(von Punkt A nach Punkt B) gemessen und auch die entsprechenden Zenitwinkel z B

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1 Aufgabe a.1 Verwendet dieses elementare geometrische Verhältnis der Strecken, um die Höhe eines Turmes oder eines sonstigen hohen Gebäudes in eurer Nähe zu bestimmen. Dokumentiert euer Experiment. Wiederholt eure Messung für unterschiedliche Sonnenstände und vergleicht die Ergebnisse. Lösung: Strahlensatz: D A = C B D = A C B Aufgabe a.2 In der Geodäsie werden für derartige Aufgaben üblicherweise Tachymeter verwendet. Man spricht dann von einer trigonometrischen Höhenbestimmung, da man die Winkelbeziehungen im Dreieck ausnutzt. Mit einem Tachymeter lassen sich vertikale und horizontale Winkel sowie Strecken zwischen Punkten sehr schnell und genau bestimmen, daher auch der Name, der dem Griechischen entspringt (tachýs = schnell, métron = Maß). Im Folgenden soll ein/e Ingenieur/in die Höhe (HR) eines Windrades gegenüber einer für geodätische Anwendungen einheitlichen Bezugsfläche (Höhe über Normalnull HNN) bestimmen. Die Messanordnung ist in Abbildung 2 dargestellt. Von dem Standpunkt A wurden die Zenitwinkel z A R (vonpunkt A zum Rotor R) sowie z A B (von Punkt A nach Punkt B) gemessen und auch die entsprechenden Zenitwinkel z B A und z B R. Ebenfalls wurde die Schrägstrecke sab zwischen A und B sehr genau bestimmt. Die Instrumentenhöhen HA und HB wurden mit einem Zollstock bestimmt. Ebenfalls liegen genaue Höhen über NN für die Messpunkte A (H N A ) und B (H N B ) vor. Die Messelemente sind in Tabelle 1 noch einmal zusammengefasst. Hinweis: Geodäten geben Winkel oft in der Einheit [gon] an (von griechisch: gonia = Winkel). Ein Vollkreis hat danach 400 gon und 1 gon entspricht also 0.9.

2 Berechnung der Winkel α und β. α = z A B z A R = 20,9104gon 18,81936 β = z B R + z B A = 168,8756gon 151, Anwenden des Sinussatzes sin β π s AR = s AB sin (α + β) π = 154,21687m sin α π s BR = s AB sin (α + β) π = 105,92465m Pro Standpunkt lässt sich nun der Pythagoras erzeugen H AR = s AR cos z R A π = 51,9295m 200 H BR = s BR cos z R B π = 51,1705m 200 Als letztes die Höhen der Punkte zusammenführen H RA = H NA + H A + H AR = 103,1335m H RB = H NB + H B + H BR = 103,1575m

3 Aufgabe b.1 Vervollständigt die Abbildung 3 und bestimmt den historischen Erdradius R. Um wie viel Prozent weicht dieser Wert von dem aktuellen Wert R = 6378 km ab? Aufstellen der Bogenformel mit R = G γ π 180 γ = 7,2 = m 7,2 π = m = 7360,916km 180 Aufgabe b.2 Berechnet die Entfernung zum Horizont ( letzter sichtbarer Punkt ) für eine/n 1,78 m große/n Monteur/ in (Augenhöhe), die/der auf der Höhe des Rotorblattes auf einer Plattform steht. Geht davon aus, dass die/der Monteur/in horizontal, also geradeaus, schaut. Hinweis: Sofern ihr Schwierigkeiten bei der Lösung der vorherigen Aufgabe a.2 hattet, verwendet bitte den aktuellen Wert für den Erdradius R (R=6378 km) und/oder die Höhe der Plattform (H = 100m). Skizze: - Kreis = Erde - Monteur auf Rotorebene bis zum Erdmittelpunkt ist Seite C - des Monteurs Blickes Strahl trifft die Erde als Tangente (Seite A) - Tangentenpunkt um 90 zum Erdmittelpunkt ist Seite B Lösung durch Satz des Pythagoras - umformen auf gesuchte Größe: c 2 = a 2 + b 2 a = c 2 b 2 = (R + H R + h Monterur ) 2 R 2 Lösung 1 (historischer Erdradius und originale Turmhöhe) R = ,12m H R = 103,15m Weite = ( ,12m ,12m + 103,15m) 2 1,78m 2 = 39302,756m Lösung 2 (historischer Erdradius und alternative Turmhöhe) R = ,12m H R = 100,00m Weite = ( ,12m ,12m + 100,00m) 2 1,78m 2 = 38709,152m Lösung 3 (alternativer Erdradius und alternative Turmhöhe) R = ,00m H R = 100,00m Weite = ( ,00m ,00m + 100,00m) 2 1,78m 2 = 36032,153m Lösung 4 (alternativer Erdradius und originaler Turmhöhe) R = ,00m H R = 103,15m Weite = ( ,00m ,00m + 103,15m) 2 1,78m 2 = 36584,706m

4 Aufgabe c.1 Ähnlich verhält es sich im folgenden Beispiel der X-Y-Ebene (Abbildung 4). Von einem Standpunkt S werden die Winkel α n zu mehreren Punkten Pn gemessen. Außerdem ist die Lage der Punkte Pn bekannt. Bestimmt die Koordinaten des Punktes S. Zu Beginn den Richtungswinkel von 2 nach 3 berechnen: t 3 2 = arctan( y 3 y , ,00 ) = arctan = 57,9167gon + 200gon = 257,9167gon x 3 x , ,00 Da Zähler und Nenner negativ sind, werden 200gon hinzuaddiert, III Quadrant. s 23 = (y 3 y 2 ) 2 + (x 3 x 2 ) 2 = (2700, ,00) 2 + (2850, ,00) 2 = 1140,175m α = 200gon α 2 = 200gon 164,1382gon = 35,8618gon β = 200gon α 1 = 200gon 118,9117gon = 81,0883gon Q ist ein virtueller Hilfspunkt t 2 Q = t β = 257,9167gon + 81,0883gon = 339,0050gon s 2Q = s 23 sinα sin(α + β) = 1140,175m sin 35,8618gon sin(116,9501gon) = 631,082m x Q = x 2 + s 2Q cos t 2 Q = 3550,00m + 631,082m cos(339,0050gon) = 3912,916m y Q = y 2 + s 2Q sin t 2 Q = 3600,00m + 631,082m sin(339,0050gon) = 3083,709m Q hat die Koordinaten: X= 3912,916m und Y= 3083,709m Die Richtungswinkel von Q nach 1,2 und 3: t Q 1 = arctan y 1 y Q x 1 x Q = 193,6549gon t Q 2 = arctan y 2 y Q x 2 x Q = 139,0050gon t Q 3 = arctan y 3 y Q x 3 x Q = 222,0549gon

5 ε = t Q 1 t Q 2 = t Q 1 (t 2 Q 200) = 193,6549gon 139,0050gon = 54,6499gon δ = t Q 3 t Q 1 = 222,0549gon 193,6549gon = 28,4000gon Probe Winkelsumme = ε + δ + α + β = 200gon t 2 S = t 2 3 δ = 257,9167gon 28,4000gon = 229,5167gon t S 1 = t 1 Q = 193,6549gon + 200gon = 393,6549gon sinε s 2S = s 23 sin(ε + δ) = 1140,175m sin 54,6499gon sin(54,6499gon + 28,4000gon) = 894,427m X S = x 2 + s 2S cos(t 2 S ) = 3550,00m + 894,427m cos229,5167gon = 2750,00m Y S = y 2 + s 2S sin(t 2 S ) = 3600,00m + 894,427m sin229,5167gon = 3200,00m Die Koordinaten des Punktes S sind: X = 2750,00m und Y = 3200,00m

6 Aufgabe c.2 Sind von einem Standpunkt die räumlichen Distanzen zu drei Punkten bekannter Position bekannt, kann daraus die Lage des eigenen Standpunktes bestimmt werden. Berechnet die Koordinaten des eigenen Standpunktes O. s AB = x 2 + y 2 + z 2 = 11606,583m s AC = x 2 + y 2 + z 2 = 20883,748m s BC = x 2 + y 2 + z 2 = 22652,593m AO 2 = AB 2 + BO 2 2 AB BO cos α α = cos 1 AB2 + BO 2 AO 2 = 88,650 2 AB BO Höhe des Dreiecks ABO auf Basis AB h S = sinα BO = sin 88, ,454m = 11559,242m Dreieck CAB (β) nach Kosinussatz: β = cos 1 AB2 + BC 2 AC 2 = 66,257 2 AB BC AB 1 = cosα BO = 272,409m AB 2 = cosβ BC = 94542,417m Höhe des Dreiecks ABC auf Basis AB h G = sinβ BC = sin 66, ,593m = 20735,293m a = AB AB 1 h AB AB G = 94542,417m 2 d = AB AB 1 AC = 95219,379m AB AB 2 x Für d = y gilt: z x x 17725,786 d = y = AC y d = 90479,748 AC z z 23789, ,674 P 3 = A + d = ,546 m ,591 Im Dreieck P 3 AO (δ) δ = cos 1 AO2 + AC 2 CO 2 = 37,601 2 AC AO b = AO 2 2 AO d cosδ = 83983,230m

7 γ = cos 1 b 2 h 2 s a 2 = 0,167 2 h s a h 0 = sinγ h s = sin 0, ,244m = 33,692m Im Dreieck P G OP 1 lässt sich die Seite a 1 berechnen: a 1 = cosγ h s = 11559,193m x P 1 = A + AB y AB AB 8384, ,332 1 = A + AP AB ,410 = ,208 m z 6043, , , ,372 a = P 3 P 1 = 85828,388 m a 1 = a a 1 = 10493,776 m a 29833, ,534 Mit P 1 und a 1 kann man die Koordinaten von P G berechnen: x ,964 P G = P 1 + a 1 y = ,984 m z ,168 Mit a kann man 2 Steigungen berechnen: xy-richtung m ay = y P3 y P1 = 3,287 x P3 x P1 h G steht senkrecht auf a und ABC: m hg y m ay = 1 m hg y = 1 m ay = 0,304 xz-richtung m az = z P3 z P1 y P3 y P1 = 1,143 m hg z m az = 1 m hg z = 1 m az = 0,875 Bedingungsgleichungen: 1) y = m hg y x 2) z = m hg z x 3) h 2 O = x m hg y x m hg z x 2 = x m hg y + m hg z x 2 = h 2 O 1+m 2 hg y+m 2 hg z = 24,716m Einsetzen in die Gleichungen 1) und 2) y = m hg y x = 7,519 z = m hg z x = 21,631 x ,021 O y = P G + h G = ,074 m z ,721 Proben: AO = (x O x A ) 2 + (y O y A ) 2 + (z O z A ) 2 = 16188,809m BO = (x O x B ) 2 + (y O y B ) 2 + (z O z B ) 2 = 1562,454m CO = (x O x C ) 2 + (y O y C ) 2 + (z O z C ) 2 = 12747,290m