Physik-Formelsammlung. t 2 2 v t =v 0 a 0

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1 Gleichmäßig Beschleunigte Bewegung st=r 0 v o ta 0 t vt=v 0a 0 t Wurfparabel durch Betrachtung der x(t)- und y(t)-komponenten. Eine Umstellen nach t und in die Andere einsetzen ergibt y(x) oder x(y) und damit Flugbahn. Weite ist die zweite Nullstelle, Höhe erste Ableitung Null setzen (lokales Maximum) Kreisbewegung Geschwindigkeit v= r= d r = d s Bahnbeschleunigung a d v = d d r= r d r Winkelbeschleunigung t d Winkelgeschwindigkeit = T Tangential- u. Radial-Beschleunigung Tangential a T = r Radial a N in Richtung r 0 / Zentripetalbeschl. r r= r (wenn r ) Kepplersches Gesetz a 3 1 a = T 1 3 T a=abstand Planet Sonne T =Umlaufzeiten Gravitation F G = G m M r r 0 G G ist eine Naturkonstante r r =Winkelgeschw. / Kreisfrequenz =Winkelbeschl. r=radius v=bahngeschw. a=bahnbeschl. v r r Gravitationspotential G r= M 1 =0 r Coulombkraft F C = q Q r r 0 Federkraft F R = k x Lorenzkraft F L =qv B B = Magnetische Induktion Haft- ' / Gleit- '' / Roll-''' Reibung (unabh. v. d. Auflagefläche) ' bis ''' F R = ' F N F 0 HaftreibungGleitreibung Rollreibung F R F 0 F N Harmonischer Oszillator (Bsp:Feder) m d x k x=0 Lösung der DGL: xt=x 0 sin t 0 mit T = k m Viskose Reibungskraft nach Stokes F R = K v K =Körperform Koeffizient, z.b. K Kugel =6 R =Viskositätskoeffizient des Mediums Viskose Reibung v 0 ist Geschwindigkeit zur Zeit t=0 (ähnelt dem Freien Fall mit Reibung) d v K = m v v DGL Lösung :v=v 0 e t (Integration über t)x= v 0 1 e t Seite 1

2 Ladung im elektrischen Feld / Ablenkung im Kondensator F =E q also lautet die Bewegungsgleichung m d r =q E x und y Komponenten trennen, Dauer im E Feld bestimmen (gleichmäßig beschleunigte Bewegung), Zeit bis zum Auftreffen (gleichmäßige Bewegung) Ablenkung von Ladungen im Magnetfeld: gekoppelte DGL, Kreisbahn, Räumlich Spiralbewegung um die Richtung des Magnetfeldes herum. Zentrifugalkraft und Kreisbahn Zentrifugal Zentripetal Wenn die Zentrifugalkraft (nach außen) F Z =m r im Betrag F ZP =m r der Gravitationskraft ist, kompensieren sich die beiden Kräfte Folge: Stabile Kreisbahn (Satellit oder Elektron) Corioliskraft (wirkt entgegengesetzt der Bewegung des rotierenden Systems) a Coriolis = v gleich groß Rotierende Bezugssysteme a Tr = v Trägheit Coriolisbeschl. nur bei Bewegung (v) im rot. Bezugssystem auf w r Zentrifugalbeschleunigung Lorenztransformation è Konstante Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen Bewegung entlang der z- Achse x '=x, y '= y, z '= z v t Z 1, t '=t v /c Z z mit = v 1 c Folgerungen: Lorenz Kontranktion: Körper erscheinen vom bewegten Bezugssystem aus betrachtet kürzer als im Ruhesystem ( L' < L ) Lorenz Dilatation: Prozesse, die sich in einem bestimmen System abspielen, laufen von einem dagegen bewegten System aus langsamer ab. (T ' > T) Träge Masse eines Körpers erfährt eine relativistische Korrektur. m= m 0 m 1 0 heisst Ruhemasse Weitere Bezeichungen: 1 1 Arbeit: Integral über die Kraft (Arbeit = Kraft entlang eines Weges) Konserative Kraft: Arbeit è Energie; Umwandelbar wieder in Arbeit Wechsel Wirkung Kraft Arbeit Konserativ Energie Gravitation m M r r 0 mm 1 r B Coulomb q Q r r 0 q Q r B Lorenz qv B q v Bv =0 ja null ja ja mm 1 r B q Q r B Feder k x k x B x A ja k x B x A Stokes K v m v A1 e t / nein nicht def. ds F dw =0 ds F dw =Fds Seite

3 Mathematisches Pendel Kinetische Energie E kin = m l d hergeleitet von v=l d Potentielle Energie E pot =mg l 1 cos mg l hergeleitet von h=l 1 cos da m g h da 1 mv Daraus folgt eine Bewegungsgleichung über die Potentielle und die Kinetische Energie, deren Lösung t= 0 sin t mit = g l Bei Massenverteilung physikalisches Pendel = d mit Gesamt rücktreibendem Drehmoment ( D = Richtmoment ) M = r F =mgr sin D sin r Ortsvektor des Schwerpunktes, Drehachse im Koordinatenursprung Potentielle Energie und Kraft E pot x= F x dx oder auch umgekehrt F x= d E pot x dx komponentenweise mit Gradienten Gleichgewichtszustände 1. Stabil: Potentielle Energie hat Minimum. Labil: Potentielle Energie hat Maximum 3. Indifferentes: Potentielle Energie hat Wendepunkt Leistung Momentane Leistung P=lim t 0 W t Mittlere Leistg. P= W t Impulserhaltungssatz: In abgeschlossenen Systemen bleibt der Gesamtimpuls erhalten auch Einheit [ P]= J oule =Watt s Energieerhaltung: Wenn nur konservative Kräfte auf einen Körper wirken, dann bleibt die Summe der kinetischen und potentiellen Energie des Körpers konstant. Bewegungsgleichung: F m a=0 Zentraler Elastischer Stoß Zentral: Kugelmitte Elastische: Impuls und Energieerhaltung gelten gleichzeitig v 1 v =v ' v 1 ' (gleiche Masse) v 1 '= m 1 m v m 1 m '= m 1 m 1 m (ungleiche Masse) Formel ähnelt Transmission (v) und Reflexions (v1) Koeffizienten bei Reflexion von Wellen, wobei statt der Massen die Brechungsindexe n verwendet werden. Rotationsbewegungen In den Formeln wird anstatt der Masse das Trägheitsmoment eingesetzt. []=kg m Rotation eines Massenpunktes =r m Rotationsenergie E rot = 1 Drehmoment M r F =mr M = wobei von F tangentiale Komponente wirkt Drehimpuls L r p= [ M ]=N m= kg m s [ L]= kg m s Seite 3

4 Größe Translation Rotation Kommentar Geschwindigkeit v v= r Beschleunigung a= d v = d Impuls / Drehimpuls p=m v L= =r m Kraft / Drehmoment Bewegungsenergie F =ma= d p M = = d L E kin = m v E rot = L=r p Arbeit S W = F d s W = S 1 M d 1 Massenmittelpunkt: mathematisches gewichtetes Mittel, vektoriell m i r i i System aus i Massenpunkten: r S = i m i Für Kontinuierliche Systeme: r S = r dm dm Statisches Gleichgewicht: Das Hebelgesetz M i =0 oder F 1 d 1 =F d oder F 1 = d F d 1 Berechnung von Trägheitsmomenten = dm dv = r dv Integration über ein Volumen eines Körpers V Dichte Beispiel: Hohlzylinder h 0 R a Ri 4 R i 4 = r 3 dr d dz= h R a 0 4 Das Volumenelement ist dv =r dr d dz ; Volumen V = R a R i h Wenn man jetzt die Formel für das Trägheitsmoment mit dem Volumen kombiniert, also durch V teilt, erhält R i man mit =M R a der Radien) eine Darstellung ohne die Dichte. (3. Binomische Formel rückwärts für die Division Vollzylinder =M R Kugel = 5 M R Stab = 1 1 M L Steiner'sche Satz = S Trägheitsmom. bzgl. Schwerpktachse A M s (findet Anwendung bei Drehung um eine Achse, die nicht durch den Schwerpunkt geht) Drehimpulserhaltung: Bsp: Eisläuferin In abgeschlossenen Systemen bleibt der Gesamtimpuls erhalten. Kreisel kommt hoffentlich nicht dran Trägheitsmom. d. Rotation d. Schwerpktes um A' (s: Abstand d. Achsen A und A', M: Gesamtmasse) Seite 4

5 Der ungedämpfte harmonische Oszillator Bsp: Feder Bewegungsgleichung xt=x 0 sin 0 tmit 0= k m E pot = 1 k 1 dx xt E kin m m d x k x=0 Lösung Physik-Formelsammlung Eigenfrequenz und = t T 0 Bei E pot (x) einsetzen, bei E kin x(t) 1* Ableiten und einsetzen Energiebetrachtung in die Formeln für den ungedämpften Oszillator x(t) den E Term einsetzen und dann die Energieformel aufstellen. Relative Energieabnahme pro Periode T: Güte (Q) Q de E E=[ E ] T E =[ E ] (bei kleiner Dämpfung! ) T 0 über eine Periode Der gedämpfte harmonische Oszillator Zusätzlich Stokes'sche Reibung d x dx 0 x=0 mit = K m und 0= k m Lösungsansatz: xt=x 0 e t Nullstellen:(!) 0 =0 1, = ± 0 = 0 x=x 0 e t sin t und = j = j 0 wobei die 1. Schwingfall 0 Resonanzfrequenz ist. Kriechfall des Oszillators 0 gibt x=x 0 e t sinh t 3. Aperiodischer Grenzfall = 0 gibt x=x 0 1 A t e t wobei A Konstante abh. von Anfangsbed. Analog der elektrische Schwingkreis mit 0= 1 L C q=q 0 e t als Eigenfrequenz und = R L Nullstellen R L 1 LC =0 1,= R L ± R 4 L 1 LC = R 4 L 1 LC gleiche Fälle wie oben, gleiche Formeln, nur R, L, C einsetzen für Gamma Omega etc. Güte (Q) Q L 0 Bei kleiner Dämpfung R Seite 5

6 Erzwungene Schwingung des Oszillators, es wirke eine periodische Kraft F =F 0 sin t d x dx Bewegungsgleichung k m x= F 0 sin t m Lösungsansatz nach Einschwingvorgang xt=x 0 sin t Amplitude (Frequenzabhängig) x 0 = F 0 m Phasenverschiebung tan = 0 Breite der Oszillatorkurve an der Stelle x max Analog zum Schwingkreis Güte Q 0 0 Überlagerung von Schwingungen Kosinussatz bei gleichen Frequenzen Schwebungen, wenn die Frequenzen zweier Schwingungen nur wenig voneinander abweichen erhält man eine Schwebung xt= x 01 cos 1 t sin 1 t Amplitude A(t) sin t Schwebungsfrequenz 1 Gekoppelte Systeme Schwebung: _ = 1 Schwingung : + = 1 Interferenz von Wellen Wellen, gleiche Frequenz, versch. Amplituden und Phasenlagen A 1, sin t k z 1, Amplitude: 0 = cos[k z z 1 ] Phase: tan = 01 sin k z 1 0 sin k z 01 cosk z 1 0 cosk z Wellengleichung d dx = 1 v d Kreisfrequenz Jede Welle muss diese Gleichung erfüllen! n N ; konstruktiv bei z z 1 =n destruktiv bei z z 1 = n1 Longitudinalwellen in Richtung Ausbreitung Transversalwellen senkrecht zur Ausbreitung Wellenzahl T Vakuum ist v Vakuum ph = 1 =c m 0 0 s Brechungsindex n c = r r Reflexion und Transmission analog zum Stoß r= m M mm t= m mm k Phasengeschwindigkeit dx r=amplitudenreflexionskoeffizient t=amplitudentransmissionskoeffizient Reflexionsgrad R, Transmissionsgrad D ermitteln durch r =R und RT =1 = k = = ; Im T Seite 6

7 Wellengruppen cos Anteile mit gleicher Amplitude 0 cos - t K - x cos + t K + x _ = 1 + = 1 analog mit k mit ungefähr gleichen Frequenzen und ungefähr gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeiten Phasengeschwindigkeit = + k + Gruppengeschwindigkeit v gr = - k - Dopplereffekt Frequenzverschiebung mit zunehmender Geschwindigkeit Ruhender Beobachter: f = v 0 1 v Bewegter Beobachter f '=v 0 1 v Bewegt sich die Quelle mit einer Geschwindigkeit, die größer ist, als die Ausbreitungsgeschwindigkeit der Schallwelle, so interferieren die Wellenfronten zu einem Kegel. Am Beobachter als Knall wahrnehmbar. v =Mach'sche Zahl Lisajous, Kreisel fehlen Seite 7