Kompaktskript zur Vorlesung Statistische Verfahren der Risikoanalyse

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1 Kompaktskript zur Vorlesung Statistische Verfahren der Risikoanalyse Friedrich-Schiller-Universität Jena Wirtschaftswissenschaftliche Fakultät Lehrstuhl für Wirtschafts- und Sozialstatistik Prof. Dr. P. Kischka Wintersemester 2011/12

2 Inhaltsverzeichnis 1 Value at Risk Einführung VaR für normalverteilte Zufallsvariablen VaR im Standardmodell der Aktienkursentwicklung Grundlagen Verteilung der Renditen im Standardmodell VaR für Marktwertänderungen einer Aktie VaR für Portfolios Schätzverfahren für den VaR Schätzung der Parameter im Standardmodell Approximation des VaR für Portfolios Axiomensystem von Artzner/Delbaen/Eber/Heath 4 3 Conditional Value at Risk (CVaR) Definition Alternative Darstellung des CVaR Allgemeine Definition des CVaR Eigenschaften des CVaR CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen CVaR als Entscheidungskriterium CVaR-Entscheider CVaR-Hybrid-Entscheider (Hanisch 2004) Jammernegg/Kischka (2005) Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausfallkorrelationen von Krediten Einführung Grundmodell des IRB-Ansatzes Ausfallquote Schätzung von p und ρ mittels ML-Methode Direkte Schätzung von p und q IRB-Ansatz zur Bestimmung von ρ Backtesting von p Eigenkapitalunterlegung im IRB-Ansatz

3 1 Value at Risk 1.1 Einführung Sei F die Verteilungsfunktion einer Zufallsvariablen X. Die Funktion heißt obere verallgemeinerte Inverse von F. F : ]0, 1[ R α sup{x R F (x) α} (1) Value at Risk (VaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ heißt: V ar p (X) := max(0, F (1 p)). (2) Existiert die inverse Verteilungsfunktion F 1 an der Stelle (1 p), dann gilt: F (1 p) = F 1 (1 p) = x 1 p. Im Folgenden wird von F (1 p) 0 ausgegangen. 1.2 VaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt für den VaR zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ : V ar p (X) = σφ 1 (p) µ. (3) 1.3 VaR im Standardmodell der Aktienkursentwicklung Grundlagen Sei S t (t 0) der Aktienkurs zum Zeitpunkt t und > 0 die Haltedauer oder der Prognosehorizont. ( ) Rt := ln St S t heißt stetige Rendite oder log-rendite zwischen t und t. D t S t := St S t S t heißt diskrete Rendite zwischen t und t. genügt im Standardmodell einem geometrischen Wiener Prozess (geometrische Brown sche Bewegung) lns t = µ t + σ W t mit W t Standard Wiener Prozess ds t = S t (µ + σ2 2 )dt + S t σ dw t Verteilung der Renditen im Standardmodell Es gelten folgende Verteilungen der stetigen und diskreten Renditen: Für t < t s < s gelten: R t N(µ, σ 2 ) D t + 1 LN(µ, σ 2 ). R t und R s sind unabhängig D t und D s sind unabhängig. 1

4 1.3.3 VaR für Marktwertänderungen einer Aktie Es gilt S t+ S t = S t (e R t 1). Sei G t, := s t (e R t 1) (4) die Marktwertänderung ausgehend vom gegenwärtigen Kurs (bzw. Marktwert) s t. Der VaR von G t, zum Konfidenzniveau p ist definiert durch: ( ) V ar p (G t, ) := s t 1 e µ zpσ. (5) Es gilt: µ 0 V ar p (G t, ) ist eine monoton wachsende Funktion von. µ > 0 V ar p (G t, ) ist eine konkave, nicht monoton wachsende Funktion von. 1.4 VaR für Portfolios Seien S jt der Kurs der Aktie j zum Zeitpunkt t (t 0, 1 j J) und W t = J c j S jt der Wert des Portfolios (c 1,..., c J ). j=1 Da (S 1t,..., S Jt ) einer mehrdimensionalen geometrischen Brown schen Bewegung genügt, folgt mit (R 1t,..., R Jt) N( (µ 1,..., µ J ), A) R jt = ln( S jt S j,t ) µ = (µ 1,..., µ J ) Erwartungswertvektor von (R 1 1t,..., R1 Jt ) A Varianz-Kovarianz-Matrix von (R 1 1t,..., R1 Jt ). Dann ist die Marktwertänderung des Portfolios (c 1,..., c J ) ausgehend von den Kursen (s 1t,..., s Jt ) G t, = J c j s jt (e R jt 1). (6) j=1 Eine geschlossene (analytische) Lösung für den VaR von G t, ist nicht möglich. 1.5 Schätzverfahren für den VaR Schätzung der Parameter im Standardmodell Sind r t Realisationen unabhängiger Zufallsvariablen, dann ist der Wert eines effizienten Schätzers von µ durch r := 1 n n r t, (7) t=1 der Wert eines effizienten Schätzers von σ 2 durch ŝ 2 := 1 n (r t r) 2 (8) n 1 t=1 2

5 und der Wert eines effizienten Schätzers von a kl = cov(r kt, R lt ) durch â kl := 1 n (r kt r k )(r lt r l ) (9) n 1 gegeben. EWMA-Methode (Exponentially Weighted Moving Average) Die Exponentially-Weighted-Moving-Average-Methode liefert für λ ]0; 1[ als Wert eines Schätzers von µ als Wert eines Schätzers von σ 2 t=1 n 1 r := (1 λ) λ t r n t, (10) t=0 n 1 s 2 := (1 λ) λ t (r n t r) 2 (11) t=0 und als Wert eines Schätzers von a kl = cov(r kt, R lt ) n 1 ã kl := (1 λ) λ t (r n t,k r k )(r n t,l r l ). (12) t= Approximation des VaR für Portfolios VaR bei linearer Approximation Für x nahe bei Null gilt: e x 1 + x. Der VaR von G t, zum Konfidenzniveau p ist V ar p (G t, ) = z p w t Awt T w t µ T (13) mit w t = (c 1 s 1t,..., c J s Jt ). Falls das Ergebnis von (13) negativ ist, wird V ar p (G t, ) = 0 gesetzt. VaR bei linearer Approximation und unter Annahme µ = (µ 1,..., µ J ) = (0,..., 0) (Kovarianzmethode) Es gilt: V ar p (G t, ) = z p w t Awt T und (14) V ar p (G t, ) = V ar p (G t,1 ). (15) Sei V ar j der VaR der Marktwertänderung der j-ten Anlage im Portfolio zum Konfidenzniveau p bei Haltedauer, so gilt: V ar j = z p w jt σ j. (16) Sei P die zu A gehörende Korrelationsmatrix. Dann gilt für den VaR der Marktwertänderung des Portfolios: V ar p (G t, ) = (V ar 1,..., V ar J )P (V ar 1,..., V ar J ) T. (17) 3

6 2 Axiomensystem von Artzner/Delbaen/Eber/Heath Ein reellwertiges Risikomaß R(X) heißt kohärentes Risikomaß, falls für alle (betrachteten) Zufallsvariablen X, Y folgende vier Axiome erfüllt sind: A Translationsinvarianz R(X + c) = R(X) c, für alle c R B Positive Homogenität R(cX) = cr(x), für alle c 0 C Monotonie X Y R(Y ) R(X) D Subadditivität R(X + Y ) R(X) + R(Y ). 3 Conditional Value at Risk (CVaR) 3.1 Definition Sei X eine Zufallsvariable mit Dichte f und invertierbarer Verteilungsfunktion F und sei x 1 p = F 1 (1 p) 0, dann ist der Conditional Value at Risk (CVaR) zum Konfidenzniveau p ]0, 1[ definiert durch: CV ar p (X) =E( X X x 1 p ) (18) =E( X X V ar p (X)) (19) x = 1 1 p x xf(x)dx = 1 1 p xdf (x). 1 p 1 p (20) Interpretation Der CVaR entspricht dem Erwartungswert der Fehlbeträge des Portfolios in den schlechtesten (1 p) 100 % aller Fälle. 3.2 Alternative Darstellung des CVaR Mit CV ar p (X) = 1 1 p ist eine alternative Darstellung des CVaR gegeben. 3.3 Allgemeine Definition des CVaR 1 p 0 F 1 (t)dt (21) Sei F (t) die obere verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion von X und F (t) die untere verallgemeinerte inverse Verteilungsfunktion von X: Es gilt: F (t) = sup{x R F (x) t} F (t) = inf{x R F (x) t}. CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 F (t)dt (22) 4

7 CV ar p (X) = 1 1 p 1 p 0 = E(X X F (1 p)) 3.4 Eigenschaften des CVaR F (t)dt (23) ( ) 1 1 p [F (F (1 p)) (1 p)] F (1 p) CV ar p erfüllt die Kohärenzeigenschaften nach Arztner et al. Es gilt folgende Beziehung zum VaR: CV ar p (X) V ar p (X) CV ar p (X) = V ar p (X) + E( X V ar p (X) X V ar p (X)). Für die Monotonie bezüglich p gilt: Aus p p folgt: CV ar p (X) CV ar p (X). 3.5 CVaR für normalverteilte Zufallsvariablen Sei X N(µ, σ 2 ), dann gilt CV ar p (X) = µ + σ ϕ(z 1 p) 1 p (24) mit z 1 p : (1 p)-quantil der Standardnormalverteilung ϕ : Dichte der Standardnormalverteilung. 3.6 CVaR als Entscheidungskriterium Gegeben sind die Zufallsvariablen X und Y sowie das Konfidenzniveau p CVaR-Entscheider Es gilt: X Y CV ar p (X) CV ar p (Y ). (25) CVaR-Hybrid-Entscheider (Hanisch 2004) Für λ [0, 1] gilt: X Y (1 λ)e(x) λ CV ar p (X) (1 λ)e(y ) λ CV ar p (Y ). (26) Jammernegg/Kischka (2005) Für λ [0, 1] gilt: X Y (27) (1 λ)e(x X > x 1 p ) λ CV ar p (X) (1 λ)e(y Y > y 1 p ) λ CV ar p (Y ). 5

8 4 Ausfallwahrscheinlichkeit und Ausfallkorrelationen von Krediten 4.1 Einführung Seien k i (1 i n) Kreditvolumen und D i die zugehörigen Ausfallindikatoren mit D i = Der Schaden im Kreditportfolio beträgt { 1 mit Wahrscheinlichkeit p i 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 p i S = n k i D i. (28) Der Erwartetete Schaden ist E(S) = n k i p i (29) und die Varianz des Schadens beträgt V ar(s) = n k 2 i p i (1 p i ) + i,j i j k i k j cov(d i, D j ). (30) Dabei gelten cov(d i, D j ) = E(D i D j ) E(D i )E(D j ) = p ij p i p j (31) und corr(d i, D j ) = p ij p i p j pi (1 p i )p j (1 p j ). (32) 4.2 Grundmodell des IRB-Ansatzes Grundidee Ein Kredit fällt aus, wenn der Firmenwert des Unternehmens unter eine Schranke a fällt. Seien p = P (D i = 1) Ausfallwahrscheinlichkeit (identisch für 1 i n) S t = s t 1 e R1 t Firmenwert im Zeitpunkt t, geometrische Brownsche Bewegung ( Rt 1 = ln St N(µ, σ 2 ) B i Bonitätsvariablen, N(0, 1) (B 1,..., B n ) gemeinsam normalverteilt. Dann gilt: S t 1 ) Kredit fällt aus (s t 1 e R1 t a) (B Φ 1 (p)). 6

9 Ansatz Sei Z, U i N(0, 1) unabhängige Zufallsvariablen, und dann gilt für i j: B i = ρ Z + 1 ρ U i (1 i n) corr(b i, B j ) = ρ mit 0 ρ < 1, für alle i, j (i j), P (D i = 1, D j = 1) =: q corr(d i, D j ) = q p2 p p 2 q = q(ρ, p) = Φ 2ρ (Φ 1 (p), Φ 1 (p)), wobei Φ 2ρ für die Verteilungsfunktion einer 2-dimensionalen Standardnormalverteilung mit Korrelation ρ steht. 4.3 Ausfallquote Seien dann gilt: H := n 1 n H D i die Anzahl der Ausfälle (während einer Periode) und die Ausfallquote, ( ) 1 E n H ( ) 1 V ar n H = p (33) = p (1 p) n + ( q p 2) n 1 n. (34) Für n gilt ( ) 1 V ar n H q p 2 0 mit q = p 2 ρ = 0. (35) Verteilung der Ausfallquote Sei P (D 1 = x 1,... D n = x n ) = + p h z (1 p z ) n h ϕ(z)dz. (36) Aus der Austauschbarkeit (vgl. Anhang) der D i folgt: + ( ) n P (H = h) = p h z (1 p z ) n h ϕ(z)dz (37) h 7

10 mit h = n ( Φ 1 (p) ) ρz x i und p z = Φ. (38) 1 ρ Für ρ = 0 gilt: P (H = h) = ( ) n p h (1 p) n h (h = 0,..., n). (39) h Daraus folgt für die Ausfallquote: ( ) 1 P n H = x = P (H = nx) (x = 0, 1n,..., 1 ). (40) 4.4 Schätzung von p und ρ mittels ML-Methode Der Ansatz liefert ˆp ML = h n, ˆρ ML = 0 max p,ρ Direkte Schätzung von p und q Die Schätzung von p erfolgt durch ( ) n p h z (1 p z ) n h ϕ(z)dz (41) h p = 1 n n D i, (42) die Schätzung von q erfolgt durch q = 1 n(n 1) D i D j. (43) i j Dies führt zu einer Schätzung von cov(d i, D j ) durch 4.6 IRB-Ansatz zur Bestimmung von ρ Zu p wird ρ definiert als cov(d i, D j ) = q p 2 0. (44) ρ = 0, 12 1 e 50p + 0, 24 1 e 50 (1 1 e 50p 1 e 50 ). (45) 8

11 4.7 Backtesting von p Sei ρ vorgegeben. p wird überprüft mittels und Dann ist mit 1 n n D i = 1 n H (46) H 0 : p = 0, 01, H 1 : p = 0, 05. a := 99, 9% Quantil von 1 H bei p = 0, 01 n b := 0, 5% Quantil von 1 H bei p = 0, 05 n folgendes gegeben: falls: b a b < a grüne Zone: [0, a] [0, b] rote Zone: ]a, 1] ]a, 1] gelbe Zone: [b, a] Die Ablehnung von H 0 erfolgt mit Fehlerwahrscheinlichkeit 1. Art von 0, 1%, falls die Ausfallquote in der roten Zone liegt. Die Nichtablehnung von H 0 erfolgt mit Fehlerwahrscheinlichkeit 2. Art von 0, 5%, falls die Ausfallquote in der grünen Zone liegt. 4.8 Eigenkapitalunterlegung im IRB-Ansatz l f loss given default (Anteil des nicht gesicherten Kredits) exposure at default (Forderungshöhe bei Ausfall) Die Eigenkapitalunterlegung beträgt ( Φ 1 (p) + ρ Φ 1 ) (0, 999) f l Φ. (47) 1 ρ O.B.d.A. gelte f = l = 1. Für die Bonitätsvariable B i = ρ Z + 1 ρ U i (48) gilt: ( Φ P (B i Φ 1 (p) Z = Φ 1 1 (p) ρ Φ 1 ) (0, 001) (0, 001)) =Φ 1 ρ ( Φ 1 (p) + ρ Φ 1 ) (0, 999) =Φ = a. (49) 1 ρ Der Wert a ist die Ausfallwahrscheinlichkeit, falls Z = Φ 1 (0, 001) 3, 09; höhere Ausfallwahrscheinlichkeiten treten nur mit Wahrscheinlichkeit 0, 001 auf. 9

12 Einschübe A: Lognormalverteilung X heißt lognormalverteilt mit den Parametern µ, σ 2 - i. Z. X LN(µ, σ 2 ) -, falls für die Dichte f von X gilt: 1 f(x) = 1 (lnx µ) 2 2πσ 2 x e 2σ 2 falls x > 0 (50) 0 falls x 0. Für X LN(µ, σ 2 ) gilt: σ2 µ+ E(X) = e 2, V ar(x) = e 2µ+σ 2 (e σ2 1). (51) Satz Sei X LN(µ, σ 2 ). Dann ist Y := lnx normalverteilt mit den Parametern µ und σ 2 (Y N(µ, σ 2 )). B: Additive Irrfahrten B1: Additiver Binomialprozess Seien u, d > 0 und Z i unabhängige Zufallsvariablen mit { u mit Wahrscheinlichkeit p Z i = d mit Wahrscheinlichkeit 1 p. Dann heißt M t := t B2: Unabhängige Zuwächse Es gilt für q > t v > r > 0: Z i additiver Binomialprozess. M q M t ist unabhängig von M v (insbesondere von M t ) M q M t ist unabhängig von M v M r. B3: Wiener Prozesse (Brown sche Bewegung) Übergang zu stetigen Prozessen Seien Z i unabhängige Zufallsvariablen mit { a mit Wahrscheinlichkeit 1 Z i = 2 a mit Wahrscheinlichkeit 1 2 und a = s mit s > 0 sowie M s t := n(t,s) Z i, t 0 (52) 10

13 mit a Sprunghöhe, s Sprungabstand und n(t, s) Anzahl der Sprünge bis einschließlich t. Standard Wiener Prozess Der Standard Wiener Prozess bzw. die Standard Brown sche Bewegung ist definiert durch den folgenden Grenzübergang: Es gilt für q > t v > r > 0: W t N(0, t) W q W t N(0, q t) {Mt s t 0} {W t t 0}. (53) s 0 a= s W q W t ist unabhängig von W v (insbesondere von W t ) W q W t ist unabhängig von W v W r cov(w q, W t ) = t. B4: Allgemeiner Wiener Prozess Für den allgemeinen Wiener Prozess gilt: Mit X t N(µt, σ 2 t) cov(x q, X t ) = min(q, t)σ 2. X t = µt + σw t (54) X t+ X t = µ + σz (55) ist der Zuwachs für den allgemeinen Wiener Prozess gegeben ( > 0). Dabei gilt: Z N(0, ) X t+ X t N(µ, σ 2 ). C: Geometrischer Wiener Prozess Sei X t = µt + σw t, dann heißt Y t := e Xt Y t LN(µt, σ 2 t) ln ( Yt+ Y t ) N(µ, σ 2 ) mit > 0. geometrischer Wiener Prozess. Es gilt: 11

14 D: Gestutzte Verteilungen Sei X eine diskrete Zufallsvariable und a R mit P (X a) > 0. Die nach oben im Punkt a gestutzte Zufallsvariable (X X a) besitzt die Verteilung P (X = x X a) = { P (X=x) P (X a) falls x a 0 falls x > a (56) Sei X eine stetige Zufallsvariable mit Dichte f, a R mit Punkt a gestutzte Zufallsvariable (X X a) besitzt die Dichte f(x) a x a f(y)dy f(x X a) = falls 0 x > a Für den Erwartungswert der gestutzten Verteilung gilt - im diskreten Fall - im stetigen Fall E(X X a) = x a xp (X = x) X a) = a 1 P (X a) f(x)dx > 0. Die nach oben im xp (X = x) x a (57) E(X X a) = a xf(x X a)dx = 1 P (X a) a xf(x)dx. Im Spezialfall einer normalverteilten Zufallsvariablen X N(µ, σ 2 ) gilt ( ) a µ E(X X a) = µ + σ λ σ (58) mit λ(z) = ϕ(z) Φ(z), ϕ(z) = 1 2π e 1 2 (z)2. (59) E: Austauschbare Zufallsvariablen X 1,..., X n heißen austauschbar, wenn für jede Permutation X i1,..., X in gilt: P (X 1 a, X 2 b,..., X n z) = P (X i1 a, X i2, b,..., X in z) für alle a, b,..., z. (60) (Für n = 2 gilt: X 1, X 2 heißen austauschbar, falls Folgerungen P (X 1 a, X 2 b) = P (X 2 a, X 1 b) für alle a, b) Sind X 1,..., X n i.i.d., so sind X 1,..., X n austauschbar. 12

15 Sind X 1,..., X n austauschbar, so sind X 1,..., X n identisch verteilt. Satz (de Finetti, 1937 bzw. 1970) Seien X i B(1, p) (1 i n). X 1,..., X n sind genau dann austauschbar, wenn eine Verteilungsfunktion F mit F (0) = 0, F (1) = 1 existiert, so dass gilt: 1 P (X 1 = x 1,..., X n = x n ) = θ Σx i (1 θ) n Σx i df (θ) (61) 0 13