Mathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/16 15:12:32 hk Exp $

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1 $Id: dreieck.tex,v /04/16 15:12:32 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke etrachtet haen, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen Funktionen. ls eine kleine Vorereitung hierzu, wollen wir erst einmal an den sogenannten Strahlensatz erinnern. C C Sind C, C jeweils kollinear und parallel zu CC, so gelten die drei Strahlensätze C = C, CC = C, CC C =. Die drei Strahlensätzes gehen auf den egründer der griechischen Mathematik Thales zurück, dieser war der Lehrer von Pythagoras und lete geschätzt im Zeitraum vor Christus. Thales werden viele Entdeckungen innerhal und außerhal der Mathematik zugeschrieen, zum eispiel war er der erste Mensch der eine Sonnenfinsternis vorausgesagt hat, nämlich die im Jahre 585 vor Christus. uch das klassische eispiel zur nwendung der Strahlensätze wurde von Thales selst eschrieen, es handelt sich um die estimmung der Höhe der Cheops-Pyramide. Wie schon gesagt geschah dies irgendwann um 600 vor Christus herum, und in dieser Zeit standen keine hierfür hilfreichen technischen Gerätschaften zur Verfügung, Thales musste sich also etwas einfallen lassen, und das von ihm gewählte Vorgehen soll nun esprochen werden. 2-1

2 h w l S s Zuerst wird die Kantenlänge s der Pyramide vermessen, dies ist leicht machar und als das Ergenis der Messung ergit sich s = 230m. ls nächster Schritt wird dann der von der Pyramide geworfene Schatten vermessen, die Gesamtlänge S von Pyramide und Schatten ergit sich dann als S = 348m. Diese eiden Werte reichen aer noch nicht aus die Höhe h der Pyramide zu ermitteln, wir rauchen noch zwei weitere Informationen. Zu diesem Zweck wird ein mitgerachter Sta der ekannten Länge l = 1m senkrecht auf den oden gestellt und der von diesem Sta geworfene Schatten w gemessen, das Ergenis sei w = 1.6m. Diese vier Zahlen s, S, l, w sind jetzt alles was geraucht wird um h zu estimmen. Der Schatten der Cheops-Pyramide entsteht durch den von der Pyramide verdeckten Teil des Sonnenlichts, sein Ende ist also gerade der Punkt in dem der durch die Spitze der Pyramide laufende Sonnenstrahl auf den oden trifft. Da die Sonnenstrahlen, zumindest in guter Näherung, parallel sind spielt es keine Rolle wo genau wir den Schatten unseres Staes messen, wir können uns also den Sta und seinen Schatten wie im oigen ild in die Spitze des Schattens der Cheops-Pyramide verschoen denken. Dann können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten h S s 2 = l w also h 1m = 233m 1.6m = und insgesamt ist damit h = 146m. 1.3 Die trigonometrischen Funktionen Damit können wir jetzt zu den trigonometrischen Funktionen als den Grundwerkzeugen der Dreieckserechnung kommen. Wir etrachten ein rechtwinkliges Dreieck C mit rechten Winkel in C, also γ = π/2 wenn wir die Standardezeichnungen verwenden. Wir nennen die dem Winkel, also der Ecke, gegenüerliegende Seite a die 2-2

3 Gegenkathete zu und die an anliegende Kathete wird als die nkathete an ezeichnet. Die Hypothenuse ist die Seite c. Mit den drei Seiten können wir sechs Verhältnisse ilden, und diese sind dann, als Funktionen des Winkels aufgefasst, die sechs trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus cos := sin := Gegenkathete Hypothenuse = a c, Secans Tangens tan := Gegenkathete nkathete nkathete Hypothenuse = c, Cosecans Daei sind der Secans und der Cosecans eher ungeräuchlich und auch der Cotangens wird nur selten verwendet. Diese Größen hängen tatsächlich nur vom Winkel und nicht vom speziellen rechtwinkligen Dreieck C a. Haen wir nämlich ein weiteres rechtwinkliges Hypothenuse sec := Gegenkathete = 1 sin, Hypothenuse csc := nkathete = 1 cos, = a nkathete, Cotangens cot := Gegenkathete = 1 tan. Dreieck C mit Winkel =, so verschieen wir nach, nehmen also = an und drehen dann um so, dass die eiden egrenzenden Geraden identisch werden. Der Sinus sin ermittelt in C ist dann C / und sin ermittelt in C ist nach dem Strahlensatz eenfalls C / = C /. Daei verwenden wir das die eiden Geraden und CC die Gerade CC eide mit dem gleichen Winkel, nämlich 90, schneiden und somit parallel sind. Zur egründung der Wohldefiniertheit der anderen trigonometrischen Funktionen geht man dann analog vor. Wir wollen an dieser Stelle noch eine weitere kleine nmerkung machen. Verwenden wir anstelle des Winkels den anderen nicht rechten Winkel β, so vertauschen sich Gegenkathete und nkathete, also haen wir sin β = cos, cos β = sin, tan β = cot und cot β = tan. Man nennt den Winkel β den Komplementärwinkel zu und hieraus erklärt sich dann ürigens auch die edeutetung des Co in Cosinus, Cotangens und Cosecans, dieses steht für komplementär, da ja zum eispiel der Cosinus von gerade der Sinus des Komplementärwinkels β ist. Um diese eziehungen in einer Formel auszudrücken, erinnern wir uns daran das die Winkelsumme in einem Dreieck, wie im untenstehenden ild gezeigt, immer gleich 180 eziehungsweise π im ogenmaß ist + β + γ = π. Um dies einzusehen, zieht man eine Parallele L zur Seite durch den dritten Eckpunkt C. Oerhal dieser Tangenten ist dann eine weitere Kopie des Winkels γ. Da 2-3 C C

4 die Gerade L parallel zu ist treffen L und die eiden Geraden C und C nach dem Stufenwinkelsatz jeweils im selen Winkel, d.h. oerhal von L liegen wieder die Winkel und β an. Insgesamt füllen, β, γ also eine volle Haleene aus und wir haen + β + γ = π. β γ γ C β Stufenwinkelsatz Winkelsumme im Dreieck In unserem rechtwinkligen Dreieck ist γ = π/2, also wird der Komplementärwinkel zu β = π 2 und es ergeen sich und ( π ) ( π ) sin 2 = cos, cos 2 = sin ( π ) ( π ) tan 2 = cot, cot 2 = tan. Unsere Üerlegung zur Winkelsumme in einem Dreieck ergit insesondere das die eiden nicht rechten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck eide echt kleiner als 90 sind, und damit sind die trigonometrischen Funktionen nur für Winkel mit 0 < < π/2 definiert, da noch größere ja nicht in ein rechtwinkliges Dreieck rein passen. ndererseits wollen wir die trigonometrischen Funktionen zur erechnung von Dreiecken enutzen, und in einem allgemeinen Dreieck können auch stumpfe Winkel, also Winkel größer als 90, auftauchen. uf diese könnten wir den Sinus, den Cosinus und so weiter dann gar nicht anwenden. Um dieses Prolem zu vermeiden, dehnen wir die Definition der trigonometrischen Funktionen auch auf stumpfe Winkel aus, indem wir für π/2 < < π sin := sin(π ) und cos := cos(π ) setzen. Für rechte Winkel müssen wir dann schließlich noch sin π 2 := 1 und cos π 2 := 0 2-4

5 definieren. Der Tangens wird dann für π/2 < < π als tan := sin cos = tan(π ) eingeführt so, dass die Relation tan = sin / cos für alle 0 < < π mit π/2 esteht. Die Definition der trigonometrischen Funktionen als Seitenverhältnisse ist nicht so gut geeignet um die Werte dieser Funktionen graphisch zu sehen. Dies läßt sich dagegen gut an einem Kreis von Radius 1 tun. 1 sin β π β cos β β 1 sin cos tan Zunächst schauen wir uns einen spitzen Winkel 0 < < π/2 an, der oen im rechten Dreieck eingezeichnet ist. Verwenden wir dann zum lesen von Sinus und Cosinus dieses rechtwinklige Dreieck, so hat dieses als Hypothenuse den Radius des Kreises, also 1, also sind der Sinus sin die Länge der Gegenkathete und der Cosinus cos die Länge der nkathete, wie eingezeichnet. uch den Tangens von können wir an diesem ild alesen, etrachten wir nämlich zusätzlich die ganz rechts eingezeichnete Tangente am Kreis und verlängern das Dreieck zu dieser Tangente hin, so entsteht ein weiteres rechtwinkliges Dreieck und in diesem wird die nkathete an zum Radius des Kreises, also 1. Der Tangens tan ist damit die Länge der Gegenkathete in diesem Dreieck, also der vom Winkel auf der Tangente ausgeschnittene Tangentenaschitt, 2-5

6 wie eingezeichnet. Diese eoachtung erklärt ürigens auch die Herkunft des Namens Tangens, dies steht für Tangente. uch die edeutung von Sinus und Cosinus im Fall eines stumpfen Winkels π/2 < β < π können wir links im ild alesen. In dem ganz links eingezeichneten Dreieck haen wir den Winkel π β und die Hypothenuse hat wieder die Länge 1. Damit wird sin(π β) zur Länge der Gegenkathete und cos(π β) zur Länge der nkathete. Die Koordinaten des Schnittpunkts des auf dem Kreis gelegenen Eckpunkts des Dreiecks sind dann x = cos(π β) = cos β und y = sin(π β) = sin β. 1.4 Dreieckserechnung mit Seiten und Winkeln Nachdem wir jetzt die trigonometrischen Funktionen ereitgestellt haen, können wir nun zur sogenannten Dreieckserechnung, oder Trigonometrie, kommen. Einen jedem Dreieck sind diverse numerische Werte zugeordnet, zum eispiel die drei Seitenlängen a,, c, die drei Winkel, β, γ, die Fläche, die Radien von Innkreis und Umkreis, und man kann noch einige mehr solcher Zahlen erfinden. Das Prolem der Dreieckserechnung esteht nun darin, dass einige dieser Werte vorgegeen werden, zum eispiel eine Seite, der ihr gegenüerliegende Winkel und die Fläche, und dann die folgenden Fragen gestellt werden: 1. Git es üerhaupt ein Dreick in dem diese Werte angenommen werden? 2. Wenn es eines git, ist dieses dann eindeutig? Mit Eindeutigkeit ist daei immer die Eindeutigkeit is auf Kongruenz, also is auf Deckewegungen, gemeint. 3. Wenn es tatsächlich genau ein solches Dreieck gegen sollte, wir kann man dann die anderen numerischen Größen des Dreiecks in Termen der gegeenen Werte ausrechnen? 4. Wie kann man das Dreieck effektiv zeichnen? Zu dieser Frage git es dann immer einige Varianten, je nachdem welche Hilfsmittel man zum Zeichnen zulassen möchte. Man kann eispielsweise Konstruktionen mit Geodreieck etrachten, dass also Strecken und Winkel agetragen werden können, oder auch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. ei letzteren sind immer umarkierte Zirkel und Lineal gemeint, wir können also nur gegeene Strecken verlängern und Kreise zeichnen deren Mittelpunkt ein schon gegeener Punkt ist und deren Radius als eine schon gegeene Strecke definiert ist. Typischerweise muss man drei Werte vorgeen, und gelegentlich müssen diese daei Neenedingungen erfüllen. In diesem schnitt eschränken wir uns auf die etrachtung der Seiten und der Winkel. is auf einige usnahmen estimmen je drei der sechs Werte a,, c,, β, γ das Dreieck is auf Kongruenz. Eine offensichtliche usnahme ist, dass die Vorgae der drei Winkel, β, γ nicht ausreicht, wir können ein Dreieck ja elieig strecken ohne seine Winkel zu verändern. Das ist auch nicht so üerraschend, 2-6

7 da die Winkelsumme 180 ist, legen zwei der Winkel den dritten ereits fest, es sind also in Wahrheit nur zwei Informationen vorgegeen, und das reicht nicht aus. Wir werden systematisch alle Möglichkeiten durchgehen, geordnet nach der Zahl vorgegeener Seiten. Der erste Fall ist dann, dass alle drei Seiten a,, c ekannt sind, und wir die drei Winkel, β, γ hieraus ermitteln möchten. Hierzu enötigen wir einen Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenlängen. Diesen erhält man üer die trigonometrischen Funktionen, die aus gutem Grund genau so heißen. In einem allgemeinen Dreieck sind Sinus und Cosinus allerdings nicht mehr direkt als Seitenverhältnisse alesar, dies ist nur in rechtwinkligen Dreiecken so. Der gesuchte Zusammenhang wird anstelle dessen durch den sogenannten Cosinussatz hergestellt. In Worten esagt dieser, dass in einem jeden Dreieck das Quadrat einer Seite gleich der Summe der Quadrate der eiden anderen Seiten minus das doppelte des Produkts aus den eiden anderen Seiten und dem Cosinus des von diesen eingeschlossenen Winkels ist. Satz 1.4 (Der Cosinussatz) Sei ein Dreick mit Seiten a,, c und Winkeln, β, γ in der Standardezeichnung. Dann sind a 2 = 2 + c 2 2c cos, 2 = a 2 + c 2 2ac cos β, c 2 = a a cos γ. eweis: Es reicht aus etwa die erste dieser Gleichungen zu eweisen, die anderen eiden gehen aus dieser Umezeichnungen hervor. Liegt daei in ein rechter Winkel vor, also = π/2, so ist cos = 0 und unsere ehauptung wird zum Satz des Pythagoras Satz 1. Wir können also annehmen das in kein rechter Winkel ist, d.h. π/2. Nun können drei verschiedene Fälle auftreten. h a a h h a p p p c c c Fall 1 Fall 2 Fall 3 Im ersten Fall ist in ein spitzer Winkel, also 0 < < π/2 und die links oen eingezeichnete Höhe h liegt innerhal des Dreiecks. In rechtwinkligen Dreieck links von h liefert der Satz des Pythagoras Satz 1 zunächst 2 = p 2 + h 2, woei p der durch die Höhe geildete schnitt der Dreiecksseite ist, und damit h 2 = 2 p 2. ußerdem entnehmen wir diesem rechtwinkligen Dreieck noch die eziehung cos = p, also p = cos. 2-7

8 Eine weitere nwendung des Satzes von Pythagoras Satz 1 diesmal im Dreieck rechts von h liefert a 2 = h 2 + (c p) 2 = 2 p 2 + (c p) 2 = 2 + c 2 2pc = 2 + c 2 2c cos. Damit ist der Cosinussatz in diesem Fall ewiesen und die anderen eiden Fälle sind eine Üungsaufgae. usgerüstet mit dem Cosinussatz können wir jetzt die erste Variante einer Dreieckserechnung durchführen, nämlich die Dreieckserechnung ei drei gegeenen Seiten. Hierei tritt kein Eindeutigkeitsprolem auf, da wir die Kongruenz von Dreiecken ja gerade durch die Gleichheit der Seiten definiert haen, aer ein Existenzprolem. Zu elieig vorgegeenen a,, c > 0 muss es keinesfalls ein Dreieck mit diesen Seitenlänge geen, denn wie wir gleich sehen werden ist in einem Dreieck die Länge einer jeden Seite echt kleiner als die Summe der Längen der eiden anderen Seiten. Dies ist gerade die Dreiecksungleichung in ihrer ursprünglichen, namensgeenden Gestalt. Satz 1.5 (Dreieckserechnung ei gegeenen Seiten) Seien a,, c > 0 gegeen. Genau dann existiert ein Dreieck mit den Seitenlängen a,, c wenn die Dreiecksungleichungen a < + c, < a + c und c < a + erfüllt sind. In diesem Fall ist is auf Kongruenz eindeutig estimmt und die Winkel in sind in den Standardezeichnungen gegeen durch ( ) 2 + c 2 a 2 = arccos, 2c ( ) a 2 + c 2 2 β = arccos, 2ac ( ) a c 2 γ = arccos. 2a eweis: Für spitze Winkel 0 < < π/2 ist direkt nach Definition 0 < cos < 1, also gilt für elieiges 0 < < π stets 1 < cos < 1. Git es nun ein Dreieck mit Seitenlängen a,, c und Winkeln, β, γ, so ergit der Cosinussatz Satz 4 a 2 = 2 + c 2 2c cos < 2 + c 2 + 2c = ( + c) 2, also a < + c. nalog ergeen sich < a + c und c < a +, unsere edingungen sind also notwendig für die Existenz eines Dreiecks mit den Seitenlängen a,, c. Sei nun umgekehrt die Dreiecksungleichung erfüllt. Nach eventueller Umenennung können wir c a, annehmen. Wähle dann eine Strecke der Länge c und ilde Kreis K mit Mittelpunkt 2-8

9 und Radius sowie den Kreis L mit Mittelpunkt und Radius a. Wegen c a, und c < a + schneiden sich K und L außerhal von und ezeichnet C einen der eiden Schnittpunkte, so ist C ein Dreieck mit den Seitenlängen a,, c. K L a Damit haen wir die Existenzaussage ewiesen. Die Eindeutigkeitsaussage ist, wie schon oen festgehalten, klar und die Formeln für die drei Winkel folgen aus dem Cosinussatz Satz 4. Die effektive Konstruktion eines Dreiecks ei gegeenen a,, c ist jetzt auch leicht möglich. Wollen wir dies mit dem Geodreick tun, so erechnen wir zunächst den Winkel gemäß der oigen Formel und tragen dann Strecken und C der Längen c und im Winkel zueinander a. Dies git uns das gesuchte Dreieck. Die Konstruktion mit Zirkel und Lineal wurde im eweis vorgeführt, man zeichnet die eiden eschrieenen Kreise K und L mit dem Zirkel ein und wählt dann einen der eiden entstehenden Schnittpunkte. Wir schauen uns noch zwei explizite eispiele an zum een ewiesenen Satz an. 1. Seien a = 6, = 3 und c = 2. Um zu schauen o es ein Dreick mit diesen Seitenlängen git müssen wir die Dreiecksungleichung üerprüfen. Diese ist hier aer wegen a = 6 > = + c offensichtlich verletzt, es git also kein Dreieck mit diesen Seitenlängen. 2. Nun seien a = 4, = 2, c = 3. Diesmal sind die Dreiecksungleichungen erfüllt, es reicht ja offenar diese für die längste Seite zu verifizieren und hier haen wir a = 4 < 2+3 = +c. Es git also ein Dreieck mit diesen Seitenlängen. Die Winkel 2-9

10 in diesem Dreieck ergeen sich jeweils auf zwei Nachkommastellen gerundet als = arccos ( = arccos 1 ) 104, 48, 12 4 β = arccos = arccos , 96, γ = arccos = arccos , 57. Man nennt den een ewiesenen Satz 5 auch den Kongruenzsatz SSS, was für Seite Seite Seite steht. Wir kommen nun zum nächsten Typ von Konstruktionaufgaen ei dem zwei Seiten und ein Winkel vorgegeen sind. Hier git es zwei mögliche Fälle, entweder ist der Winkel der von den eiden Seiten eingeschlossene Winkel oder einer der eiden anderen Winkel. Im ersten Fall spricht man vom Kongruenzsatz SWS, für Seite Winkel Seite, und im zweiten Fall vom Kongruenzsatz SSW für Seite Seite Winkel. Diese eiden Fälle unterscheiden sich recht deutlich voneinander und wir eginnen mit dem komplizierteren der eiden, dies ist der SSW-Satz. ngenommen wir wollen in den Standardezeichnungen die eiden Seiten, c und den Winkel β vorgeen. Dann tragen wir zunächst eine Strecke der Länge c a. Der Winkel β git uns einen Halstrahl H vor auf dem der dritte Eckpunkt C des gesuchten Dreiecks liegen muss und die Länge git einen Kreis K mit Radius und Mittelpunkt auf dem C liegen muss. Der gesuchte dritte Punkt C ist also ein Schnittpunkt der Halgeraden H mit dem Kreis K. Ein Halgerade schneidet einen Kreis in entweder keinem, in genau einem oder in zwei Punkten, und diese drei Möglichkeiten führen auf verschiedene Fälle. C a c β β c Fall < c Fall > c Es können drei verschiedene Fälle auftreten. Ist < c so sind wir in der links gezeigten Situation, K ist entweder so klein das er von H verfehlt wird oder so groß das er von H gleich zweimal getroffen wird. Im ersten Fall git es dann üerhaupt kein Dreieck mit den vorgegeenen Werten und im zweiten Fall git es genau zwei nicht kongruente und passende Dreiecke. Eine eindeutige Lösung git es nur in dem Randfall das H tangential an K ist. Dann ist im Schnittpunkt C ein rechter Winkel γ = π/2 und somit muss 2-10

11 /c = sin β sein. Im rechts gezeigten Fall > c ist dagegen alles unprolematisch, der Halstrahl H trifft den Kreis K in genau einem Punkt C und wir haen die eindeutige Lösung C. Im nicht gezeigten usartungsfall = c git es dagegen für β < π/2 eine eindeutige Lösung während die ufgae für β π/2 nicht lösar ist. Damit ist uns die Situation zumindest qualitativ klar. Wir wollen uns auf den Hauptfall > c eschränken und diesen in der nächsten Sitzung vollständig ehandeln. 2-11