AnKa Hyp. , tan α= Weil die Ankathete des einen Winkels der Gegenkathete des anderen entspricht, gilt auch: sin α = cos β und sinβ = cosα.

Transkript

1 Trigonometrie Wenn mn die Trigonometrischen Funktionen Sinus, Kosinus und Tngens berechnen will, ist es wichtig, uf welchen Winkel sie sich beziehen. Die Kthete, die direkt m Winkel nliegt, heißt Ankthete (kurz AnK), die gegenüberliegende heißt Gegenkthete (kurz GeK). Die Hypotenuse wird im Folgenden mit Hyp bgekürzt. sin α= GeK Hyp, cos α= AnK Hyp, tn α= GeK AnK Weil die Ankthete des einen Winkels der Gegenkthete des nderen entspricht, gilt uch: sin α = cos β und sinβ = cosα Weil α = 90 - β und β = 90 - α gilt, knn mn für cosβ uch cos(90 α) und für sin α uch sin(90 β) schreiben. In ihrer umgekehrten Form (symbolisiert durch - ) sind die trigonometrischen Funktionen verwendbr, um den zugehörigen Winkel uszurechnen. sin ( GeK Hyp ) = α, cos ( AnK Hyp )= α, tn ( GeK AnK )= α Übersicht über die wichtigsten Werte von sin, cos, tn (DEG = Grdmß, RAD = Bogenmß) α in DEG α in RAD 0 tn = Abb. sin 0 cos sin cos Nicht definiert

2 Beispielufgben - sin, cos, tn Annhme: Die Dreiecke sind so ngelegt, dss γ=90. Seitenlänge b c α β ) 7m 9m b) 7dm 4 c) 8mm 70 ) b = 7m; c = 9m lässt sich wie in den Aufgben zum Stz des Pythgors bestimmen: = c b = 9 7 = 3 = 4 5,7 => 5,7m α und β gesucht. D,b und c ein rechtwinkliges Dreieck bilden, lssen sich hier sin, cos und tn nwenden. Die Gegenkthete zu α ist. sinα= GeK Hyp = c = 4 9 = 5,7 9 0,63 Oder mn rechnet mit den gegebenen Größen b und c. Die Ankthete zu α ist b. cosα= AnK Hyp = b c = 7 9 0,8 Kehrt mn den sin bzw cos um, so erhält mn den Wert von α in : α = sin (0,63) 39,α = cos (0,8) 39 => α 39 (Mit cos berechneter Wert) Die exkten Werte ergeben sich nur, wenn mn mit exkten Ergebnissen rechnet. Eventuell unterschiedliche Ergebnisse ergeben sich durch gerundete Werte. Gleiches gilt für β: β = sin ( b c ) = sin ( 7 9 ) 5 oder β = cos ( c ) cos ( 4 9 ) cos ( 5,7 9 ) 5 => β 5 (der mit sin berechnete Wert) Oder einfcher: Die Innenwinkelsumme eines Dreiecks sind 80. Gegeben ist γ=90. Ht mn einen der Winkel usgerechnet, knn mn 80 - γ - (hier) α = β rechnen. Dmit erhält mn dsselbe Ergebnis, von einigen Rundungsfehlern einml bgesehen.

3 Rechnet mn α und β getrennt über sin, cos und tn us, knn es sein, dss dnn die Winkel α und β zusmmen mehr ls 90 ergeben. Dies ist jedoch kein Fehler, sondern geht uf die jeweilige Ungenuigkeit des Rechenwegs zurück. b) = 7dm; α = 4 Hier sind nur eine Seite und ein Winkel gegeben. ist die Gegenkthete zu α. D Winkel α gegeben ist, bezieht sich die gesuchte Trigonometrische Funktion uf α. Mn ht lso die Whl zwischen sin α = GeK Hyp = AnK, cos α = c Hyp = b c GeK und tn α = AnK = b Kosinus ist nicht nwendbr, d die Seitenlängen c und b unbeknnt sind. Mn beginnt lso mit dem Sinus. sin α = c sin(4 ) = c c sin(4 ) c = : sin(4 ) c = sin(4 ) = 7 sin (4 ) 07,6 c 07,6dm Über den Tngens knn mn b berechnen: tn α = b tn(4 ) = b b tn(4 ) b = : tn (4 ) b = tn(4 ) = 7 tn(4 ) 80 b 80dm Etws einfcher knn mn b uch über den Stz des Pythgors berechnen, d jetzt uch c beknnt ist: b = c = 07,6 7 = 6393,76 80 => b 80dm Auch hier können wegen der Rundung kleine Unterschiede uftreten. Gesucht ist β. Auch hier gibt es viele Möglichkeiten zur Berechnung. Die einfchste dvon ist der Weg über die Innenwinkelsumme. γ + β + α = 80 (γ = 90 ) α + β= 90 β = 90 α = 90 4 = 58 β = 58 3

4 c) c = 8mm; β = 70 Hierbei knn ähnlich verfhren werden, wie in Aufgbe b). Nur löst mn hier nicht nch c uf, sondern nch, weil c hier gegeben und gesucht ist. cosβ = cos(70 ) = c c c = cos(70 ) c = cos(70 ) 8,7,7mm Zu b kommt mn über den Stz des Pythgors: b = c = 8,7 = 56,7 7,5 b 7,5mm Um α zu berechnen, knn mn vorgehen wie in b): 90 = α + β => α = 90 - β = = 0 α = 0 Seitenlänge b c α β ) 5,7m 7m 9m b) 7dm 80dm 07,6dm 4 58 c),7mm 7,5mm 8mm 0 70 Beispielufgben us dem BMT 0 BMT 0, 00: Aufgbe 5 Aus b) ergibt sich: h = 3 c) Berechnen Sie mit Hilfe der Aussge us Teilufgbe 5b den exkten Wert von cos30. In b) wurde die Höhe h eines gleichseitigen Dreiecks in Abhängigkeit von bestimmt. Bei einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel 60. Die Höhe h hlbiert den Winkel bei C, sodss h mit der Grundlinie ein rechtwinkliges Dreieck einschließt. Hier knn mn nun den cos(30 ) berechnen. Die Ankthete von dem 30 -Winkel ist h, die Hypotenuse ist : cos(30 ) = AnK Hyp = h = 3 = 3 4

5 BMT 0, 0 Aufgbe 4 b) Mit welchen der folgenden Gleichungen l sst sich der Neigungswinkel einer Seitenfl che gegen die Grundfl che berechnen? Kreuzen Sie n. tn φ = h tn φ = h sin φ= m sin φ= h m sin φ= m h tn φ = h ist korrekt, weil tn φ =GeK AnK. Die Ankthete zu φ ist, die Gegenkthete zu φ ist h. Weil der Bruch der Ankthete im Nenner steht, wird mit dem Kehrbruch multipliziert und dmit steht die im Zähler. sin φ= h ist korrekt, weil sin φ=gek. Die Gegengthete zu φ ist h, die Hypotenuse m Hyp des Dreiecks ist m. Die Lösung ist dnn: tn φ = h tn φ = h sin φ= m sin φ= h m sin φ= m h BMT 0, 05 Zu b) Der Stz des Pythgors lutet hier: t = s + r. Er muss nur noch ufgelöst werden. 5