Geometrie 1. Johanna Schönenberger-Deuel Dr. sc. math. Büro: Y27J30 Tel.: +41(0)

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1 M 430 Master UNIZH HS07 Geometrie 1 Johanna Schönenberger-Deuel Dr. sc. math. schoenenbergerdeuel@math.unizh.ch Büro: Y27J30 Tel.: +41(0)

2 2 1. Einführung Die Geometrie ist die älteste, systematisierte mathematische Disziplin. Geometrie bedeutet "Erdmessung". Ursprünglich waren geometrische Figuren Äcker, Wiesen, Felder. Zunächst ist die Geometrie die Lehre vom Messen und Berechnen von Längen, Winkeln, Flächen und Volumina. Schon die Babylonier, die Ägypter und die Griechen haben sich mit geometrischen Sachverhalten der menschlichen Umwelt auseinandergesetzt. ber erst Thales von Milet (ca ca. 547 v. Chr.) erfand, was wir heute Wissenschaft nennen. So waren seine geometrischen Figuren rein abstrakte Gebilde. Er untersuchte das Sammelsurium geometrischer Rezepte, Daumenregeln und empirischer Formeln, die aus Babylon und Ägypten überliefert wurden. Er merkte, dass einige Regeln aus anderen hergeleitet werden konnten und wollte die Geometrie als rein geistige ktivität sehen.

3 3 Pythagoras von Samos (ca v. Chr.) hörte von Thales wissenschaftlichen Ideen. Vor allem dessen Geometrie begeisterte ihn. Er studierte in Ägypten. Später gründete er in Kroton, einer griechischen Stadt in Süditalien, die Schule der Pythagoräer, eine halb religiöse, halb politische Gemeinschaft, wo man sich mathematischen und philosophischen Fragestellungen widmete. In dieser so genannten "Bruderschaft" waren aber Frauen und Männer völlig gleichberechtigt. So wurden Frauen wichtige Personen in der Weiterentwicklung von Mathematik und Naturwissenschaften. Man könnte Pythagoras den ersten "feministischen Philosoph" nennen! Euklid (etwa v. Chr.) lebte in then und wurde später ans Museion in lexandria berufen. lexander der Grosse hatte diese neue Stadt am Nil gegründet. lexandria wurde das aktive Zentrum der Wissenschaften und Mathematik. Euklid hat das bis dahin bekannte Material gesammelt und systematisch aufbereitet. In seinen "Elemente der Mathematik" (insgesamt 13 Bücher) führt er eine axiomatische Begründung der Geometrie ein. Die Schulbücher beruhen auch heute noch mindestens indirekt auf den "Elementen". Euklid versucht zunächst, die Grundbegriffe wie "Punkt", "Gerade" und "Ebene" explizit zu definieren (Ein Punkt ist, was keine Teile hat), führt dann Grundrelationen "inzident", "zwischen" und "kongruent" ein und formuliert in den xiomen (Grundaussagen) die einfachsten Eigenschaften. Damit kann er neue Begriffe explizit definieren und Sätze beweisen, indem er sich nur auf sein xiomensystem stützt. (Euklids xiome werden in Geometrie 2 etwas genauer untersucht.) Zwei nektoten über Euklid: Ein junger Student fragt Euklid: "Was habe ich davon, wenn ich all diese Dinge lerne?" Euklid ruft seinen Diener ruft und sagt zu diesem: "Gib dem Mann eine Münze, denn er muss einen Gewinn ziehen aus dem, was er lernt." König Ptolemaios fragt Euklid: "Gibt es in der Geometrie einen kürzeren Weg als die Elemente?", worauf Euklid antwortet: " Es gibt keinen Königsweg zur Geometrie." Die "Elemente" sind das älteste, uns überlieferte Beispiel eines axiomatischen Systems. Sie etablierten sich als Standardwerk zur Einführung in die Geometrie und wurden mehrmals abgeschrieben und immer wieder etwas verändert.

4 Theon von lexandria (2. Hälfte des 4. Jh. n. Chr.) lehrte auch am Museion. Er war einer der wichtigsten Herausgeber der "Elemente". 700 Jahre nach Euklid revidierte er das Original mit klaren Formulierungen, schob einige Zwischenschritte in den Beweisen der Sätze ein und fand neue Sätze. Theon unterrichtete selbst seine Tochter Hypatia ( ). Er wollte ihr die bestmögliche usbildung geben, obwohl zu dieser Zeit die Frauen wie Sklaven behandelt wurden. Sie sollte ein "vollkommener Mensch" werden. 4 Hypatia studierte bei ihrem Vater, dann aber auch in then und Italien. Zurück in lexandria durfte sie offiziell Mathematik und Philosophie lehren. Ihre Schriften sind Erkärungen und Ergänzungen zu den Büchern von Euklid und Diophant, sowie zu den Lehren von Platon und ristoteles. Studenten aus aller Welt besuchten ihre Vorlesungen, auch Juden und Christen. In dieser Zeit gewannen die Christen im römischen Grossreich immer mehr an Bedeutung. Für sie war Mathematik und Philosophie nur eine Irrlehre. 412 wurde Cyrillus, ein fanatischer Christ, Patriarch von lexandria. Er verlangte von den Gelehrten, dass sie den christlichen Glauben annahmen, denn er wollte die Stadt vom Heidentum reinigen. Hypatia weigerte sich, ihre Lehren und ihre Ideale aufzugeben. So fiel sie einem grausigen Mordkomplott zum Opfer. Dieser brutale Mord setzte der Verbreitung von Platons Lehre im ganzen römischen Reich ein jähes Ende. Hypatia wurde zum Symbol für das Ende der antiken Wissenschaft, denn der Westen leistete für die nächsten tausend Jahre keine wesentlich neuen Erkenntnisse weder in Mathematik noch in Physik noch in stronomie. Dafür interessierte man sich für strologie und Mystizismus. Europa trat ins finstere Mittelalter ein, währenddem die griechische Wissenschaft in Byzanz überlebte und in der arabischen Welt zu neuer Blüte gelangte. Seit 1482 sind mehrere griechische Fassungen der "Elemente" wieder aufgetaucht, die alle auf Theon zurückgehen. Euklids Elemente bestehen aus 13 Büchern. Sie haben kein Vorwort, keine Einleitung. Es werden keine Ziele formuliert, keine Motivation, kein Kommentar. Das Werk beginnt abrupt mit 23 "Definitionen". Definition 1: Ein Punkt ist, was keine Teile hat. Wie gross ist ein Punkt? Euklids Elemente unterscheiden sich von den heutigen axiomatischen Theorien wesentlich. Euklid definiert auch die Grundbegriffe: Punkte, Geraden, Ebenen.

5 Heute verzichtet man meist auf solch exakte Definitionen der Grundbegriffe. Seit David Hilbert( ) werden in xiomensystemen die Grundbegriffe nicht näher definiert, sondern man postuliert Eigenschaften gewisser Relationen zwischen den Grundbegriffen. Euklids Modell hat sich über mehr als 2000 Jahre bewährt in Naturwissenschaft, Technik und Kultur. Es wurde auch für andere Wissenschaften zum Vorbild wissenschaftlicher Darstellung von Theorien. Die sogenannte Euklidische Geometrie kann als die abstrakte Beschreibung unserer ebenen und räumlichen Erfahrung aufgefasst werden. Der nstoss zur weiteren Entwicklung der Geometrie hat das Parallelenaxiom gegeben, das besagt, dass es zu jeder Geraden durch jeden Punkt genau eine Parallele gibt. Man hat lange geglaubt, dass dieses xiom aus den ersten vier hergeleitet werden kann. Erst als man Ende des 18. Jahrhunderts die Unabhängigkeit des Parallelenaxioms nachweisen konnte, war der Weg frei zu anderen Geometrien, den sogenannten nichteuklidischen Geometrien. ls erster erkannte Carl Friedrich Gauss ( ), dass eine in sich widerspruchsfreie Geometrie entsteht, wenn man annimmt, dass zu einer Geraden durch einen nicht auf ihr gelegenen Punkt mehrere Parallelen gezogen werden können. Das war die "Geburt" der nichteuklidischen Geometrie. us Furcht vor dem Geschrei engstirniger Philosophen hat Gauss seine Überlegungen nicht veröffentlicht. Gauss, dann aber auch Janos Bolyai ( ) und Nicolai Lobatschewsky ( ) begründeten mit diesen neuen Gedanken die erste nichteuklidische Geometrie. Felix Klein ( ) kreierte dafür den Namen hyperbolische Geometrie. (hyperbole heisst griechisch der Überschuss: in der neuen Geometrie gibt es einen Überschuss an parallelen zu einer Gerade durch einen Punkt!) Der Raumbegriff in der Mathematik und Physik unterliegt gerade heute vielfältigen Verallgemeinerungen. Es ist notwendig, dass man diesen Begriff nicht nur im Sinne Euklids versteht. Im Gegenteil gibt es viele Räume, die man geometrisch untersuchen kann. In dieser Vorlesung werden wir vor allem die euklidische Geometrie der Ebene studieren. Wir wollen uns aber nicht nur auf Euklid beziehen, wo die starre Kongruenz von Dreiecken wichtig ist, sondern wir werden dynamisch vorgehen und den bbildungsbegriff betonen. Die bbildungsgeometrie geht auf Felix Klein ( ) zurück. In Geometrie 2 werden wir Modelle nichteuklidischer Geometrien kennenlernen. 5

6 2. Isometrien oder Kongruenzabbildungen 2.1 Einführende Überlegungen Kongruente Figuren sind deckungsgleiche Figuren. 6 B Eine Figur wird so bewegt, dass sie mit einer anderen Figur B zur Deckung gebracht werden kann. uf diese Weise wird der Kongruenzbegriff auf spezielle geometrische bbildungen zurückgeführt, die Kongruenzabbildungen oder Isometrien, die man auch Bewegungen nennt. Eine Kongruenzabbildung ist somit eine bbildung, die eine geometrische Figur nur verlagert, ihre Grösse und Form aber unverändert lässt. llgemein interessiert man sich für das Verhalten geometrischer Figuren bei gewissen bijektiven bbildungen. Definition Eine bbildung ϕ der Ebene auf sich heisst bijektiv, falls ϕ umkehrbar ist; d.h. es gibt nicht nur für jeden Punkt X genau einen Bildpunkt Y sondern umgekehrt gibt es für jeden Punkt Y genau einen Punkt X, sodass gilt: ϕ(x) = Y. Die bbildung, die jedem Bildpunkt Y sein Urbild X zuordnet, heisst zu ϕ inverse bbildung und wird mit ϕ 1 bezeichnet. ϕ 1 (Y) = X. X ϕ Y ϕ 1 Identische bbildung Die bbildung, die jeden Punkt X auf sich selbst abbildet, nennt man die identische bbildung oder Identität. id(x) = X

7 Verknüpfung von bbildungen Sind ϕ 1 und ϕ 2 bbildungen, so nennt man ϕ 2! ϕ 1 die Verknüpfung (Hintereinanderschachtelung) von ϕ 1 und ϕ 2. (sprich: ϕ 2 nach ϕ 1, ϕ 2 Ring ϕ 1 ) ϕ 2! ϕ 1 bildet jeden Punkt X ab auf ϕ 2 [ϕ 1 (X)]: 7 (! 2!! 1 )(X) =! 2 [! 1 (X)] =! 2 (Y ) = Z Die Verknüpfung von bbildungen ist assoziativ.! 3! (! 2!! 1 ) = (! 3!! 2 )!! 1 Die Verknüpfung von bijektiven bbildungen ist wieder bijektiv. Definition Eine Isometrie oder Kongruenzabbildung ϕ der Ebene (oder des Raumes) auf sich ist eine bijektive, längentreue bbildung. Das heisst: Für zwei Punkte und B und ihre Bildpunkte ' = ϕ() und B' = ϕ (B) sind die Strecken B und 'B' gleich lang: B = ' B' Isometrien sind geradentreue bbildungen, sie bilden Geraden auf Geraden ab. Die Verknüpfung von Isometrien ist wieder eine Isometrie.

8 8 2.2 Geradenspiegelung S g P. S g (P) = P' g P' Da wir unsere bbildungsgeometrie auf der Geradenspiegelung aufbauen, untersuchen wir zuerst diese bbildung. Diese bbildung ist Ihnen von der Schule her sehr bekannt. Die wichtigsten Eigenschaften der Geradenspiegelung S g 1. Zu zwei Punkten P und Q gibt es genau eine Geradenspiegelung, die P auf Q abbildet. Die Spiegelungsachse ist die Mittelsenkrechte von PQ. 2. Die Geradenspiegelung ist eine involutorische bbildung, d.h. sie ist zu sich selbst invers: S g! S g = id 3. Jeder Punkt von g ist Fixpunkt. 4. Jede zu g senkrechte Gerade ist Fixgerade. Für P g liegt der Bildpunkt P' auf der anderen Seite von g. Die Verbindungsgerade PP' steht senkrecht zu g, ist also Fixgerade. 5. Eine geschlossene Figur und ihr Bild haben entgegengesetzten Umlaufsinn. C C' B B' '

9 9 1. Beispiel Gesucht ist der kürzeste Weg vom Punkt nach B via die Gerade g. B g 2. Beispiel Gegeben sind eine Gerade g und zwei Kreise k 1 und k 2. Konstruieren Sie Quadrate, die zwei gegenüberliegende Ecken auf g haben und von denen je eine Ecke auf k 1 und k 2 liegen.

10 Isometrien der Ebene Wir suchen alle Isometrien der Ebene auf sich und wollen die Strukturen dieser Isometrien untersuchen. us ihrem Unterricht in der Sekundarschule oder im Gymnasium kennen Sie die folgenden Isometrien: Geradenspiegelung Punktspiegelung Rotation (Drehung) Translation (Verschiebung) Schubspiegelung (Vielleicht bekannt!) Die Frage lautet: Sind das nun wirklich alle Isometrien der Ebene auf sich? ls erstes suche wir alle Isometrien, die einen Punkt festlassen, also einen Fixpunkt besitzen. Definition Ein Punkt P heisst Fixpunkt der bbildung ϕ, wenn gilt: ϕ (P) = P. Satz 1: Isometrien der Ebene mit mindestens einem Fixpunkt Ist ϕ eine Isometrie der Ebene und O ein Fixpunkt von ϕ: ϕ (O) = O. Dann gilt: - Entweder ist ϕ eine Drehung um O um einen Winkel α mit 0 < α < oder ϕ ist eine Spiegelung an einer Geraden durch O - oder ϕ = id. zum Beweis Der Beweis ist nur so präzis, wie die Begriffe definiert sind (Ebene, Raum, Geradenspiegelung, Drehung,...). Wir gehen nicht auf das xiomensystem ein. (In Geometrie 2 werden wir das xiomensystem studieren) Voraussetzung: ϕ ist eine Isometrie mit einem Fixpunkt O: ϕ (O) = O. Fallunterscheidungen 1. Fall: ϕ besitzt noch einen zweiten Fixpunkt P ( O): ϕ (P) = P. Wir zeigen, dass ϕ dann entweder die Identität oder eine Geradenspiegelung ist. 2. Fall: ϕ hat genau einen Fixpunkt O. Hier zeigen wir, dass dann ϕ eine Rotation ist. Der Satz 1 gibt einen Überblick über alle Isometrien der Ebene, die mindestens einen Punkt fest lassen.

11 Wie erhält man nun alle Isometrien der Ebene, auch z. B. die Translationen? Dazu beweisen wir den folgenden Satz 11 Satz 2: alle Isometrien der Ebene Jede Isometrie der Ebene ist eine Verknüpfung einer Translation und einer Isometrie mit Fixpunkt.! " Iso #! = T! v "$, wobei $ eine Isometrie mit Fixpunkt Damit haben wir im Prinzip alle Isometrien gefunden. Die reine Translation ist die Verknüpfung der Translation mit der Identität; die Schubspiegelung die Verknüpfung einer Geradenspiegelung mit einer Translation (später). Sind 2 Punkte und ihre Bilder bekannt, so beweisen wir, dass es genau zwei zugehörige Isometrien gibt. Satz 3: Ist B und B = ' B', so gibt es genau 2 Isometrien ϕ 1 und ϕ 2, die auf ' und B auf B' abbilden und die sich nur durch eine Spiegelung an der Geraden g' = 'B' unterscheiden. B B' ' ϕ 1 oder ϕ 2 = S g' ϕ 1 g' Mit 3 Punkten und ihren Bildpunkten ist die Isometrie eindeutig bestimmt. C genau eine Isometrie ϕ B C B

12 12 Satz 4: a) Eine Isometrie der Ebene auf sich ist eindeutig festgelegt durch die Bilder dreier nicht kollinearer Punkte. b) Eine Isometrie der Ebene auf sich mit drei nicht kollinearen Fixpunkten ist die Identität. us den Sätzen 3 und 4 folgt nun leicht: Satz 5: a) Jede Isometrie der Ebene auf sich ist darstellbar als Produkt von höchstens 3 Geradenspiegelungen. b) Jede Verknüpfungt von endlich vielen Geradenspiegelungen ist eine Isometrie. c) Jedes Produkt von beliebig vielen Geradenspiegelungen lässt sich darstellen mit höchstens 3 Geradenspiegelungen. Bemerkungen Grundsätzlich unterscheidet sich eine Geradenspiegelung von der Verknüpfung zweier Spiegelungen schon wegen der Fixpunkteigenschaften. Bei der Spiegelung an einer Geraden g sind alle Punkte auf g Fixpunkte, und es gibt keine weiteren Fixpunkte. Bei der Verknüpfung von zwei Spiegelungen muss die Lage der beiden Geraden beachtet werden! Wie können die bekannten 5 Isometrien durch Geradenspiegelungen dargestellt werden? Dazu ist der im nächsten bschnitt behandelte Satz, der so genannte Dreispiegelungssatz sehr nützlich. Nachher wird es ein Leichtes sein, die bekannten Isometrien durch die Verknüpfung von höchstens 3 Geradenspiegelungen darzustellen.

13 Dreispiegelungssatz Wir wissen nun, dass sich jede Isometrie der Ebene auf sich als Verknüpfung von höchstens drei Geradenspiegelungen darstellen lässt. Damit können wir einen Überblick über alle Isometrien der Ebene gewinnen. Die nzahl und die Lage der Spiegelungsachsen wird wesentlich. Zuerst beweisen wir den folgenden wichtigen Satz, der sich auf Dreifachspiegelungen bezieht. Satz 6: Dreispiegelungssatz Die Verknüpfung dreier Geradenspiegelungen, wobei die drei Geraden entweder parallel oder kopunktal (genau einen Schnittpunkt) sind, ist darstellbar mit einer Geradenspiegelung. Gilt für die 3 Geraden g, h, k : Entweder g //h //k oder g h k = {}, dann gibt es eine Gerade m, so dass gilt: S k S h S g = S m k g m h k g h m Bemerkungen 1. Die genaue Lage der Geraden m wird nachher bestimmt. Dazu brauchen wir noch den Begriff der Orientierung. 2. Statt der obigen Gleichung S k S h S g = S,m kann man auch durch Verknüpfung von links mit S k (rsp von rechts mit S g ) die oft nützlichen äquivalenten Darstellungen erhalten. oder S h S g = S k S m S k S h = S,m S g Jetzt gibt es auf jeder Seite der Gleichung 2 Geradenspiegelungen. Man kann also statt an h und k auch an g und m spiegeln. Orientierung

14 Führt man den Begriff der Orientierung ein, so kann man mehr über die Lage der vier Geraden g, h, k, m aussagen, die im Dreispiegelungssatz (Satz 6) vorkommen. Für Winkel und Dreiecke sind zwei Orientierungen möglich. Sie bleiben bei gleichsinnigen Isometrien erhalten, bei ungleichsinnigen werden sie umgekehrt. Im 2-dimensionalen Raum wählen wir die Orientierung positiv (im Gegenuhrzeigersinn) oder negativ (im Uhrzeigersinn). 14 C gleichorientierte Dreiecke B B C gleichorientierte Winkel orientierte Gerade: Punkte auf der Geraden sind mit der Relation "vor" streng linear geordnet; entweder P Q oder Q P. Ist die Relation "vor" (willkürlich) gegeben, z. B. B, dann heisst die Gerade orientiert. B g Zwei parallele Geraden g und h heissen gleichorientiert, wenn folgendes gilt: Seien, B g und B die Orientierung von g und sei C D die Orientierung von h. Sei nun k die Transversale, die g in und h in C schneidet. Liegen B und D in derselben Halbebene von k, dann sind die parallele Geraden g und h gleichorientiert. B g h C D k Diese Definition lässt sich übertragen auf Halbgeraden oder Vektoren, die auf parallelen Trägergeraden liegen. gleichorientierte Vektoren entgegengesetzt orientierte Vektoren

15 15 Satz 6B: g, h, k und m seien vier parallele oder kopunktale Geraden, die nach Satz 6 die Gleichung erfüllen: S h S g = S k S m a) Ist g! h! k = {}, so ist der Winkel zwischen g und h gleich dem Winkel zwischen m und k. k m h g b) Ist g h k m und ist s eine Senkrechte zu diesen Geraden, die g in, h in B,!!! "!!!" m in C und k in D schneidet, so sind die Vektoren B = CD gleichorientiert und kongruent. B C D s g h m k Damit kann man eine Verknüpfung von zwei Geradenspiegelungen ersetzen durch eine andere Verknüpfung mit den entsprechenden Bedingungen. Satz 7: Eine Verknüpfung von vier Geradenspiegelungen ist stets darstellbar als Verknüpfung von genau zwei Geradenspiegelungen. lso ist jede Verknüpfung einer geraden nzahl Geradenspiegelungen mit Hilfe von genau zwei Geradenspiegelungen darstellbar. Bemerkungen 1. Eine Verknüpfung von 3 Geradenspiegelungen kann aber nie durch zwei Geradenspiegelungen dargestellt werden.

16 2. Die Isometrien der Ebene lassen sich in 2 Klassen einteilen: ungleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer ungeraden nzahl Geradenspiegelungen (Umwendungen). gleichsinnige Isometrien: Verknüpfung einer geraden nzahl Geradenspiegelungen (echte Bewegungen) Lage der Spiegelungsachsen Bei den gleichsinnige Isometrien können die beiden Spiegelachsen parallel sein oder sich schneiden, speziell können sie senkrecht aufeinander stehen. Die ungleichsinnige Isometrien können als eine oder als 3 Geradenspiegelungen dargestellt werden.