Geometrische Optik Versuchsauswertung

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1 Versuche P-3,40,4 Geometrische Optik Versuchsauswertung Marco A. Harrendorf, Thomas Keck, Gruppe: Mo-3 Karlsruhe Institut für Technologie, Bachelor Physik Versuchstag:

2 Inhaltsverzeichnis Versuch : Brennweiten-Bestimmungen 3. Versuch.: Kontrollieren der Brennweite einer dünnen Sammellinse Versuch.2: Bessel-Verfahren zur Brennweitenbestimmung Versuch.3: Bestimmung der Brennweite und der Hauptebenenabstände mit dem Abbeschen Verfahren Versuch 2: Aufbau optischer Instrumente 3 2. Versuch 2.: Aufbau eines Keplerschen und Galileischen Fernrohrs Versuch 2.2: Aufbau eines Projektionsapperates Versuch 2.3: Aufbau eines Mikroskops Literatur 6 2

3 Versuch : Brennweiten-Bestimmungen. Versuch.: Kontrollieren der Brennweite einer dünnen Sammellinse Versuchsdurchführung Wie in der Vorbereitung beschrieben, wurde auf der optischen Bank eine Sammellinse, allerdings davon abweichend mit Brennweite f = 20 cm, platziert und solange verschoben, bis sich ein scharfes Bild auf dem Schirm ergab. Als abzubildender Gegenstand wurde ein Dia, auf welchem eine 0mm-Messskala eingezeichnet war, hinter einer Blende verwendet. Zur Abstandsbestimmung wurde die an der optischen Bank angebrachte absolute Messkala benutzt, wobei die Position der Blende mit dem Dia immer fest war bei 33 cm. Auswertung Die Tabelle gibt die absolute Position der Blende (P. Blende), die absolute Position der Linse (P. Linse) und die absolute Position des Leuchtschirms (P. Schirm) auf der optischen Bank an. Weiterhin werden die Gegenstandsweite g, die sich aus dem relativen Abstand zwischen der Blende und der Linse ergibt, sowie die Bildweite b, die sich aus dem relativen Abstand zwischen der Linse und dem Schirm errechnet, aufgeführt. Zur Angabe der Brennweite f für jede einzelne Messung wurde dann folgende Formel verwendet: f = g + b P. Blende P. Linse P. Schirm Gegenstandsweite g Bildweite b Brennweite f 33 cm 57.4 cm 63 cm 24.4 cm 05.6 cm cm 33 cm 62 cm 24.5 cm 29 cm 62.5 cm cm 33 cm 65 cm 7.2 cm 32 cm 52.2 cm cm 33 cm 59 cm 42.3 cm 26 cm 83.3 cm cm 33 cm 63 cm 2.2 cm 30 cm 58.2 cm cm 33 cm 6 cm 29.7 cm 28 cm 68.7 cm cm Tabelle : Messwerte und berechnete Brennweite f für den Versuch. Durch Berechnung des Mittelwerts und der Standardabweichung erhält man für die Brennweite: f = (9.83 ± 0.03) cm Das Messergebnis weicht also von den Herstellerangaben (f = 20 cm) um weniger als % Prozent ab. 3

4 .2 Versuch.2: Bessel-Verfahren zur Brennweitenbestimmung Aufbau und Durchführung Auf der optischen Bank wurde entsprechend der Versuchsvorbereitung an der Position x = 0.33 m ein Diabild in der Halterung vor der Lichtquelle befestigt, im Abstand a = m, also an Position x 2 =.33 m wurde der der Schirm aufgestellt. Um die sphärische und chromatische Abberation einer Linse mit einer angegebenen Brennweite von f = 0.2 m zu bestimmen, wurden mithilfe des Besselschen Verfahrens 3 Messreihen unter den Bedingungen: Scheibenblende, Lochblende, Rotes Licht und Blaues Licht, durchgeführt. Messergebnisse Die beim Besselschen Verfahren bestimmten Linsenpositionen, bei denen eine scharfe Abbildung des Dias auf dem Schirm stattfand, sind mit den jeweiligen Messbedingungen in den folgenden Tabellen angegeben. Position [m] Position 2 [m] Tabelle 2: Messbedingung: Rotes Licht, Scheibenblende Position [m] Position 2 [m] Tabelle 3: Messbedingung: Rotes Licht, Lochblende Position [m] Position 2 [m] Tabelle 4: Messbedingung: Blaues Licht, Lochblende Auswertung Von den oben angegebenen Rohdaten wurden folgende Mittelwerte und zugehörige Standardabweichungen mithilfe von R (eine freie Programmiersprache für statistische Berechnungen), 4

5 für die beiden Positionen berechnet. Daraus ergibt sich die experimentell bestimmte Brennweite über die Formel die bereits in der Vorbereitung für das Besselsche Verfahren hergeleitet wurde: f = a2 (p 2 p ) 2 () 4 a Vernachlässigt man den Fehler der Basislänge a, so folgt aus dem Gaußschen Fehlerfortpflanzungsgesetz f = (p 2 p ) ( p 2 + p ) (2) 2 a Der Fehler von a kann hierbei vernachlässigt werden, da der Versuch primär zur Bestimmung der Abberation dient. Die Basislänge wurde während des gesamten Versuches konstant gehalten, daher wirken sich Abweichungen von a immer in die gleiche Richtung aus, und fallen bei der Differenz der Brennweiten wieder heraus. Messbedingungen p [m] p 2 [m] Brennweite [m] Rotes Licht, Scheibenblende ± ± ± Rotes Licht, Lochblende ± ± ± Blaues Licht, Lochblende ± ± ± Tabelle 5: Messbedingung: Rotes Licht, Scheibenblende Im Rahmen der Messungenauigkeit liegt der Brennpunkt des blauen Lichtes also etwa.3 ± 0.37 mm vor dem Brennpunkt des roten Lichtes, infolge der chromatischen Abberation. Die sphärische Abberation bedingt, dass die Strahlen am Rand der Linse einen Brennpunkt. ± 0.55 mm vor den Strahlen in der Mitte der Linse besitzen. Der Effekt der Abberation sowohl chromatisch, wie auch sphärisch ist in den experimentell gewonnenen Daten klar erkennbar und zeigt das theoretisch vorhergesagte Verhalten. Variation der Basislänge Ebenfalls wurde im Praktikum die Auswirkung einer veränderten Basislänge untersucht. Dabei wurde festgestellt, dass eine zu große Basislänge (z.b..5m) das präzise Scharfstellen der Abbildung erheblich erschwert und die Messung so an Präzision verliert. Bei einer Basislänge von weniger als 4 f gab es keine Linsenposition die eine scharfe Abbildung ermöglichte, auch Basislängen leicht über 4 f erwiesen sich als ungeeignet, da die beiden Linsenpositionen hier zu nahe beieinander lagen. 5

6 .3 Versuch.3: Bestimmung der Brennweite und der Hauptebenenabstände mit dem Abbeschen Verfahren Versuchsaufbau Das Linsensystem wurde entsprechend der Versuchsplanung zwischen abzubildenden Gegenstand und Leuchtschirm auf der optischen Bank positioniert. Als abzubildender Gegenstand wurde ein Dia mit eingezeichneter 0mm-Messskala hinter einer Blende verwendet. Als Bezugsmarke K für die Bestimmung des Abstandes x zum Gegenstand wurde die Drehachse des Linsensystems gewählt. Bemerkung zur Position der Linsen im Linsensystem Für die Bestimmung der absoluten Position der vorderen bzw. hinteren Linse im Strahlengang gegenüber der Bezugsmarke K wurden die beiden auf dem Linsensystem angebrachten Skalen Skala und Skala 2 verwendet. Zu beachten war, dass sich die beiden Skalen um.5 mm überlappen, sodass dieser Versatz bei der Angabe des Abstandes zwischen den Linsenpositionen D zu berücksichtigen ist. Der Abstand D zwischen den Aufhängepunkten der beiden Linsen berechnete sich dann wie folgt: D = Skala + Skala 2.5mm Weiterhin wurde willkürlich die Orientierung des Linsensystems festgelegt, indem die 0 -Orientierung angenommen wurde, wenn der auf dem Linsensystem aufgebrachte Text lesbar war. Währenddessen wurde 80 -Orientierung dadurch festgelegt, dass der Text verkehrt herum war. Die Abbildung zeigt schematisch die verwendeten Skalen auf dem Linsensystem. Abbildung : Schematische Darstellung der auf dem Linsensystem angebrachten Skalen Versuchsdurchführung Vor Beginn jeder Messreihe wurde der Abstand D zwischen den Aufhängepunkten der Linsen eingestellt. Anschließend wurde für mindestens sechs verschiedene Abstände x zwischen Gegenstand und Bezugsmarke K die Bildgröße a bestimmt und unter 6

7 Kenntnis der Gegenstandsgröße a = 0 mm der Abbildungsmaßstab β = a a berechnet. Durch die Messung des Abstandes x und des Abbildungsmaßstabs β lässt sich mittels linearer Regression die Brennweite f des Linsensystems und die Lage der Hauptebene der ersten Linse h über folgenden Zusammenhang bestimmen: ( ) x = f β + + h Auswertung:. Messreihe In der ersten Messreihe war das Linsensystem in 80 -Orientierung und die vordere Linse war 9 cm vom Bezugspunkt der Skala entfernt, während die hintere Linse 0 cm vom Bezugspunkt der Skala 2 entfernt war, sodass sich ein Abstand D von 8.75 cm ergab. Die Tabelle 6 gibt den gemessenen Abstand x, die gemessene Bildgröße a und den daraus berechneten Abbildungsmaßstab β an. Die Abbildung 2 zeigt das Schaubild von x über ( β + ) zur Bestimmung der Regressionsgeraden. Abstand x Bildgröße a Abbildungsmaßstab β 4 cm 4.8 cm cm 3.8 cm cm 3.2 cm cm 2.7 cm cm 2.3 cm cm 2.0 cm 2.0 Tabelle 6: Gemessener Abstand x und gemessene Bildgröße a sowie berechneter Abbildungsmaßstab β für die. Messreihe Aus der linearen Regression ergaben sich folgende Werte und zugeordnete statistische Unsicherheiten: Brennweite des Linsensystems: f = (7.2 ± 4.) cm Hauptebenenabstand der ersten Linse: h = ( 6.7 ± 5.7) cm Auswertung: 2. Messreihe In der zweiten Messreihe war das Linsensystem in 80 -Orientierung und die vordere Linse war 8 cm vom Bezugspunkt der Skala entfernt, während die hintere Linse 9 cm vom Bezugspunkt der Skala 2 entfernt war, sodass sich ein Abstand D von 6.75 cm ergab. Die Tabelle 7 gibt den gemessenen Abstand x, die gemessene Bildgröße a und den daraus berechneten Abbildungsmaßstab β an. Die Abbildung 3 zeigt das Schaubild von x über ( β + ) zur Bestimmung der Regressionsgeraden. Aus der linearen Regression ergaben sich folgende Werte und zugeordnete statistische Unsicherheiten: Brennweite des Linsensystems: f = (6.8 ± 4.0) cm Hauptebenenabstand der ersten Linse: h = ( 7.7 ± 5.8) cm 7

8 Abbildung 2: Lineare Regressionsgerade für die. Messreihe Abstand x Bildgröße a Abbildungsmaßstab β 4 cm 3.5 cm cm 2.8 cm cm 2.4 cm cm 2. cm 2. 8 cm.9 cm.9 9 cm.7 cm.7 Tabelle 7: Gemessener Abstand x und gemessene Bildgröße a sowie berechneter Abbildungsmaßstab β für die 2. Messreihe 8

9 Abbildung 3: Lineare Regressionsgerade für die 2. Messreihe Auswertung: 3. Messreihe In der dritten Messreihe war das Linsensystem in 80 -Orientierung und die vordere Linse war 8 cm vom Bezugspunkt der Skala entfernt, während die hintere Linse 4 cm vom Bezugspunkt der Skala 2 entfernt war, sodass sich ein Abstand D von.75 cm ergab. Die Tabelle 8 gibt den gemessenen Abstand x, die gemessene Bildgröße a und den daraus berechneten Abbildungsmaßstab β an. Die Abbildung 4 zeigt das Schaubild von x über ( β + ) zur Bestimmung der Regressionsgeraden. Abstand x Bildgröße a Abbildungsmaßstab β 4 cm 4.8 cm cm 3.4 cm cm 2.6 cm cm 2. cm 2. 8 cm.7 cm.7 9 cm.6 cm.6 Tabelle 8: Gemessener Abstand x und gemessene Bildgröße a sowie berechneter Abbildungsmaßstab β für die 3. Messreihe Aus der linearen Regression ergaben sich folgende Werte und zugeordnete statistische Unsicherheiten: Brennweite des Linsensystems: f = (.3 ± 2.7) cm Hauptebenenabstand der ersten Linse: h = (0.3 ± 3.9) cm 9

10 Abbildung 4: Lineare Regressionsgerade für die 3. Messreihe Auswertung: 4. Messreihe In der vierten Messreihe wurde das Linsensystem in beiden Orientierungen (0 und 80 ) gemessen. Bei 0 -Orientierung war die vordere Linse 9 cm vom Bezugspunkt der Skala 2 entfernt, während die hintere Linse 9.5 cm vom Bezugspunkt der Skala entfernt war, sodass sich ein Abstand D von 8.35 cm ergab. Die Tabelle 9 gibt den gemessenen Abstand x, die gemessene Bildgröße a und den daraus berechneten Abbildungsmaßstab β an für beide Orientierungen an. Die Abbildung 5 zeigt das Schaubild von x über ( β + ) zur Bestimmung der Regressionsgeraden. 0 -Orientierung 80 -Orientierung Abstand x Bildgröße a Abbildungsmaßstab β Abstand x Bildgröße a Abbildungsmaßstab β 4 cm 0.95 cm cm 4.4 cm cm 0.9 cm cm 3.4 cm cm 0.85 cm cm 2.9 cm cm 0.8 cm cm 2.5 cm cm 0.8 cm cm 2.2 cm 2.2 Tabelle 9: Gemessener Abstand x und gemessene Bildgröße a sowie berechneter Abbildungsmaßstab β für die 4. Messreihe in Abhängigkeit von der jeweiligen Orientierung Aus der linearen Regression ergaben sich folgende Werte und zugeordnete statistische Unsicherheiten: Brennweite des Linsensystems bei 0 -Orientierung: f = (7.7 ± 5.8) cm Hauptebenenabstand der vorderen Linse: h = ( 22.5 ± 2.5) cm Brennweite des Linsensystems bei 80 -Orientierung: f = (7.8 ± 5.6) cm 0

11 Abbildung 5: Lineare Regressionsgerade für die 4. Messreihe Hauptebenenabstand der hinteren Linse: h 2 = ( 7.9 ± 7.6) cm Bestimmung der Brennweiten f und f 2 der beiden einzelnen Linsen L und L 2 Die einzelnen Brennweiten f bzw. f 2 der Linse L bzw. der Linse L 2 lassen sich aus den vier Messreihen durch lineare Regression mittels folgender Formel bestimmen: f = f + f 2 h + h 2 f f 2 Da die bestimmten Hauptebenenabstände h und h 2 allerdings sehr große Unsicherheiten aufwiesen, wurde statt der Summe aus beiden der Abstand D zwischen den beiden Aufhängepunkten der Linsen jeweils verwendet. Die Formel für die lineare Regression lautet somit: f = f + f 2 D f f 2 Die Abbildung 6 zeigt die Regressionsgerade, in der die reziproke Gesamtbrennweite f über dem Linsenabstand D aufgetragen ist. Aus der Regression ergibt sich: f + f 2 =.38 0 (3) Umformen von (3) ergibt: f f 2 = (4) f =.38 0 f 2 (5)

12 Abbildung 6: Lineare Regressionsgerade für die Bestimmung der Brennweiten f und f 2 Durch Einsetzen von (5) in (4) folgt: f 2 (6).38 0 f 2 (f 2 ) /2 =.38 0 ± (.38 0 ) (7) Hieraus ergeben sich (mit Gleichung (5)) folgende zwei Wertepaare für die einzelnen Brennweiten f und f 2 : f = 0.67cm und f 2 = 4.32cm f = 2.60cm und f 2 = 4.04cm Fazit Das Abbesche Verfahren ist durch den relativ einfachen Messaufbau und die damit verbundenen wenigen Fehlerquellen eigentlich sehr gut geeignet, um die Gesamtbrennweite f, die Einzelbrennweiten (f und f 2 ) und die Hauptebenenabständen (h und h 2 ) eines Linsensystems zu bestimmen. Allerdings zeigt sich an Hand der relativ großen Unsicherheiten vorallem bei den bestimmten Hauptebenenabständen h und h 2, dass deutlich mehr Messungen pro Messreihe erforderlich gewesen wären, um konkrete Aussagen über das Linsensystem treffen zu können. Die bestimmte Gesamtbrennweite f kann jedoch für den jeweiligen Linsenabstand D als ziemlich gesichert angesehen werden, da die Werte aller vier Messreihen mit dem Linsenabstand D korrelieren. 2

13 2 Versuch 2: Aufbau optischer Instrumente 2. Versuch 2.: Aufbau eines Keplerschen und Galileischen Fernrohrs Versuchsaufbau Entsprechend der Versuchsplanung aus der Vorbereitung wurde das Keplersche Fernrohr aus einer Sammellinse mit Brennweite f = 30 cm und einer Sammellinse mit Brennweite f 2 = 5 cm aufgebaut, wobei der Abstand d zwischen den Linsen 35 cm betrug. Das Galileische Fernrohr wurde ebenso wie geplant aus einer Sammellinse mit Brennweite f 2 = 30 cm und einer Zerstreuungslinse f 2 = 5 cm aufgebaut. Der Linsenabstand d betrug hier 25 cm. Versuchsdurchführung Die Vergrößerung jedes Fernrohrs wurde zweimal bestimmt, indem die Versuchsteilnehmer unabhängig voneinander eine in ca. 4 m Abstand angebrachte Messskala einmal mit Fernrohr und einmal ohne Verwendung des Fernrohrs ablasen. Auswertung Die Vergrößerung eines Fernrohrs berechnet sich dann aus der Anzahl an Skalenteile S 0, die man ohne Fernrohr sieht, und der Anzahl an Skalenteilen S F, die man mit Fernrohr abliest: Γ = S 0 S F Die Tabelle 0 zeigt die gemessenen Werte für beide Fernrohre und die daraus berechnete Vergrößerung Γ in Abhängigkeit vom jeweiligen Anwender. Die Berechnung des Mittelwerts und Keplersches Fernrohr Galileisches Fernrohr Anwender S 0 S F Vergrößerung Γ S 0 S F Vergrößerung Γ Marco A. Harrendorf Thomas Keck Tabelle 0: Gemessene Skalenteile und berechnete Vergrößerung Γ für das Keplersche und Galileische Fernrohr der Standardabweichung ergibt für die Vergrößerung des Keplerschen Fernrohrs: Γ K = (4.45 ± 0.78) Vergrößerung des Galileischen Fernrohrs: Γ G = (3.40 ±.56) Die gemessene Vergrößerung weicht folglich stark von der berechneten Vergrößerung (Γ = 5) ab, auch wenn die Abweichung noch innerhalb der statistischen Unsicherheit liegt. Die Ursache für die großen Abweichungen liegt vorallem in der unzureichenden Genauigkeit des angewandten Messverfahrens und zum anderen im für die Messung viel zu geringen Abstand zwischen Fernrohr und Messskala. 3

14 2.2 Versuch 2.2: Aufbau eines Projektionsapperates Aufbau und Durchführung Entsprechend der Versuchsplanung aus der Vorbereitung wurde der Projektor aufgebaut. Eine Sammellinse mit Brennweite f = 0 cm diente dabei als Objektiv. Abgebildet wurde ein Dia vom,,imperator Maximillian, welches Kopf über in der Halterung vor der Lichtquelle plaziert wurde. Vergrößerung Strahlensatz Abbildungsgleichung Γ = B G (8) B G = a a (9) f = a + a (0) Um die geforderte Vergrößerung von Γ = 0 zu erreichen muss das Verhältnis von Bildweite zu Gegenstandsweite 0 : betragen. Mithilfe der Abbildungsgleichung erhält man die Gegenstandsweite a =.5 cm. Dia und Linse wurden in diesem Abstand auf der optischen Bank montiert. Weiterhin wurde der Schirm im Abstand a = 5 cm von der Linse aufgebaut. Auswertung Zu beobachten war eine scharfe, aufrechte, um Faktor 0 vergrößerte, Version des Dias, welche jedoch nicht mehr ganz auf den Schirm passte, weshalb der Vergrößerungsfaktor experimentell nur abgeschätzt wurde. Der Faktor 0 ist allerdings bereits implizit über den Strahlensatz festgelegt, da Gegenstandsweite und Bildweite das Gleiche Verhältnis besitzen, wie Bildgröße zu Gegenstandsgröße (unter der Annahme das sich Licht geradlinig ausbreitet). 4

15 2.3 Versuch 2.3: Aufbau eines Mikroskops Aufbau und Durchführung Entsprechend der Versuchsplanung aus der Vorbereitung wurde der Projektor aufgebaut. Als Präperat diente eine Messskala mit Milimetereinteilung, die in einer Halterung vor der Lichtquelle befestigt wurde. Eine Sammellinse mit Brennweite f = 7 cm diente als Objektiv, der Abstand zwischen Präperat und Objektiv wurde a = 7.7 cm gewählt. Nach der Abbildungsgleichung errechnet man ein scharfes Zwischenbild im Abstand von a = 77 cm, der Vergrößerungsfaktor beträgt nach Strahlensatz bei diesem Verhältnis 0. Als Okluarlinse diente eine Linse mit f 2 = 20 cm, welche das Zwischenbild wiederum um Faktor 2 vergrößert auf den Schirm abbildete, die optische Bank war dabei ein wenig zu klein um das Bild sauber scharf zu kriegen. Auswertung Man konnte durch die Milimeterskala die auf dem Milimeterpapier abggebildet wurde sehr schön den Vergrößerungsfaktor von 20 ablesen. Außerdem war es möglich das Präperat direkt durch das Linsensystem zu beobachten, wenn man die Lichquelle z.b. mithilfe eines einfachen Stück Papier abdunkelte. 5

16 Literatur [Aufgabenstellung] Aufgabenstellung der Versuche P-3,40,4 [Eichler] Eichler, Kronfeld, Sahm: Das Neue Physikalische Grundpraktikum [Bergmann] Bergmann, Schaefer: Experimentalphysik, Bd. 3 [Walcher] Walcher: Praktikum der Physik [Westphal] Westphal: Physikalisches Praktikum [Demtroeder] Demtröder: Experimentalphysik, Bd. 2 [Schwartz] Schwartz: Musterprotokoll, Geometrische Optik, Versuchsvorbereitung 6