E x t r e m w e r t a u f g a b e n

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "E x t r e m w e r t a u f g a b e n"

Margarete Heinrich
vor 7 Jahren
Abrufe

1 E x t e m w e t u f e n Aufen De Qude Welce oen offene Scctel in de Fom eine qu dtiscen S ule t ei eeenem Oefl ceninlt von dm ein mximles Fssunsvemoen? De Keel Aus einem keisfomien Bltt Ppie soll ein Keel one Boden efltet we den. Bei Uelppun um welcen Winkel wid dessen olumen mximl? Die Kuel Aus eine Holzkuel soll ein Zylinde mit oü tmolicem olumen escnitzt weden. Wie viel Pozent des Holzes een dei veloen? Hinweis: Zum Losen diese Aufe weden keine Mü e de Kuel enotit! Auc einen Tscenecne uct mn nu fu den letzten Scitt! Die Holzpltte Aus eine Holzpltte in Fom eines leicscenklinen Deiec ks soll ein molicst oü es ecteck uses t weden. An welcen Stellen de Deicksseiten muss die Se nesetzt weden? Wie viel Pozent des Holzes weden es t? Hinweise zum owissen In llen Aufen mussen Extemstellen von Funktionen eecnet weden. Ansonsten ist folendes Wissen wid vousesetzt: In Aufe : olumen eines Qudes, Fl ce eines ececks In Aufe : olumen eines Keels, Fl ce eines Keises, Boenl ne, Stz des Pytos In Aufe : olumen von Kuel und Zylinde, Stz des Pytos, Pozentecnun In Aufe : Fl ceneecnun, Stz des Pytos, Stlens tze, Pozentecnun

2 Losun zu Aufe A Extemledinun Ds olumen soll mximiet weden. B Neenedinun Die Oefl ce O + et t dm. C Zielfunktion Die Zielfunktion e lt mn duc Einsetzen de Neenedinun(en) in die Extemledinun. ) Umfomen de Neenedinun O + ) Einsetzen in die Extemledinun, lso () D Untesucun de Funktion uf eltive Extemstellen Es sind die Seitenl nen esuct, mit denen sic ds mximle olumen des Qudes eit. Gesuct ist demnc ein Hocpunkt von ) (. ) Aleitunen ilden () () ) Beecnun de Extemstellen 0 ± Becte: Die Losun eit fu die Aufenstellun keinen Sinn! c) Untesucun uf Hoc ode Tiefpunkt Hocpunkt 0 () <

3 E Zusmmenten de Eenisse Aus [D] eit sic, dss ds oü te olumen fu dm eeict wid. Mit [C] folt dnn: (dm) dm, lso 0,5 dm. (dm) Nc [A] ilt dnn fu ds olumen: (dm) (0,5 dm) 0,5 dm, lso 0,5 dm. Losun zu Aufe Im Folenden sind die Mü e des keisfomien Blttes mit Kleinucsten, die des zusmmenesetzten Keels mit Goü ucsten ezeicnet. Zun cst wid eecnet, welce Hoe H de Keel en muss, dmit sein olumen mximl wid (in A nikeit vom dius des keisfomien Blttes). A Extemledinun Fu ds olumen des Keels ilt: [] (H) H mit dius de Keelundfl ce und H Hoe des Keels B Neenedinunen D die Hoe in A nikeit vom dius des keisfomien Blttes destellt weden soll, wid die Neenedinun enotit, um in [] so zu esetzen, dss in de Gleicun nu noc und H uftucen. Dies ist molic mit dem Stz des Pytos: H + [] H C Zielfunktion Duc einsetzen de Neenedinun in die Extemledinun eit sic die zu mximieende Funktion: ( H ) H H H [ ] (H) D Untesucun de Funktion uf eltive Extemstellen Gesuct ist die Hoe H, ei de ds olumen (H) des Keels mximl wid. Es muss lso ds Mximum von (H) eecnet weden.

4 ) Aleitunen ilden [ ] (H) H und [ 5] (H) H ) Beecnun de Extemstellen Um die Extemwete zu eecnen, muss (H) 0 esetzt weden: (H) H 0 H H ± Aufund de Aufenstellun knn die netive Losun vencl ssit weden, d eine netive Hoe keinen Sinn mct! Als zu etctende Extemwet de olumenfunktion [] eit sic de: [ 6] H c) Untesucun uf Hoc ode Tiefpunkt Duc Einsetzen dieses Wetes in (H) eit sic, dss es sic um ein Mximum ndelt, denn < 0 E Zusmmenten de Eenisse Nun ist eknnt, welce Zusmmenn zwiscen dem dius des kei s fomien Blttes und de Hoe des Keels esteen muss, dmit ds Keelvolumen mximl ist. Geft w lledins ein vom dius un nie Winkel. De Zusmmenn zwiscen dem iseien Eenis mit diesem Winkel eit sic us de L ne des Boens de Uelppun. Fu diesen Boen ilt: p p p 60 Ô Ô p p p 60 [7] 60 Fu den Zusmmenn von und ilt nc den Gleicunen [] und [6]: H ± Auc ie knn wiede die netive Losun vencl ssit weden. Es eit sic lso: [ 8]

5 Aus [7] und [8] eit sic dnn fu den Winkel : ª 66, Bei eine Uelppun um einen Winkel von 66, wid lso ds olumen des Keels (un ni vom dius des keisfomien Ppies) mximl. Losun zu Aufe A Extemledinun Ds olumen des einescieenen Zylindes p soll mximiet weden. Z B Neenedinun Nc dem Stz des Pytos ilt lso. +, C Zielfunktion Duc einsetzen de Neenedinun in die Extemle dinun eit sic die zu mximieende Funktion: z ( ) p ( ) p p D Untesucun de Funktion uf eltive Extemstellen ) Aleitunen ilden ( ) p 6p und ( ) p z z ) Beecnun de Extemstellen p 6p 0 c) Untesucun uf Hoc ode Tiefpunkt z p < 0 Hocpunkt

E Zusmmenten de Eenisse ) Beecnun de Zylindemä e Z p p p ) Beecnun des esucten Anteils Fu ds olumen de Kuel ilt: K p 57,7% K Z p p Ds olumen des Zylindes et t lso 57,7% des olumens de Kuel.

6 E Zusmmenten de Eenisse ) Beecnun de Zylindemä e Z p p p ) Beecnun des esucten Anteils Fu ds olumen de Kuel ilt: K p 57,7% K Z p p Ds olumen des Zylindes et t lso 57,7% des olumens de Kuel. Losun zu Aufe A Extemledinun Die Fl ce des ectecks A (u mkiet) soll mximiet weden. B Neenedinun Ziel ist es, mit Hilfe von uszudu cken und zw so, dss (uü e ) nu feste zw. eknnte Goü en uftucen. Mit de oe eine estimmten Holzpltte sind uc die L ne s de eiden Scenkel und die L ne de Gundseite voeeen. Die Hoe des Deiecks lsst sic u e den Stz des Pytos eecnen: s s +

7 D zu Beecnun von nu die festen Goü en und s enotit weden, ist uc selst eine feste Goü e. Nc dem zweiten Stlenstz elten folende e ltnisse: (von de Spitze des Deiecks us eseen) (von de linken unteen Ecke us eseen) Also ilt: ( ) ( ) + C Zielfunktion 0 Duc einsetzen de Neenedinun in die Extemledinun eit sic die zu mximieende Funktion: A ( ) D Untesucun de Funktion uf eltive Extemstellen ) Aleitunen ilden ( ) und ( ) A A ) Beecnun de Extemstellen 0 c) Untesucun uf Hoc ode Tiefpunkt A < 0 Hocpunkt E Zusmmenten de Eenisse ) Emittlun de Stellen, n de sie S e nesetzt weden muss Fu ist die ectecksfl ce mximl.

8 D l so oü ist wie, ilt nc dem esten Stlenstz (von de Spitze des Deiecks us eseen, dss de Eckpunkt des ectecks die Seite s enu liet. Auü edem ilt: Also ist l so oü wie. Anesetzt weden muss die S e lso n de Gundseite jeweils in Entfenun eines ietels de Gundseite vom Eckpunkt (dmit in de Mitte die H lfte de Gundseite u i leit)... n den Scenkeln enu in de Mitte. ) Beecnun des esucten Anteils Mit den eecneten Goü en und eit sic fu die Fl ce des ectecks: A. Fu die Fl ce des Deiecks ilt: A D. A Ds ecteck nimmt 50 % de Deiecksfl ce ein. A D Also weden 50 % des Holzes es t. Weitee Unteictsmteilien und jede Mene Ideen und ums Tem Scule it es im Intenet unte Dokument N Auto: Ino Ostwld

Ähnliche Dokumente

ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 04

Elementreometrie ÜBUNGSAUFGABEN SERIE 04 AUFGABE 1: Beweisen Sie den folenden Stz: Stz 2.10: Die Nceinnderusfürun mit ist eine Verscieun. Zum Beweis verwenden wir Stz 2.9: Eine Beweun verscieden von der