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1 bschlussprüfung 2014 Prüfungsdauer: 150 Minuten Diese Lösung wurde erstellt von ornelia Sanzenbacher. Sie ist keine offizielle Lösung des ayerischen Staatsministeriums für Unterricht und Kultus. ufgaben ufgabe P 1 γ φ egründung für φ ]0 ;39,81 ] Für den Winkel bei mit dem Maß gilt 2,5 tan γ = = = 39,81 3 Für φ = 39,81 ist P n =. Da die Punkte P n auf [] liegen, kann φ nicht größer werden. Deshalb gilt als obere Intervallgrenze für φ = 39, Es entsteht ein Kegel mit der Höhe h = = 3 cm. h Der Grundkreisradius dieses Kegels ist r = erechnung der Länge von r P tan φ = n P n. P n r P n = tan φ P n = 3 tan φ Damit ergibt sich für das Volumen des Kegels: V = 3 1 π r 2 h V = 3 1 π (3tanφ) 2 3 V = 9 π tan 2 φ cm erechnung von φ für das Volumen V = 6 cm 3 : 6 = 9 π tan 2 φ : 9 π 6 = tan 2 φ 9π tan φ = 0,4607 φ = 24,73 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

2 bschlussprüfung 2014 ufgabe f 1 : y = 0,188807( 210) 1,41 Definitionsmenge: D = { 210} Wertetabelle: y 0 107,5 308,4 559, ,7 1523,8 Graph der beiden Funktionen y f 1 f I I I I I I I I I bgelesene Werte: f 1 ( 550) = 700 (Frau); f 2 ( 650) = 700 (Mann) Der Mann ist etwa 100 cm = 1 m weiter gesprungen als die Frau 2.3 Frau mit 900 Punkten, es gilt f 1 : y = 0,188807( 210) 1,41 erechnung der Sprungweite: 900 = 0, ( 210) 1,41 : 0, ,77 = ( 210) 1,41 1, 41 (entspricht hoch ) 406,13 = = 616,13 Die Frau ist etwa 616 cm weit gesprungen. 2.4 h 1 : y 1 = 0,44125 ( 100) 1,35 (Frauen) h 2 : y 2 = 0,2797 ( 100) 1,35 (Männer) Es gilt y 1 = y Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

3 bschlussprüfung 2014 Einsetzen der Funktionsgleichungen ergibt: 0,44125 ( 100) 1,35 = 0,2797 ( 100) 1, ,2797( 100) 1,35 0,16155 ( 100) 1,35 = 500 : 0,16155 ( 100) 1,35 1, 35 = 3095, = 385, = 485,19 eide haben etwa 485 cm übersprungen. ufgabe g: y = 4 1 ; ] 0; 7,8[ ; n ( 4 1 ) ; (0 0); (4,5 3) erechnung der Koordinaten von 1 : = 2 y(2) = = 0,5 1 (2 0,5) 2. erechnung der Koordinaten von 2 : = 4 y(4) = = 1 2 (4 1) Die Punkte D 1 und D 2 erhält man durch chsenspiegelung von 1 und 2 an der chse. y D 2 3 D 1 2 (4,5 3) (0 0) 1 I I I I I I I I I (2 0,5) 2 2 (4 1) Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

4 bschlussprüfung erechnung der Koordinaten der Punkte D n in bhängigkeit von : erechnung des bstands z der Punkte vom Ursprung : α 1 z ( ) erechnung von α 1 : n ( ) α 2 erechnung von α 2 : Die Punkte D n entstehen aus n durch Spiegelung an der chse. Die Strecke D bildet den Winkel α mit der -chse D n z α 3 α 2 α 1 z us Symmetriegründen gilt: α 3 = α 1 + α 2 = ,7 α 3 = 47,7 α = α 2 + α 3 = 81,4 Damit kann man nun - und y-komponente von D n berechnen: erechung von D : erechnung von y D n D Für die Punkte D n gilt also D n (0,15 1,02). z D y D α 2 + α 3 = 81,4 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

5 bschlussprüfung 2014 ufgabe 1 Zeichnung zu 1.1 und Es gilt und. Daraus folgt ( ) ( ) und ( ) ( ). Für φ = 130 ergibt sich ( ) ( ) und ( ) ( ). Vom Punkt ( 1 2) ausgehend, ergeben sich damit die folgenden Koordinaten für 1, D 1, 2, D 2 : ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( ) Die Eckpunkte 1 und 2 errechnet man, indem man an den Punkt die beiden Pfeile und bzw. und anfügt: ( ) ( ) ( ) ( ) Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

6 bschlussprüfung erechnung des Winkels 1 D 1 = α: D 1 1 α 2 α α 1 α = 180 α 1 α 2 α = ,4 α = 60,6 1.3 D φ ( 1 2) und müssen senkrecht aufeinander stehen, es gilt also = 0 ( ) ( ) (2cosφ + 3) (3cosφ 3) + (5sin 2 φ + 1)4 = 0 6cos 2 φ 6cosφ + 9cosφ sin 2 φ + 4 = 0 Mit cos 2 φ + sin 2 φ = 1 folgt 6cos 2 φ + 3cosφ (1 cos 2 φ) = 0 6cos 2 φ + 3cosφ cosφ = 0 14cos 2 φ + 3cosφ + 15 = 0 Mit der Mitternachtsformel gelöst: cosφ = 0,9334 φ = 158, = mit = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Für die Punkte n gilt dann: n (5 cosφ 1 5 sin 2 φ + 3) Durch Gleichsetzen erhält man die Funktionsgleichung der Parabel p: n ( y) = 5 cosφ cos φ = (eingesetzt in y) 5 y = 5sin 2 φ + 3 y = 5(1 cos 2 φ) + 3 = 5 5cos 2 φ + 3 Einsetzen des usdrucks für cos φ: ( ) Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

7 bschlussprüfung 2014 Für den Trägergraph gilt also: p: y = 0,2( + 1) Wertetabelle y = 0,2(+1) ,2 7,8 8 7,8 6,2 3 1,8 1.5 ( ) ( ) ( ) D n (3cosφ 4 2) D n soll nun auf p liegen, man macht also eine Punktprobe von D n in p: 2 = 0,2(3cosφ 4 + 1) ,2(3cosφ 3) 2 6 = 0 0,2(9cos 2 φ 18cosφ + 9) 6 = 0 :0,2 (9cos 2 φ 18cosφ + 9) 30 = 0 9cos 2 φ 18cosφ 21 = 0 Mit der Mitternachtsformel gelöst: cosφ = 0,8257 [oder 2,8257] φ = 145,66 ufgabe S Gegeben: = 9,5 cm M = 3,5 cm D = 8 cm Winkel S = 60 D M D 60 4 cm 3,5 cm M 4 cm 6 cm (nicht maßstabsgetreu) Für die Zeichnung beginnst du mit = 9,5 cm und kennzeichnest M mit M = 3,5 cm. In M legst du einen Winkel von 45 an und markierst in 2 cm Länge den Punkt D. Der Punkt liegt punktsymmetrisch von D zu M. Zeichne in einen Winkel von 60. Errichte in M die Pyramidenhöhe, welche den freien Schenkel des 60 Winkels in S schneidet. Verbinde die Punkte DS. Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

8 bschlussprüfung erechnung von M: M= M M= 9,5 3,5 M= 6 cm 2. erechnung vom SM: SM tan 60 = M SM = M tan 60 tan 60 = 3 SM = 6 3 SM = 10,39 cm 3. erechnung von S: S= S= SM + M ,39 S = 12,00 cm erechnung von δ 1 und δ 2 δ 1 = = 30 M 3,5 tan δ 2 = = SM 10,39 δ 2 = 18,62 5. erechnung von δ (Maß des Winkels S): δ = δ 1 + δ 2 δ = ,62 δ = 48,62 E 1 F 1 S M 1 M H 1 D 180 φ G φ = cm 60 Zeichne G auf Smit G = 4 cm. Zeichne in G an G den Winkel φ = 130. Sein freier Schenkel schneidet S im Punkt E 1. Im Schnittpunkt von E 1 G mit der Pyramidenhöhe liegt M 1. Die Diagonalen D und F 1 H 1 sind parallel. Zeichne durch M 1 eine Parallel zu D. Sie schneidet die Seitenkanten S und DS in den gesuchten Ecken des Drachens, F 1 und H 1. (nicht maßstabsgetreu) Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

9 bschlussprüfung S erechnung von SG : SG = S G SG = 12 4 = 8 cm E n ε 8 cm erechnung von ε: ε = 180 δ (180 φ); δ = 48,62 ε = ,62 (180 φ) ε = φ 48,62 G δ 30 erechnung von E n G : Nach dem Sinussatz gilt: 4 cm 60 M 8sin48,62 = 6,0027, also estimmung der minimalen Länge E 0 G : Minimale Länge bedeutet, dass E 0 G E 0 S ε = 90 ; sin ε = sin(φ 48,62 ) = sin 90 = 1 E 0 S δ = 48,62 8 cm φ φ G erechnung des zugehörigen Winkels φ: φ = 90 48,62 = 41,38 φ = 180 φ = ,38 = 138,62 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

10 bschlussprüfung S δ = 48,62 erechnung von SM n : φ 1 = = 30 φ 2 = 180 φ 8 cm δ = 30 (Wechselwinkel zu φ 1 ) 1 E n γ M n φ 2 φ G γ = 180 δ 1 φ 2 γ = (180 φ) γ = φ 30 φ 1 60 Sinussatz im Dreieck SM n G Es gilt sin(180 φ) = sin φ und damit S erechnung von F nhn Mit dem Strahlensatz gilt F n M n H n 4 cm M 4 cm D 2.5 G Pyramide : Drachen E 1 F 1 GH 1 erechnungen für φ = 130 E 1 H 1 T 1 G F 1 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

11 bschlussprüfung 2014 erechnung von T 1 S : T 1 S sin( ) = SG T 1 S = 8 sin 50 = 6,13 cm erechnung des Volumens der Pyramide: ( ) V = 29,71 cm 3 Klett Lerntraining c/o PONS GmbH, Stuttgart /11

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