WM.2.1 Äquivalenzumformungen

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1 WM.2.1 Äquivalenzumformungen Unter einer Äquivalenzumformung versteht man die Umformung einer Identität, einer Formel oder einer Gleichung, die den Wahrheitswert unverändert lässt. Die Äquivalenzumformungen liefern wichtige Methoden zum Umformen von Formeln und zum Lösen von Gleichungen und Ungleichungen. Es ist evident, dass die Addition oder Subtraktion des gleichen Terms auf beiden Seiten einer Identität, Gleichung oder Formel den Wahrheitswert nicht ändern kann. Beispiel. 2a + 6 b ( 6) addieren auf beiden Seiten 2a b 6 2a b 6 In der 3. Zeile ist eine neue sehr nützliche Äquivalenzoperation erkennbar, und zwar: Wenn eine Zahl (Term) von einer Seite auf die andere Seite einer Gleichung verschoben wird, dann muss das Vorzeichen der Zahl (Term) geändert werden. Es ist evident, dass die Multiplikation oder die Division mit einer Zahl (konstanten Term) auf beiden Seiten einer Identität, Gleichung oder Formel den Wahrheitswert nicht ändern kann. Beispiel. 2a b+4 (: 2) beiden Seiten durch 2 dividieren a b (b +4) 2 2 In der 2. Zeile ist eine neue nützliche Äquivalenzoperation erkennbar, und zwar: Die multiplikative Bindung einer isolierten Zahl (Term) auf einer Seite wird gelöst durch die Multiplikation mit dem Kehrwert auf der anderen Seite. Umformungsbeispiel 1 Die Formel ab + cd 12 soll nach a aufgelöst werden. ab 12 cd ; (Verschieben von cd ) 12 cd a ; (Multiplikation mit dem Kehrwert von b) b - 1 -

2 Umformungsbeispiel 2 Die Formel a c b d soll nach a aufgelöst werden. a d b c (Multiplikation mit b und d) b c a d In der 1. Zeile ist eine neue sehr nützliche Äquivalenzoperation erkennbar, und zwar: Die Produkte der Diagonalterme einer Bruchgleichung liefern eine äquivalente Form ohne Brüche. WM.2.2 Dreisatz- und Prozentrechnungen Aufgabenbeispiel 1 14 Lastkraftwagen transportieren 49 Tonnen ausgehobenes Erdreich an einem Arbeitstag. Wie viel Tonnen Erdreich schaffen in derselben Zeit 9 Lastkraftwagen? Zunächst muss ermittelt werden, ob zwischen den vorkommenden Größen, d.h. zwischen der Anzahl der Lastwagen und der Anzahl der Tonnen, ein direkt proportionaler oder ein indirekt proportionaler Zusammenhang besteht. In diesem Aufgabenbeispiel transportieren mehr Lastkraftwagen auch mehr Tonnen Erdreich, so dass es sich um einen direkt proportionalen Zusammenhang handelt. Diese Dreisatzaufgabe mit einen direkt proportionalen Zusammenhang lässt sich in folgenden drei Denkschritten lösen: 1. Wie viele Tonnen kann ein Lastwagen transportieren? (Teilen durch 14) 2. Ein Lastwagen kann 49 Tonnen transportieren Lastkraftwagen können x 9 Tonnen transportieren. (Mit 9 multiplizieren)

3 Eine verkürzte Darstellung dieser Denkschritte liefert folgende Schreibweise: Lastkraftwagen Tonnen Zu einer sinnvollen Verkürzung kann auch die folgende Schreibweise mit dem Platzhalter x führen: x Für die Lösung wird die Gleichung der Verhältnisbrüche gebildet und daraus dann das x berechnet: x x 9 35 x 14 Im Rahmen der Prozentrechnung werden häufig folgende Bezeichnungen benutzt : Grundwert GW gibt das Ganze an, das entspricht 100%. (z.b. GW 2000 Der Prozentsatz p gibt an, welcher Anteil vom Ganzen in Prozent. (z.b. p 5% ) Der Prozentsatz i gibt p als Dezimalzahl an. (z.b. i 0,05) Der Prozentwert PW gibt an, wie groß der Anteil ist. (z.b. PW 0,05 G 100 ) Hinweis: Alle einfachen Prozentrechnungen können mit Hilfe eines einstufigen Dreisatz mit direkter Proportionalität gelöst werden. Komplexere Zinseszinsberechnungen (Zinseszinsen, Ratentilgung) werden mit dafür geeigneten Formeln (s. Formelsammlung II) berechnet

4 Aufgabenbeispiel 2 Beim Kauf einer Kücheneinrichtung werden 30% angezahlt und zwar Wie hoch ist der Kaufpreis? Lösungsansatz (direkte Proportionalität): Lösung: 30 % % x x x , x 30 Aufgabenbeispiel 3 5 Lastkraftwagen können eine bestimmte Schuttmenge in 12 Stunden abtransportieren. Wie lange dauert der Abtransport mit Hilfe von 8 Lastkraftwagen. Zunächst muss wieder ermittelt werden, ob zwischen den vorkommenden Größen, d.h. zwischen der Anzahl der Lastkraftwagen und der Anzahl der Stunden, ein direkt proportionaler oder ein indirekt proportionaler Zusammenhang besteht. In diesem Aufgabenbeispiel brauchen mehr Lastkraftwagen weniger Stunden, so dass es sich um einen indirekt proportionalen Zusammenhang handelt. Lösung in der verkürzten Schreibweise mit dem Platzhalter x: x Für die Lösung wird die Gleichung der Verhältnisbrüche gebildet jedoch für die Berechnung von x wird bei dem x nicht enthaltenden Bruch der Kehrwert genommen: x Merkregel: x 5 12 x 8 Im Lösungsansatz eines Dreisatzes mit indirekter (umgekehrter) Proportionalität, wird der x nicht enthaltende Bruch umgekehrt, d.h. mit seinem Kehrwert gerechnet. Mehrstufiger Dreisatz: Aufgabenbeispiel 3 5 Lastkraftwagen können 350 m 3 Schutt in 12 Stunden abtransportieren. Wie lange dauert der Abtransport von 420 m 3 mit Hilfe von 9 Lastkraftwagen

5 Zunächst muss wieder ermittelt werden, zwischen welchen der vorkommenden Größen, ein direkt proportionaler oder ein indirekt proportionaler Zusammenhang besteht. Der Vergleich erfolgt immer nur mit der Größe nach der gefragt wird (hier die Anzahl der Stunden). In diesem Aufgabenbeispiel brauchen mehr Lastkraftwagen weniger Stunden, so dass für das Verhältnis der Lastkraftwagen ein indirekt proportionaler Zusammenhang gilt. Für mehr Kubikmeter werden mehr Stunden gebraucht, so dass für das Verhältnis der Kubikmeter ein direkt proportionaler Zusammenhang gilt. Ansatz: Lastkraftwagen Kubikmeter Stunden x Lösung: x x x8 Stunden WM.2.3 Die algebraische Gleichung 1. Grades Algebra in ihrem ursprünglichen Sinn ist als die Lehre der Lösung von Gleichungen zu verstehen. Probleme geometrischer Art, wie sie in der Landvermessung vorkommen, sind als Gleichungen bereits aus 2 Jahrtausend v. u. Z. bekannt. Die Bezeichnung Algebra stammt vom den ähnlich klingenden Wortfragment al-jabr einer im 9. Jahrhundert in Bagdad zusammengefassten Aufgabensammlung (Wissenschaft der Reduktion und des gegenseitigen Aufhebens) Die Grundform einer algebraischen Gleichung 1. Grades lautet: a x + b 0 Gesucht ist die unbekannte Zahl x 1 für welche die linke Seite der Gleichung gleich der rechten wird. Mit Hilfe der bereits bekannten Äquivalenzumformungen ergibt sich die Lösung x Beispiel: 1 b a 4x x 1 3 4x 2 x 0,5 x1 0,5 Merkregel: Eine algebraische Gleichung 1. Grades hat nur eine Lösung

6 Übungen zu WM.2 (2.Ü) 2.Ü.1 Es gibt einige Formeln, die folgende einfache Gestalt haben: c a b Diese können in einem Hilfsdreieck gepresst werden, 2.Ü.1a 2.Ü.1b 2.Ü.1c 2.Ü.1d 2.Ü.2 2.Ü.3 2.Ü.4 aus dem verschiedene Umformungen einfach abzulesen sind. Stellen Sie PW i GW nach GW und auch nach i um. Stellen Sie s v t nach t um. Stellen Sie P U I nach I und danach nach U um. Stellen Sie Ertrag Stückpreis Stückzahl nach Stückzahl um. Stellen Sie die Formel b x a c nach x um. Stellen Sie die Formel c b a x nach x um. Stellen Sie die Formel c x b a x nach a um

7 2.Ü.5 a) 80 sind 15% aus einer Zahl x. Berechnen Sie die Zahl x. b) 120 sind 4,5% aus einer Zahl x. Berechnen Sie die Zahl x. 2.Ü.6 Bei einer Gemeinderatswahl erhielt eine Partei von abgegebenen Stimmen. Wie viel Prozent sind es? 2.Ü.7 Eine 2,65 m lange Stange wird nacheinander zunächst um 15 % gekürzt und danach nochmals um 12%. Welche Läge bleibt übrig? 2.Ü.8 Bei einem jährliche Zinssatz von 3,5% werden 5000 auf 2 Jahren angelegt. Wie viel Geld gibt es nach 2 Jahren bei Zinseszinsen.? 2.Ü.9 In einer Abteilung sind 17 männliche und 8 weibliche Mitarbeiter. Wie viel Prozent weibliche bzw. männliche Mitarbeiter sind in der Abteilung? 2.Ü.10 Der Kauf eines Autos verteuert sich um 1920,45, da die Bezahlung in Raten erfolgt. Wie hoch war der ursprüngliche Preis des Autos, wenn die Verteuerung 10,5% beträgt? 2.Ü.11 Der Listenpreis eines Autos beträgt Der Kunde bekommt den Wagen für Um wie viel Prozent liegt dieser Preis unter dem Listenpreis? 2.Ü.12 Der Preis eines Autos erhöht sich durch Teilzahlung von auf Wie viel Prozent beträgt der Aufschlag? 2.Ü.13 Eine Verkäuferin bekommt nach Abzug von 32,8% Abgaben 1428 Nettogehalt ausgezahlt. Wie hoch ist das Bruttogehalt? 2.Ü.14 Ein Reihenhaus sollte für erstellt werden. Die Kosten stiegen während der Bauzeit auf Wie viel % betrug die Preissteigerung? 2.Ü.15 Ein Gärtner kauft einen Rasentraktor und erhält einen Rabatt. Wie viel Prozent Rabatt bekommt er, wenn er statt 1342,50 nur 1281,95 bezahlt? 2.Ü.16 Der Grundpreis eines Wagens beträgt Die Sonderausstattung erhöht den Preis um Wegen Barzahlung erhält der Käufer 12% Rabatt. Wie viel Prozent vom Grundpreis sind tatsächlich gezahlt worden? 2.Ü.17 In einem Kaufhaus mit einer Fotoabteilung werden Poster der Größe 20 x 30 cm vom Negativ im Sonderangebot für 0,57 angeboten. Normal kosten solche Vergrößerungen 0,95. Wie viel Prozent beträgt die Ermäßigung? 2.Ü.18 Ein 2,00m hoher Baum wächst im Durchschnitt jährlich um 4,5 %.Wie hoch ist der Baum nach 2 Jahren? 2.Ü.19 Welchen Mittelpunktswinkel nehmen 40% in einem Kreisdiagramm ein? - 7 -

8 2.Ü.20 2.Ü.21 2.Ü.22 2.Ü.23 2.Ü.24 Bei einer mittleren Geschwindigkeit von 80 km/h dauert die Fahrt zu einem Erholungsgebiet 3 Stunden. Wie lange dauert die Fahrt bei einer mittleren Geschwindigkeit von 100 km/h? Um einen Weg zu schottern, brauchen sechs Bagger 15 Tage. In welcher Zeit würden 10 Bagger diesen Weg schottern? Ein Rad mit dem Umfang von 1,40 m macht auf einer 480 Umdrehungen. Wie viel Umdrehungen würde ein Rad auf dieser Strecke machen, wenn es einen Umfang von 1,12 m hätte? 500 Blätter Kopierpapier besitzen eine Masse von 2,4 kg. Welche Masse besitzen 17 Blatt? Wie viele Blätter haben eine Masse von 72 g? Eine Belegschaft von 12 Arbeitern hat in 9 h an 6 Tagen 350 t Waren produziert. Über einen Zeitraum von 21 Tagen soll 2340 t Ware hergestellt werden. Wie viele Arbeiter werden am Band gebraucht, wenn 8h am Tag gearbeitet wird? 2.Ü.25 Zwölf Einschaler haben bei 8 stündiger Arbeitszeit in 10 Tagen 390 m 2 Betonschalung hergestellt. Wie viel Einschaler sind bei gleicher Leistung einzusetzen, wenn in insgesamt 21 Tagen 2340 m 2 Betonschalung hergestellt werden müssen, und die tägliche Arbeitszeit statt der 8, nur 7 Stunden beträgt? 2.Ü.26 Lösen Sie folgende algebraische Gleichungen 1. Grades in der Grundmenge Q: a) 3x 7 9 ; 3x + 5 5x 8 ; 4,5x +2,5 x +1,8 ; b) 5x (x 2) ; 1 x x 2 ; c) 2x + 0,1 4,6 3,75x ; 2 (1,5x + 3) (3x 4,2) ; d) 3 2 2x 5 0,5x + 3 ; 2x x 1,5x 4 3x x x + 2 (x + 0,5) ; 9 4 ; 3x 4x 4 ; 5 2.Ü.27 Lösen Sie folgende algebraische Ungleichungen 1. Grades in der Grundmenge Q: 2.Ü.28 a) 3x 8 > 4 ; 2,5x + 4 < 5x 5 ; 3 2x 6x +5 ; b) 1,5x + 2 (2 + x) 4 ; 5x 2,5 < 8x + 6 ; 2x > 0 ; Zeigen Sie, dass folgende Gleichungen jeweils Identitäten sind, d.h. jede davon ist für jeden Wert von x erfüllt: a) (x 5) (2x + 3) x 2x 2 b) (x 5) (x + 5) x 2 25 c) (x 5) (x 5) x 2 10x

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