7 Orthogonale und unitäre Matrizen

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1 $Id: orthogonal.tex,v.6 2/7/ 4::3 hk Exp $ $Id: mdiffb.tex,v.3 2/7/ 4::5 hk Exp hk $ 7 Orthogonale und unitäre Matrizen 7.2 Drehungen Wir wollen uns jetzt mit Drehungen im dreidimensionalen Raum beschäftigen. Hier reicht u es zur Beschreibung einer Drehung nicht mehr aus, einen Winkel anzugeben. Neben dem Winkel benötigen wir auch noch die Drehachse, also die Ursprungsgerade um die herum die Drehung stattfindet. Die Achse sei dabei durch einen Vektor u der Länge gegeben. Es seien also ein u R 3 mit u = und ein Winkel φ R gegeben. Wir wollen die Drehung D u (φ) mit Drehachse in Richtung von φ u und Drehwinkel φ berechnen. Sei x R 3 und wir müssen das Bild D u (φ)x von x unter unserer Drehung bestimmen. Ist x u, liegt x also auf der Drehachse, so ist sofort D u (φ)x = x, wir können also x / u annehmen. Unsere Strategie ist es zu einer anderen Orthonormalbasis u, u 2, u 3 des R 3 überzugehen, in der D u (φ) eine möglichst einfache Gestalt hat. Es ist naheliegend diese Basis mit der Drehachse selbst zu beginnen, also u := u. Den zweiten Basisvektor u 2 wählen wor jetzt zum Argument x passend. Den Punkt x selbst können wir leider nicht verwenden, da dieser weder normiert noch senkrecht zu u ist. Dies ist aber kein großes Problem, wir wenden einfach die uns schon bekannte Gram Schmidt Orthonormalisierung auf u, x an, d.h. wir setzen y := x (u x)u und u 2 := y y. Zur Bestimmung des dritten Basisvektors verwenden wir das in I. 2.4 eingeführte Vektorprodukt, der Vektor u u 2 steht senkrecht auf u und u 2 und hat die Länge u u 2 = ( u 2 u 2 2 (u u 2 ) 2 ) /2 =. Die Orthonormalbasis wird somit vervollständigt durch u 3 := u u 2 = u x u (x (u x)u) = y y 2-

2 da u u = ist. Beachte außerdem das die Basis u, u 2, u 3 dann positiv orientiert ist, der Umlaufsinn unseres Drehwinkels ist also bezüglich dieser Basis genau derselbe wie bezüglich der Standardbasis. Bezüglich der Basis u, u 2, u 3 wird x jetzt zu x = (u x)u + y = (u x)u + y u 2 = u x y In dieser Basis berechnet sich das Bild von x unter unserer Drehung als u x u x D u (φ)x = cos φ sin φ y = y cos φ. sin φ cos φ y sin φ Bezüglich der Standardbasis haben wir damit das Ergebnis D u (φ)x = (u x)u + y cos(φ)u 2 + y sin(φ)u 3 = (u x)u + cos(φ)y + sin(φ)u x. = (u x)u + cos(φ)x (u x) cos(φ)u + sin(φ)(u x) = cos(φ)x + ( cos φ)(u x)u + sin(φ)(u x). Dies ist bereits eine für praktische Zwecke nützliche Drehungsformel. Wir können die Formel auch noch in Matrixform umschreiben, hierzu müssen wir uns nur überlegen wie die Matrix der linearen Abbildung f(x) = u x aussieht. Dies ist schnell berechnet u e = u u 2 u 3 = u 3 u 2, u e 2 = u e 3 = u u 2 u 3 u u 2 u 3 u 3 =, u 2 u = u, die Matrix von f ist also û := u 3 u 2 u 3 u u 2 u. Die Drehmatrix wird damit insgesamt zu D u (φ) = cos φ + ( cos φ)uu t + sin(φ)û. Damit können wir nun Drehmatrizen berechnen. Wir können den Drehwinkel φ auch direkt aus der Matrix D u (φ) ablesen, es ist ja tr û =, tr uu t = u 2 + u u 2 3 = und somit tr D u (φ) = 3 cos φ + cos φ = + 2 cos φ. 2-2

3 Auch die von u aufgespannte Gerade können wir an der Matrix D u (φ) ablesen. Es ist ja (uu t ) t = uu t aber û t = û, also D u (φ) + D u (φ) t = 2 cos φ + 2( cos φ)uu t = tr D u (φ) + 2( cos φ)uu t. Ist also φ kein Vielfaches von 2π, so ist cos φ und es folgt u = Bild(D u (φ) + D u (φ) t tr(d u (φ)) + ). Ist φ dagegen ein Vielfaches von 2π, also cos φ =, so findet überhaupt keine Drehung statt, und daher ist es nicht überraschend das wir keine Drehachse bestimmen können. Beachte übrigens das die Formel für die Drehachse nur den Teilraum u liefert, aber nicht u selbst, d.h. wir können auf diese Weise nicht zwischen u und u unterscheiden. Wenn man aber φ und ±u kennt, so ist ein leichtes durch Einsetzen in die Matrixform der Drehformel abzulesen welchen der beiden wir nehmen müssen. Wir wollen die Matrixformel einmal auf das Beispiel von Drehungen um u = (/ 3)(,, ) anwenden. Es gelten uu t = 3 (,, ) = 3 Die Drehung um u mit dem Winkel φ wird damit zu und û = 3 D u (φ) = cos φ + ( cos φ)uu t + sin(φ)û = + 2 cos φ cos φ 3 sin φ cos φ + 3 sin φ cos φ + 3 sin φ + 2 cos φ cos φ 3 sin φ 3 cos φ 3 sin φ cos φ +. 3 sin φ + 2 cos φ In zwei Dimensionen sind Drehungen und Spiegelungen die einzigen orthogonalen Matrizen. In drei Dimensionen ist es auch noch möglich alle auftretenden Typen orthogonaler Matrizen aufzulisten, und wie im zweidimensionalen Fall sind die Drehungen genau die orthogonalen Matrizen mit Determinante. Satz 7.4 (Orthogonale 3 3 Matrizen) Sei A eine orthogonale 3 3 Matrix. (a) Ist det A =, so ist A eine Drehung um den Winkel ( ) tr(a) φ = arccos 2 mit der Drehachse Bild(A + A t tr(a) + ). (b) Ist det A =, so ist A ein Spiegelung oder das Produkt einer Spiegelung und einer Drehung wobei die Drehachse senkrecht auf der Spiegelungsebene steht. 2-3.

4 Beweis: (a) Nach Satz.(d) ist ein Eigenwert von A, es gibt also ein u R 3 mit u = und Au = u. Weiter betrachten wir die Ebene E := {x R 3 u x = } zum Normalenvektor u. Für jedes x E gilt auch u (Ax) = (Au) (Ax) = u x =, also Ax E. Damit ist A E eine lineare Abbildung, und es bezeichne B die Matrix dieser Abbildung bezüglich einer Orthonormalbasis von E. Dann ist B SO 2 R, also ist A E eine Drehung in E um einen Winkel φ. Damit ist A = D u (φ). Die Formeln für Drehwinkel und Drehachse folgen aus unseren obigen Überlegungen. (b) Wir haben ( A) = A = A t = ( A) t, d.h. auch A ist orthogonal mit det( A) = det A =. Also ist A SO 3 R nach (a) eine Drehung. Insbesondere existiert ein Vektor u R 3 mit u = und Au = u, also Au = u und u ist ein Eigenvektor zum Eigenwert von A. Für jeden zu u senkrechten Vektor x folgt damit auch u (Ax) = (Au) (Ax) = u x =, d.h. A erhält die zu u senkrechte Ebene E. Damit ist A E orthogonal mit Determinante, also eine Drehung. Es können jetzt Fälle auftreten, entweder ist A E die identische Abbildung, und dann ist A die Spiegelung S u an der Ebene E oder A E ist die Drehung um einen Winkel φ und dann ist A das Produkt A = D u (φ)s u der Drehung D u (φ) mit der Spiegelung S u. Produkte von Spiegelungen und Drehungen nennt man gelegentlich auch Drehspiegelungen. Diese spielen für uns keine Rolle, und daher wollen wir sie auch nicht untersuchen. Der Satz besagt insbesondere das SO 3 R = {D u (φ) u R 3, φ R, u = } die Menge aller Drehungen um Achsen durch den Nullpunkt ist, daher nennt man SO 3 R auch die Drehgruppe. Ab Dimension 4 werden die Verhältnisse komplizierter, es gibt dann auch orthogonale Matrizen mit Determinante die keine Drehungen sind. Da auch dies für uns keine Rolle spielt, wollen wir dies hier nicht näher ausführen. Zusammen mit Satz 2 besagt der eben bewiesen Satz, dass Drehungen im R 3 genau die Produkte von zwei Spiegelungen sind. Dies kann man auch leicht explizit sehen. Seien u, v R 3 mit u = v =. Wir können u, v R 3 als linear unabhängig annehmen, denn sonst ist S u = S v und somit S u S v =. Wegen S u S v SO 3 R muss S u S v eine Drehung mit S u S v sein. Die Ebenen an denen gespiegelt wird sind E u := {x R 3 u x = } und E v := {x R 3 u v = } mit E u E v und ihr Schnitt g := E u E v ist eine Gerade die von S u S v punktweise fixiert wird, dies meint S u S v x = x für alle x g. Insbesondere muss g die Drehachse sein. Explizit ist g = {x R 3 x u und x v} = u v. Zur Bestimmung des Drehwinkels φ wollen wir die Formel aus Satz 4 verwenden. Beachte hierzu das für je zwei Vektoren x, y R n stets n tr(xy t ) = x i y i = x y i= 2-4

5 gilt, also ergibt sich wegen der Drehwinkel φ als S u S v = ( 2uu t )( 2vv t ) = 2(uu t + vv t ) + 4(u v)uv t cos φ = 2 (tr(s us v ) ) = 2 (3 2 u 2 2 v 2 + 4(u v) 2 ) = 2(u v) 2. Bezeichnet ψ den Winkel zwischen u und v, so ist u v = u v cos ψ = cos ψ, also cos φ = 2 cos 2 ψ = cos(2ψ). Als Drehachse von S u S v haben wir also u v und der Drehwinkel ist das Doppelte des Winkels zwischen u und v. Zum Abschluß wollen wir noch eine eine weitere Beschreibung von Drehungen besprechen, die sogenannten Eulerwinkel. Wir hatten bereits mehrfach die Drehungen um die x-achse verwendet, und entsprechend haben auch die Drehungen um y- und z-achse eine sehr einfache Form, nämlich D (φ) := cos φ sin φ sin φ cos φ, D 2 (φ) := cos φ sin φ sin φ cos φ D 3 (φ) :=, cos φ sin φ sin φ cos φ Aus diesen drei speziellen Drehungen kann man alle anderen Drehungen zusammensetzen, d.h. zu einer beliebigen Drehmatrix A gibt es immer drei Winkel α, β, γ, die sogenannten Euler Winkel von A, so, dass A = D (α)d 2 (β)d 3 (γ) = cos β cos γ cos β sin γ sin β sin α sin β cos γ + cos α sin γ sin α sin β sin γ + cos α cos γ sin α cos β cos α sin β cos γ + sin α sin γ cos α sin β sin γ + sin α cos γ cos α cos β gilt. Aus dieser Formel lassen sich die Euler Winkel bei gegebener Matrix A berechnen. Aus dem Eintrag a 3 ergibt sich β durch sin β = a 3 und wegen a 3 kann β auf β π/2 also β = arcsin(a 3 ) normiert werden. Dann wird = a 2 + a a 2 3 also a 2 + a 2 2 = a 2 3 = sin 2 β = cos 2 β. also auch ( ) 2 ( ) 2 a a2 + = cos β cos β 2-5

6 und somit erhalten wir einen bis auf Vielfache von 2π eindeutigen Winkel γ mit a = cos β cos γ und a 2 = cos β sin γ. Analog ist auch α bis auf Vielfache von 2π eindeutig festgelegt. Wir wollen dies einmal am Beispiel der Drehmatrix D = vorführen. Es ist sin β = 2/3, also insbesondere sin β <. Damit ist π/2 < β <. Außerdem ist cos 2 β = sin 2 β = 5/9, also cos β = 5/3. Explizit ist β = arcsin(2/3). Wegen /3 = cos β sin γ = ( 5/3) sin γ ist sin γ = / 5 und weiter 2/3 = cos β cos γ = ( 5/3) cos γ, d.h. cos γ = 2/ 5. Also ist < γ < π/2 und γ = arcsin(/ 5). Analog folgt α = γ = arcsin(/ 5). 8 Differentialrechnung im R n In diesem letzten Kapitel wollen wir die Differentialrechung für Funktionen mehrerer Variablen behandeln. Wir beginnen mit einem vorbereitenden Abschnitt über die Topologie des R n, dies meint die Untersuchung von Folgen, stetigen Funktionen und ähnlichen Begriffen im R n. Den Hauptteil dieses Themenkreises haben wir bereits in 4.5 für allgemeine normierte Räume behandelt. Auf dem R n hatten wir die vollständige Norm x := max{ x,..., x n } eingeführt und diese verwendet um konvergente Folgen, stetige Funktionen und so weiter zu definieren. Insbesondere hatten wir gesehen das jede durch Formeln in den Grundfunktionen gegebene Funktion stetig ist. Schon an dieser Stelle drängt sich eine naheliegende Frage auf. In 6. hatten wir eingesehen das das Standardskalarprodukt den R n zu einem Hilbertraum macht und wir damit auch die vollständige Norm x 2 := x x = (x x 2 n) /2 haben, bezüglich derer wir ebenfalls konvergente Folgen, stetige Funktionen und so weiter definieren können. Wir müssen zeigen das beide Normen zu denselben Begriffen führen. Wir werden sogar mehr einsehen, und zeigen das überhaupt jede Norm auf dem R n dieselben konvergenten Folgen, dieselben stetigen Funktionen, und so weiter, definiert. Den allgemeinen Teil dieser Überlegungen, der sich nicht spezifisch auf den R n bezieht, werden wir uns für allgemeine normierte Räume überlegen. 8. Kompakte Mengen Die Ergebnisse dieses Abschnitts werden wir in der Vorlesung nicht beweisen, sondern sie nur vorstellen. Hier sind auch (oder werden auch) die vollständigen Beweise angegeben. Eines unserer bei theoretischen Überlegungen wichtigen Hilfsmittel war der 2-6

7 I. 6.Satz von Heine Borel, der besagte das jede beschränkte reelle oder komplexe Folge eine konvergente Teilfolge besitzt. Im reellen Fall können wir gleichwertig sagen, dass jede Folge in einem Intervall der Form [a, b] stets eine konvergente Teilfolge besitzt, deren Grenzwert dann natürlich wieder in [a, b] ist. Hierzu sagt man dann auch das die Menge [a, b] kompakt ist, und dies läßt sich nun leicht auf allgemeine normierte Räume übertragen. Definition 8.: Sei E ein normierter Raum. Eine Menge C E heißt kompakt wenn es für jede Folge (x n ) n N in C stets eine Teilfolge (x nk ) k N und ein x C mit (x nk ) k N x gibt. Mit dieser Definition besagt I. 6.Satz also das das Intervall [a, b] für alle a, b R mit a < b stets kompakt ist. In Teil I hatten wir den Satz von Heine Borel beispielsweise dazu verwendet um zu beweisen das Cauchyfolgen in R immer konvergent sind und das stetige Funktionen f : [a, b] R immer beschränkt sind und ihr Maximum und Minimum annehmen. All diese Dinge lassen sich mit weitgehend denselben Beweisen nun auch auf allgemeine kompakte Mengen übertragen, und das folgende Lemma hält die wichtigsten dieser unmittelbaren Folgerungen fest. Lemma 8. (Grundeigenschaften kompakter Mengen) Seien E ein normierter Raum und C E eine kompakte Menge. (a) Die Menge C ist abgeschlossen und beschränkt. (b) Ist (x n ) n N eine Cauchyfolge mit x n C für alle n N, so ist die Folge (x n ) n N konvergent mit lim n x n C. (c) Ist A E abgeschlossen mit A C, so ist auch A kompakt. (d) Ist f : C R eine stetige Funktion, so ist f beschränkt. Ist C, so existieren x, x 2 C mit f(x ) f(x) f(x 2 ) für alle x C. (e) Sind F ein weiterer normierter Raum und f : C F stetig, so ist auch das Bild f(c) F kompakt. Beweis: (b) Da C kompakt ist gibt es ein x C und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit (x nk ) k N x. Nach I. 6.Lemma 3.(c) (Erinnern Sie sich daran das wir in 4.5 festgehalten hatten das sich diese Aussagen aus Teil I auch auf allgemeine normierte Räume übertragen) gilt dann auch (x n ) n N x, d.h. die Folge (x n ) n N ist konvergent mit lim n x n = x C. (b) Wäre C nicht beschränkt, so existierte für jedes n N ein x n C mit x n n. Da C kompakt ist, enthält (x n ) n N eine konvergente Teilfolge (x nk ) k N mit x := lim k x nk C. Dann ist aber auch ( x nk ) k N x und die Folge ( x nk ) k N ist insbesondere beschränkt, im Widerspruch zu x nk n k k für jedes k N. Also ist C beschränkt. 2-7

8 Sei (x n ) n N eine Folge in C mit (x n ) n N x E. Dann ist (x n ) n N insbesondere eine Cauchyfolge und nach (b) gilt auch x C. Damit ist C E abgeschlossen. (c) Sei (x n ) n N eine Folge in A C. Dann existieren ein x C und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit (x nk ) k N x. Damit ist aber auch x A = A, und somit ist auch A kompakt. (d) Angenommen die Funktion f wäre unbeschränkt. Dann gibt es für jedes n N ein x n C mit f(x n ) n. Da C kompakt ist, existieren weiter ein x C und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit (x nk ) k N x. Da die Funktion f stetig ist, ist somit auch f(x) = f ( ) lim x n k = lim f(x nk ) = lim f(x nk ), k k k und insbesondere ist ( f(x nk ) ) k N beschränkt, im Widerspruch zu f(x nk ) n k k für jedes k N. Wir zeigen jetzt, das die Funktion f ein Maximum hat, die Aussage über das Minimum folgt dann analog. Setze s := sup{f(x) x C} R. Für jedes n N gibt es dann ein x n C mit f(x n ) > s n, und da C kompakt ist, gibt es wieder ein x C und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit (x nk ) k N x. Da f stetig ist, ist damit auch f(x) = lim k f(x nk ), und wegen s n k < f(x nk ) s für jedes k NN folgt auch f(x) = s. (e) Sei (y n ) n N eine Folge in f(c). Dann gibt es für jedes n N ein x n C mit y n = f(x n ) und da C kompakt ist, gibt es weiter ein x C und eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit (x nk ) k N x. Da die Funktion f stetig ist, ist damit auch Damit ist auch f(c) F kompakt. (y nk ) k N = (f(x nk )) k N f(x) f(c). Wenn Sie etwas in der Literatur herumschauen, werden Sie schnell merken das es neben der von uns verwendeten Definition kompakter Mengen noch einige alternative Definitionen gibt. Der folgende Satz soll zeigen, dass all diese verschiedenen Definitionen für normierte Räume zueinander äquivalent sind. Dies dient hauptsächlich der begrifflichen Einordnung, wir werden den Satz in diesem Semester nicht mehr verwenden. Satz 8.2 (Charakterisierung kompakter Mengen) Seien E ein normierter Raum und C E eine Teilmenge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: 2-8

9 (a) Die Menge C ist kompakt. (b) Jede Cauchyfolge (x n ) n N in C ist konvergent mit lim x x n C und für jedes ɛ > gibt es endlich viele Punkte x,..., x n C mit C n i= B ɛ(x i ). (c) Für jede Familie (U i ) i I offener Teilmengen von E mit C i I U i existiert eine endliche Teilmenge J I mit C i J U i. (d) Für jede Familie (A i ) i I abgeschlossener Teilmengen von E die die Bedingung C i J A i für alle endlichen Teilmengen J I erfüllt ist auch C i I A i. (e) Für jede Folge (A n ) n N abgeschlossener Teilmengen von E mit C A n für alle n N und C A n+ C A n für alle n N ist auch C n N A n. Beweis: (a)= (b). Die Aussage über Cauchyfolgen gilt nach Lemma.(b). Die zweite Aussage beweisen wir per Widerspruchsbeweis. Angenommen es gibt ein ɛ > so, dass für alle x,..., x n C stets C n i= B ɛ(x i ) ist, d.h. für alle x,..., x n C gibt es immer ein x C mit x x i ɛ für alle i n. Insbesondere ist dann C und wir wählen ein beliebiges x C. Ist jetzt n N und haben wir bereits x,..., x n C gewählt, so gibt es nach unserer Annahme ein x n+ C mit x n+ x i ɛ für i =,..., n. Induktiv definiert dies eine Folge (x n ) n N in C mit x n x m ɛ für alle n, m N mit n m. Dann ist keine Teilfolge von (x n ) n N eine Cauchyfolge und insbesondere enthält (x n ) n N keine konvergente Teilfolge. Dies ist ein Widerspruch zur vorausgesetzten Kompaktheit der Menge C. (b)= (c). Auch diese Aussage beweisen wir durch einen Widerspruchsbeweis. Angenommen es gibt eine Familie (U i ) i I offener Teilmengen von E mit C i I U i so, dass für jede endliche Teilmenge J I stets C i J U i ist. Nach unserer Annahme gibt es y,..., y t C mit C t i= B /2(y i ). Gäbe es jetzt für jedes i t stets eine endliche Teilmenge J i I mit C B /2 (y i ) j J U j, so hätten wir auch die endliche Teilmenge J := t i= J i I mit C t (C B /2 (y i )) i= t U j = U j, j J i im Widerspruch zu unserer Annahme. Also muss es einen Index i t geben so, dass für jede endliche Teilmenge J I stets C B /2 (y i ) j J U j ist. Wir setzen x := y i C. Nun sei n N und der Punkt x n C sei bereits konstruiert so, dass für jede endliche Teilmenge J I stets C B /2 n+(x n ) j J U j ist. Es existieren endlich viele Punkte y,..., y t C mit C t i= B /2 n+2(y i) und setzen wir i= j J T := { i t B /2 n+2(y i ) B /2 n+(x n ) }, 2-9

10 so ist auch C B /2 n+(x n ) i T (C B /2 n+2(y i)). Analog zur obigen Überlegung muss es ein i T geben so, dass für jede endliche Teilmenge J I stets C B /2 n+2(y i ) j J U j ist, und wir setzen x n+ := y i C. Wegen i T existiert ein x B /2 n+2(x n+ ) B /2 n+(x n ), und somit ist auch x n+ x n x n+ x + x n x < 2 n n+ < 2 n. Induktiv wird somit eine Folge (x n ) n N in C definiert, und wir behaupten das diese eine Cauchyfolge ist. Sei nämlich ɛ > gegeben. Dann existiert ein n N mit n und /2 n < ɛ. Für alle n, m N mit m > n n folgt dann auch x m x n m k=n x k+ x k m k=n 2 k = 2m n 2 m < 2 n 2 n < ɛ. Damit ist (x n ) n N eine Cauchyfolge und nach unserer Annahme existiert ein x C mit lim n x n = x. Weiter existiert ein i I mit x U i und da U i offen ist gibt es auch ein ɛ > mit B ɛ (x) U i. Wähle ein n N mit x x n < ɛ/2 und /2 n+ < ɛ/2. Dann ist B /2 n+(x n ) C B ɛ (x) U i im Widerspruch zur Wahl von x n. (c)= (d). Für jedes i I ist die Menge U i := E\A i E offen und für jede endliche Teilmenge J I gilt wegen C j J A j auch C j J U j. Dies ergibt C i I U i und dies bedeutet C i I A i. (d)= (e). Klar. (e)= (a). Sei (x n ) n N eine Folge in C. Für jedes n N betrachten wir dann die abgeschlossene Menge A n := {x k k N, k n} E. Dann ist auch {x k k N, k n} C A n und A n+ A n für jedes n N. Es folgt C n N A n und wir wählen ein x C mit x A n für jedes n N. Sind dann n N und ɛ > so gibt es stets ein m N mit m n und x m x < ɛ. Damit können wir rekursiv eine Teilfolge (x nk ) k N von (x n ) n N mit x nk x < /k für jedes k N definieren. Insbesondere ist Damit ist der Satz vollständig bewiesen. lim x n k = x C. k Von besonderem Interesse ist die Eigenschaft in Aussage (c) des Satzes, dass sich also eine kompakte Menge durch endlich viele Kugeln von beliebige kleinen Radius überdecken läßt. Derartige Mengen erhalten einen eigenen Namen und wir definieren: Definition 8.2 (Präkompakte und relativ kompakte Mengen) Sei E ein normierter Raum. Eine Menge C E heißt präkompakt wenn es für jedes 2-

11 ɛ > Punkte x,..., x n C mit C n i= B ɛ(x i ) gibt und sie heißt relativ kompakt wenn es eine kompakte Menge C E mit C C gibt. Wie schon der Satz nahelegt, gibt es einen engen Zusammenhang zwischen präkompakten und relativ kompakten Mengen. An dieser Stelle wollen wir nur die unmittelbat ersichtlichen Eigenschaften präkompakter und relativ kompakter Mengen zusammenstellen. Lemma 8.3 (Grundeigenschaften präkompakter Mengen) Sei E ein normierter Raum. (a) Eine Teilmenge C E ist genau dann präkompakt wenn es für jedes ɛ > stets endlich viele Punkte x,..., x n E mit C n i= B ɛ(x i ) gibt. (b) Ist C E präkompakt, so ist auch jede Teilmenge A C präkompakt. (c) Ist C E präkompakt, so ist auch C E präkompakt. (d) Ist C E präkompakt, so ist C auch beschränkt. (e) Eine Menge C E ist genau dann relativ kompakt wenn C kompakt ist. (f) Ist C E relativ kompakt, so ist C auch präkompakt. (g) Ist E vollständig, so ist eine Menge C E genau dann relativ kompakt wenn sie präkompakt ist. Beweis: (a) = Klar. = Sei ɛ >. Dann gibt es nach unserer Annahme endlich viele Punkte x,..., x n E mit C n i= B ɛ/2(x i ), und durch Weglassen überflüssiger Punkte können wir auch B ɛ/2 (x i ) C für jedes i n annehmen. Für jedes i n wählen wir dann einen Punkt y i B ɛ/2 (x i ) C, also insbesondere y i C. Wir behaupten, dass dann auch C n i= B ɛ(y i ) gilt. Sei also ein Punkt x C gegeben. Wegen C n i= B ɛ/2(x i ) existiert dann ein i n mit x x i < ɛ/2. Damit folgt auch x y i x x i + x i y i < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ also x B ɛ(y i ). Dies zeigt C n i= B ɛ(y i ). (b) Klar nach (a). (c) Sei ɛ > gegeben. Dann existieren x,..., x n C mit C n i= B ɛ/2(x i ), und wir behaupten das dann auch C n i= B ɛ(x i ) ist. Sei also x C. Dann ist B ɛ/2 (x) C, also existiert ein Punkt y C mit x y < ɛ/2. Wegen C n i= B ɛ/2(x i ) existiert weiter ein i n mit y x i < ɛ/2 und insgesamt ist damit x x i x y + y x i < ɛ 2 + ɛ 2 = ɛ, 2-

12 also x B ɛ (x i ). Dies zeigt C n i= B ɛ(x i ). (d) Es gibt x,..., x n C mit C n i= B (x i ). Wir erhalten die Konstante M := + max{ x,..., x n }, und behaupten das x M für jedes x C gilt. Sei also x C gegeben. Wegen C n i= B (x i ) existiert dann ein i n mit x x i < und es folgt x x x i + x i < + x i M. (e) = Wähle eine kompakte Menge C E mit C C. Nach Lemma.(a) ist C abgeschlossen, also ist auch C C und nach Lemma.(c) ist C kompakt. = Klar wegen C C. (f) Wähle eine kompakte Menge C E mit C C. Nach Satz 2 ist C präkompakt und nach (b) ist auch C präkompakt. (g) = Klar nach (f). = Nach (c) ist auch der Abschluss C präkompakt. Sei nun (x n ) n N eine Cauchyfolge in C. Da die Norm von E vollständig ist, ist (x n ) n N auch konvergent. Da C außerdem abgeschlossen ist, haben wir auch lim n x n C. Nach Satz 2 ist C kompakt und damit ist C relativ kompakt. Wir sind in diesem Semester nur an den kompakten Mengen im R n interessiert, und diese lassen sich erfreulich einfach beschreiben. Wie schon bemerkt sind Intervalle der Form [a, b] kompakt, dies ist im wesentlichen unser ursprünglicher Satz von Heine Borel I. 6.Satz. Durch n-fache komponentenweise Anwendung dieses Satzes erhalten wir die n-dimensionale Version des Satzes von Heine Borel. Wie eingangs erwähnt verwenden wir auf dem R n die Norm, im nächsten Abschnitt werden wir dann einsehen das dies keine Rolle spielt und der Satz von der konkreten Norm auf dem R n unabhängig ist. Satz 8.4 (Satz von Heine Borel im R n ) Eine Teilmenge C R n ist genau dann kompakt wenn sie abgeschlossen und beschränkt ist. Beweis: = Klar nach Lemma.(a). = Sei (x k ) k N eine Folge in C. Da C beschränkt ist, existiert ein r > mit x r für alle x C. Insbesondere gilt für alle x C und alle i n auch x i x r, es ist also C [ r, r] n. Durch n-fache Anwendung des eindimensionalen Satzes von Heine-Borel I. 6.Satz erhalten wir eine Teilfolge (x kl ) l N von (x k ) k N und für i n reelle Zahlen y i R mit (x kl,i) l N y i. Ist also y := (y i ) i n R n, so ist (x kl ) l N y. Da C abgeschlossen ist, gilt auch y C = C. Beispielsweise sind die abgeschlossenen Normkugeln B r (x) = [x r, x + r] [x n r, x n + r] 2-2

13 für r >, x R n abgeschlossen und beschränkt und damit kompakt. Auch die euklidischen Kugeln sind abgeschlossen und beschränkt, also kompakt. Dies ist wirklich eine spezifische Eigenschaft des R n, in allgemeinen normierten Räumen müssen die abgeschlossenen Kugeln nicht mehr kompakt. Man kan sogar zeigen, dass dies in nicht endlich erzeugten normierten Räumen niemals der Fall ist. 8.2 Zwei Anwendungen des Kompaktheitsbegriffs In diesem Abschnitt wollen wir zwei kleine Anwendungen kompakter Mengen im R n vorführen, zum einen werden wir die schon erwähnte Gleichwertigkeit aller Normen auf dem R n beweisen und zum anderen werden wir den Fundamentalsatz der Algebra, das also jedes nicht konstante, komplexe Polynom eine komplexe Nullstelle hat, beweisen. Wir beginnen mit dem Normen im R n. Sind zwei beliebige Normen auf dem R n gegeben, so wollen wir einsehen das diese dieselben konvergenten Folgen, dieselben stetigen Funktionen, dieselben offenen Mengen und so weiter definieren. Als Definition der Gleichwertigkeit oder Äquivalenz von Normen ist dies aber etwas unhandlich, und glücklicherweise stellt sich heraus das es ausreicht nur eine dieser Bedingungen zu fordern. Dabei entscheiden wir uns, recht willkürlich, für die offenen Mengen und definieren daher: Definition 8.3 (Äquivalenz von Normen) Sei E ein Vektorraum über K {R, C}. Zwei Normen, 2 auf E heißen äquivalent, wenn jede Teilmenge U E genau dann bezüglich offen ist, wenn sie bezüglich 2 offen ist. Nun muss man beweisen, dass das Übereinstimmen der offenen Mengen alles andere nach sich zieht. In der Vorlesung hatten wir dieses Lemma nur in skizzierter Form angegeben, und erst recht nicht bewiesen, hier wollen wir aber alles vollständig behandeln. Lemma 8.5: Seien E ein Vektorraum über K {R, C} und, 2 zwei Normen auf E. (a) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:. Die Normen und 2 sind äquivalent. 2. Eine Menge A E ist genau dann bezüglich abgeschlossen wenn sie bezüglich 2 abgeschlossen ist. 3. Eine Menge A E ist genau dann bezüglich beschränkt wenn sie bezüglich 2 beschränkt ist. 4. Für jede Teilmenge M E stimmen das Innere M bezüglich und 2 überein. 5. Für jede Teilmenge M E stimmen der Abschluss M bezüglich und 2 überein. 2-3

14 6. Sind (x n ) n N eine Folge in E und x E so ist (x n ) n N genau dann bezüglich gegen x konvergent wenn (x n ) n N bezüglich 2 gegen x konvergent ist. 7. Es gibt Konstanten c, c 2 > mit x c x 2 und x 2 c 2 x für alle x E. (b) Seien die Normen und 2 äquivalent. Dann gelten:. Für jede Teilmenge M E stimmen der Rand M bezüglich und 2 überein. 2. Eine Folge (x n ) n N ist genau dann eine Cauchyfolge bezüglich wenn sie eine Cauchyfolge bezüglich 2 ist. 3. Genau dann ist vollständig wenn 2 vollständig ist. 4. Eine Teilmenge C E ist genau dann bezüglich kompakt wenn sie bezüglich 2 kompakt ist. Beweis: (a) ()= (6). Seien (x n ) n N eine Folge in E und x E. Sei (x n ) n N bezüglich gegen x konvergent. Sei ɛ >. Dann ist B 2 ɛ (x) offen bezüglich 2, also auch bezüglich und somit existiert ein δ > mit B δ (x) B 2 ɛ (x). Da die Folge (x n ) n N bezüglich gegen x konvergiert, existiert ein n x n x < δ für jedes n N mit n n. Ist also n N mit n n, so ist N mit x n B δ (x) B 2 ɛ (x), also ist auch x n x 2 < ɛ, Dies beweist die Konvergenz von (x n ) n N gegen x bezüglich 2. Analog impliziert die Konvergenz von (x n ) n N gegen x bezüglich 2 auch die Konvergenz von (x n ) n N gegen x bezüglich. (6)= (3). Sei M E eine Teilmenge. Nehme an das M bezüglich beschränkt ist, d.h. es gibt ein r mit x r für alle x M. Angenommen M wäre nicht auch bezüglich 2 beschränkt. Dann gibt es für jedes n N ein x n M mit x n 2 n 2. Wir betrachten nun die Folge (x n /n) n N in E. Wegen x n n = x n r n n für jedes n N ist diese bezüglich eine Nullfolge. Andererseits gilt x n n = x n 2 n 2 n 2-4

15 für jedes n N, d.h. bezüglich 2 ist diese Folge nicht beschränkt und insbesondere auch nicht konvergent. Dies steht im Widerspruch zu (6) und somit muss M auch bezüglich 2 beschränkt sein. Analog impliziert die Beschränktheit von M bezüglich 2 auch die Beschränktheit bezüglich. (3)= (7). Die abgeschlossene Kugel B () ist beschränkt bezüglich, also auch bezüglich 2, und somit existiert eine Konstante c 2 > mit x 2 c 2 für alle x E mit x. Sei nun x E. Dann ist x x = x =, also auch x 2 = x x x x c 2, 2 d.h. wir haben x 2 c 2 x. Für x = gilt dies trivialerweise ebenfalls. Analog existiert auch ein c > mit x c x 2 für alle x E. (7)= (4). Sei M E eine Teilmenge. Wir müssen zeigen das ein Punkt x M genau dann ein innerer Punkt von M bezüglich ist, wenn x ein innerer Punkt von M bezüglich 2 ist. Nehme zunächst an, dass x ein innerer Punkt von M bezüglich ist, d.h. es gibt ein ɛ > mit B ɛ (x) M. Setze nun δ := ɛ/c >. Sei y B 2 δ (x), also y x 2 < δ. Dann folgt auch y x c y x 2 < c δ = ɛ, also y B ɛ (x) M, also y M. Folglich ist B 2 δ (x) M und damit ist x auch bezüglich 2 ein innerer Punkt von M. Ist x umgekehrt als innerer Punkt von M bezüglich 2 vorausgesetzt, so folgt analog das x auch ein innerer Punkt von M bezüglich ist. (4)= (5). Klar nach 4.Lemma 7.(a). (5)= (2). Klar da eine Menge genau dann abgeschlossen ist wenn sie mit ihrem Abschluß übereinstimmt. (2)= (). Klar da eine Menge U E nach 4.Lemma 7.(d) genau dann offen ist wenn ihr Komplement E\U abgeschlossen ist. (b) Nun seien und 2 als äquivalent vorausgesetzt. () Dies ist wegen M = M\M klar nach (a). (2) Sei (x n ) n N eine Folge in E. Zunächst nehmen wir an, dass (x n ) n N bezüglich eine Cauchyfolge ist. Nach (a) existiert eine Konstante c > mit x 2 c x für alle x E. Sei ɛ >. Dann existiert ein n N mit x n x m < ɛ/c für alle n, m n. Sind also n, m N mit n, m n, so haben wir auch x n x m 2 c x n x m < ɛ, d.h. (x n ) n N ist auch eine Cauchyfolge bezüglich 2. Ist umgekehrt (x n ) n N eine Cauchyfolge bezüglich 2, so folgt analog das (x n ) n N auch eine Cauchyfolge bezüglich ist. (3) Klar nach (2) und (a). (4) Klar nach (a). 2-5