Stabile Finite-Elemente-Diskretisierungen von Konvektions-Diffusions-Gleichungen

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1 Stabile Finite-Elemente-Diskretisierungen von Konvektions-Diffusions-Gleichungen von Oliver Christian Fortmeier Matrikelnummer Diplomarbeit in Mathematik vorgelegt der FAKULTÄT FÜR MATHEMATIK, INFORMATIK UND NATURWISSENSCHAFTEN der Rheinisch-Westfälischen Technischen Hochschule Aachen im Mai 2005 angefertigt im Institut für Geometrie und Praktische Mathematik (IGPM), Lehrstuhl für Numerische Mathematik Prof. Dr. Arnold Reusken

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3 Ich versichere, dass ich diese Diplomarbeit selbständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe. Wörtliche oder sinngemäße Wiedergaben aus anderen Quellen sind kenntlich gemacht und durch Zitate belegt. Aachen, den 20.Mai 2005 ( Oliver Fortmeier )

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7 vii Vorwort Bei der mathematischen Beschreibung von Konvektions-Diffusions-Prozessen entstehen partielle Differentialgleichungen. Diese können in der Regel nicht explizit gelöst werden. Sie werden daher numerisch angenähert. Ist die Konvektion dominant, können allerdings Probleme auftreten, die die numerischen Methoden instabil werden lassen. Auf Grund dessen wurden verschiedene Methoden entwickelt, die zur Stabilisierung beitragen. Ziel dieser Arbeit ist es, verschiedene Stabilisierungen vorzustellen, zu untersuchen und zu vergleichen. In Kapitel 1 wird zunächst auf die Herleitung der Konvektions-Diffusions-Gleichung eingegangen. Im Folgenden werden die nötigen mathematischen Grundlagen erläutert und auf diese Gleichung angewendet, mit dem Ziel, die Eindeutigkeit und Existenz einer Lösung zu zeigen. Kapitel 2 widmet sich den Finiten-Elementen, die eine Standardtechnik darstellen, um partielle Differentialgleichungen zu diskretisieren. Es wird auf die Eigenschaften dieser Methoden eingegangen und als Beispiel auf die Poisson-Gleichung angewendet. Danach wird die Konvektions-Diffusions- Gleichung mittels der Finiten-Elemente diskretisiert. Eine in der Physik wichtige Eigenschaft von Differentialgleichungs-Operatoren ist die inverse Monotonie. Um diese auf das zugehörige diskrete Problem zu übertragen, werden die Upwind-Methode sowie die Secondary-Grid-Methode vorgestellt. Kapitel 3 und 4 nehmen eine zentrale Rolle in dieser Diplomarbeit ein. Kapitel 3 geht auf die Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode ein, die von Hughes und Brooks zur Stabilisierung entwickelt wurde. Es werden die Eigenschaften dieser Methode dargestellt, und ein Ausblick auf eine nichtkonforme Erweiterung dieses Ansatzes wird gegeben. Kapitel 4 beschäftigt sich mit der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode. Diese Methode ist im Prinzip eine Ausweitung der in Kapitel 3 vorgestellten Vorgehensweise. Auch hier wird auf die Eigenschaften eingegangen und kurz eine nichtkonforme Erweiterung angegeben. Im Rahmen der vorliegenden Arbeit wurden die beiden in Kapitel 3 und 4 vorgestellten Methoden mit Hilfe des am Institut für Geometrie und Praktische Mathematik entwickelten Programmpakets DROPS implementiert. Diese Implementierung ist in Kapitel 5 beschrieben. Im letzten Kapitel 6 werden Resultate der Implementierung angegeben. Dabei werden nicht nur die Streamline-Diffusion- und Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode auf Modellprobleme angwendet, sondern auch mit der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode verglichen. Es werden konkrete Konvektions-Diffusions-Gleichungen gelöst, wobei auf die verschiedenen Aspekte der Methoden Rücksicht genommen wird. Zudem wird die Interdependenz zwischen Theorie und Praxis diskutiert. Das Resultat dieser Arbeit lautet, dass die Stabilisierung mit der Streamline-Diffusion- und der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode sinnvoll für die Diskretisierung von konvektionsdominaten Konvektions-Diffusions-Gleichungen ist.

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9 Inhaltsverzeichnis 1 Problembeschreibung Die Navier-Stokes-Gleichungen Die Konvektions-Diffusions-Gleichung Eigenschaften und Eindeutigkeit einer klassischen Lösung Variationsformulierung Schwache Ableitung Schwache Formulierung Existenz einer schwachen Lösung Schwaches Maximumprinzip Regularität und Existenz einer klassischen Lösung Randschichten Finite-Elemente-Methode Die Galerkin-Diskretisierung Triangulierung und Aufstellen einer Basis Triangulierungen Ansatzraum und Aufstellen einer Basis Aufstellen eines linearen Gleichungssystems Die Theorie der Galerkin-Diskretisierung Fehlerabschätzungen Inverse Monotonie Invers monotone Galerkin-Diskretisierung der Poisson-Gleichung Diskretisierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung Fehlerabschätzung der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode Invers monotone Diskretisierungen der Konvektions-Diffusions-Gleichung Upwind-Methode Secondary-Grid-Methode Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode Einführung Eigenschaften der Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode Wahl des SD-Parameters Ausblick Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode Einführung Eigenschaften der Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode Die unstetige Galerkin-Finite-Elemente-Methode ix

10 x INHALTSVERZEICHNIS 5 Implementierung der Methoden mit DROPS Aufbau des Programms Klassendefinitionen Implementierung der Prozeduren Lösen einer Konvektions-Diffusions-Gleichung Numerische Resultate Testbeschreibung Testdaten bezüglich Konvergenz Testfunktion Testfunktion Testdaten bezüglich Stabilität der Parameter Testdaten bezüglich der Diffusion Testläufe Auswertung und Fazit Literaturverzeichnis 79

11 Kapitel 1 Problembeschreibung In diesem Kapitel werden wir die Konvektions-Diffusions-Gleichung herleiten und die nötigen theoretischen Grundlagen einführen. 1.1 Die Navier-Stokes-Gleichungen Da die Konvektions-Diffusions-Gleichung aus den Navier-Stokes-Gleichungen gewonnen werden kann, wollen wir hier die Herleitung dieser Gleichungen angeben. Dabei halten wir uns an [KL89]. Eulersche und Lagrangesche Beschreibung von Fluiden Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben Strömungen in Fluiden. Dafür sei 0 R 3 ein Kontrollvolumen eines Fluids mit Rand 0. Sei a 0 ein Partikel aus diesem Fluid, das wir im Laufe der Zeit t beobachten können, d.h. a läuft entlang einer Kurve Φ(a,t) in unserem Körper. Also sei Φ(a,0) = a und t = { Φ(a,t) a 0 }. Für dieses Φ(, ) soll für alle a 0 0 gelten: 1. Φ(a,0) = a. 2. Für a b ist Φ(a,t) Φ(b,t) für alle t 0, damit wir das Partikel eindeutig identifizieren können. 3. Die Abbildung a Φ(a, t) hat eine glatte Inverse. Somit ist der Rand von t gleich dem Bild des ursprünglichen Randes, d.h. t = { Φ(a,t) a 0 }. Beschreiben wir mit u(x,t) = (u1,u 2,u 3 )(x,t) die Geschwindigkeit des Fluids im Punkt x t, so gilt u(x,t) = t Φ(a,t) für x = Φ(a,t) und u(φ(a,t),t) = Φ(a,t). (1.1) t Nun ergeben sich zwei verschiedene Betrachtungsweisen: Lagrange: Wenn Φ(, ) bekannt ist, können wir die Geschwindigkeit u(x, t) in Abhängigkeit der Material-Koordinate a 0 und der Zeit t beschreiben. 1

12 2 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG Euler: Durch die räumlichen Koordinaten x t für t 0 können wir für alle a 0 mit Hilfe der Differentialgleichung (1.1) und Anfangsbedingung Φ(a, 0) = a die Kurven t Φ(a, t) herleiten. Sei f = f(x,t) eine skalare glatte Funktion, die von den Euler-Koordinaten x t und t abhängt, wie z.b. die Flüssigkeitsdichte oder die Temperatur. Wir fragen uns nun, wie sich f entlang einer Kurve Φ(a,t) = x(t) verändert. Aus (1.1) ergibt sich die Antwort in Form von ( ) d dt f(x(t),t) = t f + u 1 x 1 + u 2 x 2 + u 3 x 3 (x(t),t) = ( t f + u f)(x(t),t) := D Dt f(x,t). Der Ableitungsoperator D Dt ist als Materialableitung bekannt. Für das f gilt nach [TM01] der Transportsatz: 1.1 Satz (Transportsatz) Unter Glattheitsannahmen gilt folgende Gleichung: ( ) ( ) d D f(x,t)dx = dt t f + div(fu) (x,t)dx = Dt f + f div u (x,t)dx. t t Mit dem Satz von Gauß gilt weiter d f(x,t)dx = dt t f(x,t)dx + (fu ν)(x,t)ds, t t t wobei ν(x,t) der äußere Normaleneinheitsvektor von t ist. f 1 impliziert mit dem Transportsatz: d 1dx = div udx. dt t t Das Volumen von t, das durch t = t 1dx definiert ist, bleibt also nur konstant, wenn div u = 0 ist. t Massenerhaltung und Impulserhaltung Für die Massenerhaltung machen wir folgende Annahme an die Flüssigkeitsdichte ρ: Es existiert eine glatte Funktion ρ = ρ(x,t) 0, die auf allen t definiert ist, so dass ρ(x,t)dx = ρ(x,0)dx (1.2) t 0 für alle t 0 gilt. Die rechte Seite der obigen Gleichung (1.2) ist die Anfangsmasse in unserem System; sie bleibt in der Zeit konstant. Mit dem Transportsatz gilt: 0 = d ( ) ρ(x,t)dx = dt t ρ + div(ρu) dx. t t

13 1.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN 3 Dies gilt für alle t, wodurch der Integrand verschwinden muss. Die resultierende Gleichung heißt Kontinuitätsgleichung: ρ + div(ρu) = 0. t Ein Fluid heißt inkompressibel, wenn ρ(x,t) = ρ 0 = const gilt. Mit dem Transportsatz sehen wir, dass ein Fluid genau dann inkompressibel ist, wenn das Volumen konstant bleibt. Für die Impulserhaltung definieren wir uns den Impuls des Fluids in t durch t ρ(x,t)u(x,t)dx. Nach dem Newtonschen Gesetz ist die Zeitableitung gleich der Summe der auftretenden internen und externen Kräfte. Die internen Kräfte wirken auf den Rand des Körpers und entsprechen der Reibung der Teilchen. Die externen Kräfte sind z.b. elektromagnetische Kräfte, die Coriolis-Kraft oder die Gravitation. Wir nehmen an, dass die internen und externen Kräfte in der folgenden Form beschrieben werden können: Es existiert ein Kräftefeld F = F(x,t) R 3 und eine Belastungsfunktion S = S(x,t) = (s 1,s 2,s 3 ) T R 3 3, so dass für alle Körper t die Vektorgleichung d ρ(x,t)u(x,t)dx = ρ(x,t)f(x,t)dx + S(x,t)ν(x,t)dx dt t t t gilt. Mit dem Satz von Gauß gilt weiter Sν ds = div S dx, div S = t t div s 1 div s 2 div s 3 Wenden wir den Transportsatz auf jede Gleichung an, so erhalten wir D (ρu) + ρu ρf div S dx = 0. Dt t Mit geeigneter Glattheit muss der Integrand verschwinden und es ergibt sich mit der Kontinuitätsgleichung (1.3) die Impulsgleichung. (1.3) ρ D u = ρf + div S. (1.4) Dt Formen der Belastungsfunktion Wir versuchen nun, die Funktion S mit anderen Variablen des Flusses zu beschreiben. Eine einfache Form tritt insbesondere in der Gasdynamik auf. Wir nennen einen Fluss nichtviskos, falls S von der Form S(x,t) = p(x,t) = p(x,t)i (1.5)

14 4 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG ist. Dabei beschreibt die skalare Funktion p(x,t) den Druck. Die Impulsgleichung (1.4) wird zu ρ D u + p = ρf. Dt (1.6) Somit haben wir insgesamt vier Gleichungen, drei aus (1.6) und eine aus der Kontinuitätsgleichung (1.3), für die fünf skalaren Unbekannten ρ,p,u 1,u 2 und u 3. Falls das Fluid inkompressibel ist, d.h. die Dichte konstant ist, ρ(x,t) = ρ 0, so erhalten wir die Euler-Gleichungen D Dt u + 1 ρ 0 p = F, div u = 0. Ein anderer Weg, um die Gleichungen (1.3) und (1.6) zu ergänzen, ist die Zustandsgleichung. Unter Vernachlässigung von thermodynamischen Effekten gilt p = r(ρ), wobei r eine bekannte Funktion ist. Dieses System beschreibt den nichtviskosen kompressiblen Fluss. Kommen wir nun auf den viskosen Fall zu sprechen. Dort nimmt S eine nicht so einfache Form wie in (1.5) an. Um S in Abhängigkeit von anderen Fluss-Variablen zu beschreiben, muss hier auf Experimente zurückgegriffen werden. Falls die Bewegungen gleichmäßig sind, d.h. alle Geschwindigkeitsgradienten Null sind, so zeigt sich experimentell, dass die Form aus (1.5) dennoch angebracht ist. Deshalb scheint es sinnvoll anzunehmen, dass S + pi linear von der Matrix der Geschwindigkeitsgradienten abhängt, also S = pi + S(T), T = T(x,t) = Du(x,t) = S linear in T mit (u 1 ) x1 (u 1 ) x2 (u 1 ) x3 (u 2 ) x1 (u 2 ) x2 (u 2 ) x3 (u 3 ) x1 (u 3 ) x2 (u 3 ) x3 In [KL89] ist das Couette Experiment beschrieben, mit dem begründbar ist, dass S nur vom symmetrischen Anteil, dem so genannten Deformationstensor D := 1 2 (T + T H ), abhängt und nicht von den lokalen Rotationen des Fluids, die durch den antisymmetrischen Anteil 1 2 (T T H ) beschrieben werden. Dabei ist A H := ĀT. Nach [GM76] gilt: 1.2 Satz Sei S = S(D) eine lineare Funktion von D, welche invariant unter allen Rotationen der Koordinaten ist, d.h. S(UDU H ) = U S(D)U H für alle orthogonalen 3 3-Matrizen U und alle symmetrischen Matrizen D. Dann kann S als S(D) = µ (d 11 + d 22 + d 33 )I + 2µD geschrieben werden, wobei µ und µ Konstanten unabhängig von D sind. Damit wird unsere Belastungsfunktion S = pi+µ div ui+µ(t +T H ) div(s) = p+µ (div u)+µ( u+ (div u)).

15 1.1. DIE NAVIER-STOKES-GLEICHUNGEN 5 mit u = ( u 1, u 2, u 3 ) T. Setzen wir dies in die Impulsgleichung (1.4) ein und nehmen die Kontinuitätsgleichung (1.3) hinzu, erhalten wir die Navier-Stokes-Gleichungen: ρ D u + p = P + ρf Dt t ρ + div(ρu) = 0 mit P = (µ + µ ) (div u) + µ u. Die auftretenden Konstanten µ und µ Temperatur und den chemischen Eigenschaften des Fluids ab. hängen von der Auch hier wird wieder zwischen dem inkompressiblen Fluss ( ρ(x,t) = ρ 0, div u = 0 ) und dem kompressiblen Fluss ( p = r(ρ) ) unterschieden, um die Gleichungen zu vervollständigen. Wählen wir passende Einheiten, so können wir im inkompressiblen Fall ρ = 1 annehmen und erhalten t u + (u )u + p = ε u + F, div u = 0 (ε = µ/ρ 0). (1.7) Um ein korrekt gestelltes Problem zu erhalten, müssen natürlich noch Anfangsbedingungen und Randbedingungen gegeben werden, die der Kompatibilitätsbedingung genügen. Diese Gleichung dient als Vorlage für die Konvektions-Diffusions-Gleichung. Zunächst nehmen wir an, dass der Druck p bekannt sei und fassen ihn mit der rechten Seite F zusammen, so dass wir F erhalten. Nun diskretisieren wir die Gleichung (1.7) bezüglich der Zeit mit einem Euler-Verfahren. Wir nehmen an, dass wir bereits die Lösung zu einer Zeit t k kennen und bezeichnen diese mit u k (x) = (u k 1,uk 2,uk 3 )T. Wollen wir zu einem Zeitpunkt t k+1 > t k die Lösung u k+1 (x) bestimmen, approximieren wir die Zeitableitung durch d dt u(x) t=tk+1 uk+1 (x) u k (x) mit δ k := t k+1 t k. δ k Der Term (u )u koppelt die drei Gleichungen aus 1.7. Um diese Kopplung aufzuheben, ersetzen wir ihn durch (u k )u k+1. Außerdem ersetzen wir ε u durch ε u k+1 und als rechte Seite nehmen wir F k+1 (x) := F(x,t k+1 ). Dies alles impliziert drei voneinander unabhängige stationäre Gleichungen mit den Unbekannten u k+1 1,u k+1 2 und u k+1 3 : u k+1 u k δ k + (u k )u k+1 ε u k+1 = F k+1. Wenn wir exemplarisch die erste Komponente dieser Gleichung betrachten und sie umschreiben, dann erhalten wir: εδ k }{{} =: ε u k δ k u k }{{} =:b u k u k+1 1 = δ k F 1 + u k 1 } {{ } =:f Bezeichnen wir nun u k+1 1 mit v, erhalten wir die Konvektions-Diffusions-Gleichung: ε v + b v + v = f..

16 6 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG 1.2 Die Konvektions-Diffusions-Gleichung Sei R n ein beschränktes Gebiet mit Rand Γ :=. Wir betrachten folgendes Randwertproblem: Lu := ε u + b u + cu = f in Bu = 0 auf Γ (1.8) mit vorgegebenen hinreichend glatten Funktionen b, c und f. Der Operator B beschreibt hier die Randbedingungen. D.h. wir suchen eine Funktion u : R, die die obigen Gleichungen (1.8) punktweise erfüllt und werden sie im Folgenden als klassische Lösung bezeichnen. Nun wollen wir eine physikalische Anschauung für diese Gleichung geben. Dabei stellen wir uns einen Fluss vor, in den an einer Stelle flüssige Verschmutzung eingeleitet wird. Die klassische Lösung u beschreibt dann die Dichte dieser Verschmutzung. Nun treten primär zwei Effekte auf. Zum einen diffundiert die eingeleitete Flüssigkeit und zum anderen wird sie durch die Strömung weitergetragen. Die mathematische Modellierung der Diffusion geschieht durch den Term,,ε u und die der Konvektion durch,,b u. Falls die Flüssigkeiten noch reagieren, wird dies im Term,,c u modelliert. Die äußeren Kräfte werden durch f gegeben. In unserer Arbeit ist die Konvektion gegenüber der Diffusion dominierend, so dass wir von konvektions-dominanten Problemen sprechen, d.h. bei uns wird in der Regel 0 < ε 1 sein. Diese Gleichungen treten nicht nur bei der Beschreibung von Strömungen in Flüssigkeiten auf, sondern unter anderem auch bei Temperatur- und Ladungsverteilungen. Wir gehen bei der Untersuchung dieser Gleichung auf Eindeutigkeit und Existenz wie folgt vor: Zunächst zeigen wir die Eindeutigkeit mit Hilfe des,,maximum-/vergleichsprinzips. Der Existenzbeweis gliedert sich dann in zwei Schritte. Zuerst folgern wir die Existenz einer,,schwachen Lösung mit Resultaten der Funktionalanalysis. Danach beschreiben wir, wie diese,,schwache Lösung unter gewissen Bedingungen zu einer klassischen wird. 1.3 Eigenschaften und Eindeutigkeit einer klassischen Lösung Wenn wir annehmen, dass der Rand Γ von regulär ist, d.h. er ist stückweise durch Lipschitz-stetige Funktionen darstellbar, und dass c 0 ist, so ist eine eventuell existierende Lösung des Problems (1.8) mit Dirichlet-Randbedingungen, also auf dem Rand vorgegebenen Funktionswerten, eindeutig. Dies wollen wir mit dem Maximumprinzip (siehe [Ev99]) zeigen. Sei dazu u + = max(u,0). 1.3 Satz (Maximumprinzip) Seien die Koeffizienten des Operators b und c stetig, u C 2 () C( ) und c 0 in. Dann gilt: Lu 0 in max u max u+. Eine direkte Folgerung dieses Maximumprinzips ist das Vergleichsprinzip, das ähnlich in [PW67] zu finden ist und das wir an späterer Stelle noch auf das diskrete Problem übertragen werden.

17 1.4. VARIATIONSFORMULIERUNG Satz (Vergleichsprinzip) Angenommen b und c seien stetig mit c 0, und seien v,w C( ) C 2 (), die den Ungleichungen (Lv)(x) (Lw)(x), x und v(x) w(x), x Γ genügen. Dann gilt für alle x v(x) w(x). Mit diesem Resultat können wir die Eindeutigkeit einer Lösung folgern: Für die Differenz w := u ũ zweier Lösungen u und ũ von (1.8) gilt: L(w) = L(u) L(ũ) = 0 = L(0) und w Γ = 0. Nach dem obigen Satz 1.4 ist weiter w(x) 0, in. Also ist w = 0 in u = ũ in. 1.4 Variationsformulierung In diesem Abschnitt wollen wir die Existenz einer Lösung der Konvektions-Diffusions-Gleichung zeigen Schwache Ableitung Um den klassischen Ableitungsbegriff zu erweitern, werden schwache Ableitungen benutzt. Dazu sind jedoch noch einige Definitionen nötig. Sei N() = { f : R f = 0 f.ü. } und L 2 () := { u : R u 2 ist Lebesgue-integrierbar und u 2 dx < } /N(), dann bildet L 2 () mit dem Skalarprodukt (u,v) L 2 () := (u,v) 0 := (u,v) := uv dx und der davon induzierten Norm u 0 = (u,u) 0 einen Hilbertraum. Zudem sei C0 () der Raum der unendlich oft stetig differenzierbaren Funktionen ϕ : R mit kompaktem Träger in. Ein solches ϕ C0 () heißt auch Testfunktion. Der Raum der Testfunktionen liegt dicht in L2 (). Die Norm des Dualraums H eines Hilbertraums H ist durch definiert. f := sup v H < f,v >, f H v Für einen Multiindex α = (α 1,...,α n ) N n 0 sei der Betrag durch α := n i=1 α i definiert. Der Ableitungsoperator D α ist durch D α := α 1 x α αn 1 x αn gegeben. 1 n

18 8 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG 1.5 Definition (schwache Ableitung) Seien u,v L 2 () und α ein Multiindex. v heißt schwache D α Ableitung von u, falls ud α ϕ dx = ( 1) α vϕ dx ϕ C0 () gilt. Existiert die schwache Ableitung, so ist sie auch (bis auf eine Nullmenge) eindeutig. Besitzt eine Funktion eine klassische D α Ableitung, so stimmt diese fast überall mit der schwachen überein, was durch partielle Integration zu sehen ist. 1.6 Definition (Sobolevraum) Der Raum H k L 2 für ein k N 0 enthält alle Funktionen, deren schwache D α Ableitungen für alle α k in L 2 liegen, d.h. H k () := { u L 2 () D α u L 2 (), α k }. Zusammen mit dem Skalarprodukt (u,v) H k () := (u,v) k := α k D α u D α v dx und der davon induzierten Norm u H k () := (u,u) k bildet H k () einen Hilbertraum. Die Vervollständigung von C0 () in Hk () wird mit H0 k () bezeichnet. Im Folgenden werden wir auch noch Seminormen auf den Räumen H k () betrachten. Sie sind durch u m := (D α u,d α u) für m k definiert. α =m Wollen wir für Funktionen u H 1 () Randdaten auf vorschreiben, haben wir zunächst ein Problem. Da der Rand eine Nullmenge ist, ist im Allgemeinen nicht klar, was wir mit der Restriktion von u auf meinen. Einen Ausweg bietet der Spuroperator, der in [Ev99] gegeben und bewiesen ist: 1.7 Satz (Spuroperator) Sei beschränkt und C 1. Dann existiert ein beschränkter linearer Operator so dass T : H 1 () L 2 ( ), (i) Tu = u, falls u H 1 () C( ) und (ii) Tu L 2 ( ) C u H 1 () für alle u H 1 () mit einer Konstanten C, die nur von abhängt.

19 1.4. VARIATIONSFORMULIERUNG Schwache Formulierung Wie wir oben angekündigt haben, führen wir nun die schwache Formulierung von (1.8) ein, die auch Variationsformulierung heißt. Dazu seien in den nächsten Abschnitten die auftretenden Koeffizienten hinreichend glatt. Wir wollen zunächst auf die möglichen Randbedingungen eingehen. Werden auf Randstücken Funktionswerte vorgeschrieben, so wird dieses als Dirichlet- Randbedingung bezeichnet. Bei Neumann-Randbedingungen wird die Normalen-Ableitung der gesuchten Funktion auf dem Rand angegeben. Um auf die möglichen Randbedingungen einzugehen, sei Γ in drei disjunkte Randstücke Γ 1,Γ 2 und Γ 3 aufgeteilt und folgendes Randwertproblem gegeben, wobei ν den äußeren Einheitsnormalenvektor und ν die Normalen-Ableitung bezeichnet: Wir definieren ε u + b(x) u + c(x)u = f in (1.9) ε u ν u = 0 auf Γ 1 (1.10) = 0 auf Γ 2 (1.11) ε u ν + βu = g auf Γ 3. (1.12) V := { v H 1 () v = 0 auf Γ1 }. (1.13) Multiplikation der Gleichung (1.9) mit einer beliebigen Testfunktion v V und Integration über liefert mit Hilfe von partieller Integration u ε u v dx ε ν v ds ε u ν v ds ε u ν v ds + (b u + cu)v dx Γ 1 Γ 2 = fv dx. Nun können wir die gegebenen Randbedingungen in diese Gleichung einsetzen und erhalten: ε u v dx + (b u + cu)v dx + βuv ds = fv dx + gv ds. Γ 3 Γ 3 Definieren wir die Bilinearform a(, ) durch a(u,v) := ε u v dx + = ε( u, v) + (b u + cu,v) + Γ 3 (b u + cu)v dx + βuv ds Γ 3 und das Funktional f( ) durch f(v) := fv dx + gv ds = (f,v) + gv ds, Γ 3 Γ 3 Γ 3 βuv ds (1.14)

20 10 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG so lautet die schwache Formulierung von (1.8): Finde u V, so dass für alle v V gilt: a(u,v) = f(v). (1.15) Aus den obigen Rechnungen erkennen wir, dass die Dirichlet-Randbedingungen im Raum V berücksichtigt werden. Die Neumann-Randbedingungen lassen sich hingegen im Funktional f wiederfinden Existenz einer schwachen Lösung Um die Existenz und Eindeutigkeit dieses Problems (1.15) zu zeigen, bedienen wir uns des Lax- Milgram-Lemmas, welches aus der Funktionalanalysis stammt und unter anderem in [Ev99] zu finden ist. 1.8 Satz (Lax-Milgram-Lemma) Sei H ein reeller Hilbertraum mit Norm und Skalarprodukt (, ). Sei weiter a : H H R eine Bilinearform, für die die Konstanten α,β > 0 mit (i) Beschränktheit: a(u, v) α u v, u, v H (ii) H-elliptisch β u 2 a(u,u), u H existieren. f : H R sei ein beschränktes, lineares Funktional auf H. Dann existiert ein eindeutig bestimmtes u H, so dass a(u,v) = f(v), v H ist. Zudem gilt die Ungleichung u 1 β f H 1. Um diesen Satz auf die schwache Formulierung (1.15) anwenden zu können, muss Folgendes gezeigt werden: 1) V ist ein Hilbertraum. 2) f ist ein beschränktes, lineares Funktional. 3) a ist eine beschränkte, V-elliptische Bilinearform. Dazu treffen wir die folgenden Annahmen: c 1 2 div b c 0 > 0, β > 0, b ν 0 auf Γ 2 Γ 3, und Γ 1 0. (1.16) Zu 1) V aus (1.13) ist nach Definition die Vervollständigung des Raums C () { v : R v = 0 auf Γ 1 } in H 1 (). Somit ist V mit dem Skalarprodukt (, ) V = (, ) 1 und der induzierten Norm V = 1 ein Hilbertraum.

21 1.4. VARIATIONSFORMULIERUNG 11 Zu 2) Aus der Linearität des Integrals folgt, dass f linear ist. Zudem ist f beschränkt, da mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und dem Spuroperator 1.7 gilt: f(v) = fv dx + Γ 3 gv ds (f,v)0 + Γ 3 gv ds f 0 v 0 + gv ds Γ 3 f 0 v 1 + g L 2 (Γ 3 ) v L 2 (Γ 3 ) f 0 v 1 + g L 2 (Γ 3 ) v L 2 (Γ) f 0 v 1 + g L 2 (Γ 3 )C v 1 C v 1. mit C konstant. Dabei haben wir die Konstantendeklarationskonvention benutzt, die besagt, dass alle Konstanten in C zusammengefasst werden. Dies werden wir im Folgenden beibehalten. Zu 3) Um die Beschränktheit von a(, ) zu zeigen, untersuchen wir die Terme von a (1.14) einzeln: ε ( u, v) ε u 0 v 0 C 1 u 1 v 1. (1.17) Mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung und der Young-Ungleichung 2ab a 2 + b 2 gilt: (b. u + cu,v) 2 b u + cu 2 0 v 2 0 (b u + cu) 2 dx v 2 1 = (b u) 2 + 2b ucu + (cu) 2 dx v 2 1 2(b u) 2 + 2(cu) 2 dx v 2 1 C 2 ( u) 2 + u 2 dx v 2 1 = C 2 u 2 1 v 2 1. (1.18) Und mit dem Spuroperator 1.7 folgern wir: β uv ds Γ 3 β Γ 3 uv ds β u L2 (Γ 3 ) v L2 (Γ 3 ) C 3 β u 1 v 1. (1.19) Aus (1.17)-(1.19) folgt somit a(u,v) C u 1 v 1 mit C = max{c 1,C 2,C 3 β }. Zusammen mit den Annahmen (1.16) können wir weiter zeigen, dass a V-elliptisch ist: ε( u, u) = ε ( u) 2 dx (1.20)

22 12 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG (b u + cu,u) = b uu dx + cu 2 1 dx = 2 b (u)2 dx + cu 2 dx = 1 div bu 2 dx + ν bu 2 ds + cu 2 dx 2 = Γ (c 12 ) div b u 2 dx + }{{} ν b }{{} u 2 ds }{{} Γ 2 Γ c 0 c 0 u 2 dx (1.21) Γ 3 β u 2 dx 0. (1.22) Aus (1.20)-(1.22) folgt: a(u,u) ε mit C = min{ε,c 0 }. ( u) 2 dx + c 0 u 2 dx + 0 C u 2 + ( u) 2 dx = C u 2 1 (1.23) Nun können wir das Lax-Milgram-Lemma 1.8 anwenden und erhalten die Existenz und Eindeutigkeit einer schwachen Lösung für das Problem (1.9)-(1.12) Schwaches Maximumprinzip Analog zur klassischen Lösung definieren wir uns das schwache Maximumprinzip. Dieses werden wir später bei der Untersuchung der Finite-Elemente-Methoden auf inverse Monotonie noch benötigen. 1.9 Definition (Schwaches Maximumprinzip) Falls für jedes v H 1 (), das den Bedingungen v 0 auf a(v,w) 0 für alle w H 1 () mit w 0 genügt, auch v 0 in ist, so sagen wir, dass a(, ) das schwache Maximumprinzip auf H 1 H 1 erfüllt. Hierfür finden wir in [GT83] den folgenden Satz: 1.10 Satz (Schwaches Maximumprinzip) Falls die Bilinearform a(, ) H 1 0 -elliptisch auf H1 H 1 ist, so erfüllt sie auch das schwache Maximumprinzip.

23 1.5. REGULARITÄT UND EXISTENZ EINER KLASSISCHEN LÖSUNG Regularität und Existenz einer klassischen Lösung Die Regularitäts-Theorie beschäftigt sich mit Aussagen über die Glattheit von schwachen Formulierungen in Abhängigkeit von den gegebenen Funktionen b, c und f, sowie der Beschaffenheit des Gebietes. Wir wollen uns an dieser Stelle aber nicht genauer mit Regularitäts-Aussagen beschäftigen und geben daher nur ein Resultat an, welches sich in [Mi77] finden lässt: 1.11 Satz Sei die elliptische partielle Differentialgleichung (1.9) mit homogenen Dirichlet- Randdaten gegeben und b,c und f seien Hölder-stetig auf, wobei ein Gebiet mit regulärem Rand ist. Dann existiert eine klassische Lösung in C( ) C 2 (). Bemerkung Die Eindeutigkeit einer Lösung lässt sich also nicht nur mit dem Maximumprinzip 1.3 zeigen, sondern auch mit diesen Resultaten. Denn haben wir eine schwache Lösung gefunden, so ist sie mit dem Lax-Milgram-Lemma 1.8 eindeutig. Diese schwache Lösung wird mit den Voraussetzungen des obigen Satzes auch die eindeutige klassische Lösung. 1.6 Randschichten Da in dieser Arbeit 0 < ε 1 angenommen wird, wäre zu erwarten, dass die Lösung von (1.8) nahe an der Lösung der hyperbolischen Gleichung 1. Ordnung b(x) w + c(x)w = f(x), dem so genannten reduzierten Problem liegt. Dies ist im größten Teil des Gebietes auch zutreffend. In der Nähe von,,randschichten der Strömung ergeben sich aber Probleme. Um den Rand in Bezug auf die Strömung genauer zu charakterisieren, führen wir folgende Bezeichnungen ein: Γ + := { x Γ b ν > 0 } Γ := { x Γ b ν < 0 } Γ 0 := { x Γ b ν = 0 }. Mit den zugehörigen charakteristischen Linien ξ x (τ) des reduzierten Problems, die durch die Differentialgleichung ξ τ = b(ξ(τ)), ξ(0) = x gegeben sind. Die charakteristischen Linien verlaufen orthogonal durch die Ränder Γ + und Γ, während sie zu Γ 0 parallel verlaufen. In der Strömungslehre wird Γ + Austritts-, Γ Eintrittsrand und Γ 0 charakteristischer Rand genannt. Die Randschichten, in denen Probleme auftreten sind die von Γ + und Γ 0. In Γ + treten exponentielle Randschichten auf und in Γ 0 parabolische. Es macht Sinn, das reduzierte Problem wie folgt zu definieren Definition (Reduziertes Problem) Zum Konvektions-Diffusionsproblem (1.8) ist das reduzierte Problem durch definiert. Au 0 := b(x) u 0 + c(x)u 0 = f(x) in u 0 = 0 auf Γ (1.24)

24 14 KAPITEL 1. PROBLEMBESCHREIBUNG Es ist zu vermuten, dass die Lösung der Konvektions-Diffusions-Gleichung gegen die Lösung des reduzierten Problems für ε 0 konvergiert. Dies ist aber nur in einem sehr schwachen Sinn gültig und ist auch nicht Thema dieser Arbeit. Diese Argumentation ist in [RST96] aufgezeigt.

25 Kapitel 2 Finite-Elemente-Methode 2.1 Die Galerkin-Diskretisierung Wir betrachten zunächst den Fall eines allgemeinen Randwertproblems Lu = f in Bu = 0 auf Γ :=, (2.1) bei dem L ein elliptischer Differentialoperator ist, und B die Randbedingungen beschreibt. Die Galerkin-Diskretisierung geht von einer Variationsformulierung aus. Sei also die schwache Formulierung von (2.1) gegeben durch: Finde ein u V, so dass für alle v V a(u,v) = f(v) gilt. (2.2) Dabei sei V ein geeigneter Hilbertraum, der die Dirichlet-Randbedingungen beinhaltet, a(, ) eine stetige, V -elliptische Bilinearform und f ein lineares Funktional auf V, dass eventuell die Neumann-Randbedingungen berücksichtigt. Die Idee der Galerkin-Diskretisierung unseres Problems (2.2) ist Folgende: Statt nach einer Lösung in dem unendlichdimensionalen Raum V zu suchen, gehen wir in einen Raum V h über, der endlichdimensional ist, d.h. dimv h = N. Gilt V h V, so sprechen wir von einer konformen Methode, ansonsten von einer nicht konformen Methode. In dieser Arbeit beschäftigen wir uns größtenteils mit konformen Methoden, da der Raum V h die,,guten Eigenschaften des Raums V übernimmt. Setzen wir den Raum V h als einen Splineraum an, so sprechen wir von einer Finite-Elemente-Methode. Weil V h als endlicher Raum abgeschlossen und im konformen Fall Teilraum eines Hilbertraums ist, sehen wir, dass V h auch ein Hilbertraum mit dem Skalarprodukt und der Norm des Raums V ist. Zudem ist a(, ) eine stetige und V h -elliptische Bilinearform auf V h, ebenso beschreibt f ein lineares Funktional auf V h. Somit lautet die diskrete Form unseres Variationsproblems: Finde ein u h V h, so dass für alle v h V h a(u h,v h ) = f(v h ) gilt. (2.3) 15

26 16 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE Das Lemma von Lax-Milgram 1.8 ist auch hier anwendbar, und wir erhalten für das diskrete Problem (2.3) eine eindeutige Lösung. Die Frage ist nun, wie sich die Lösung des diskreten Problems zu der Lösung des Variationsproblems (2.2) und dann zur Lösung des Randwertproblems (2.1) verhält. Es ergeben sich unter anderem folgende Probleme, die in die Untersuchung von Finite-Elemente- Methoden eingehen: Da in der Variationsgleichung und somit auch in dem diskreten Problem Integrale zu lösen sind, um die Bilinearform a(, ) und das Funktional f( ) zu bestimmen, wird hier meist eine Approximation benutzt. Diese Approximation ist nicht unwesentlich bei der Untersuchung der Methode. Ist a h (, ) die approximierte Bilinearform von a(, ) und f h das approximierte lineare Funktional von f( ), dann ergibt sich: Finde ein u h V h, so dass für alle v h V h a h (u h,v h ) = f h (v h ) gilt. Der Raum V h muss so passend gewählt werden, dass er zum einen eine praktikable Behandlung des diskreten Problems zulässt, zum anderen aber auch eine gute Annäherung an die Lösung des Randwertproblems liefert. Um das Problem numerisch zu erfassen und den endlichdimensionalen Teilraum V h aufzustellen, wird das Gebiet zerlegt. Dies kann zu weiteren Problemen führen: Was passiert z.b. mit krummlinigen Randstücken? Was ist eine,,stabile Zerlegung? Auf diese Probleme werden wir im Folgenden noch genauer eingehen. 2.2 Triangulierung und Aufstellen einer Basis Triangulierungen Mit der Triangulierung T h bezeichnen wir die endliche Zerlegung des Gebiets in Teilgebiete, die wir mit T bezeichnen, also T h = {T }. Diese T sind in der Regel Simplexe oder Quader. Wir werden uns in dieser Arbeit hauptsächlich mit dem R 3 beschäftigen. Zudem werden wir uns auf den Fall der Simplexe, hier Tetraeder, beschränken. 2.1 Definition (Zulässige Triangulierung) Eine Triangulierung T h = {T } heißt zulässig, wenn sie folgende Bedingungen erfüllt: i) = T. ii) intt 1 int T 2 = T 1,T 2 T h, T 1 T 2. iii) Jede Außenfläche und jede Ecke eines T 1 T h ist entweder eine Teilmenge von oder eine Außenfläche bzw. eine Ecke eines T 2 T h mit T 1 T 2. Zudem heißt sie vom schwach spitzen Typ, falls alle auftretenden Winkel zwischen zwei Außenflächen von Tetraedern T T h kleiner oder gleich π 2 sind. Unter anderem bedeutet diese Definition, dass wir ein Gebiet benötigen, das einen polygonalen Rand hat. Ansonsten müssen wir den Rand durch einen polygonalen Zug annähern.

27 2.2. TRIANGULIERUNG UND AUFSTELLEN EINER BASIS 17 Nun betrachten wir noch eine Familie von Triangulierungen {T h }. Sei h T := diam(t). Des Weiteren seien und h := max{h T T T h } ρ T := sup{diam(k) K ist Kugel und K T } σ T := h T ρ T [1, ). 2.2 Definition Eine Familie von zulässigen Triangulierungen {T h } heißt regulär, falls i) inf{h T h {T h } } = 0. ii) ein σ > 0 existiert, so dass σ T σ für alle T T h und T h {T h }. Und sie heißt quasi-uniform, falls ein ˆσ existiert, so dass h ρ T ˆσ für alle T T h und T h {T h } Ansatzraum und Aufstellen einer Basis Wir benutzen die Triangulierung T h, um einen endlichdimensionalen Teilraum V h V zu bestimmen. Dazu betrachten wir zunächst den Raum der Polynome auf R n vom Grad kleiner oder gleich k N 0, den wir mit P k bezeichnen, d.h. p P k, falls p die Form p(x) = β α x α 1 1 xαn n, β α R α k besitzt. Damit ist der Raum der Finite-Elemente für die Triangulierung gegeben durch X 0 h := { v L 2 () v T P 0, T T h } X k h := { v C() v T P k, T T h }, k 1. Als Beispiel zur Konstruktion einer Basis bilden wir eine Basis von V h := X 1 h. Der Einfachheit halber nehmen wir homogene Dirichlet-Randbedingungen an. Zudem seien die Eckpunkte der Tetraeder, die im Inneren liegen, von 1 bis N durchnummeriert mit den entsprechenden Eckpunkten x i. Nun definieren wir die linearen Polynome ϕ i, die auch als Hutfunktionen bezeichnet werden, durch: ϕ i (x j ) = δ ij, j = 1,...,N. (2.4) Dabei ist, wie im Folgenden auch: { 1, i = j δ ij = 0, i j. Diese ϕ i sind linear unabhängig und eindeutig definiert, da ein lineares Polynom p(x) = ax + by + cz + d durch die Vorgabe der Funktionswerte auf den vier Eckpunkten eines Tetraeders eindeutig bestimmt ist. Somit gilt V h = span{ϕ 1,...,ϕ N } H0 1 (). Diese Basis wird auch die nodale Standardbasis genannt. Liegen keine homogenen Dirichlet-Randbedingungen vor oder wird die Benutzung von Finite- Elemente-Räumen, die Polynome höherer Ordnung benutzen, in Betracht gezogen, so muss die Bedingung (2.4) entsprechend angepasst werden. Siehe dazu [G02].

28 18 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE 2.3 Aufstellen eines linearen Gleichungssystems Nun nehmen wir an, dass wir eine Basis ϕ 1,...,ϕ N des endlichdimensionalen Raums V h gefunden haben, also V h = span{ϕ 1,...,ϕ N }. Diese Basis benutzen wir zum einen als Testfunktionen und zum anderen stellen wir die Lösung als Linearkombination dieser Basis dar, d.h. N u h = u j ϕ j. j=1 (2.5) Setzen wir diesen Ansatz in das diskrete Problem (2.3) ein und nehmen wie oben erwähnt als Testfunktionen unsere Basis, ergibt sich das folgende lineare Gleichungssystem: N N a(u h,ϕ i ) = a u j ϕ j,ϕ i = u j a(ϕ j,ϕ i ) = f(ϕ i ), i = 1,...,N, (2.6) j=1 j=1 beziehungsweise in der Matrixschreibweise: Au = b, mit A = (a ij ) 1 i,j N := (a(ϕ j,ϕ i )) 1 i,j N R N N b = (b i ) 1 i N := (f(ϕ i )) 1 i N R N u = (u i ) 1 i N R N. Die obigen u i sind dabei gerade die Koeffizienten aus der Linearkombination (2.5). Die Matrix A wird auch Steifigkeitsmatrix genannt. Dieses lineare Gleichungssystem hat eine eindeutige Lösung, denn es gilt das folgende Lemma: 2.3 Lemma Sei das diskrete Problem (2.3) mit einer V h -elliptischen Bilinearform a(, ) gegeben. Dann ist das zugehörige Gleichungssystem (2.6) regulär. Beweis: Sei z R N eine Lösung des homogenen Systems Dann gilt: N z j a(ϕ j,ϕ i ) = 0, i = 1,...,N. (2.7) j=1 N N N N z j z i a(ϕ j,ϕ i ) = 0 = z i a z j ϕ j,ϕ i = 0 i=1 j=1 i=1 j=1 N N = a z j ϕ j, z j ϕ j = 0. j=1 j=1 Mit der V h -Elliptizität a(u,u) β u 2 folgt schließlich N z j ϕ j = 0. j=1

29 2.4. DIE THEORIE DER GALERKIN-DISKRETISIERUNG 19 Somit muss z = 0 gelten, da die ϕ j, j = 1,...,N, linear unabhängig sind. Das homogene System (2.7) hat also nur die triviale Lösung und ist damit regulär. Eine Modifikation des Aufstellens des linearen Gleichungssystems ist das Petrov-Galerkin- Verfahren. Seien dazu zwei Basen des Raums V h gegeben: V h = span{ϕ 1,...,ϕ N } = span{ψ 1,...,ψ N } Setzen wir auch hier u h = N u j ϕ j in das diskrete Problem (2.3) ein, wählen aber als Testfunktionen j=1 die Basis ψ i, i = 1,...,N, so erhalten wir das folgende lineare Gleichungssystem: N u j a(ϕ j,ψ i ) = f(ψ i ), j=1 i = 1,...,N. 2.4 Die Theorie der Galerkin-Diskretisierung Fehlerabschätzungen Zunächst liefert uns das Lax-Milgram-Lemma 1.8, dass das diskrete Problem eine eindeutige Lösung hat und stabil ist, d.h. u h 1 β α f, wobei die Norm im Dualraum V von V ist und α und β die Konstanten aus dem Lax-Milgram-Lemma sind. Eine wichtige Grundlage bei der Untersuchung von Finite-Elemente-Methoden ist das Cea-Lemma, um Fehlerabschätzungen herzuleiten. 2.4 Satz (Cea-Lemma) Seien die Voraussetzungen des Lax-Milgram-Lemmas gegeben, u die Lösung des kontinuierlichen Problems (2.2) und u h die des diskreten Problems (2.3). Dann gilt: u u h 1 β α inf v h V h u v h 1. (2.8) Beweis: Zunächst gilt die Projektionseigenschaft a(u u h,v h ) = a(u,v h ) a(u h,v h ) = f(v h ) f(v h ) = 0 v h V h, da wir eine konforme Diskretisierung betrachten. Setzen wir den Fehler als e := u u h, so gilt für alle v h V h : Also gilt: α e 2 1 a(e,u u h ) a(e,u v h ) + a(e,v h u h ) = a(e,u v h ) β e 1 u v h 1. u u h 1 β α u v h 1 v h V h. Das ist das Resultat. Dieser Satz gibt uns Auskunft über den Fehler, den wir beim Lösen des diskreten Problems (2.3) machen. Können wir abschätzen, wie gut eine Funktion v im Raum V h approximiert werden kann, so haben wir auch eine Fehlerabschätzung für die kontinuierliche Lösung der schwachen Formulierung. Dies werden wir im Detail noch bei den Untersuchungen der Methoden beschreiben.

30 20 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE Inverse Monotonie Seien zunächst die Koeffizienten b und c des Operators L aus (2.1) stetig und c erfülle c(x) c 0 0. Eine wichtige Eigenschaft des Operators L ist ähnlich der des klassischen Vergleichsprinzips (siehe Satz 1.4): 2.5 Definition (Inverse Monotonie) Sei w C( ) C 2 (). Der Operator L heißt invers monoton, falls die folgende Implikation gilt: } Lw(x) 0 x w(x) 0 x w(x) 0 x Γ. Eine direkte Folgerung aus der inversen Monotonie ist das Maximumprinzip: Lu(x) = 0 x min{u(y),0} u(x) max {u(y),0} y Γ y Γ x. Falls eine Finite-Elemente-Methode dieses Maximumprinzip nicht erhält, so kann es dazu kommen, dass die Lösung negative Werte annimmt. Dies ist aber meistens mit der Realität nicht in Einklang zu bringen. Mit dem Satz des schwachen Maximumprinzips 1.10 lässt sich die Eigenschaft der inversen Monotonie auf die schwache Formulierung übertragen. Dazu müssen wir von der V -elliptischen Bilinearform a(, ) zum Operator L : H 1 () H 1 (), u L(u) := a(u, ) übergehen. Im Folgenden bedeuten die Relationen und > zwischen Matrizen oder Vektoren den komponentenweisen Vergleich. Nun wollen wir die inverse Monotonie auf das diskrete System übertragen. Dazu definieren wir zunächst, was wir mit einer invers monotonen Matrix meinen. 2.6 Definition (Inverse Monotonie einer Matrix) Eine Matrix A : R N N heißt invers monoton, falls für z R N gilt: Az 0 = z 0. Zudem führen wir das M-Kriterium ein. 2.7 Definition (M-Kriterium) Eine Matrix A = (a ij ) i,j=1,...,n R N N heißt M-Matrix, falls a ij 0 für i j gilt und A 1 mit A 1 0 existiert. Der folgende Satz sagt uns, dass die inverse Monotonie und das M-Kriterium äquivalent sind. Zudem sind hier zwei weitere Äquivalenzen aufgeführt, die wir später noch nutzen werden. 2.8 Satz (M-Kriterium) Sei A = (a ij ) i,j=1,...,n R N N mit a ij 0 für i j. Dann sind folgende Aussagen äquivalent: (i) A ist eine M-Matrix. (ii) A ist invers monoton. (iii) Es existiert ein e R N mit e 0, Ae 0, und für alle i {1,...,N} mit (Ae) i = 0 gibt es eine Folge i 0 = i,i 1,...,i k {1,...,N} mit a iν 1 i ν < 0 für ν = 1,...,k und (Ae) ik > 0.

31 2.4. DIE THEORIE DER GALERKIN-DISKRETISIERUNG 21 (iv) Es existiert ein e R N mit e > 0, so dass Ae > 0. Für dieses e gilt weiter: A 1,d e,d min k (Ae) k. Der Beweis findet sich zum Beispiel in [Bo81] Invers monotone Galerkin-Diskretisierung der Poisson-Gleichung In diesem Abschnitt wollen wir als Beispiel die Poisson-Gleichung mit homogenen Randdaten auf einem Teilgebiet des R 3 durch lineare Finite-Elemente diskretisieren, so dass das resultierende diskrete Problem die Eigenschaft der inversen Monotonie aufweist. Sei also: u = f in u = 0 auf Γ. Um die zugehörige Variationsformulierung herzuleiten, benutzen wir den Raum V := H0 1 () und nehmen an, dass f L 2 () liegt. Wenn wir die Gleichung (2.9) mit Testfunktionen ϕ V multiplizieren und sie danach partiell integrieren, so erhalten wir: uv dx = fv dx u v dx ν uv ds = fv dx. Γ }{{} =0, da v Γ 0 Mit der Bilinearform a(u,v) := u v dx = ( u, v) 0 und dem linearen Funktional f(v) := fv dx = (f,v) 0 lautet unsere Variationsformulierung: Finde ein u V, so dass für alle v V a(u,v) = f(v) gilt. Um die inverse Monotonie des diskreten Systems bei der Verwendung der Standard-Galerkin-FEM zu erhalten, müssen wir allerdings eine starke Annahme machen. Wir fordern nämlich nicht nur, dass das Gebiet durch eine reguläre Triangulierung T h zerlegt ist, sondern dass T h auch vom schwach spitzen Typ ist. Dies ist in der Regel bei adaptiven Verfahren nicht leicht zu erfüllen. Wir bezeichnen dabei die inneren Gitterpunkte mit P i, i = 1,...,N. Als Basisfunktionen ϕ i, i = 1...N, wählen wir die nodale Standardbasis, die in eingeführt wurde. Die Steifigkeitsmatrix A = (a ij ) hat nun die Form a ij = ( ϕ j, ϕ i ), i,j = 1,...,N. Jetzt werden wir zeigen, dass A eine M-Matrix ist. Es ist klar, dass a ij 0 nur gelten kann, wenn die Basisfunktionen ϕ j und ϕ i auf einer gemeinsamen Menge nicht Null sind, d.h. supp{ϕ j } supp{ϕ i }. Dies ist der Fall, wenn P j und P i zu einem gemeinsamen Element T von T h gehören. Sei i j, dann gilt, da ϕ i und ϕ j auf T konstant sind a ij = ϕ j ϕ i dx = ϕ j ϕ i cos( ( ϕ j, ϕ i )) dx T = T ϕ j ϕ i cos( ( ϕ j, ϕ i )) T Sei Γ i die Fläche von T, die gegenüber von P i liegt und Γ j die gegenüber von P j. Nach der Definition der Basisfunktionen ist ϕ i entgegengesetzt des Nomalenvektors von Γ i gerichtet. In zwei Dimensionen sieht diese Situation wie folgt aus: (2.9)

32 22 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE (Γ j,γ i) ν Γj ν Γi Γ j Γ i P j P i ϕ i ϕ j Daher ist cos( ( ϕ j, ϕ i )) = cos( (Γ j,γ i ) π 2 ) und es gilt: a ij 0 (Γ j,γ i ) π 2. (2.10) Da wir eine Triangulierung vom schwach spitzen Typ vorliegen haben (s. Definition 2.1), sind alle Winkel zwischen den Tetraederflächen kleiner oder gleich π 2. Da nicht alle Winkel π 2 betragen können, schließen wir a ij = 0 für i j = k : a ik < 0 und a kj < 0 für i k, k j. (2.11) Um die inverse Monotonie der Matrix A zu zeigen, benutzen wir die Äquivalenz zum M-Kriterium, die im Satz 2.8 (iii) gegeben ist. Sei e = (1,...,1) T R N und P i ein Gitterpunkt von einem Tetraeder T, der keinen Randpunkt hat. Dann gilt: (Ae) i = N N a ij = ( ϕ j, ϕ i ) 0 = 0, j=1 j=1 da N j=1 ϕ j = 1 auf dem Träger von ϕ i gilt. Hier können wir nun (2.11) anwenden und e genügt für dieses i der Bedingung (iii) des Satzes 2.8. Sei nun P i ein innerer Gitterpunkt, der zu einem Tetraeder mit Randpunkten gehört. Seien weiter P j, j = N + 1,...,N + M die Punkte, die auf dem Rand liegen und zum Träger von ϕ i gehören. Dann gilt: N+M j=1 ϕ j = 1 (2.12) auf dem Träger von ϕ i, wenn ϕ j als stückweise lineare Funktion mit ϕ j (P k ) = δ jk für j,k = N + 1,...,N + M definiert ist. Es ist dabei zu beachten, dass diese Funktionen nicht in V h liegen. Nun gilt:

33 2.5. DISKRETISIERUNG DER KONVEKTIONS-DIFFUSIONS-GLEICHUNG 23 ( N ( N+M ) ( (Ae) i = ϕ j, ϕ i )= ϕ j, ϕ i j=1 ( = N+M j=n+1 j=1 ϕ j, ϕ i )= N+M j=n+1 a ij 0. N+M j=n ϕ j, ϕ i ) Da in diesem Tetraeder auch Winkel auftreten, die echt kleiner als π 2 sind, gilt mit (2.10): (Ae) i > 0. Damit ist Satz 2.8 (iii) gezeigt und es gilt folgendes Lemma: 2.9 Lemma Die Galerkin-Diskretisierung von u = f durch stückweise lineare Funktionen auf Gittern vom schwach spitzen Typ erhält die inverse Monotonie des kontinuierlichen Problems. 2.5 Diskretisierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung Nun kommen wir auf die Konvektions-Diffusions-Gleichung zurück, die wir im R 3 mit homogenen Randdaten diskretisieren werden. Sei Lu := ε u + b u + cu = f in u = 0 auf Γ :=. (2.13) Für die Variationsformulierung sei hier V := H0 1 (). Wir erhalten analog zu 1.4.2: Finde u V, so dass für alle v V gilt: ε( u, v) + (b u,v) + (cu,v) = (f,v). (2.14) Nun gehen wir zur diskreten Formulierung über; sie lautet für einen endlichdimensionalen Teilraum V h V mit dimv h = N: Finde u h V h, so dass für alle v h V h gilt: ε( u h, v h ) + (b u h,v h ) + (cu h,v h ) = (f,v h ). (2.15) Bemerkung Bei der schwachen Formulierung der Konvektions-Diffusions-Gleichung können wir ein Problem der Diskretisierung erkennen. Durch das Vorhandensein der Konvektion und damit dem Auftreten von ersten Ableitungen wird das System asymmetrisch, woraus sich bei der Anwendung von Standardtechniken Oszillationen ergeben können, die das System instabil werden lassen. Wir wollen hier zunächst eine Fehlerabschätzung für die Standard-Galerkin-Finite-Elemente- Methode ausführen Fehlerabschätzung der Standard-Galerkin-Finite-Elemente-Methode Die Koeffizienten b und c seien wie die rechte Seite f hinreichend glatt und wir nehmen zudem c 1 2 div b c 0 > 0 an, damit die Existenz einer Lösung gesichert ist (vgl. Abschnitt 1.4.3). Zudem sei T h eine reguläre Triangulierung des Gebiets. Wir bezeichnen mit T ein Element aus T h, das

34 24 KAPITEL 2. FINITE-ELEMENTE-METHODE in der Regel ein Tetraeder sein wird. Der endlichdimensionale Raum V h V sei der konforme Finite-Elemente-Raum, der aus stückweise polynomiellen Funktionen vom Grad k besteht, d.h. V h := { v h V v h T P k (T) T T h }. Liegt u H k+1 (T) mit k 1, dann genügt die interpolierte Funktion u I von u der Approximationseigenschaft [RST96]: u u I m,t Ch k+1 m u k+1,t für m = 0,1,2 (2.16) Bei der Untersuchung der Koersivität der Bilinearform a(, ) erhielten wir die Abschätzung (1.23) a(u,u) min{ε,c 0 } u 2 1 u V. (2.17) Ist u h die Lösung des diskreten Problems, so ergibt sich mit der Cauchy-Schwarz-Ungleichung die a-priori Abschätzung: u h 2 1 C ε a(u h,u h ) = C ε (f,u h ) C ε f 1 u h 1 = u h 1 C ε f 1 (2.18) Setzen wir u I u h in (2.17) ein und benutzen, dass a(u h,v h ) = a(u,v h ) gilt, so ergibt sich: u I u h min{ε,c 0 } a(ui u h,u I u h ) = Die auftretenden Terme in der Bilinearform wollen wir getrennt untersuchen: 1 min{ε,c 0 } a(ui u,u I u h ). (2.19) 1) Für die Diffusion gilt mit der Approximationseigenschaft (2.16) (Summation über alle T): ε( (u I u), (u I u h )) ε u I u 1 u I u h 1 ε u I u 1 u I u h 1 εc h k u k+1 u I u h 1. (2.20) 2) Für die Konvektion gilt auch hier: (b (u I u),(u I u h )) b (u I u) 0 u I u h 0 C u I u 1 u I u h 1 C h k u k+1 u I u h 1. (2.21) 3) Für die Reaktion gilt: (c(u I u),(u I u h )) Aus (2.19) und (2.20)-(2.22) folgt: u I u h 1 C c(u I u) 0 u I u h 0 C u I u 0 u I u h 1 C h k+1 u k+1 u I u h 1. (2.22) 1 1 min{ε,c 0 } hk (ε h) u k+1 C min{ε,c 0 } hk u k+1. (2.23)

35 2.5. DISKRETISIERUNG DER KONVEKTIONS-DIFFUSIONS-GLEICHUNG 25 Bemerkung Für ε 0 sehen wir, dass sich die Fehlerkonstante wie 1 ε für kleine ε keine guten Resultate erwarten. verhält. Daher können wir Invers monotone Diskretisierungen der Konvektions-Diffusions-Gleichung Bezeichne im Folgenden wieder { ϕ i i = 1... N } eine Basis des Raums Vh. In der Regel liefert uns das Standard-Galerkin-Verfahren keine Diskretisierung, die die Eigenschaft der inversen Monotonie aufweist. Denn wenn wir wieder lineare Finite-Elemente mit der nodalen Standardbasis vorliegen haben und als Beispiel c(x) > 0 und b = 0 betrachten, dann sehen wir, dass der Term (cϕ j,ϕ i ) aus (2.15), der beim Aufstellen des Systems auftritt, echt größer als Null ist. Dies ergibt positive Matrixeinträge, die auch außerhalb der Diagonale liegen. Daher kann A keine M-Matrix mehr sein. Wenden wir aber folgende Quadraturregel an, um das Skalarprodukt zu approximieren: Φ(x)dx T 4 (Φ(P i) + Φ(P j ) + Φ(P k ) + Φ(P l )), (2.24) T dann sind nur die Diagonaleinträge von A größer als Null. Die anderen sind identisch Null. Dies ist wieder eine M-Matrix. Die rechte Seite f können wir in der gleichen Weise behandeln, d.h. wir approximieren das Skalarprodukt durch (f,ϕ i ) f(p i) 4 T P i T. Allerdings bleibt zu beachten, dass die Wahl der Quadraturregel Einfluss auf die Konvergenz der Methode hat. Die Diskretisierung des Konvektionsterms b u bereitet uns in Hinsicht auf die inverse Monotonie mehr Probleme. Es werden hier kurz die Techniken der 1) Upwind-Methode und der 2) Secondary-Grid-Methode dargestellt, die die Eigenschaft der inversen Monotonie auf das diskrete Problem übertragen. Ein weiterer Ansatz ist die Stabilisierung des diskreten Problems. Zwei Methoden dieses Ansatzes werden wir genauer in den nächsten beiden Kapiteln beschreiben: 3) Streamline-Diffusion-Finite-Elemente-Methode 4) Galerkin-Least-Squares-Finite-Elemente-Methode Upwind-Methode Wir nehmen an, dass die Koeffizienten b,c und f hinreichend glatt sind. Zudem sei c(x) 0. Das Gebiet sei wie bei der invers monotonen Galerkin Diskretisierung der Poisson-Gleichung (s. Abschnitt 2.4.3) durch eine Triangulierung T h vom schwach spitzen Typ gegeben. Die Punkte P i