Berechnung der Länge einer Quadratseite a:

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1 2006 Pflichtbereich erechnung der Länge einer Quadratseite a: Zur erechnung der Quadratseite a benötigt man die ilfslinie ür die Quadratseite a gilt dann: a = + 57 erechnung der Strecke : Im reieck kann die Strecke mit der Sinusfunktion berechnet werden s gilt: sin 57 = 4,7 4,7 4,7 sin 57 = = 3,94 cm 4,7 cm a erechnung der Strecke : ie Strecke kann im reieck mit der Kosinusfunktion berechnet werden, wenn man den Winkel ε 2 kennt s gilt: 57 ε 1 cos ε 2 = 5,6 en Winkel ε 1 bestimmt man mit der Summe der Innenwinkel im reieck zu ε 1 = 33 a die Winkel ε 1, ε 2 und 90 zusammen 180 ergeben müssen, folgt für den Winkel ε 2 : 5,6 cm ε 2 ε 2 = 57 amit folgt durch insetzen von ε 2 = 57 in cos ε 2 = : 5,6 cos 57 = 5,6 5,6 5,6 cos 57 = = 3,05 cm ür die Quadratseite a = + ergibt sich damit: a = 6,99 cm 7,0 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 1

2 2006 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 2006: Pflichtbereich ufgabe P2: erechnung der Länge : ie Länge der Strecke kann mit der Tangensfunktion im reieck berechnet werden s gilt: tan γ = γ tan γ = = tan γ Man benötigt also noch den Winkel γ und die Strecke erechnung des Winkels γ: a die Strecke den Winkel γ halbiert, gilt: γ = 2 γ 0,5 er Winkel γ 0,5 kann im reieck mit der Tangensfunktion berechnet werden: γ 0,5 7,4 cm 4,0 tan γ 0,5 = 7,4 γ 0,5 = 28,4 und damit ist γ = 56,8 4,0 cm erechnung der Strecke : ie Strecke kann mit dem ersten Strahlensatz in der markierten Strahlensatzfigur berechnet werden as Zentrum liegt bei s gilt: = 7,4 2,7 + 2,7 cm 7,4 cm erechnung der Strecke : ür die Strecke gilt: = 2,7 cm ie Strecke wiederum kann mit dem Satz des Pythagoras im reieck berechnet werden s gilt: 2 = 4, ,4 2 2 = 70,76 = 8,41 cm amit ergibt sich für = 2,7 cm: = 5,71 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 2

3 2006 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 2006: Pflichtbereich urch insetzen in die Strahlensatzgleichung = 7,4 5,71 = 7,4 2,7 + 5,71 2,7 + erhält man: 5,71 = 7,4 8,41 7,4 = 5,02 cm urch insetzen von γ = 56,8 und = 5,02 cm in die leichung = tan γ erhält man schließlich: = 7,67 cm ufgabe P3: erechnung der Kegelhöhe h: ie Kegelhöhe h kann mit dem Satz des Pythagoras im markierten reieck berechnet werden s gilt: h 2 = s 2 r h = s r r h s erechnung des Radius r: er Radius r kann mithilfe des angegebenen albkugelvolumens V K = 97,7 cm 3 berechnet werden urch insetzen in die ormel V K = 3 2 π r 3 erhält man: 97,7 = 3 2 π r 3 : 3 2 π 46,31 = r 3 r 3 = 46,31 3 r = 3,6 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 3

4 2006 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 2006: Pflichtbereich erechnung der Seitenlinie s: ie Seitenlinie s kann mit der angegebenen Oberfläche O ges = 149 cm 2 des gesamten Körpers berechnet werden iese Oberfläche setzt sich aus der Mantelfläche M des Kegels und der Oberfläche der albkugel zusammen s gilt also (siehe ormelsammlung): O ges = π r s + 2π r 2 urch insetzen der Werte O ges = 149 cm 2 und r = 3,6 cm erhält man: 149 = π 3,6 s + 2π 3, = 11,31s + 81,43 81,43 67,57 = 11,31s : 11,31 5,97 = s s = 5,97 cm 2 2 Mit r = 3,6 cm und s = 5,97 cm ergibt sich für die Kegelhöhe h = s r : h = 4,76 cm 4,8 cm ufgabe P4: erechnung des Volumens des Prismas: ür das Volumen eines Prismas gilt: V = h, mit der rundfläche und der öhe h a die öhe h = 8,0 cm angegeben ist, muss nur noch die rundfläche berechnet werden erechnung der rundfläche : ie markierte rundfläche besteht aus fünf gleichen reiecken Jedes dieser reiecke ist gleichschenklig und hat an der Spitze den Winkel 72 (= 360 : 5) ür die rundfläche gilt also: a h = a M h = 8,0 cm = 2,5 a h 1 M 72 h 1 a Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 4

5 2006 Pflichtbereich Lösungen zur Prüfung 2006: Pflichtbereich erechnung der Kantenlänge a: ie Kantenlänge a kann mit der angegebenen Mantelfläche M = 100 cm 2 berechnet werden ie Mantelfläche setzt sich aus 5 gleichen Rechtecken zusammen, von denen jedes die reite a und die Länge h = 8,0 cm hat ür M gilt also: M = 5 a h Und mit h = 8,0 cm: M = 5 a 8,0 insetzen von ergibt: M = 40 a 100 = 40 a : 40 2,5 = a bzw a = 2,5 cm erechnung der reieckshöhe h 1 : ie reieckshöhe h 1 kann mit der Tangensfunktion im markierten reieck berechnet werden M 72 s gilt: h 1 tan 36 = 1,25 h 1 h 1 h 1 tan 36 = 1,25 : tan 36 1,25 cm 2,5 cm h 1 = 1,72 cm 36 Mit den Werten a = 2,5 cm und h 1 = 1,72 cm erhält man für = 2,5 a h 1 : = 10,75 cm 2 ür das gesuchte Prismenvolumen V = 8,0 ergibt sich schließlich: V = 86 cm 3 h 1 1,25 cm nde der Musterseiten zum Pflichtteil 2006 (ie Original-atei umfasst 27 Seiten) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 5

6 2006 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W1 ufgabe W1a: Lösungsübersicht: ie Länge kann man mit der Tangensfunktion im reieck berechnen (siehe igur 1) azu benötigt man die Strecke und den Winkel Zur erechnung der Strecke muss man noch die ilfslinie einzeichnen (siehe igur 2) s gilt dann: = 12,2 cm ie Strecken und wiederum können mit der Sinus- bzw Kosinusfunktion in den reiecken und berechnet werden (siehe igur 3 und 4) ür den Winkel gilt: = 90 γ 2 (siehe igur 5) er Winkel γ 2 wiederum kann mit der Tangensfunktion im reieck berechnet werden, wenn man die Strecken und kennt ür gilt: = 12,2 cm ie Strecke kann mit dem Satz des Pythagoras im reieck berechnet werden (siehe igur 6) erechnung der Strecke : ie Strecke kann im reieck mit der Tangensfunktion berechnet werden s gilt: ε tan = tan = = tan igur 1 erechnung der Strecke : Zunächst sollte die ilfslinie eingezeichnet werden ür die Strecke gilt dann: = = 12,2 cm ε 12,2 cm igur 2 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 6

7 2006 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W1 erechnung der Strecke : ie Strecke kann mit der Sinusfunktion im reieck berechnet werden s gilt: sin 41 = 8,5 8,5 8,5 cm 41 8,5 sin 41 = = 5,58 cm erechnung der Strecke : 12,2 cm igur 3 ie Strecke kann mit der Kosinusfunktion im reieck berechnet werden s gilt: cos 59 = 4,7 4,7 8,5 cm 41 4,7 cos 59 = = 2,42 cm 12,2 cm igur 4 Mit den Strecken = 5,58 cm und = 2,42 cm erhält man für : = 4,20 cm 4,7 cm 59 erechnung des Winkels : ür den Winkel gilt: = 90 γ 2 er Winkel γ 2 kann im reieck mit der Tangensfunktion berechnet werden s gilt: tan γ 2 = ür die Strecke gilt: = 12,2 cm 2,42 cm = 9,78 cm ε 12,2 cm igur 5 γ 2 2,42 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 7

8 2006 Wahlbereich ufgabe W1 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W1 ie Strecke kann im reieck mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden s gilt: 2 = 4,7 2 2,42 2 ε γ 2 2 = 16,23 = 4,03 cm 2,42 cm 12,2 cm igur 6 4,7 cm amit erhält man durch insetzen in die leichung tan γ 2 = : tan γ 2 = 2,427 γ 2 = 67,6 Und für = 90 γ 2 erhält man: = 22,4 urch insetzen von = 4,2 cm und = 22,4 in = tan erhält man schließlich: = 1,73 cm 1,7 cm Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 8

9 2006 Wahlbereich ufgabe W2 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W2 ufgabe W2a: Lösungsübersicht: ie Parabelgleichung bestimmt man, indem man die Koordinaten der beiden Punkte in die allgemeine leichung y = x 2 + px + q einsetzt Man erhält so ein leichungssystem, das nach den Variablen p und q gelöst werden kann ie eradengleichung bestimmt man ganz entsprechend llerdings muss man die Koordinaten der Punkte und in die allgemeine eradengleichung y = mx + b einsetzen as entsprechende leichungssystem kann nach den Variablen m und b gelöst werden ie leichung der eraden g 2 bestimmt man folgendermaßen: a g 2 parallel zu g 1 sein soll, hat g 2 die gleiche Steigung wie g 1 en y-chsenabschnitt b von g 2 erhält man, indem man die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel in die leichung y = mx + b einsetzt ie Koordinaten des Scheitelpunkts kann man mithilfe einer quadratischen rgänzung berechnen Zur erechnung des Umfangs und der Innenwinkel des beschriebenen reiecks benötigt man die chsenabschnitte der eraden g 2 mit den Koordinatenachsen (siehe igur 1) er Winkel am Ursprung beträgt 90 ie anderen Innenwinkel können mit der Tangensfunktion berechnet werden er Umfang ergibt sich durch ddition der Seitenlängen erechnen der unktionsgleichung der Parabel durch (2 5) und (6 3): urch jeweiliges insetzen der Punktkoordinaten in die allgemeine unktionsgleichung y = x 2 + px + q erhält man zwei leichungen: Mit (2 5): Mit (6 3): 5 = (2) 2 + p (2) + q 5 = 4 + 2p + q (I) 3 = (6) 2 + p (6) + q 3 = p + q (II) eide leichungen bilden ein leichungssystem Zieht man die leichung (II) von der leichung (I) ab, fällt die Variable q heraus: 5 = 4 + 2p + q (I) 3 = p + q (II) 8 = 32 4p (III) = (I) (II) Umformen von leichung (III) ergibt den Wert für p : 8 = 32 4p +4p 8 4p = 40 : 4 p = 10 en Wert für q erhält man, indem man den p-wert (p = 10) in eine der beiden leichungen (I) oder (II) einsetzt insetzen in die leichung (I) 5 = 4 + 2p + q ergibt: Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 9

10 2006 Wahlbereich ufgabe W2 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W2 5 = q 5 = 16 + q = q bzw q = 21 ie unktionsgleichung der Parabel lautet y = x 2 10x + 21 erechnung der leichung der eraden g 1 durch die Punkte und : urch insetzen der Koordinaten der Punkte (2 5) und (6 3) in die allgemeine leichung y = m x + b erhält man folgende zwei leichungen: Mit (2 5): 5 = m 2 + b 5 = 2m + b (I) Mit (6 3): 3 = m (6) + b 3 = 6m + b (II) (I) (II) ergibt: 8 = 4m :( 4) m = 2 insetzen von m = 2 in leichung (I) 5 = 2m + b ergibt: 5 = 4 + b +4 9 = b bzw b = 9 ie unktionsgleichung der eraden g 1 lautet also: y = 2x + 9 erechnung der leichung der eraden g 2 : a die erade g 2 parallel zur eraden g 1 verlaufen soll, ist ihre Steigung ebenfalls m = 2 en Wert für den y-chsenabschnitt b erhält man mit den Scheitelkoordinaten, die man freilich erst noch bestimmen muss: erechnung des Scheitelpunkts der Parabel: ie Koordinaten des Scheitelpunkts erhält man, indem man die allgemeine Parabelgleichung y = x 2 10x + 21 mithilfe einer quadratischen rgänzung in ihre Scheitelform umwandelt: y = x 2 10x + 21 y = x 2 10x y = (x 5) y = (x 5) 2 4 amit hat der Scheitel der Parabel die Koordinaten S(5 4) urch insetzen von S(5 4) in die leichung y = 2x + b erhält man: 4 = 10 + b = b bzw b = 6 ie eradengleichung von g 2 lautet also: y = 2x + 6 Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 10

11 2006 Wahlbereich ufgabe W2 Lösungen zur Prüfung 2006: Wahlbereich - ufgabe W2 erechnung des Umfangs und der Innenwinkel: Zur erechnung des Umfangs und der Innenwinkel des beschriebenen reiecks benötigt man die Schnittpunkte von g 2 mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der y-chse: en Schnittpunkt von g 2 mit der y-chse erhält man, indem man in der unktionsgleichung y = 2x + 6 für x = 0 setzt Man erhält: Q(0 6) Schnittpunkt mit der x-chse: en Schnittpunkt von g 2 mit der x-chse erhält man, indem man in der unktionsgleichung y = 2x + 6 für y = 0 setzt Man erhält: P(3 0) ür den Umfang u gilt: u = PQ ie Strecke PQ kann man mit dem Satz des Pythagoras berechnen Man erhält: PQ = 45 amit folgt: u = u = 15,71 L y Q(0 6) 3 g 2 ie Innenwinkel α und können mit der Tangensfunktion berechnet werden s gilt: 2 tan α = 3 6 α = 63,4 1 α tan = 6 3 = 26,6 O x P(3 0) igur 1 nde der Musterseiten zum Wahlteil 2006 (ie Original-atei umfasst 27 Seiten) Mathematik-Verlag, wwwmatheverlagcom Musterseiten, nur zur nsicht! 11

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