II. Kinematik - Geschwindigkeit und Beschleunigung

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1 EXPERIMENTALPHYSIK I - 1 Übungsblatt I Physikalische Größen und Einheiten Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben schlagen Sie bitte in den Standard-Physik-Lehrbüchern nach (Gerthsen, Tipler, Bergmann-Schaefer, ) Aufgaben a) Bestimmen Sie die Einheiten der folgenden physikalischen Größen bzw Konstanten und drücken Sie sie in SI-Einheiten aus: (i) Energie E, (ii) Kraft F, (iii) Impuls p, (iv) Drehmoment M, (v) Drehimpuls L, (vi) Plancksches Wirkungsquantum h, (vii) Elementarladung e, (viii) Lichtgeschwindigkeit c, (ix) Dielektrizitätskonstante des Vakuums e 0 b) Führen Sie nun eine Dimensionsanalyse an den folgenden physikalischen Beziehungen durch (v ist eine Geschwindigkeit, r ein Radius und n eine natürliche Zahl) (i), (ii), (iii) II Kinematik - Geschwindigkeit und Beschleunigung In der Physik wird die Geschwindigkeit als eine Änderung des Weges mit der Zeit verstanden In der Sprache der Mathematik bedeutet dies: Unter einer Beschleunigung versteht man die zeitliche Änderung der Geschwindigkeit Mathematisch formuliert: Zur Bearbeitung der folgenden Aufgaben empfiehlt sich ein Studium der folgenden Literatur: "Physik" von CGerthsen, HOKneser und HVogel, Seiten 9-17 Springer-Verlag, Berlin - Heidelberg, 16 Auflage "Physik" von PATipler, Seiten Spektrum - Akademischer Verlag, Heidelberg - Berlin, 1 Auflage Aufgaben c) Ein Körper wird aus einer Höhe h fallengelassen, dabei soll nur die Erdanziehungskraft auf diesen Körper wirken Die Erdanziehungskraft bewirkt eine konstante Beschleunigung b(t) = -g = 1 of :49

2 konst des fallenden Körpers Bestimmen Sie nun mit Hilfe einer Integration über die Zeit t das Geschwindigkeit-Zeit- und das Weg-Zeit-Gesetz des freien Falles d) Gegeben ist ein Pendel, das zur Zeit t = 0 bis zum Punkt x = A ausgelenkt und dann losgelassen wird Unter Vernachlässigung jeglicher Reibung schwingt nun das Pendel für alle Zeiten zwischen den Punkten x = A und x = -A hin und her Das Weg-Zeit-Gesetz lautet also: x(t) = A cos(w t), mit w = 2 p/t (T ist die Periodendauer des Pendels) Wie lauten das Geschwindigkeits-Zeitund das Beschleunigungs-Zeit-Gesetz? Stellen Sie alle drei Gesetze graphisch dar und interpretieren Sie die sich ergebenden Graphen! e) Ein Ball werde mit einer Anfangsgeschwindigkeit von 50 m/s und einem Winkel von 37 zur Horizontalen in die Luft geworfen Wie lange ist der Ball in der Luft, und welche Entfernung hat er in dieser Zeit in waagerechter Richtung zurückgelegt (g = 10 m/s 2 )? Welche maximale Höhe erreicht der Ball und zu welcher Zeit erreicht er diese? f) Der Ball aus Aufgabe (e) werde mit derselben Anfangsgeschwindigkeit abgeworfen, allerdings jetzt von einem Felsen aus, der 55 m über der Ebene liegt Wann und in welcher Entfernung schlägt der Ball auf dem Boden auf? g) Ein Jäger möchte mit einer Armbrust einen Affen erlegen, der am Ast eines Baumes hängt Er zielt genau auf den Affen Als der Affe sieht, daß ein Pfeil auf ihn abgeschossen wird, läßt er sich in der Hoffnung fallen, so dem Pfeil zu entgehen Zeigen Sie, daß der Affe unabhängig von der Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils getroffen wird, solange die folgenden Voraussetzungen erfüllt sind: Die Anfangsgeschwindigkeit des Pfeils ist so groß, daß er die Entfernung zum Baum zurücklegt, bevor er auf die Erde fällt; der Affe läßt sich in dem Augenblick fallen, in dem der Pfeil abgeschossen wird h) Ein Rettungsschwimmer befinde sich zur Zeit t = 0 im Punkt R An welcher Stelle X c muß er ins Wasser (graue Fläche in der Abbildung) gehen, um in der kürzesten Zeit zu dem ertrinkenden Schwimmer im Punkt S zu gelangen, wenn er sich stets nur entlang gerader Wege bewegt? Gehen Sie bei Ihrer Rechnung von den folgenden Bedingungen aus: Der horizontale Abstand zwischen den Punkten R und S sei b = 120 m, der vertikale Abstand zwischen ihnen sei h = a 1 + a 2 = (57,7 + 32,4) m Der Rettungsschwimmer erreicht auf sandigem Boden eine konstante Geschwindigkeit v = 16 km/h, im Wasser bewegt er sich nur mit einer viertel so großen aber ebenfalls konstanten Geschwindigkeit weiter 2 of :49

3 Zeigen Sie außerdem, das bei diesem X c die folgende Beziehung erfüllt ist sin(q 1) = 4 sin(q 2 ) i) Eine Schwimmerin durchquere einen 80 m breiten Fluß mit der Geschwindigkeit von 1,6 m/s relativ zum Wasser und senkrecht zu dessen Strömungsrichtung Sie erreiche das gegenüberliegende Ufer 40 m flußabwärts i) Welche Geschwindigkeit hat der Fluß? ii) Welche Geschwindigkeit hat die Schwimmerin relativ zum Ufer? iii) In welche Richtung müßte Sie schwimmen, um direkt gegenüber anzukommen? Musterlösungen a) [E] = J = N m = kg m 2 s -2, [F] = N = kg m s -2, [p] = kg m s -1, [M] = N m = kg m 2 s -2, [L] = kg m 2 s -1, [h] = J s = N m s = kg m 2 s -1, [e] = C = A s, [c] = m s -1, [e 0 ] = A 2 s 2 N -1 m -2 b) Die Dimensionsanalysen ergeben, daß die Beziehungen (i) und (iii) dimensionsmäßig richtig sind, Beziehung (ii) dimensionsmäßig falsch ist c) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v(t) = -g t + v 0 = -g t, Weg-Zeit-Gesetz: x(t) = -1/2 g t 2 + v 0 t + x 0 = -1/2 g t 2 + h Man erhält diese beiden Gesetze durch zeitliche Integration der Ausgangsgleichung b(t) = -g (die zeitliche Integration ist der mathematische Umkehrprozeß zur zeitlichen Differentiation) Die Werte der sich ergebenden Integrationskonstanten sind durch die Randbedingungen des Problems gegeben: v 0 = 0 (Anfangsgeschwindigkeit zur Zeit t = 0), x 0 = h (Anfangshöhe zur Zeit t = 0) d) Geschwindigkeits-Zeit-Gesetz: v(t) = -A w sin(w t), Beschleunigungs-Zeit-Gesetz: b(t) = -A w w cos(w t) Diese beiden Gesetze ergeben sich durch zeitliche Differentiation des gegebenen Weg-Zeit-Gesetzes Zur Interpretation soll folgende Tabelle dienen: Zeit t 0 T/4 T/2 3T/4 T x(t) A 0 -A 0 A v(t) 0 -Aw 0 Aw 0 b(t) -Aw 2 0 Aw 2 0 -Aw 2 Zur Zeit t = 0 befindet sich das Pendel am Umkehrpunkt A, seine Geschwindigkeit ist Null und an diesem Punkt wird das Pendel positiv beschleunigt, dh die Beschleunigungsrichtung ist gleich der Bewegungsrichtung Nach einer viertel Periode durchläuft das Pendel den Nullpunkt (hier ist die 3 of :49

4 Geschwindigkeit maximal, die Beschleunigung aber Null) Auf Grund der Massenträgheit und der Abwesenheit von Reibung erreicht das Pendel nach einer halben Periode den Umkehrpunkt A Auf dem Weg dahin erfährt das Pendel eine negative Beschleunigung, die am Punkt A ihr Maximum erreicht (Vorzeichenwechsel) Die Geschwindigkeit ist wieder Null Die zweite Periodenhälfte läuft analog e) Für die Anfangsgeschwindigkeit ergibt sich Weiterhin gilt v x (t) = v 0x = konst und v y (t) = v 0y - g t, da für die Beschleunigung gilt, also Daraus ergibt sich weiter Die Flugzeit des Balles t ergibt sich aus Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung lauten t 1 = 0 s und t 2 = 6 s Die Reichweite des Balles R ergibt sich nun aus Nach einer Flugzeit von 6 s trifft der Ball wieder auf die Erdoberfläche Dabei hat er einen horizontalen Weg von 239,4 m zurückgelegt Da die Flugbahn symmetrisch ist, erreicht der Ball seine maximale Höhe H nach 3 s und für H ergibt sich H = y(3s) = 45,3 m f) Wird der Ball von einer erhöhten Position (55 m) aus geworfen, so ergibt sich nun für die Flugzeit Die Lösungen dieser quadratischen Gleichung lauten t 1 = 1,5 s und t 2 = 7,5 s Der Ball benötigt nun 4,5 s, um von seiner höchsten Position aus zur Erde zu gelangen (bei H ist v 0y = 0, daraus folgt - mit 100,3m = 1/2 g t 2 t = 4,5 s) Die Reichweite R ergibt sich wieder aus g) Eine sehr schöne und illustrierte Lösung finden Sie in "Physik" von P A Tipler (Spektrum Akademischer Verlag, 1 Auflage) auf Seite 60 h) Der Rettungsschwimmer legt in einer Zeit t(x) den Weg s(x) = s Sand (x) + s Wasser (x) zurück (zunächst sei der Punkt x, bei dem er ins Wasser geht, beliebig) Die beiden Wegstücke sind dabei 4 of :49

5 geradlinig Somit ergibt sich aus der Skizze Mit und ergibt sich und damit, also Gesucht ist nun das x C, bei dem die benötigte Zeit t(x C ) ein Minimum unter allen anderen Zeiten t(x ¹ x C ) ist Mathematisch bedeutet dies oder Vergleicht man wieder mit der Skizze so ergibt sich sin(q 1 ) = 4 sin(q 2 ) Formt man diese Gleichung um, dann erhält man ein Polynom 4-ten Grades, dessen Nullstelle das gesuchte x C ist Die numerische Rechnung (Newton Verfahren) liefert x C = 112,154 m i) i) Weil die Schwimmerin direkt auf das jenseitige Ufer zuhält, benötigt sie zum Überqueren des Flusses die Zeit (80 m) / (1,6 m/s) = 50 s In dieser Zeit wird sie um 40 m abgetrieben; daher ist Strömungsgeschwindigkeit des Wassers v S = (40 m) / (50 s) = 0,8 m/s (ii) Ihre gesamte Geschwindigkeit relativ zum Ufer ist also ; deren Betrag ist 1,79 m/s (iii) Auf den ersten Blick scheint es, als müsse sie auf einen Punkt zuhalten, der 40 m flußaufwärts vom Startpunkt liegt, also in einer Richtung, die um 26,6 nach oben weist Die exakte Bedingung lautet aber, daß die Schwimmerin um einen solchen Winkel flußaufwärts gerichtet schwimmen muß, daß die x-komponente der 1,6 m/s genau gleich der Fließgeschwindigkeit von 0,8 m/s ist Der dafür einzuhaltende Winkel gegen die Querrichtung ist 30 Also muß die Schwimmerin auf den Punkt zuhalten, der 46,2 m flußaufwärts am jenseitigen Ufer liegt 5 of :49