Formelsammlung. für den Teilbereich Zustandsraumdarstellung der Vorlesung. Einführung in die Regelungstechnik

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1 Formelsammlung für den Teilbereich Zustandsraumdarstellung der Vorlesung Einführung in die Regelungstechnik Diese Formelsammlung ist ein Auszug aus der Formelsammlung zur Systemtheorie-Vorlesung von Matthias Weber Andreas Rauh SS 2005 zuletzt überarbeitet von Michael Buchholz am 29 April 2008 Alle Angaben ohne Gewähr Bei Fehlern, Kritik, Anregungen und Lob: c Matthias Weber, Ulm

2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Hinweis: In dieser Formelsammlung werden skalare Größen nicht unterstrichen (zum Beispiel u(t)) Vektorielle Größen (Zeilen- oder Spaltenvektoren) werden mit kleinen, unterstrichenen Buchstaben (zum Beispiel b), Matrizen mit großen, unterstrichenen Buchstaben (zum Beispiel A) bezeichnet Zeilenvektoren werden in dieser Formelsammlung grundsätzlich mit einem Transpositionszeichen versehen (zum Beispiel c T ), während Spaltenvektoren grundsätzlich ohne Transpositionszeichen notiert werden (zum Beispiel b) Mathematische Grundlagen Determinantenberechnung Determinanten können nur für n n-matrizen berechnet werden für 2 2-Matrizen [ a a det 2 a 2 a 22 a a 2 a 2 a 22 a a 22 a 2 a 2 () 2 für 3 3-Matrizen a a 2 a 3 det a 2 a 22 a 23 a a 22 a 33 + a 2 a 23 a 3 + a 2 a 32 a 3 (2) a a 3 a 32 a 3 a 22 a 3 a a 32 a 23 a 2 a 2 a für n n-matrizen Entwicklung nach der µ-ten Zeile a a 2 a n a 2 a 22 a 2n det a n a n2 a nn n ν ( ) µ+ν a µν det(a µν ) (3) wobei A µν die Untermatrix ist, die durch Streichung der µ-ten Zeile und ν-ten Spalte entsteht Entwicklung nach der ν-ten Spalte a a 2 a n a 2 a 22 a 2n det a n a n2 a nn n µ ( ) µ+ν a µν det(a µν ) (4) wobei A µν die Untermatrix ist, die durch Streichung der µ-ten Zeile und ν-ten Spalte entsteht 4 Rechenregeln für Determinanten det(r S) det(r) det(s) (5) [ A 0 det det(a 0 A ) det(a 2 ) 2 (6)

3 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 2 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Vektoren n Vektoren v,, v n sind genau dann linear unabhängig, wenn die Determinante der aus ihnen gebildeten Matrix V [v v n (7) ungleich 0 ist det(v ) det [v vn 0 linear unabhängig (8) det(v ) det [v v n 0 linear abhängig (9) Dieses Verfahren ist nur dann möglich, wenn die Vektoren v,, v n die Dimension n haben Andernfalls ist zu prüfen, ob das lineare Gleichungssystem n α i v i 0 (0) i eine nicht triviale Lösung α i 0 für mindestens ein i mit v i 0 besitzt Ist dies der Fall, sind die Vektoren linear abhängig 3 Inverse einer Matrix Es können nur von n n-matrizen die Inversen gebildet werden 3 für 2 2-Matrizen [ A a a 2 a 2 a für 3 3-Matrizen [ det(a) a22 a 2 a 2 a () A a a 2 a 3 a 2 a 22 a 23 a 3 a 32 a 33 det(a) a 22a 33 a 23 a 32 a 3 a 32 a 2 a 33 a 2 a 23 a 3 a 22 a 23 a 3 a 2 a 33 a a 33 a 3 a 3 a 3 a 2 a a 23 a 2 a 32 a 22 a 3 a 2 a 3 a a 32 a a 22 a 2 a 2 (2) 33 für n n-matrizen Die Inverse einer nxn-matrix A berechnet sich wie folgt A [ T ( ) µ+ν det(a det A µν ) nxn wobei A µν die Untermatrix ist, die durch Streichung der µ-ten Zeile und ν-ten Spalte entsteht 34 Rechenregeln für Inverse und Transposition (3) (A B) B A (4) (A B) T B T A T (5) ( A T ) ( A ) T (6)

4 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 3 4 Eigenwerte einer Matrix Die Eigenwerte einer Matrix ergeben sich durch Lösung der charakteristischen Gleichung 5 Eigenvektoren einer Matrix 5 Rechtsseitige Eigenvektoren p(λ) det(a λi)! 0 (7) Zu jedem Eigenwert λ i ergibt sich der zugehörige rechtsseitige Eigenvektor v i aus dem Gleichungssystem (A λ i I) v i 0 mit v i 0 (8) 52 Linksseitige Eigenvektoren Zu jedem Eigenwert λ i ergibt sich der zugehörige linksseitige Eigenvektor w i aus dem Gleichungssystem w T i (A λ i I) 0 T mit w i 0 (9) 6 Transformation einer Matrix auf Diagonalform Eine Matrix A wird folgendermaßen auf Diagonalform transformiert: mit der Transformationsmatrix T, Ã T A T (20) T die sich aus den linksseitigen Eigenvektoren der Matrix A zusammensetzt und der invertierten Transformationsmatrix T, T [v v 2 v n (22) die sich aus den rechtsseitigen Eigenvektoren der Matrix A zusammensetzt Das Ergebnis ist eine Diagonalmatrix mit den Eigenwerten von A als Einträge der Diagonale w T w T 2 w T n (2) Rücktransformation: A T Ã T (23) 7 Rang einer Matrix Der Rang einer Matrix ist die Anzahl der linear unabhängigen Zeilen oder Spalten 8 Definitheit von Matrizen Kriterien für die Definitheit von symmetrischen Matrizen A A T : Eine Matrix ist positiv definit, wenn alle EW > 0 und reell sind Eine Matrix ist negativ definit, wenn alle EW < 0 und reell sind Eine Matrix ist positiv semidefinit, wenn alle EW 0 und reell sind Eine Matrix ist negativ semidefinit, wenn alle EW 0 und reell sind Liegt keiner dieser Fälle vor, ist die Matrix indefinit

5 4 2 BEZEICHNUNGEN 2 Bezeichnungen n Systemordnung p Anzahl der Eingänge des Systems q Anzahl der Ausgänge des Systems x(t) x Zustandsvektor, [n -Vektor u(t) u Eingangsvektor, [p -Vektor y(t) y Ausgangsvektor, [q -Vektor w(t) w Führungsvektor, [q -Vektor z(t) z Störvektor, [r -Vektor A Systemmatrix, [n n-matrix B Eingangsmatrix, bzw Stelleingriffsmatrix, [n p-matrix b Stelleingriffsvektor (nur bei SISO-Systemen), [n -Vektor C Ausgangsmatrix, [q n-matrix c T Ausgangsvektor (nur bei SISO-Systemen), [ n-vektor D Durchgangsmatrix, [q p-matrix S Vorfiltermatrix, [p q-matrix S Vorfilterwert (nur bei SISO-Systemen), [Skalar K Reglermatrix, [p n-matrix k T Reglervektor (nur bei SISO-Systemen), [ n-vektor H Beobachtermatrix, [n q-matrix h Beobachtervektor (nur bei SISO-Systemen), [n -Vektor H Beobachtermatrix des reduzierten Beobachters, [(n q) q-matrix h Beobachtervektor des red B (nur bei SISO-Systemen), [(n q) -Vektor E Störeingangsmatrix, [n r-matrix Achtung! Die meisten Formeln dieser Formelsammlung sind allgemein für MIMO-Systeme angegeben Werden diese Formeln für SISO-Systeme verwendet, muss auf die richtige Ersetzung der Matrizen durch Vektoren geachtet werden: SISO anstatt MIMO b anstatt B c T anstatt C k T anstatt K h anstatt H

6 3 DYNAMISCHE SYSTEME IM ZUSTANDSRAUM 5 3 Dynamische Systeme im Zustandsraum 3 Zustandsraumdarstellung In der Systemtheorie werden Systeme durch die Zustandsraumdarstellung (ZRD) beschrieben Diese ist im Allgemeinen gegeben durch ẋ(t) A x(t) + B u(t) Zustandsgleichung (24) y(t) C x(t) + D u(t) Ausgangsgleichung (25) Oft (in der ST-Vorlesung hauptsächlich) werden sogenannte SISO-Systeme betrachtet, die nur je eine Eingangs- und Ausgangsgröße haben Hier vereinfacht sich die ZRD zu: ẋ(t) A x(t) + b u(t) Zustandsgleichung (26) y(t) c T x(t) (+d u(t)) Ausgangsgleichung (27) Im Folgenden wird in der Regel d 0 angenommen 3 Übertragungsfunktion Zustandsraumdarstellung (SISO) Bei SISO-Systemen kann jede beliebige ZRD folgendermaßen in die aus der Vorlesung RT bekannte Form einer Übertragungsfunktion überführt werden G(s) c T (si A) b (28) Liegt die Zustandsraumdarstellung in einer speziellen Form vor, kann die Übertragungsfunktion G(s) ohne Rechnung aus den Einträgen der Matrix A und den Vektoren b, c T aufgestellt werden (vgl 563) 32 Übertragungsfunktion Zustandsraumdarstellung (MIMO) Bei MIMO-Systemen können lediglich Teil-Übertragungsfunktionen G ij (s) Y i(s) U j (s) (29) aufgestellt werden Diese berechnen sich nach G ij (S) c T i (si A) b j (30) mit C c T B [b b p (3) c T q 32 Lösung der Zustandsgleichung t x(t) Φ(t t 0 )x 0 + mit der Matrixexponentialfunktion (Transitionsmatrix) t 0 Φ(t τ)b u(τ)dτ (32) Φ(t) e At (33)

7 6 3 DYNAMISCHE SYSTEME IM ZUSTANDSRAUM 33 Berechnung der Matrixexponentialfunktion (Transitionsmatrix) 33 Direkte Berechnung Φ(t) e At 332 Berechnung über Diagonalform k0 A k t k k! (34) Berechnung der diagonalisierten Systemmatrix à nach Kapitel 6 λ 0 0 à 0 λ λ n (35) 2 Berechnung von eãt für einfache Eigenwerte (mehrfache Eigenwerte siehe Abschnitt 233 im Vorlesungsskript) e λt 0 0 eãt 0 e λ2t (36) e λnt 3 Rücktransformation nach Kapitel Berechnung nach Cayley-Hamilton e At T eãt T (37) e At α 0 (t)i + α (t)a + + α n (t)a n (38) mit den Bestimmungsgleichungen für α 0 (t),, α n (t) n e λit α l (t)λ l i i,, n (39) l0 wobei λ i die Eigenwerte und n die Anzahl der Eigenwerte der Matrix A darstellt Spezialfall: Cayley-Hamilton bei Eigenwerten mit Vielfachheit > Besitzen ein oder mehrere Eigenwerte eine Vielfachheit >, liefert das normale Cayley-Hamilton- Verfahren zu wenig Bestimmungsgleichungen für α 0 (t),, α n (t) In diesem Fall werden die fehlenden Gleichungen durch die Ableitungen der Bestimmungsgleichung ersetzt Vorgehen: Der mehrfache Eigenwert λ i habe die Vielfachheit p i Die p i Bestimmungsgleichungen dieses Eigenwerts ergeben sich aus ( k n λ k (eλt ) k λ k α l (t)λ l) k 0,, p i (40) λλi l0 λλi

8 4 EIGENSCHAFTEN LINEARER SYSTEME IM ZUSTANDSRAUM 7 4 Eigenschaften linearer Systeme im Zustandsraum 4 Stabilität 4 Defintion Ein System ist asymptotisch stabil, wenn seine Zustände bei endlicher Anfangsauslenkung für t gegen 0 streben Es ist grenzstabil, wenn es bei endlicher Anfangsauslenkung für t einen bestimmten Maximalwert nicht überschreitet oder gegen einen endlichen Grenzwert strebt Ein Beispiel hierfür ist eine Dauerschwingung mit beschränkter Amplitude Es ist instabil, wenn mindestens einer seiner Zustände bei endlicher Anfangsauslenkung für t über alle Grenzen wächst 42 Stabilitätskriterien Ein lineares System ist genau dann asymptotisch stabil, wenn alle EW der Systemmatrix A in der linken s-halbebene liegen, dh Re{λ i } < 0 für alle i,, n (4) 43 Anmerkungen zur EW-Lage und Zeitverhalten Das charakteristische Polynom hat die Lösungen λ,, λ n Das Zeitverhalten des Systems y(t) ergibt sich damit zu λ n + a n λ n + + a λ + a 0 0 (42) y(t) c y + + c n y n + a 0 0 (43) mit den Funktionen y,, y n die sich aus den EW wie folgt ergeben: Lösungen der charakt Gleichung zugehörige Funktion y i λ a + ib λ a ib λ a + ib λ a ib λ -fach reell y e λt λ k-fach reell y e λt, te λt,, t k e λt } } -fach komplex konjugiert k-fach komplex konjugiert λ i reell y(t) hat monotones Zeitverhalten λ i komplex konjugiert y(t) hat oszillatorische Anteile y e at cos bt y e at sin bt y e at cos bt,, t k e at cos bt y e at sin bt,, t k e at sin bt

9 8 4 EIGENSCHAFTEN LINEARER SYSTEME IM ZUSTANDSRAUM 42 Steuerbarkeit 42 Defintion Ein System ẋ A x + b u heißt vollständig steuerbar, wenn durch geeignete Wahl von u(t) der beliebige Anfangszustand x(t 0 ) in endlicher Zeit in den Zustand x(t ) 0 überführt werden kann 422 Steuerbarkeitskriterien 422 Steuerbarkeitskriterium nach Kalman Ein System ist genau dann vollständig steuerbar, wenn die Steuerbarkeitsmatrix [ Q S b A b A 2 b A n b (44) den Rang n hat Bei SISO-Systemen ist das erfüllt, wenn gilt: 43 Beobachtbarkeit 43 Defintion det(q S ) 0 (45) Ein System ẋ A x + b u mit der Messgleichung y c T x + d u heißt vollständig beobachtbar, wenn man bei bekannten u(t) im Zeitintervall t 0 t t den beliebigen Anfangszustand x(t 0 ) aus den Messvektoren y(t) eindeutig ermitteln kann 432 Beobachtbarkeitskriterien 432 Beobachtbarkeitskriterium nach Kalman Ein System ist genau dann vollständig beobachtbar, wenn die Beobachtbarkeitsmatrix Q B c T c T A c T A 2 c T A n (46) den Rang n hat Bei SISO-Systemen ist das erfüllt, wenn gilt: det(q B ) 0 (47)

10 5 NORMALFORMEN 9 5 Normalformen 5 Allgemeines Jede Zustandsraumdarstellung (ZRD) ẋ A x + B u (48) y C x (49) kann mit Hilfe einer Transformationsmatrix T in eine neue Zustandsraumdarstellung überführt werden ẋ A x + B u (50) y C x (5) Normalformen sind Zustandsraumdarstellungen mit speziellen, vorgegebenen Eigenschaften Die EW von A ändern sich durch die Transformation nicht! 5 Transformationsgleichungen Die einzelnen Komponenten einer ZRD werden folgendermaßen transformiert: A T A T (52) B T B (53) C C T (54) x T x (55) 52 Rücktransformation A T A T (56) B T B (57) C C T (58) x T x (59) 52 Jordan-Normalform Die Jordan-Normalform ist bereits aus 6 bekannt A hat in der Jordan-Normalform Diagonalgestalt: λ 0 0 Ã 0 λ 2 (60) λ n mit den einfachen Eigenwerten λ,, λ n der Matrix A Für mehrfache Eigenwerte siehe Abschnitt 233 im Vorlesungsskript Bestimmung der Transformationsmatrix T und ihrer Inversen T über die links- und rechtsseitigen Eigenvektoren der Matrix A (siehe Kapitel 6)

11 0 5 NORMALFORMEN 53 Beobachtungsnormalform (BNF) Art Die Transformationsmatrix ist gleich der Beobachtbarkeitsmatrix: C C A T Q B C A 2 C A n Die transformierten Matrizen haben folgende Form:  0 0 a 0 a a n B C B C A B C A 2 B C A n B Ĉ 0 0 (6) (62) (63) 54 Beobachtungsnormalform (BNF) 2 Art 54 Transformation BNF BNF 2 Die transformierten Matrizen  und Ĉ haben folgende Form: 0 0 a 0 a  ÂT a n 0 Ĉ 0 (64) Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix T 2, die ein System von BNF auf BNF 2 transformiert: Ĉ Ĉ  T 2 Q 2 B Ĉ  (65) Ĉ  n Die transformierte Matrix B ergibt sich schließlich zu B T 2 B b 0 b b n (66)

12 5 NORMALFORMEN 542 Direkte Trafo auf BNF 2 Die direkte Transformation auf BNF 2 erfolgt über T ges T 2 T Q Q B B (67) 543 Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion Bei SISO-Systemen beziehen sich die oben verwendeten Koeffizienten auf die Übertragungsfunktion des Systems G(s) b 0 + b s + + b n s n a 0 + a s + + a n s n + s n mit a n! (68) Ist G(s) nicht bekannt, können die Koeffizienten a 0,, a n aus gewonnen werden det(si A) a 0 + a s + + a n s n + s n (69) 544 Eigenschaften Vorteile: Aus der Übertragungsfunktion kann sofort die BNF 2 aufgestellt werden (bzw andersrum) (siehe 543) BNF 2 ist immer beobachtbar Nachteile: Die Zustandsvariablen haben keine physikalische Bedeutung 55 Steuerungsnormalform (SNF) Art Die Transformationsmatrix ist gleich der Inversen der Steuerbarkeitsmatrix: T Q S [ B A B A 2 B A n B (70) Die transformierten Matrizen haben folgende Form: B 0 0 a 0 a A a n 0 0 C C B C A B C A 2 B C A n B (7) (72)

13 2 5 NORMALFORMEN 56 Steuerungsnormalform (SNF) 2 Art (Regelungsnormalform) 56 Transformation SNF SNF 2 Die transformierten Matrizen A und B haben folgende Form: 0 0 A A T a 0 a a n 0 B 0 Daraus ergibt sich die Transformationsmatrix T 2, die ein System von SNF auf SNF 2 transformiert: [ T 2 Q S B A B A 2 B A n B (74) (73) Die transformierte Matrix C ergibt sich schließlich zu C ( C T ) T 2 b 0 b (75) b n 562 Direkte Trafo auf SNF 2 Die direkte Transformation auf SNF 2 erfolgt über T ges T 2 T Q S Q S (76) 563 Zusammenhang mit der Übertragungsfunktion Bei SISO-Systemen beziehen sich die oben verwendeten Koeffizienten auf die Übertragungsfunktion des Systems G(s) b 0 + b s + + b n s n a 0 + a s + + a n s n + s n mit a n! (77) Ist G(s) nicht bekannt, können die Koeffizienten a 0,, a n aus gewonnen werden 564 Eigenschaften Vorteile: det(si A) a 0 + a s + + a n s n + s n (78) Aus der Übertragungsfunktion kann sofort die SNF 2 aufgestellt werden (bzw andersrum) (siehe 563) SNF 2 ist immer steuerbar Nachteile: Die Zustandsvariablen haben keine physikalische Bedeutung