Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze

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1 Symmetrie von Naturgesetzen - Galilei-Transformationen und die Invarianz der Newton schen Gesetze Symmetrie (Physik) (aus Wikipedia, der freien Enzyklopädie) Symmetrie ist ein grundlegendes Konzept der modernen Physik: Mathematisch beschrieben wird eine Symmetrie durch eine Symmetrie-Transformation (z. B. kontinuierliche Koordinatentransformationen wie Verschiebung (Translation) oder Rotation, aber auch diskrete Transformationen wie z. B. Spiegelung). Hierbei muss zwischen Symmetrien der grundlegenden Theorien und Symmetrien konkreter Systeme (z. B. Moleküle, Festkörper) unterschieden werden. Eine Symmetrie der grundliegenden Theorie liegt dann vor, wenn sich die physikalischen Gesetze, die das Verhalten eines Systems beschreiben, bei Anwendung der Symmetrietransformation nicht verändern (also etwa die Physik in einem gespiegelten Universum dieselbe wäre wie in unserem); man spricht auch von der Invarianz des Systems unter der entsprechenden Symmetrieoperation. Ein konkretes physikalisches System muss dabei diese grundlegenden Symmetrien nicht zwingend aufweisen.

2 Wir wollen in dieser Vorlesung der Frage nachgehen, ob die Newton schen Gesetze tatsächlich in allen Koordinatensystemen gleich aussehen. In der Experimentalphysik-Vorlesung haben Sie die Newton schen Gesetze kennengelernt: Die Newton schen Gesetze Jeder Körper beharrt in seinem Zustand der Ruhe oder gleichförmigen geradlinigen Bewegung, wenn er nicht durch einwirkende Kräfte gezwungen wird, seinen Zustand zu ändern. in Formeln: v = const, wenn F = 0. Die Änderung der Bewegung ist der Einwirkung der bewegenden Kraft proportional und erfolgt in der Richtung derjenigen Linie, in welcher jene Kraft wirkt. in Formeln: m a = F. Die Wirkung ist stets der Gegenwirkung gleich, oder die Wirkungen zweier Körper aufeinander sind stets gleich und von entgegengesetzter Richtung. in Formeln: F ij = F ji Kräfte addieren sich wie Vektoren. in Formeln: F = i F i

3 In obiger Beschreibung von Symmetrie wurden als (kontinuierliche) Symmetrietransformationen die Translation und die Rotation genannt. Wir wenden uns zunächst der Translation zu. Translation Betrachte einen mechanischen Vorgang, den wir in zwei gegeneinander verschobenen Koordinatensystemen (Translation) betrachten: r r = r K K Die Koordinaten gehen durch die Koordinatentransformation r = r K mit dem konstanten Verschiebungsvektor K ineinander über.

4 Für die Geschwindigkeiten gilt dann: v = d dt ( r K) = v, in beiden Koordinatensystemen hat das Teilchen dieselbe Geschwindigkeit. Für kräftefreie Teilchen gilt dann das erste Newton sche Gesetz in gleicher Weise: v = v 0 = v. Wenn Kräfte auftreten, so sind sie in beiden Koordinatensystemen gleich: F = F. Da die Geschwindigkeit des Teilchens in beiden Koordinatensystemen gleich ist, sind auch die Beschleunigungen gleich: a = d dt v = d v = a. dt Gilt also in dem einen Koordinatensystem das zweite Newton sche Gesetz, m a = F, so gilt in dem verschobenen Koordinatensystem ebenfalls m a = F = F ). Das erste und das zweite Newton sche Gesetz sind als invariant unter Translationen. Das dritte (und vierte) Newton sche Gesetz gelten automatisch, da Kräfte, die in einem Koordinatensystem gleich sind auch in einem verschobenen Koordinatensystem gleich sind. Rotation Wir betrachten der Einfachheit halber zwei Koordinatensysteme, die in der z-achse übereinstimmen und bei denen die x- und y-achsen gegeneinander gedreht sind.

5 y 3 2 α 1: x cos( α ) 2: y sin( α ) 3: x sin( α ) 4: y cos( α ) y 4 α 1 α α x x Bei Drehungen um die z-achse gelten die Transformationsformeln für die Koordinaten: x = x cos(α) + y sin(α) y = y cos(α) x sin(α). (1) z = z Diese Gleichung kann man auch in Vektorschreibweise formulieren: r = cos(α) sin(α) 0 sin(α) cos(α) r = D r. Hierbei bezeichnet D die Drehmatrix für Drehungen um die z-achse. Betrachten wir nun die Kraft, die auf ein Teilchen wirkt. Bezüglich der neuen Koordinatenachsen hat auch die Kraft eine veränderte Koordinatendarstellung: F x = F x cos(α) + F y sin(α) F y = F y cos(α) F x sin(α) F z = F z (2) oder F = D F.

6 Nebenbemerkung: Den Tatbestand, dass sich bestimmte Größen in der Mathematik/Physik unter Drehungen genauso transformieren wie Verschiebungsvektoren, benutzt man auch, um eine alternative Definition von Vektoren einzuführen. Man bezeichnet als Vektoren diejenigen Größen, deren Koordinaten sich unter Drehungen genauso transformieren wie die Koordinaten von Verschiebungsvektoren. Als Skalare bezeichnet man Größen, die unter Drehungen invariant (=unverändert) bleiben. Gilt nun in dem ursprünglichen (ungestrichenen) Koordinatensystem das zweite Newton sche Gesetz, m a = F, so berechnen wir die Kraft im gedrehten (gestrichenen) Koordinatensystem zu F x = ma x cos(α) + ma y sin(α) = mẍ cos(α) + mÿ sin(α) F y = ma y cos(α) ma x sin(α) = mÿ cos(α) mẍ sin(α) F z = ma z = m z. (3) Durch weitere Umformungen erhalten wir F x F y = m d2 (x cos(α) + y sin(α)) = mẍ dt 2 = m d2 (y cos(α) x sin(α)) = mÿ dt 2 F z = = m z. (4) Das zweite Newton sche Gesetz lautet also in den neuen Koordinaten m a = F, d.h. es ist invariant unter Drehungen. Galilei-Transformationen Bisher haben wir Koordinatentransformationen betrachtet, die sich zeitlich nicht verändern. Wir betrachten nun zwei Koordinatensysteme, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen. Zwischen den beiden Koordinatensystemen gilt dann die Koordinatentransformation r = r + K + v 0 t.

7 Für die Geschwindingkeiten, die in den beiden Systemen gemessen werden, gilt dann v = d ( r + K dt ) + v K t = v + v 0. Wir finden hier das Superpositionsgesetz (= Gesetz von der Überlagerung) der Bewegungen wieder. Bewegt sich ein kräftefreier Körper in dem ungestrichenen Koordinatensystem mit der konstanten Geschwindigkeit v 0, so ist seine Geschwindigkeit auch in dem bewegten Koordinatensystem konstant, v = v 0 v K. Das erste Newton sche Gesetz gilt also in beiden Systemen. Das Verharren in Ruhe stellt also nur eine spezielle Form der geradlinig gleichförmigen Bewegung dar. Für die Beschleunigungen gilt in beiden Koordinatensystemen die Beziehung r = d 2 ( dt 2 r + K ) + v K t = r. Da Galilei-Transformationen keine Drehungen beinhalten, haben die Kräfte in beiden Koordinatensystemen dieselbe Darstellung, d.h. F = F. Damit gilt F = m a = m a = F, d.h. auch das zweite Newton sche Gesetz gilt in beiden Koordinatensystemen in gleicher Weise. Die Newton schen Bewegungsgleichungen sind also invariant unter Galilei-Transformationen. Koordinatensysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen kann man durch keine Messung voneinander unterscheiden, da in beiden die gleichen physikalischen Gesetze gelten. Derartige Koordinatensysteme bezeichnet man als Inertialsysteme. Beschleunigte Bezugssysteme Betrachte zwei Koordinatensysteme, die zum Zeitpunkt t = 0

8 zusammenfallen und mit konstanter Beschleunigung relativ zueinander bewegt sind. Zwischen ihnen gilt dann die Koordinatentransformation r = r a K t 2. Für die zugehörigen Beschleunigungen gilt dann Dann folgt aus r = r + b. F = m a = m r + m b. Im beschleunigten Bezugssystem gilt dann m r = F m b = F m b, d.h. in diesem Bezugssystem erfährt das Teilchen neben den auf es einwirkenden Kräften eine zusätzliche Beschleunigung, die man auf sog. Scheinkräfte zurückführt. Die im obigen Beispiel auftretende Scheinkraft bezeichnet man auch als Trägheitskraft. Rotierende Bezugssysteme Wir betrachten nun ein Bezugssystem, welches sich gegenüber einem Inertialsystem mit konstanter Winkelgeschwindigkeit um die z-achse dreht. Die Koordinatentransformation lautet dann r = cos(ωt) sin(ωt) 0 sin(ωt) cos(ωt) r = D(ωt) r. Nun berechnen wir für die Geschwindigkeit im rotierenden Koordinatensystem r = D(ωt) r + Ḋ(ωt) r. Die im rotierenden Bezugssystem gemessene Geschwindigkeit setzt sich also aus zwei Anteilen zusammen: dem transformierten Geschwindigkeitsvektor D(ωt) r und einem Zusatzterm, der die Geschwindigkeit des rotierenden Koordinatensystems darstellt, Ḋ(ωt) r. Durch nochmaliges Differenzieren der Geschwindigkeit ergibt sich für die Beschleunigung im rotierenden Bezugssystem zu r = D(ωt) r+ḋ(ωt) r+ḋ(ωt) r+ D(ωt) r = D(ωt) r+2ḋ(ωt) r+ D(ωt) r.

9 Wir berechnen nun die Zeitableitungen der Drehmatrix: Ḋ(ωt) = d cos(ωt) sin(ωt) 0 sin(ωt) cos(ωt) 0 sin(ωt) cos(ωt) 0 = ω cos(ωt) sin(ωt) 0 dt Durch komponentenweises Nachrechnen (Übungsaufgabe) kann man zeigen, dass die folgende Identität gilt: Ḋ(ωt) u = ω (D u), wobei wir im Vektor ω = ωê z die Drehachse und die Winkelgeschwindigkeit zusammengefasst haben. Damit lässt sich der Ausdruck für die Geschwindigkeit umformen zu r = D r ω (D r) = D r ω r. Für ein Teilchen, das im Inertialsystem ruht, r = 0, ergibt sich damit im rotierenden Bezugssystem die eine Kreisgeschwindigkeit von r = ω r. Beachte: das Minuszeichen in dieser Gleichung deutet an, dass das Teilchen im rotierenden Bezugssystem eine Kreisbewegung in Richtung des Uhrzeigersinns vollführt. Betrachten wir nun die Beschleunigung. Hier treten zwei Zusatzterme neben der transformierten Beschleunigung, D r, auf. Den ersten Term können wir mit obiger Identität leicht umformen. Es gilt: Ḋ(ωt) r = ω ( ) D r = ω ( r ω r ). Die zweite Zeitableitung der Drehmatrix ergibt sich zu D(ωt) = ω 2 cos(ωt) sin(ωt) 0 sin(ωt) cos(ωt) = ω 2 D+ω Dann ist D(ωt) r = ω 2 D r+ω 2 zê z = ω 2 r +ω 2 z ê z = ω( ω r ) r ( ω ω) = ω ( ω r ),

10 wobei wir ausgenutzt haben, dass bei Drehungen um die z-achse z = z gilt. Fassen wir die Ergebnisse zusammen, so erhalten wir r = D r 2 ω r ω ( ω r ). Gilt im Inertialsystem F = m a, so erhalten wir m r = DF 2m ω r m ω ( ω r ). Nun ist D F = F die Koordinatendarstellung der Kraft im rotierenden Koordinatensystem, so dass letztlich gilt m r = F 2m ω r m ω ( ω r ). Im rotierenden Bezugssystem erfährt ein Teilchen neben den auf es einwirkenden Kräften eine zusätzliche Beschleunigung durch die beiden Scheinkräfte und Corioliskraft FCoriolis = 2m ω r Zentrifugalkraft FZentrifugal = m ω ( ω r ).

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