Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen?

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1 Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen? inelastischer Stoß - keine Energieerhaltung (fast alle Energie kann in Wärme umgewandelt werden) - Geschwindigkeit Gewehrkugel - Rakete Rotationsbewegung - Umlaufgeschwindigkeit v ändert dauernd die Richtung => beschleunigte Bewegung (Zentripetalbeschleunigung zeigt zur Drehachse) - Winkelgeschwindigkeit ω entspricht v für Linearbewegungen 1

2 Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen? Zentrifugalkraft - Trägheitskraft für Drehbewegungen, wirkt nach außen (Hammerwerfer) Drehmoment - entspricht der Kraft für Linearbewegungen Dreharbeit Drehimpuls - es gilt ein Erhaltungssatz

3 Was gibt es in Vorlesung 4 zu lernen? Trägheitsmoment - ersetzt Masse für die Rotation ausgedehnter Körper Steinerscher Satz - aus dem Trägheitsmoment für eine Achse kann Trägheitsmoment für parallele Achse berechnet werden 3

4 inelastischer Stoß vorher nachher m v m, 1+ m v, Vollständig inelastisch: beide Massen kleben nachher zusammen Klebung Experiment Ealing-Bahn: m 1 = m, v = 0 Impulserhaltung 1 mv = ( m + m ) v = mv => v = v Energiebilanz E = mv E = ( m + m ) v = ( m )( v ) = mv = E 4 kin, vor 1 1 kin, nach kin, vor 4

5 inelastischer Stoß es geht kinetische Energie verloren es kann ein beträchtlicher Bruchteil sein sie wird nicht in potenzielle Energie umgewandelt steckt in der Verformung der Knete (Wärme) verallgemeinerter Energiesatz gilt weiterhin, aber schwierig anzuwenden Knete kann keinen gerichteten Impuls aufnehmen => Impulssatz gilt weiterhin 5

6 Bestimmung Kugelgeschwindigkeit Experiment Ealing-Bahn: mit Luftgewehr in Holzklotz m v 1 vorher nachher M v =0 m+m v 6

7 Bestimmung Kugelgeschwindigkeit Experiment Ealing-Bahn: mit Luftgewehr in Holzklotz m v 1 vorher nachher M v =0 m+m v Impulserhaltung m mv = ( m + M ) v => v = v ( m+ M) 1 1 Energiebilanz m 1 m E mv E m M v m M v v m+ M m+ M Ekin, vor m+ M = >> 1 E m kin, vor = 1 kin, nach = ( + ) = ( + )( 1) = 1 kin, nach 7

8 Inelastischer Stoß: Rückstoß Versuch: Rakete Wie wird eigentlich eine Rakete angetrieben? Treibstoff wird in eine Richtung ausgestoßen => Rakete muss sich in andere Richtung bewegen Treibstoff wird kontinuierlich ausgestoßen => Treibstoffgeschwindigkeit nicht konstant => Mathematik etwas aufwändiger M R Μ Τ vorher M R Μ Τ aller Treibstoff verbraucht v R v T Impulserhaltung (grobe Abschätzung) MT 0 = M v + M v => v = v M R R T T R T R Schnelle Rakete mit: a) leichter Rakete, b) schwerem Treibstoff c) hoher Ausstoßgeschwindigkeit! 8

9 Zusatzinformation: Erweiterung auf zwei-dimensionale Probleme Wenn man Zusammenstöße in der Ebene zulässt, muss man Geschwindigkeitskomponenten betrachten und berücksichtigen, dass es nicht-zentrale Stöße geben kann (z.b. im Billard-Spiel): vorher: V 1 m 1 m m 1 nachher: ' v 1 Bei elastischem Stoß gilt der Energiesatz m m m 1 1 V = V' 1 + V' 1 m V ' Der Impulssatz muss vektoriell geschrieben werden und komponentenweise gelöst werden. Außerdem Zusatzbedingung notwendig. m1 v1 = m1v1' + m v' 9

10 Rotationsbewegungen DTL Betrachte zunächst Rotation eines Massepunktes auf einer Kreisbahn mit Radius r Die Geschwindigkeit v des Punktes ändert dauernd ihre Richtung => Rotationsbewegungen sind immer beschleunigte Bewegungen Für Rotationsbewegungen übernimmt die Winkelgeschwindigkeit ω die Rolle der Geschwindigkeit v bei Linearbewegungen. 10

11 Rotationsbewegungen: Winkelgeschwindigkeit Für Rotationsbewegungen übernimmt die Winkelgeschwindigkeit ω die Rolle der Geschwindigkeit v bei Linearbewegungen. ω = dϕ dt DTL ϕ r m v 11

12 DTL Rotationsbewegungen: Winkelgeschwindigkeit Für Rotationsbewegungen übernimmt die Winkelgeschwindigkeit ω die Rolle der Geschwindigkeit v bei Linearbewegungen. ω = ϕ r dϕ dt m v Umlaufgeschwindigkeit v: π T = (Zeit für einen Umlauf) ω U = π r (Kreisumfang) U πrω mit v= => v= = rω T π In Vektorschreibweise: v = ω r Hergeleitet nur für gleichförmige Rotation! Gilt aber allgemein! Umlaufgeschwindigkeit ändert dauernd ihre Richtung => Rotationsbewegungen sind beschleunigt! 1

13 Rotationsbewegungen: Winkelgeschwindigkeit Analogien zwischen Linearbewegung und Rotationsbewegungen helfen (hoffentlich), sich die einzelnen Formeln und Größen zu merken und zu verdeutlichen, Analogie: Geschwindigkeit v (linear) Winkelgeschwindigkeit ω (Rotation) 13

14 Radial- bzw. Zentripetalbeschleunigung Die Zentripetalbeschleunigung ist zum Mittelpunkt hin gerichtet. v DTL Δϕ r e r v 1 Δv v Δϕ v 1 14

15 DTL Radial- bzw. Zentripetalbeschleunigung Die Zentripetalbeschleunigung ist zum Mittelpunkt hin gerichtet. v Δv Δϕ sin( ) = v für kleine Winkel gilt sin ϕ ϕ => Δ v= vδϕ Δϕ e r außerdem ist Δv parallel zu er also gilt r dv = vdϕ( er ) v 1 für die Zentripedalbeschleunigung gilt dv dϕ ar = = v ( er) = rω ( er) Δv dt rω dt ω v Δϕ v 1 Die Trägheitskraft (Zentrifugalkraft) wirkt der Zentripetalkraft entgegen. 15

16 Zentrifugalkraft: Looping Achterbahn Der höchste Punkt ist kritisch. Dort muss gelten Ft > Fg ω r > g DTL => Hängt nicht von der Masse ab! Wie groß muss die Starthöhe sein? Umfrage!!! r Ft = mrω er F g = mg Experiment: Starthöhe Looping 16

17 Drehmoment In Analogie zur Kraft F bei der linearen Bewegung definieren wir für die Rotationsbewegung das Drehmoment M. M = r F [ M] = Nm ("rechte Hand Regel") Drehmoment ist Hebelarm x Kraft senkrecht zum Hebelarm! Kraftkomponente entlang des Hebelarms führt nicht zu einem Drehmoment Analogie: Kraft (linear) Drehmoment (Rotation) 17

18 Drehmoment 18

19 Drehmoment Drehachse Für M Kraft senkrecht zur Achse => F senkrecht zu r M = r F sin Θ= r F M = r F - Drehmoment M erzeugt eine Winkelbeschleunigung ω - Richtung von ω durch "recht-hand-schraube" - wenn M = 0 dann auch ω (Analog zu F = 0 <=> a = 0 im linearen Fall) - Beachte ω ist nicht die Zentripedalbeschleunigung Analogie: Kraft (linear) Drehmoment (Rotation) r F Θ FsinΘ Angriffspunkt Kraft 19

20 Folgsame Rolle Versuch: Folgsame Rolle DTL 0

21 Dreharbeit Drehmoment M verrichtet bei der Drehung um ϕ Dreharbeit! dw = Fdr = F rdϕ = Mdϕ = Mdϕ r W = dw = Mdϕ Für ein konstantes Drehmoment (nicht konstante Kraft, da Kraft DTL permanent die Richtung ändern muss, um senkrecht zum Hebelarm zu bleiben) ergibt sich W = Mϕ Dreharbeit führt zu einer Zunahme der Winkelgeschwindigkeit ω Analogie: Fs (linear) Mϕ (Rotation) 1

22 Drehimpuls An Stelle des Impuls für die Linearbewegung tritt der Drehimpuls für die Rotationsbewegung. DTL L = r p = mr v für den Betrag gilt L = mrv= mr ω je größer m, desto größer L je größer ω, desto größer L L ~ r!!!!

23 Drehimpulserhaltung Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße! DTL 3

24 Drehimpulserhaltung DTL Der Drehimpuls ist eine Erhaltungsgröße! dp dp F = damit gilt r F =+ r dt dt damit läßt sich M schreiben als dp d dl M = r F = r = ( r p) = dt dt dt dr letzte Umformung gilt, da p = 0 dt dr da p für eine Drehbewegung dt dl für M = 0 ändert sich L nicht da 0 dt = 4

25 Drehimpulserhaltung Ohne äußeres Drehmoment gilt für ein abgeschlossenes mechanisches System: L i i = const. DTL Das Grundgesetz der Dynamik für Drehbewegungen lautet: i L i dt = i M i Analogie: Impuls (linear) Drehimpuls (Rotation) 5

26 Experimente zur Drehimpulserhaltung kreisende Kugel am Faden variabler Länge (Radius): L = mr ω r m Wenn man den Radius verkürzt, wird die Umlauffrequenz höher. Nach dem Drehimpulserhaltungssatz gilt ω 1 / ω =(r /r 1 ) Kugel in Trichter Genau wie oben wird die Umlauffrequenz der Kugel nach unten immer größer r g 6

27 Experimente zur Drehimpulserhaltung Drehstuhlexperiment Das Schwungrad auf dem Drehstuhl und die Person auf dem Drehstuhl bilden ein geschlossenes mechanisches System, Drehstuhl und Rad drehen sich in entgegen gesetzter Richtung vorher: nachher: L = 0 ω =0 L ω L = 0 1 ω 1 =0 L 1 ω 1 7

28 Trägheitsmoment starrer Körper Bis jetzt nur rotierenden Massepunkt betrachtet DTL ω = r ϕ dϕ dt m v L = mr ω =Θω Θ für einen MP also mit = Trägheitsmoment Θ= mr Analogie: Masse (linear) Trägheitsmoment (Rotation) Wie sieht es für einen ausgedehnten Köper aus? 8

29 Wir zerlegen den Körper in viele kleinen Massen Δm i und verallgemeinern dann: ω r i Trägheitsmoment starrer Körper Δm i Θ = Δ i m ir i Hier ist r i immer der Abstand senkrecht zur Drehachse. Beim Übergang zu infinitesimalen Massen dm erhält man wieder ein Volumenintegral: Θ = Δmiri = r dm = i V ρ V r dv Analogie: Masse (linear) Trägheitsmoment (Rotation) 9

30 Trägheitsmoment starrer Körper Drehstuhl-Experiment mit Hanteln Es gilt Drehimpulserhaltung => Trägheitsmoment kleiner ω größer Die äußeren Massen tragen relativ viel zum Trägheitsmoment bei, die Massen nahe der Drehachse fast nichts! Bei Heranziehen der Arme wird Arbeit gegen die Zentrifugalkraft geleistet. 30

31 Beispiele für θ Für einfache Geometrien kann man das Integral leicht auswerten: 1.Beispiel: dünner Stab, Fläche A=a, Länge L>>a, gedreht um ein Ende z ω Fläche A=a y L a x 31

32 Beispiele für θ Für einfache Geometrien kann man das Integral leicht auswerten: 1.Beispiel: dünner Stab, Fläche A=a, Länge L>>a, gedreht um ein Ende z ω Fläche A=a y L a x Θ = ρ V r dv = = ρ V x M L dv / 3 = ρ a 0 dy a 0 dz L 0 x dx = ρ a a L 3 / 3 (Mit der Gesamtmasse M=ρ a L) 3

33 . Beispiel: Rotation Walze (Höhe H; Radius R) um Symmetrieachse z: x ω z R H y Die kartesischen Koordinaten sind für dieses Problem nicht gut angepasst, wir gehen deshalb zu Zylinderkoordinaten über (siehe Diagramm). kartesische Koordinaten Zylinderkoordinaten : (x,y,z) (a,ϕ,z) x Umrechnung: x = a cos(ϕ); y = a sin(ϕ) ϕ z r a y 33

34 Das Volumenelement in den Volumenintegralen dv muss ebenfalls noch in den Zylinderkoordinaten geschrieben werden: dϕ a da adϕ y Das rot gestrichelte Flächenelement in der x-y-ebene hat die Fläche da=a dϕ da. Wenn man ϕ von 0 bis 360 variiert und a von 0 bis R, überdecken die Flächenelemente da die Zylinder-Basisfläche x Wir können jetzt das Volumenintegral in Zylinderkoordinaten ausdrücken: Θ = ρ V a dv 4 R =ρ π 4 also gilt Θ = ρ H V Zylinder a a dϕda dz = R M / = ρ R 0 a 3 da π 0 dϕ H 0 dz (mit ρπr H=M (Gesamtmasse)) Beispiel: Mensch als Vollzylinder angenähert, um zentrale Längsachse rotiert mit M = 64kg und R = 0.5m ergibt nur Θ = kgm! 34

35 Andere Beispiele für Trägheitsmomente ω c Quader (a,b,c) Q=1/1M(a +b ) ω l a ω r b Drehachse parallel zur c-kante Vollzylinder Drehachse senkrecht zur Zylinderachse Vollkugel Q=1/1M(3r +l ) Q=/5MR R Drehachse durch Mittelpunkt ω Hohlkugel Q=/3MR R Drehachse durch Mittelpunkt 35

36 Steinerscher Satz Das Trägheitsmoment einer Massenverteilung hängt natürlich von der Lage der Drehachse ab. Wenn die Achse durch den Schwerpunkt geht (ausgezeichnete Achse mit Trägheitsmoment Θ S ), ist das Trägheitsmoment am kleinsten.. Wir betrachten nun eine parallele Achse A im Abstand a : ω S A Es gilt für das Trägheitsmoment bei Drehung um die Achse A und um die Achse S (M ist Gesamtmasse) S Θ A = Θ S + Ma a Zur Anschauung: Der Satz gilt offensichtlich für a = 0 (keine Achsverschiebung) und für Θ S = 0 (Punktmasse M im Abstand a). 36

37 Hauptträgheitsachsen Trägheitsmoment hängt von Drehachse ab bei Körpern mit homogener Masseverteilung gibt es immer eine Achse durch den Schwerpunkt mit minimalem und eine Achse mit maximalem Trägheitsmoment (Hauptträgheitsachsen) nur um diese Achsen stabile Rotation. Sonst Unwucht! Experimente: Hauptträgheitsachsen eines Quaders, Stabilität der Rotation 37

38 Was sollten Sie aus Vorlesung 4 mindestens gelernt haben/lernen? Winkelgeschwindigkeit - Analogie ω v - gibt an, wie viel Radiant pro Sekunde überstrichen werden - Orientiert entlang der Drehachse, rechte-hand-schraube Umlaufzeit, Frequenz - Zeit für eine Umdrehung = Umlaufzeit T, [T] = s - Umdrehungen pro Zeiteinheit = Frequenz f, [f] = s -1 = Hz - f = 1/T = ω/π Umlaufgeschwindigkeit - Momentangeschwindigkeit v eines Masseelementes auf seiner Umlaufbahn - v = ω r 38

39 Was sollten Sie aus Vorlesung 4 mindestens gelernt haben/lernen? Zentripetal- / Zetrifugalkraft -a Z = ω r Drehmoment - M = r F - Analogie : M F Dreharbeit W = dw = Mdϕ - Analogie: dw = Fds Mdϕ, da F M und s ϕ 39

40 Was sollten Sie aus Vorlesung 4 mindestens gelernt haben/lernen? Drehimpuls L = r p - Analogie: L = p Drehimpulserhaltung L i i = const Grundgesetz der Dynamik für Drehbewegungen i dl dt i = i M i 40

41 Was sollten Sie aus Vorlesung 4 mindestens gelernt haben/lernen? Trägheitsmoment starrer Körper Θ = Δmiri = r dm = ρ i - Analogie: θ m Steinerscher Satz Θ A = Θ S + Ma - θ S = Trägheitsmoment bei Achse durch Schwerpunkt, θ A = Trägheitsmoment bei paralleler Achse im Abstand a Hauptträgheitsachsen V V r dv 41