formulieren Sie in Worten möglichst exakt mit Quantoren und Aussageformen: (a) Satz des Pythagoras (b) sin² (x) + cos² (x) = 1 (c) (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Satz des Pythagoras: a 2 + b 2 = c 2 wenn gilt das a, b, c die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks sind. a b c P( a, b, c) ad (b) x Q(x) wobei Q(x): sin² (x) + cos² (x) = 1 ad (c) a b R(x) wobei R(x): (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 Seite 4

5 17. Definieren Sie formal mit Quantoren und Aussageformen: x y x ist Teiler von y ( x y ) x, y sind teilerfremd p ist Primzahl r T(r) wobei T(r): r x = y r T(r) r [ r x r y ] r [ (r x) (r y) ] r ( r p ) für r 1 und r p 18. Seien folgende Aussageformen wie folgt festgelegt: s(x) x ist prim t(x, y) x ist Teiler von y q(x, y, z) z ist das Produkt von x und y Ist der Satz: s(p) q(a,b,r) t(p,r) t(p,a) t(p,b) wahr? (a) Formulieren Sie den Satz in gewöhnlicher Sprache. (b) Beweisen Sie den Satz oder geben Sie ein Gegenbeispiel. Wenn p prim ist, (und) r das Produkt aus a und b, und p Teiler von r ist, dann ist p Teiler von a oder p ist Teiler von b. ad (b) Beweis des Satzes: s(p) q(a,b,r) t(p,r) t(p,a) t(p,b) durch Kontraposition ergibt sich: [ t(p,a) t(p,b) ] [s(p) q(a,b,r) t(p,r) ] Die Wenn Dann Beziehung kann durch eine Oder Verbindung ersetzt werden: [ t(p,a) t(p,b) ] [s(p) q(a,b,r) t(p,r) ] Durch De Morgan ergibt sich : t(p,a) t(p,b) s(p) q(a,b,r) t(p,r) gleichwertig zum Satz in der Angabe. Diese Umformung zum Elementprodukt kann nur dann falsch sein, wenn alle Elemente falsch sind bzw. wenn eines der Element wahr ist, wird der gesamte Ausdruck wahr!!! Davon gehen wir nun bei diesem Beweis aus, und versuchen dies zu wiederlegen. Wir nehmen an s(p) sei wahr als p ist eine Primzahl, somit ist s(p) falsch, denn sonst wäre das Elementprodukt bereits wahr. Weiteres nehmen wir r als Produkt von a und b an (r = a b), q(a,b,r) ist daher wahr und q(a,b,r) daher falsch. Würde dies nicht gelten wäre das Elementprodukt wahr! Gegeben dieser Vorsaussetzungen muss gelten: t(p,a) t(p,b) t(p,r) p ist Teiler von a oder b aber nicht von r (= a b) um diese Aussage für eine Primzahl p als falsch nachzuweisen muss daher gelten: t(p,a) t(p,b) t(p,r) p darf nicht Teiler von a oder b ist aber Teiler von r (=a b) Dies kann nicht stimmen, da wir vorher festgelegt haben, dass r = a b ist und somit muss wenn p Teiler von r ist zumindest p ist Teiler von a oder p ist Teiler von b gelten. (Widerspruch!!!) Seite 5

6 19. Beweisen Sie die folgende Aussage (a) direkt (b) durch Kontraposition (c) durch Widerspruch Wenn m eine gerade natürliche Zahl ist, dann ist m + 7 ungerade. direkt m I (Ganzen Zahlen) wenn m gerade sein soll m hat die Form: 2 s (Das Produkt zweier Zahlen ist gerade, wenn zumindest einer der beiden Faktoren gerade ist) ungerade Zahlen haben hingegen die Form: 2 s + 1 m + 7 = 2 s = 2 ( s + 3 ) + 1 gerade 7 (ungerade) gerade daher ist m + 7 ungerade, da eine gerade addiert mit der Zahl 1 eine ungerade Zahl ergibt! ad (b) durch Kontraposition p q => q p wenn m + 7 gerade, dann m ungerade wenn m ungerade ist hat m die Form: 2 s + 1 daher gilt: m + 7 = (2 s + 1) + 7 = 2 s = 2 (s ) ad (c) durch Widerspruch Wir nehmen an m sei eine gerade Zahl, und m + 7 sei eine gerade Zahl. Daraus folgt m hat die Form: 2 s m + 7 hat die Form: 2 r daraus schließend gilt: m + 7 = 2 s + 7 = 2 r 2 s + 7 = 2 r => 2 r 2 s = 2 ( r s ) = 7 es gilt auch: gerade = ungerade 2 r 2 s = 2 ( r s ) = 7 => r s = 3.5 Widerspruch!!! ( r s muss I sein ) 20. Man zeige, dass die folgende Schlusskette nicht korrekt ist: p q q p gerade p q p q p q q p q q => p Seite 6