1 Dreiecke. 1.1 Rechtwinklige Dreiecke. Mathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $
|
|
- Christina Ute Fischer
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 $Id: dreieck.tex,v /04/15 14:02:10 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.1 Rechtwinklige Dreiecke Am Ende der letzten Sitzung hatten wir begonnen die primitiven pythagoräischen Tripel zu bestimmen, und in einem ersten Schritt wurden diese mit den rationalen Punkten des Einheitskreises identifiziert, beziehungsweise genauer mit denjenigen im offenen ersten Quadranten. Dabei wurde einem primitiven pythagoräischen Tripel (a, b, c) der rationale Punkt (u, v) = (a/c, b/c) zugeordnet. Ist umgekehrt ein Punkt (u, v) Q 2 >0 auf dem Einheitskreis gegeben, so schreibe u = p/q und v = p /q jeweils in ausgekürzter Form und setze c := [q, q ], a := pc/q, b := p c/q. Im nun durchzuführenden zweiten Schritt werden wir die rationalen Punkte (u, v) durch einen rationalen Parameter 0 < t < 1 beschreiben. Sei also ein rationaler Punkt (u, v) Q 2 >0 auf dem Einheitskreis gegeben. Dann bilden wir die Verbindungsgerade dieses Punktes mit dem Punkt ( 1, 0). Die Steigung t dieser Geraden ist dann wieder eine rationale Zahl. Um t auszurechen, müssen wir nur festhalten das der x-anstieg von ( 1, 0) nach (u, v) gerade u ( 1) = u + 1 ist und der y-anstieg gleich v ist, also ist die Steigung t = v u + 1. Nehmen wir etwa den Punkt (u, v) = (3/5, 4/5) der zum primitiven Tripel (3, 4, 5) gehört, so wird die Steigung t zu t = = Allgemein muss die Steigung t immer zwischen 0 und 1 liegen, da unsere Gerade den Einheitskreis in (u, v) im ersten Quadranten trifft. Nun sei umgekehrt eine rationale Steigung t Q mit 0 < t < 1 gegeben, und betrachte die Gerade y = t(x + 1) = tx + t mit Steigung t durch ( 1, 0). Die Schnittpunkte dieser Geraden mit dem Einheitskreis berechnen sich durch ( 1,0) 1 = x 2 + y 2 = x 2 + t 2 (x + 1) 2 = (t 2 + 1)x 2 + 2t 2 x + t (u,v)
2 und umgestellt zu einer normierten quadratischen Gleichung für x wird dies zu x 2 + 2t2 t x + t2 1 t = 0. Die eine Nullstelle ist x = 1 und erinnern wir uns daran das die Summe der beiden Nullstellen einer normierten quadratischen Gleichung gerade das Negative des linearen Terms dieser Gleichung ist, so liegt die zweite Nullstelle in u := 1 2t2 t = 1 t2 1 + t 2 mit zugehörigen y-wert v := t(x + 1) = 2t 1 + t 2. Damit haben wir einen rationalen Punkt (u, v) auf dem Einheitskreis im ersten Quadranten gefunden, der zur Steigung t gehört. Diesem entspricht dann weiter ein primitives pythagoräisches Tripel. Auf diese Weise sind jetzt die rationalen Zahlen t mit 0 < t < 1 in Entsprechung zu den primitiven pythagoräischen Tripeln gesetzt. Wir schauen uns noch einige spezielle Beispiele für t an. t = 1 2, u = t = 1 3, u = t = 2 3, u = t = 1 4, u = t = 3 4, u = = 3, v = = 8 = 4, v = = , v = = 15 = , v = , v = = 4, c = 5, (a, b, c) = (3, 4, 5), 5 = 6 = 3, c = 5, (a, b, c) = (4, 3, 5), 10 5 = 12, c = 13, (a, b, c) = (5, 12, 13), 13 = 8, c = 17, (a, b, c) = (15, 8, 17), 17 = 24, c = 25, (a, b, c) = (7, 24, 25) Der Strahlensatz Damit kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen Funktionen. Als eine kleine Vorbereitung hierzu, wollen wir erst einmal an den sogenannten Strahlensatz erinnern. Sind ABC, AB C jeweils kollinear und BB parallel zu CC, so gelten die drei Strahlensätze AC AB = AC AB, CC BB = AC AB, CC AC = BB AB. 2-2
3 C B C B A Die drei Strahlensätzes gehen auf den Begründer der griechischen Mathematik Thales zurück, dieser war der Lehrer von Pythagoras und lebte geschätzt im Zeitraum vor Christus. Thales werden viele Entdeckungen innerhalb und außerhalb der Mathematik zugeschrieben, zum Beispiel war er der erste Mensch der eine Sonnenfinsternis vorausgesagt hat, nämlich die im Jahre 585 vor Christus. Auch das klassische Beispiel zur Anwendung der Strahlensätze wurde von Thales selbst beschrieben, es handelt sich um die Bestimmung der Höhe der Cheops-Pyramide. Wie schon gesagt geschah dies irgendwann um 600 vor Christus herum, und in dieser Zeit standen keine hierfür hilfreichen technischen Gerätschaften zur Verfügung, Thales musste sich also etwas einfallen lassen, und das von ihm gewählte Vorgehen soll nun besprochen werden. h w l S s 2-3
4 Zuerst wird die Kantenlänge s der Pyramide vermessen, dies ist leicht machbar und als das Ergebnis der Messung ergibt sich s = 230m. Als nächster Schritt wird dann der von der Pyramide geworfene Schatten vermessen, die Gesamtlänge S von Pyramide und Schatten ergibt sich dann als S = 348m. Diese beiden Werte reichen aber noch nicht aus die Höhe h der Pyramide zu ermitteln, wir brauchen noch zwei weitere Informationen. Zu diesem Zweck wird ein mitgebrachter Stab der bekannten Länge l = 1m senkrecht auf den Boden gestellt und der von diesem Stab geworfene Schatten w gemessen, das Ergebnis sei w = 1.6m. Diese vier Zahlen s, S, l, w sind jetzt alles was gebraucht wird um h zu bestimmen. Der Schatten der Cheops-Pyramide entsteht durch den von der Pyramide verdeckten Teil des Sonnenlichts, sein Ende ist also gerade der Punkt in dem der durch die Spitze der Pyramide laufende Sonnenstrahl auf den Boden trifft. Da die Sonnenstrahlen, zumindest in guter Näherung, parallel sind spielt es keine Rolle wo genau wir den Schatten unseres Stabes messen, wir können uns also den Stab und seinen Schatten wie im obigen Bild in die Spitze des Schattens der Cheops-Pyramide verschoben denken. Dann können wir den Strahlensatz anwenden und erhalten h S s 2 = l w also h 1m = 233m 1.6m = und insgesamt ist damit gerundet h = 146m. 1.3 Die trigonometrischen Funktionen Damit können wir jetzt zu den trigonometrischen Funktionen als den Grundwerkzeugen der Dreiecksberechnung kommen. Wir betrachten ein rechtwinkliges Dreieck ABC mit rechten Winkel in C, also γ = π/2 wenn wir die Standardbezeichnungen verwenden. Wir nennen die dem Winkel, also der Ecke A, gegenüberliegende Seite a die Gegenkathete zu A und die an A anliegende Kathete b wird als die Ankathete an A bezeichnet. Die Hypothenuse ist die Seite c. Mit den drei Seiten können wir sechs Verhältnisse bilden, und diese sind dann, als Funktionen des Winkels aufgefasst, die sechs trigonometrischen Funktionen Sinus Cosinus cos := sin := Gegenkathete Hypothenuse = a c, Secans Tangens tan := Gegenkathete Ankathete Ankathete Hypothenuse = b c, Cosecans Hypothenuse sec := Gegenkathete = 1 sin, Hypothenuse csc := Ankathete = 1 cos, = a Ankathete, Cotangens cot := b Gegenkathete = 1 tan. 2-4
5 Dabei sind der Secans und der Cosecans eher C ungebräuchlich und auch der Cotangens wird nur selten verwendet. Diese Größen hängen C tatsächlich nur vom Winkel und nicht vom speziellen rechtwinkligen Dreieck ABC ab. Haben wir nämlich ein weiteres rechtwinkliges Dreieck A B C mit Winkel =, so verschieben wir A nach A, nehmen also A = A an und drehen dann um A so, dass die beiden A B B begrenzenden Geraden identisch werden. Der Sinus sin ermittelt in ABC ist dann BC / BA und sin ermittelt in AB C ist nach dem Strahlensatz ebenfalls B C / AB = BC / AB. Dabei verwenden wir das die beiden Geraden BB und CC die Gerade CC beide mit dem gleichen Winkel, nämlich 90, schneiden und somit parallel sind. Zur Begründung der Wohldefiniertheit der anderen trigonometrischen Funktionen geht man dann analog vor. Wir wollen an dieser Stelle noch eine weitere kleine Anmerkung machen. Verwenden wir anstelle des Winkels den anderen nicht rechten Winkel β, so vertauschen sich Gegenkathete und Ankathete, also haben wir sin β = cos, cos β = sin, tan β = cot und cot β = tan. Man nennt den Winkel β den Komplementärwinkel zu und hieraus erklärt sich dann übrigens auch die Bedeutetung des Co in Cosinus, Cotangens und Cosecans, dieses steht für komplementär, da ja zum Beispiel der Cosinus von gerade der Sinus des Komplementärwinkels β ist. Um diese Beziehungen in einer Formel auszudrücken, erinnern wir uns daran das die Winkelsumme in einem Dreieck, wie im untenstehenden Bild gezeigt, immer gleich 180 beziehungsweise π im Bogenmaß ist + β + γ = π.um dies einzusehen, zieht man eine Parallele L zur Seite AB durch den dritten Eckpunkt C. Oberhalb dieser Tangenten ist dann eine weitere Kopie des Winkels γ. Da die Gerade L parallel zu AB ist treffen L und AB die beiden Geraden AC und BC nach dem Stufenwinkelsatz jeweils im selben Winkel, d.h. oberhalb von L liegen wieder die Winkel und β an. Insgesamt füllen, β, γ also eine volle Halbebene aus und wir haben + β + γ = π. β γ γ C A β B Stufenwinkelsatz Winkelsumme im Dreieck 2-5
6 In unserem rechtwinkligen Dreieck ist γ = π/2, also wird der Komplementärwinkel zu β = π 2 und es ergeben sich ( π ) ( π ) sin 2 = cos, cos 2 = sin und ( π ) ( π ) tan 2 = cot, cot 2 = tan. Unsere Überlegung zur Winkelsumme in einem Dreieck ergibt insbesondere das die beiden nicht rechten Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck beide echt kleiner als 90 sind, und damit sind die trigonometrischen Funktionen nur für Winkel mit 0 < < π/2 definiert, da noch größere ja nicht in ein rechtwinkliges Dreieck rein passen. Andererseits wollen wir die trigonometrischen Funktionen zur Berechnung von Dreiecken benutzen, und in einem allgemeinen Dreieck können auch stumpfe Winkel, also Winkel größer als 90, auftauchen. Auf diese könnten wir den Sinus, den Cosinus und so weiter dann gar nicht anwenden. Um dieses Problem zu vermeiden, dehnen wir die Definition der trigonometrischen Funktionen auch auf stumpfe Winkel aus, indem wir für π/2 < < π sin := sin(π ) und cos := cos(π ) setzen. Für rechte Winkel müssen wir dann schließlich noch sin π 2 := 1 und cos π 2 := 0 definieren. Der Tangens wird dann für π/2 < < π als tan := sin cos = tan(π ) eingeführt so, dass die Relation tan = sin / cos für alle 0 < < π mit π/2 besteht. Die Definition der trigonometrischen Funktionen als Seitenverhältnisse ist nicht so gut geeignet um die Werte dieser Funktionen graphisch zu sehen. Dies läßt sich dagegen gut an einem Kreis von Radius 1 tun. 2-6
7 1 sin β π β cos β β 1 sin cos tan Zunächst schauen wir uns einen spitzen Winkel 0 < < π/2 an, der oben im rechten Dreieck eingezeichnet ist. Verwenden wir dann zum Ablesen von Sinus und Cosinus dieses rechtwinklige Dreieck, so hat dieses als Hypothenuse den Radius des Kreises, also 1, also sind der Sinus sin die Länge der Gegenkathete und der Cosinus cos die Länge der Ankathete, wie eingezeichnet. Auch den Tangens von können wir an diesem Bild ablesen, betrachten wir nämlich zusätzlich die ganz rechts eingezeichnete Tangente am Kreis und verlängern das Dreieck zu dieser Tangente hin, so entsteht ein weiteres rechtwinkliges Dreieck und in diesem wird die Ankathete an zum Radius des Kreises, also 1. Der Tangens tan ist damit die Länge der Gegenkathete in diesem Dreieck, also der vom Winkel auf der Tangente ausgeschnittene Tangentenabschitt, wie eingezeichnet. Diese Beobachtung erklärt übrigens auch die Herkunft des Namens Tangens, dies steht für Tangente. Auch die Bedeutung von Sinus und Cosinus im Fall eines stumpfen Winkels π/2 < β < π können wir links im Bild ablesen. In dem ganz links eingezeichneten Dreieck haben wir den Winkel π β und die Hypothenuse hat wieder die Länge 1. Damit wird sin(π β) zur Länge der Gegenkathete und cos(π β) zur Länge der Ankathete. Die Koordinaten des Schnittpunkts des auf dem Kreis gelegenen Eckpunkts des Dreiecks sind dann x = cos(π β) = cos β und y = sin(π β) = sin β. 2-7
8 1.4 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln Nachdem wir jetzt die trigonometrischen Funktionen bereitgestellt haben, können wir nun zur sogenannten Dreiecksberechnung, oder Trigonometrie, kommen. Einen jedem Dreieck sind diverse numerische Werte zugeordnet, zum Beispiel die drei Seitenlängen a, b, c, die drei Winkel, β, γ, die Fläche, die Radien von Innkreis und Umkreis, und man kann noch einige mehr solcher Zahlen erfinden. Das Problem der Dreiecksberechnung besteht nun darin, dass einige dieser Werte vorgegeben werden, zum Beispiel eine Seite, der ihr gegenüberliegende Winkel und die Fläche, und dann die folgenden Fragen gestellt werden: 1. Gibt es überhaupt ein Dreick in dem diese Werte angenommen werden? 2. Wenn es eines gibt, ist dieses dann eindeutig? Mit Eindeutigkeit ist dabei immer die Eindeutigkeit bis auf Kongruenz, also bis auf Deckbewegungen, gemeint. 3. Wenn es tatsächlich genau ein solches Dreieck geben sollte, wir kann man dann die anderen numerischen Größen des Dreiecks in Termen der gegebenen Werte ausrechnen? 4. Wie kann man das Dreieck effektiv zeichnen? Zu dieser Frage gibt es dann immer einige Varianten, je nachdem welche Hilfsmittel man zum Zeichnen zulassen möchte. Man kann beispielsweise Konstruktionen mit Geodreieck betrachten, dass also Strecken und Winkel abgetragen werden können, oder auch Konstruktionen mit Zirkel und Lineal. Bei letzteren sind immer umarkierte Zirkel und Lineal gemeint, wir können also nur gegebene Strecken verlängern und Kreise zeichnen deren Mittelpunkt ein schon gegebener Punkt ist und deren Radius als eine schon gegebene Strecke definiert ist. Typischerweise muss man drei Werte vorgeben, und gelegentlich müssen diese dabei Nebenbedingungen erfüllen. In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf die Betrachtung der Seiten und der Winkel. Bis auf einige Ausnahmen bestimmen je drei der sechs Werte a, b, c,, β, γ das Dreieck bis auf Kongruenz. Eine offensichtliche Ausnahme ist, dass die Vorgabe der drei Winkel, β, γ nicht ausreicht, wir können ein Dreieck ja beliebig strecken ohne seine Winkel zu verändern. Das ist auch nicht so überraschend, da die Winkelsumme 180 ist, legen zwei der Winkel den dritten bereits fest, es sind also in Wahrheit nur zwei Informationen vorgegeben, und das reicht nicht aus. Wir werden systematisch alle Möglichkeiten durchgehen, geordnet nach der Zahl vorgegebener Seiten. Der erste Fall ist dann, dass alle drei Seiten a, b, c bekannt sind, und wir die drei Winkel, β, γ hieraus ermitteln möchten. Hierzu benötigen wir einen Zusammenhang zwischen Winkeln und Seitenlängen und diesen erhält man über die trigonometrischen Funktionen, die aus gutem Grund genau so heißen. In einem allgemeinen Dreieck sind Sinus und Cosinus allerdings nicht mehr direkt als Seitenverhältnisse ablesbar, dies ist nur in rechtwinkligen Dreiecken so. Der gesuchte Zusammenhang wird anstelle dessen durch den sogenannten Cosinussatz hergestellt, den wir in der nächsten Sitzung behandeln werden. 2-8
Mathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/12 15:30:18 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.3 2013/04/12 15:30:18 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke betrachtet haben, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/18 15:03:29 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.6 2013/04/18 15:03:29 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck Wir hatten gerade begonnen uns mit den speziellen Punkten im Dreieck zu beschäftigen. Dabei beschränken
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Donnerstag $Id: dreieck.tex,v /04/16 15:12:32 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.14 2015/04/16 15:12:32 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.2 Der Strahlensatz Nachdem wir in der letzten Sitzung rechtwinklige Dreiecke etrachtet haen, kommen wir nun zur Einführung der trigonometrischen
MehrGrundlagen. Einteilung der Dreiecke. Besondere Punkte des Dreiecks
Der Name leitet sich von den griechischen Begriffen Tirgonon Dreieck und Metron Maß ab. ist also die Lehre vom Dreieck, d.h. die Grundaufgabe der besteht darin, aus drei Größen eines gegebenen Dreiecks
MehrMathematische Probleme, SS 2013 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/22 20:37:01 hk Exp hk $
$Id: dreieck.tex,v 1.7 013/04/ 0:37:01 hk Exp hk $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck In der letzten Sitzung hatten wir den sogenannten Inkreis eines Dreiecks eingeführt, dies ist der Kreis
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: dreieck.tex,v /04/27 13:26:30 hk Exp $
$Id: dreieck.tex,v 1.17 2015/04/27 13:26:30 hk Exp $ 1 Dreiecke 1.5 Einige spezielle Punkte im Dreieck m Ende der letzten Sitzung hatten wir eingesehen das die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks = sich
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.22 2017/05/15 15:10:33 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
Mehr1.4 Trigonometrie. 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2. 2 Die trigonometrischen Funktionen 3
1.4 Trigonometrie Inhaltsverzeichnis 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2 2 Die trigonometrischen Funktionen 3 2.1 Was sind trigonometrischen Funktionen?.......................... 3 2.2 Die
MehrMathematische Probleme, SS 2017 Donnerstag 1.6. $Id: dreieck.tex,v /06/01 11:41:57 hk Exp $ 2.1 Dreiecksberechnung mit Seiten und Winkeln
Mathematische Proleme SS 2017 Donnerstag 1.6 $Id: dreieck.texv 1.31 2017/06/01 11:41:57 hk Exp $ 2 Dreiecke 2.1 Dreieckserechnung mit Seiten und Winkeln Am Ende der letzten Sitzung hatten wir eine weitere
MehrTrigonometrie. In der Abbildung: der Winkel 120 (Gradenmaß) ist 2π = 2π (Bogenmaß).
Trigonometrie. Winkel: Gradmaß oder Bogenmaß In der Schule lernt man, dass Winkel im Gradmass, also als Zahlen zwischen 0 und 60 Grad angegeben werden. In der Mathematik arbeitet man lieber mit dem Bogenmaß,
MehrTrigonometrische Funktionen
Trigonometrische Funktionen Rainer Hauser September 013 1 Einleitung 1.1 Der Begriff Funktion Eine Funktion ordnet jedem Element m 1 einer Menge M 1 ein Element m einer Menge M zu. Man schreibt dafür f:
Mehrϕ (im Bogenmaß) = ϕ (in ) π
1 Kurze Einführung in die trigonometrischen Funktionen: Die trigonometrischen Funktionen gehören zum Standardstoff im Mathematik Unterricht der Gmnasien. Deshalb werde ich mich auf eine knappe Einführung
MehrTrigonometrie. 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie. Ronald Balestra CH St. Peter
Trigonometrie 3. Kapitel aus meinem Lehrgang Geometrie Ronald Balestra CH - 7028 St. Peter www.ronaldbalestra.ch 17. August 2008 Inhaltsverzeichnis 3 Trigonometrie 46 3.1 Warum Trigonometrie........................
MehrWas bedeutet Trigonometrie und mit was beschäftigt sich die Trigonometrie?
Einführung Was bedeutet und mit was beschäftigt sich die? Wortkunde: tri bedeutet 'drei' Bsp. Triathlon,... gon bedeutet 'Winkel'/'Eck' Bsp. Pentagon das Fünfeck mit 5 Winkeln metrie bedeutet 'Messung'
Mehrf(x nk ) = lim y nk ) = lim Bemerkung 2.14 Der Satz stimmt nicht mehr, wenn D nicht abgeschlossen oder nicht beschränkt ist, wie man z.b.
Proposition.13 Sei f : D R stetig und D = [a, b] R. Dann ist f(d) beschränkt. Außerdem nimmt f sein Maximum und Minimum auf D an, d.h. es gibt x max D und ein x min D, so dass f(x max ) = sup f(d) und
Mehr1.4 Trigonometrie I. 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2. 2 Die trigonometrischen Funktionen 4
1.4 Trigonometrie I Inhaltsverzeichnis 1 Seitenverhältnisse beim rechtwinkligen Dreieck 2 2 Die trigonometrischen Funktionen 4 2.1 Was sind trigonometrischen Funktionen?........................... 4 2.2
MehrKOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II
KOMPETENZHEFT ZUR TRIGONOMETRIE, II 1. Aufgabenstellungen Aufgabe 1.1. Bestimme alle Winkel in [0 ; 360 ], die Lösungen der gegebenen Gleichung sind, und zeichne sie am Einheitskreis ein. 1) sin(α) = 0,4
MehrWiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen
1/5 Erinnerung: Kongruenzsätze SSS, SWS, WSW, SsW Wiederhole eigenständig: elementare Konstruktionen nach diesen Sätzen Grundwissen: Elementare Sätze über Dreiecke: o Winkelsumme 180 0 o Dreiecksungleichung
Mehr1 Angeordnete Körper und Anordnung
1 ANGEORDNETE KÖRPER UND ANORDNUNG 1 1 Angeordnete Körper und Anordnung Die nächste Idee, die wir interpretieren müssen ist die Anordnung. Man kann zeigen, dass sie nicht über jeden Körper möglich ist.
MehrTrigonometrie. Mag. DI Rainer Sickinger HTL. v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1
Trigonometrie Mag. DI Rainer Sickinger HTL v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 1 / 1 Verschiedene Winkel DEFINITION v 1 Mag. DI Rainer Sickinger Trigonometrie 2 / 1 Verschiedene Winkel Vermessungsaufgaben
Mehr3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen
3. Erweiterung der trigonometrischen Funktionen 3.1. Polarkoordinaten 1) Rechtwinklige und Polarkoordinaten Üblicherweise gibt man die Koordinaten eines Punktes in der Ebene durch ein Zahlenpaar vor: P(x
MehrInstitut für Mathematik Geometrie und Lineare Algebra J. Schönenberger-Deuel
Lösungen Übung 6 Aufgabe 1. a.) Idee: Gesucht sind p, q mit pq = 6 2 und p + q = 13. Dies entspricht genau der Situation im Höhensatz. Konstruktion: 1. Punkte A, B mit AB = 13 2. Gerade g AB mit dist(g,
MehrBundesgymnasium für Berufstätige Salzburg. Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen. LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid.
Schule Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Thema Mathematik 4 Arbeitsblatt A 4-4 Winkelfunktionen LehrerInnenteam m/ Mag. Wolfgang Schmid Unterlagen Um die Größe eines Winkels anzugeben gibt es verschiedenee
MehrKonstruktion des isoperimetrischen Punktes
Konstruktion des isoperimetrischen Punktes C. und M. Reinsch Dreieck in der komplexen Ebene Ecken: A, B, C. Seiten: a = B C, b = C A, c = A B. Kreise: A(u) um A mit Radius u, B(v) um B mit Radius v, C(w)
MehrAufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra
Aufgabe 1 Aufgaben zur Übung der Anwendung von GeoGebra Konstruieren Sie ein Quadrat ABCD mit der Seitenlänge AB = 6,4 cm. Aufgabe 2 Konstruieren Sie ein Dreieck ABC mit den Seitenlängen AB = c = 6,4 cm,
Mehr2.2C. Das allgemeine Dreieck
.C. Das allgemeine Dreieck Jedes Dreieck läßt sich nach geeigneter Drehung und Verschiebung in ein Dreieck mit den Eckpunkten A = ( x, 0 ), B = ( y, 0 ), C = ( 0, z ) (x, y, z > 0) transformieren. Die
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.4 2013/06/24 23:05:24 hk Exp hk $ 5 Sphärische Trigonometrie 5.2 Sphärische Dreiecksberechnung Wir behandeln gerade die Berechnung sphärischer Dreiecke und haben zu diesem Zweck bereits
MehrEin Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Hypotenuse halb so lang wie die Hypotenuse.
Item 2 Schreibe so viele Verallgemeinerungen (Sätze, Definitionen, Eigenschaften, Folgerungen) wie du kannst auf, die mit rechtwinkligen Dreiecken zu tun haben. Ein Beispiel: In einem rechtwinkligen Dreieck
Mehr42.Trigonometrie - Beziehungen
4.Trigonometrie - Beziehungen Beziehungen zwischen den Winkelfunktionen tan = cot = sin cos cos sin Aus 3a erhält man durch einfaches Formelumstellen die Hilfssätze 3b und 3c: 3 a tan cot= 3 b tan = cot
MehrDie elementaren trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen sind: Funktion Kurzzeichen Umkehrfunktion Kurzzeichen Sinus
trigonometrische Funktionen Übersicht über die trigonometrischen Funktionen Die elementaren trigonometrischen Funktionen und ihre Umkehrfunktionen sind: Funktion Kurzzeichen Umkehrfunktion Kurzzeichen
MehrTrigonometrie - die Grundlagen in einem Tag
Trigonometrie - die Grundlagen in einem Tag Fachtage Dezember 2012 an der Kantonsschule Zürich Nord Klasse W3n R. Balestra Name: Vorname: 6. Dezember 2012 Inhaltsverzeichnis 1 Zielsetzung & Ablauf 1 2
MehrTrigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus. Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 2013
Trigonometrische Funktionen: Sinus und Cosinus Dieter Harig (Dipl. Math.) HD MINT-Projekt 5. Dezember 0 4 5 4 4 Grad- und Bogenmaß Wir betrachten den Einheitskreis (Radius r = ) und einen beliebigen Winkel
MehrMathematische Probleme, SS 2015 Montag $Id: quadratisch.tex,v /06/22 12:08:41 hk Exp $
Mathematische Probleme, SS 15 Montag 6 $Id: quadratischtex,v 111 15/06/ 1:08:41 hk Exp $ 4 Kegelschnitte 41 Quadratische Gleichungen In der letzten Sitzung hatten wir die Normalform (1 ɛ )x + y pɛx p =
MehrRepetition Begriffe Geometrie. 14. Juni 2012
Repetition Begriffe Geometrie 14. Juni 2012 Planimetrie 1. Strahlensatz Planimetrie 1. Strahlensatz Werden zwei sich schneidende Geraden von zwei Parallelen geschnitten, so verhalten sich die Abschnitte
Mehr2.3 Elementare Funktionen
.3 Elementare Funktionen Trigonometrische Funktionen (Winkelfunktionen) Vorbemerkung. Wir definieren die Winkelfunktionen bezogen auf die Bogenlänge x auf dem Einheitskreis, d.h. für x [0,π]. Alternativ
MehrDefinition von Sinus und Cosinus
Definition von Sinus und Cosinus Definition 3.16 Es sei P(x y) der Punkt auf dem Einheitskreis, für den der Winkel von der positiven reellen Halbachse aus (im Bogenmaß) gerade ϕ beträgt (Winkel math. positiv,
MehrAufgaben zu den Themen: Rechtwinkliges Dreieck und Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis
Aufgaben zu den Themen: Rechtwinkliges Dreieck und Sinus, Cosinus und Tangens im Einheitskreis 1. Eine Rampe hat eine Steigung von 5%. Wie groß ist der Steigungswinkel? 2. Gegeben ist ein rechtwinkliges
MehrA] 40 % + 25 % + 12,5 % B] 30 % + 50 % + 16,6 %
5 Prozentrechnen Übung 50 Der ganze Streifen entspricht 100 % = 1 000 = 1. Welche Prozent- und Promillesätze stellen die unterschiedlich getönten Flächen dar? Abb. 27 1. 2. 3. Übung 51 Der volle Winkel
MehrGeometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte
1 Geometrie und Zahlentheorie. Ganzzahlige geometrische Objekte Holger Stephan Weierstraß Institut für Angewandte Analysis und Stochastik (WIAS), Berlin 19. Tag der Mathematik 17. Mai 014, TU Berlin Pythagoräische
Mehr1. Unterteilung von allgemeinen Dreiecken in rechtwinklige
Trigonometrie am allgemeinen Dreieck Wir können auch die Seiten und Winkel von allgemeinen Dreiecken mit Hilfe der Trigonometrie berechnen. Die einfachste Variante besteht darin, ein beliebiges Dreieck
Mehr2.2. Skalarprodukt. Geschwindigkeitsvektoren ergeben sich bei allen Bewegungen. Sie zeigen jeweils in Richtung der Bahnkurve.
.. Skalarprodukt Kraftvektoren treten bei vielen physikalisch-technischen Problemen auf; sie greifen an einem Punkt in verschiedenen Richtungen an. Die bekannte Formel Arbeit = Kraft mal Weg muß man dann
MehrDie Quadratur des Kreises
Die Quadratur des Kreises Häufig hört man Leute sagen, vor allem wenn sie vor großen Schwierigkeiten stehen, so was wie hier wird die Quadratur des Kreises versucht. Was ist mit dieser Redewendung gemeint?
MehrEinführung in die Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 24 Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht man (1) die Quadratur des Kreises, (2) die Dreiteilung
Mehr1 Analytische Geometrie und Grundlagen
$Id: vektor.tex,v 1.21 2017/05/13 16:28:55 hk Exp $ 1 Analytische Geometrie und Grundlagen 1.5 Abstände und Winkel In der letzten Sitzung haben wir einen orientierten Winkelbegriff zwischen Strahlen mit
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 3. November Inhaltsverzeichnis
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. November 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
MehrDrei Kreise im Dreieck
Ein Problem von, 171-1807 9. Juli 006 Gegeben sei das Dreieck ABC. Zeichne drei Kreise k 1, k, k im nneren von ABC, von denen jeder zwei Dreieckseiten und mindestens einen der übrigen zwei Kreise berührt
Mehr2 Trigonometrische Formeln
$Id: trig.tex,v 1.8 015/05/04 10:16:36 hk Exp $ Trigonometrische Formeln.1 Die Additionstheoreme In der letzten Sitzung htten wir begonnen die Additionstheoreme der trigonometrischen Funktionen zu besprechen.
Mehr5 Sphärische Trigonometrie
$Id: sphaere.tex,v 1.5 2013/08/13 17:21:33 hk Exp $ 5 Sphärische Trigonometrie m Ende der letzten Sitzung hatten wir mit der Untersuchung sphärischer Dreiecke begonnen. Gegeben war eine Sphäre K, oder
MehrIm Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7
Im Bsp. vorher haben wir die Zahl 8 7 2 2 (1 + 2 2 ) 3 betrachtet. Die Zahl liegt in einer iterierten ( zweifachen ) quadratischen Erweiterung von Q, nämlich in Q( 2)( 3). Diese Erweiterung ist aber in
Mehr2.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie)
.8 Trigonometrische Funktionen (Thema aus dem Bereich Analysis/Geometrie) Inhaltsverzeichnis Repetition und Einleitung Verhältnisse beim Kreis mit Radius r 3 3 Die Graphen der Sinus- und der Cosinusfunktion
MehrDidaktik der Geometrie
Didaktik der Geometrie 7.1 Didaktik der Geometrie Didaktik der Geometrie 7.2 Inhalte Didaktik der Geometrie 1 Ziele und Inhalte 2 Begriffsbildung 3 Konstruieren 4 Argumentieren und Beweisen 5 Problemlösen
MehrInformationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner
Informationsblatt für den Einstieg ins 2. Mathematikjahr AHS Kursleiter: Manfred Gurtner Stoff für den Einstufungstest Mathematik in das 2. Jahr AHS 1) Gleichungen/ Gleichungssysteme/ Terme Lineare Gleichungen
MehrKonstruktionen am Dreieck
Winkelhalbierende Die Winkelhalbierende halbiert den jeweiligen Innenwinkel des Dreiecks. Sie agieren als Symmetrieachse. Dadurch ist jeder Punkt der Winkelhalbierenden gleich weit von den beiden Schenkeln
MehrAufgaben mit Lösungen zum Themengebiet: Geometrie bei rechtwinkligen Dreiecken
Übungsaufgaben zur Satzgruppe des Pythagoras: 1) Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? Verbessere, wenn notwendig! Die Katheten grenzen an den rechten Winkel.
MehrDr. Günter Rothmeier Kein Anspruch auf Vollständigkeit Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit
WS 8/9 5 7 Elementarmathematik (LH) und Fehlerfreiheit 5. Trigonometrie 5.. Trigonometrische Terme am Einheitskreis 5... Das olarkoordinatensstem Man kann die Lage eines unktes im -dimensionalen Raum folgendermaßen
MehrI. Reelle Zahlen GRUNDWISSEN MATHEMATIK - 9. KLASSE
I. Reelle Zahlen 1. Die Menge der rationalen Zahlen und die Menge der irrationalen Zahlen bilden zusammen die Menge der reellen Zahlen. Nenne Beispiele für rationale und irrationale Zahlen.. Aus negativen
MehrBeispiel: Bestimmung des Werts 3 2 ( 2 1, 4142) Es gilt 3 1,41 = 3 141/100 = , 707. Es gilt 3 1,42 = 3 142/100 = , 759.
(4) Exponential- und Logarithmusfunktionen Satz Für jedes b > 1 gibt es eine eindeutig bestimmte Funktion exp b : R R + mit folgenden Eigenschaften. exp b (r) = b r für alle r Q Die Funktion exp b ist
MehrRegiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9
Regiomontanus - Gymnasium Haßfurt - Grundwissen Mathematik Jahrgangsstufe 9 Wissen und Können. Zahlenmengen Aufgaen, Beispiele, Erläuterungen N Z Q R natürliche ganze rationale reelle Zahlen Zahlen Zahlen
Mehr3.1 Rationale Funktionen
3.1 Rationale Funktionen EineFunktionf : R R der Formx P(x) Q(x) mit Polynomen P(x), Q(x) heißt rationale Funktion. Der maximale Definitionsbereich von f = P(x) Q(x) Sei x 0 R mit Q(x 0 ) = 0. Ferner sei
MehrHTBLA VÖCKLABRUCK STET
HTBLA VÖCKLABRUCK STET Trigonometrie INHALTSVERZEICHNIS 1. WINKELFUNKTIONEN IM RECHTWINKELIGEN DREIECK... 3. BOGENMASS... 3 3. TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN BELIEBIGER WINKEL... 4 3.1. Einheitskreis (r =
MehrWinkel im rechtwinkeligen Dreieck
Theorie 1 1 Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Winkel im rechtwinkeligen Dreieck Für die Winkel im rechtwinkeligen Dreieck gilt: Gegenkathete sin Hypotenuse Gegenkathete tan Ankathete cos cot Ankathete
MehrRekonstruktion eines teilweise entschlüsselten babylonischen Keilschrifttextes aus der Zeit um 2000 v. Chr.
Rekonstruktion eines teilweise entschlüsselten babylonischen Keilschrifttextes aus der Zeit um 2000 v. Chr. 16 9 25 4 3 5 144 25 169 12 13 49 625 24 7 25 9 25 3 64 100 8 225 64 289 15 144 225 15 1296 225
Mehr9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen
9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen 9.5 Graphen der trigonometrischen Funktionen. Unter dem Bogenmass eines Winkels versteht man die Länge des Winkelbogens von auf dem Kreis mit Radius (Einheitskreis).
MehrTrigonometrie. bekannte Zusammenhänge. 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein. Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck:
Trigonometrie bekannte Zusammenhänge 4-Streckensatz: groß/klein = groß/klein Zusammenhänge im allgemeinen Dreieck: Summe zweier Seiten größer als dritte Seitenlänge: a + b > c Innenwinkelsumme: Summe der
Mehrmentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann
mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Geometrie: Winkelfunktionen, Trigonometrie, Additionstheoreme, Vektorrechnung von Rolf Baumann 1. Auflage mentor Lernhilfe: Mathematik 10. Klasse Baumann schnell
Mehr21 Winkelfunktionen
Winkelfunktionen. Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck Ein Dreieck, in dem ein Winkel genau 90 hat nennt man ein rechtwinkliges Dreieck. Für die Dreiecksseiten hat man hier verschiedene Bezeichnungen
Mehr1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel
1 Trigonometrie 2 1. Definition der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel In einem Kreis mit Mittelpunkt M(0,0) und Radius r ist der zunächst spitze Winkel α gezeichnet. α legt auf dem Kreis
MehrFit in Mathe. Juni Klassenstufe 10. Trigonometrie mit Sinus- und Kosinussatz
Thema Musterlösungen 1 Trigonometrie mit Sinus- und Kosinussatz Vorbemerkungen Für Winkelangaben wird hier, wenn nicht anders angegeben, das Bogenmaß verwendet. Es gilt 1 rad = 360 π 57, bezeichnet das
MehrLineare Funktion. Wolfgang Kippels 21. März 2011
Lineare Funktion Wolfgang Kippels. März 0 Inhaltsverzeichnis Grundlegende Zusammenhänge. Aufbau der Linearen Funktion......................... Nullstellenbestimmung............................. Schnittpunktbestimmung............................
MehrDynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.2/29
Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse Komplexe Zahlen Kapitel 3 Statistik und Mathematik WU Wien Michael Hauser Dynamische Systeme und Zeitreihenanalyse // Komplexe Zahlen 3 p.0/29 Motivation Für die
MehrInhaltsverzeichnis. Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis Inhaltsverzeichnis Einleitung 5 1 Zahlen 7 1.1 Zahlen und Zahlenmengen....................................... 7 1.2 Rechnen mit Zahlen und Termen....................................
Mehr9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen.
9. Geometrische Konstruktionen und Geometrische Zahlen. Die Dreiteilungsgleichnung. Das Problem der Dreiteilung des Winkels wurde von Descartes vollständig gelöst. Dies ist in der Geometrie von Descartes
Mehrπ und die Quadratur des Kreises
π und die Quadratur des Kreises Schnupper-Uni für SchülerInnen 8. Februar 2006 Dr. Michael Welter http://www.math.uni-bonn.de/people/welter 1 Konstruktionen mit Zirkel und Lineal Gegeben sei eine Menge
MehrEingangstest Mathematik
Eingangstest Mathematik DHBW Mannheim Fachbereich Technik e-mail: Adresse: Gesamtzeit: 20 Minuten Gesamtpunktzahl: 20 Beachten Sie bitte folgende Punkte:. Der folgende Test umfasst neun Aufgabenblöcke.
MehrLineare Funktionen. Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem. Funktionen
Das rechtwinklige (kartesische) Koordinatensystem Funktionen Funktion: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung. Jedem x D wird genau eine reelle Zahl zugeordnet. Schreibweise: Funktion: f: x f (x)
MehrKREISFUNKTIONEN. Allgemeines
KREISFUNKTIONEN Allgemeines Um die Graphen der Winkelfunktionen zeichnen und verstehen zu können, ist es wichtig, den Einheitskreis zu kennen. Zunächst stellt man sich einen Kreis mit dem Radius 1 vor.
Mehr1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: m (ausgesprochen: T von t und m)
Grundwissen Mathematik 7. Klasse 1. Algebra 1.1 Terme Man schreibt für einen Term T, der von den Variablen t und m abhängt: Ttm (, ) = ( t 5+ 6) 20+ m (ausgesprochen: T von t und m) Ein Term besteht aus
MehrMittels gleichseitigem Dreieck und gleichschenklig. rechtwinkligem Dreieck kann man die folgenden Werte berechnen. 1 =
Trriigonomettrriische Funkttiionen Bezeichnungen Das Wort Trigonometrie stammt aus dem Griechischen: τρι (tri) bedeutet drei und γονυ (gony) Winkel, insgesamt also Dreiwinkligkeit oder Dreiecksberechnung.
MehrFormelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt
Formelsammlung Mathematik Grundkurs Inhalt Inhalt...1 Trigonometrie Grundlagen... Vektoren...3 Skalarprodukt...4 Geraden...5 Abstandsberechnungen...6 Ebenen...7 Lineare Gleichungssysteme (LGS)...8 Gauß'sches
MehrTrigonometrie. Schülerzirkel Mathematik Schülerseminar
Schülerzirkel Mathematik Schülerseminar Trigonometrie Im Schülerseminar für Schülerinnen und Schüler der Klassenstufen 8 10 wurde die Trigonometrie innerhalb der Einheit über komplexe Zahlen behandelt,
MehrElemente der Mathematik - Sommer 2016
Elemente der Mathematik - Sommer 2016 Prof Dr Matthias Lesch, Regula Krapf Übungsblatt 7 Aufgabe 23 9 Punkte In der folgenden Aufgabe sei mit baryzentrischen Koordinaten immer die baryzentrischen Koordinaten
MehrVerlauf Material LEK Glossar Lösungen. Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus. Florian Borges, Traunstein VORANSICHT
Reihe 9 S Verlauf Material Schritt für Schritt erklärt Sinus und Kosinus Florian Borges, Traunstein y 5 6 R ϕ( t ) 7 0 Die Sinusfunktion entsteht durch Projektion eines rotierenden Zeigers auf die y-achse.
MehrMathematische Probleme, SS 2016 Freitag $Id: convex.tex,v /05/13 14:42:55 hk Exp $
$Id: convex.tex,v.28 206/05/3 4:42:55 hk Exp $ 3 Konvexgeometrie 3. Konvexe Polyeder In der letzten Sitzung haben wir begonnen uns mit konvexen Polyedern zu befassen, diese sind die Verallgemeinerung der
MehrÁ 3. Die trigonometrischen Funktionen
Á. Die trigonometrischen Funktionen Materialien zur Vorlesung Elementare Analysis, Wintersemester / 4 Diß ist der vorbeschryben schneck vnd seyn grund. Aus: Abrecht Dürer: Unterweisung der Messung mit
MehrGrundwissen Abitur Geometrie 15. Juli 2012
Grundwissen Abitur Geometrie 5. Juli 202. Erkläre die Begriffe (a) parallelgleiche Pfeile (b) Vektor (c) Repräsentant eines Vektors (d) Gegenvektor eines Vektors (e) Welcher geometrische Zusammenhang besteht
MehrAbstände und Zwischenwinkel
Abstände und Zwischenwinkel Die folgenden Grundaufgaben wurden von Oliver Riesen, KS Zug, erstellt und von Stefan Gubser, KS Zug, überarbeitet. Aufgabe 1: Bestimme den Abstand der beiden Punkte P( 3 /
MehrProf. U. Stephan Wi-Ing 1.2
Seite 1 von 5 Prof. U. Stephan Wi-Ing 1. inweis: Dateien Starmath.ttf und Starbats.ttf im Verzeichnis C:\WINDOWS\FONTS erforderlich Ich vermisse im Vorspann "Was man weiß, was man wissen sollte" die trigonometrischen
MehrLösungen der Übungsaufgaben III
Mathematik für die ersten Semester (. Auflage): Lösungen der Übungsaufgaben III C. Zerbe, E. Ossner, W. Mückenheim 6. Man konstruiere die Winkelhalbierende eines beliebigen Winkels analog zur Konstruktion
MehrKreis - Tangente. 2. Vorbemerkung: Satz des Thales Eine Möglichkeit zur Bestimmung der Tangente benutzt den Satz des Thales.
Kreis - Tangente 1. Allgemeines 2. Satz des Thales 3. Tangente an einem Punkt auf dem Kreis 4. Tangente über Analysis (an einem Punkt eines Ursprungkreises) 5. Tangente von einem Punkt (Pol) an den Kreis
MehrMathematik II für Studierende der Informatik. Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016
und Wirtschaftsinformatik (Analysis und lineare Algebra) im Sommersemester 2016 5. Juni 2016 Definition 5.21 Ist a R, a > 0 und a 1, so bezeichnet man die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x a x als
MehrErwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A Bremen. Die Kursübersicht für das Fach Mathematik
Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe 172 A 28195 Bremen Die Kursübersicht für das Fach Mathematik Erwachsenenschule Bremen Abteilung I: Sekundarstufe Doventorscontrescarpe
Mehr6. Analytische Geometrie : Geraden in der Ebene
M 6. Analtische Geometrie : Geraden in der Ebene 6.. Vektorielle Geradengleichung Eine Gerade ist durch einen Punkt A und einen Richtungsvektor r eindeutig bestimmt. Durch die Einführung eines Parameters
MehrLösungen IV ) β = 54,8 ; γ = 70,4 106) a) 65 b) 65 (115?) d) 57,5
(Stark 7 S. 6ff) Lösungen IV. a) gleichschenklig 0) a) () α = β = 6,7 () β = 7,8 ; γ = 4,4 () α = 4 ; γ = (4) α = β = (80 γ)/ b) 79,6 und 0,8 oder 0, und 0, c) α = β = 64 ; γ = d) gleichschenklig; zwei
MehrIII. BUCH PYRAMIDEN. 2. Der PYTHAGORAS
III. BUCH PYRAMIDEN 2. Der PYTHAGORAS Eulers Analogon zum rechtwinkligen Dreieck: Der dreidimensionale Satz des Pythagoras Nun hat ja ein Viereck i. a. weder einen Inkreis noch einen Umkreis, während jede
Mehr2 Geometrie und Vektoren
Geometrie und Vektoren Vorbemerkung: Begriffe wie die folgenden werden hier als bekannt vorausgesetzt: Punkt, Strecke, Strahl, Gerade, Ebene, Kreis, Winkel, rechter Winkel, etc..1 Grundlegende Sätze Satz
MehrBerufsmaturitätsprüfung 2006 Mathematik
GIBB Gewerblich-Industrielle Berufsschule Bern Berufsmaturitätsschule Berufsmaturitätsprüfung 2006 Mathematik Zeit: 180 Minuten Hilfsmittel: Hinweise: Formel- und Tabellensammlung ohne gelöste Beispiele,
MehrElemente der Algebra
Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 25 Auch Albrecht Dürer hatte Spaß an der Quadratur des Kreises Unter den drei klassischen Problemen der antiken Mathematik versteht
MehrGrundwissen 9. Klasse
Grundwissen 9. Klasse ) Rationale und irrationale Zahlen Quadratwurzel b ist diejenige nichtnegative Zahl, die quadriert b ergibt: b b ( 5 ) 5 Die Zahl b heißt Radikand; b 0 : es gibt keine Quadratwurzel
MehrMinimalziele Mathematik
Jahrgang 5 o Kopfrechnen, Kleines Einmaleins o Runden und Überschlagrechnen o Schriftliche Grundrechenarten in den Natürlichen Zahlen (ganzzahliger Divisor, ganzzahliger Faktor) o Umwandeln von Größen
MehrDer Höhenschnittpunkt im Dreieck
Der Höhenschnittpunkt im Dreieck 1. Beobachte die Lage des Höhenschnittpunktes H. Wo befindet sich H? a) bei einem spitzwinkligen Dreieck, b) bei einem rechtwinkligen Dreieck, c) bei einem stumpfwinkligen
Mehr