Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II

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Friedrich Pohl
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1 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II 7. Ableitungsregeln H. Rodner, G. Neumann Humboldt-Universität zu Berlin, Institut für Mathematik Sommersemester 2010/11 Internetseite zur Vorlesung: neumann/

2 Didaktik der Mathematik der Sekundarstufe II Differentialrechnung Die Kettenregel Die Ableitung des Sinus Die Ableitung der Exponentialfunktion

3 Klausur Prüfungstermin: Freitag, Uhrzeit: 15 bis 16 Uhr Raum: RUD 26, Anmeldung bis: Rücktrittsfrist bis:

4 Die Kettenregel: Anwendungsaufgabe In einen kegelförmigen Behälter mit dem Radius R = 10 cm und der Höhe H = 30 cm werden pro Sekunde 20 cm 3 Wasser gefüllt. Die Höhe des Wasserspiegels und das Volumen des Wassers hängen also von der Zeit ab. a) Ermitteln Sie die Zuordnung h(t) V(t). b) Während des Füllvorgangs steigt der Wasserspiegel unterschiedlich schnell. Wie schnell steigt dieser in dem Augenblick, in dem das Wasser im Behälter 5 cm hoch steht?

5 Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe a) Für das Volumen in Abhängigkeit der Zeit in Sekunden sowie für r Radius der Wasseroberfläche im Kegel und h Höhe des Wasserstands - ebenfalls abhängig von der Zeit - in cm gilt: V(h(t)) = 1 3 πr2 h Außerdem gilt R H = nach Voraussetzung für den Kegel mit Höhe H und Radius R. Mit dem Strahlensatz und R H = r h folgt: r = h 3 Dann ist V(h(t)) = π 27 (h(t))3

6 Die Kettenregel: Lösung der Anwendungsaufgabe b) Gesucht ist die Änderungsrate der Füllhöhe in cm pro Sekunde, also h (t 0 ) und zwar bei der Füllhöhe 5 cm, also für h(t 0 ) = 5 Die Änderungsrate des Volumens wiederum errechnet sich mit der Kettenregel nach: V (t) = π 9 (h(t))2 h (t) Nach Voraussetzung steigt das Volumen 20 cm 3 pro Sekunde: V(t) = 20t und damit V (t) = = π 9 52 h (t) h (t) = π h (t) 2, 29 ( cm s )

7 Die Ableitung des Sinus Einführung der Ableitungsfunktion

8 Die Ableitung der Sinusfunktion Graphisches Differenzieren Zeichnen Sie den Graphen der Sinusfunktion f (x) = sin(x) im Intervall [ π 2 ; 2π]. Ermitteln Sie die Steigung der Tangente an ausgewählten Punkten und stellen Sie eine Vermutung auf über die Ableitungsfunktion f.

9 Die Ableitung der Sinusfunktion Beweis der Vermutung f (x) = cos(x) über den Differenzenquotienten: f (x + h) f (x) h = sin(x + h) sin(x) h

10 Die Ableitung der Sinusfunktion Benötigtes Additionstheorem: sin(α) sin(β) = 2 cos( α+β α β )sin( ) 2 2

11 Die Ableitung der Sinusfunktion f (x + h) f (x) h = sin(x + h) sin(x) h = cos(x + h 2 ) sin( h 2 ) h 2 = cos(x + h 2 ) sin( h 2 ) h 2

12 Die Ableitung der Sinusfunktion = cos(x + h 2 ) sin( h 2 ) h 2 Für h 0 stellt sich die Frage des Grenzwerts von sin(h) h.

13 Die Ableitung der Sinusfunktion Mögliches Vorgehen: Ergebnis über Testwerte annähern: lim x 0 sin(x) x = 1 Approximation des Flächeninhalts eines Kreisausschnitts am Einheitskreis

14 Flächeninhalt eines Kreisausschnitts am Einheitskreis Untersuchen Sie die Flächeninhalte A, A 1 und A 2. Vorgabe der Herleitung als Lückentext Vorgabe der Herleitung als Puzzle, Schüler rekonstruieren die Reihenfolge

15 Für die Flächeninhalte gilt: A 1 = 1 2sin(x) cos(x) A = x 2π 12 π A 2 = 1 2 tan(x) 1 Für die Größenverhältnisse gilt: A 1 < A < A 2 1 x 2sin(x) cos(x) < 2π 12 π < 1 2 tan(x) 1 2 sin(x) cos(x) < x sin(x) < 1 cos(x) Kehrwert 1 cos(x) > sin(x) x Für x 0, x 0, ist dann sin(x) x = 1. > cos(x)

16 Hausaufgabe Skizzieren Sie eine Einführungsstunde zum Thema Ableitung der Exponentialfunktion mit dem Ziel der Einführung der Exponentialfunktion zur Basis e.

17 Die Ableitung der Exponentialfunktion Möglicher Ablauf: Vorab: Reaktivierung der Potenzgesetze, Darstellung von Graphen von Exponentialfunktionen Hinführung über Modellierung exponentieller Prozesse Einführungsstunde 1. Graphisches Differenzieren von Graph f mit f (x) = 2 x Vermutung für f (x) 0, 7 f (x) 2. Herleitung von f (x) über Differentialquotient, Approximation über Testeinsetzungen b h 1 3. Berechnung des Faktors lim für Basen b = 1, 5 oder b = 3. h 0 h b h 1 Vermutung der Existenz von Zahl b mit lim = 1 h 0 h b ist die Eulersche Zahl e 4. Umformung der Gleichung eh 1 h 1 nach e über das Ersetzen von besonders kleinen Werten von h duch 1 n Nullfolge für große n 5. Näherung von e über Testeinsetzungen in lim n (1 + 1 n )n

18 Die Ableitung der Exponentialfunktion: Arbeitsblatt für Schüler

19 Die Ableitung der Exponentialfunktion

20 Die Ableitung der Exponentialfunktion

21 Hausaufgabe Aufgaben zum Satz von Rolle und zum Mittelwertsatz 1. Belegen Sie durch ein Beispiel, dass man im Satz von Rolle nicht formulieren kann: Es existiert genau ein x 0 mit a < x 0 < b und f (x 0 ) = Es sei f eine beliebige quadratische Funktion. Zeigen Sie, dass die Sekante von f in einem beliebigen Intervall [a; b] parallel zur Tangente an f an der Stelle x 0 verläuft, wobei x 0 der Mittelpunkt von [a; b] ist. 3. Untersuchen Sie für die folgenden Funktionen, ob es im Intervall [a; b] eine Stelle x 0 gibt, an der die Tangente an f parallel zur Sekante in [a; b] verläuft. a) f (x) = x, [a; b] = [1; 4] b) f (x) = x 3, [a; b] = [ 3; 3] 4. Sie wissen bereits, dass die Ableitung einer auf R konstanten Funktion f die Funktion f mit f (x) = 0 für alle x R ist. a) Formulieren Sie die Umkehrung dieser Aussage. b) Beweisen Sie diese Aussage. Wenden Sie dazu den Mittelwertsatz auf eine Funktion an, deren Ableitung überall null ist.

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