Kostenfunktion. gelegt. a) Stellen

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1 Aufgabe 1 prototypische Aufgabee für Cluster 6, 7, 8 Kostenfunktion Aufgabenstellung Durch die Punkte P 1 (1 3), P 2 (4 5),, P 3 (7 6) und gelegt. P 4 (10 9) wird der Graph einer Polynomfunktion 3. Grades Dieser Funktionsgraph beschreibt modellhaft eine Kostenfunktion. K(x)... Produktionskosten in Geldeinheiten (GE), x... Produktionsmengee in Mengeneinheiten (ME) a) Stellen Sie ein Gleichungssystem auf, mit dem Sie diese Funktion berechnen können. b) Beschreiben Sie die Eigenschaften der abgebildeten Kostenfunktion anhand a des Funktionsgraphen aus mathematischer Sicht und erklären Sie die Eigenschaften einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion. c) Die Kostenfunktionn lautet K(x) = 0,019 x 3 0,28 x 2 + 1,67 x + 1,59. Bestimmen Sie die dazugehörige Grenzkostenfunktion und erläutern Sie die Bedeutung der Grenzkostenfunktion.

2 d) Bestimmen Sie mithilfe der vorgegebenen Grafik näherungsweise die dargestellte Erlösfunktion. Geben Sie den Zusammenhang mit der langfristigen Preisuntergrenzee an.

3 Kostenfunktion Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch Lösungsvorschlag Teilaufgabe a) Kx=a 3 x 3 +a 2 x 2 +a 1 x+a 0 K 1 = 3: a 3 + a 2 + a 1 + a 0 = 3 K 4= 5: 64a a 2 + 4a 1 + a 0 = 5 K 7= 6: 343a a 2 + 7a 1 + a 0 = 6 K 10= 9: 1000a a a 1 + a 0 = 9 Kompetenzen und fakultative Fragen Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Modellieren und Transferieren Fakultative Fragen: Warum wird durch 4 Punkte eine Polynomfunktion 3. Grades bestimmt? (Die Polynomfunktion 3. Grades beinhaltet 4 Formvariable, es sind daher 4 Gleichungen zur Bestimmung notwendig aus jedem Punkt eine Gleichung.) Modellieren und Transferieren Wie würde sich das Gleichungssystem ändern, wenn statt zweier Punkte zwei Steigungen in den anderen Punkten angegeben wären? (Je eine Bedingung würde nicht den Funktionswert, sondern die Ableitung betreffen, also eine Gleichung aus K(x 1 ) = y 1, eine aus K(x 2 ) = y 2, eine aus K' (x 1 ) = k 1 und eine aus K' (x 2 ) = k 2.) Modellieren und Transferieren Wie würden Sie dieses Gleichungssystem lösen? (Die Beantwortung ist abhängig von den im Unterricht vermittelten Methoden und der verwendeten Technologie.) Operieren und Technologieeinsatz

4 Teilaufgabe b) streng monoton steigend, Fixkosten 0, Bereiche mit zuerst positiver und danach negativer Krümmung (oder: Rechts- bzw. Linkskurve, konvex/konkav), zuerst degressiver und danach progressiver Kostenverlauf, Wendepunkt Kostenkehre (bzw. im Unterricht verwendete Begriffe), keine Extremwerte Daraus folgen Eigenschaften der Koeffizienten: a 0 0 a 3 > 0 a 2 < 0 (mögliche erweiterte Interpretation: K' (x) = 3a 3 x 2 + 2a 2 x + a 1 (2 a 2 ) a 3 a 1 < 0 4 a a 3 a 1 < 0 a 2 2 < 3 a 3 a 1 ) Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Modellieren und Transferieren Interpretieren Fakultative Fragen: Welche Eigenschaften weist der Wendepunkt auf und wie wird er deshalb berechnet? (f'' (x) = 0, daher Lösung der linearen Gleichung y'' = 0) Modellieren und Transferieren Welche Eigenschaften darf eine Kostenfunktion nicht haben? (Sie darf an keiner Stelle monoton fallend sein, sie darf nicht negativ sein.) Argumentieren Wo kann man die Fixkosten ablesen? (K(0)) Interpretieren Mit welchem Punkt der Kostenfunktion kann man die Kostenkehre ermitteln? Wie lässt sich dieser Punkt bestimmen? (Wendepunkt, zwischen degressivem und progressivem Bereich, K'' (x) = 0) Interpretieren Transferieren

5 Teilaufgabe c) Kx= 0,019 x 3 0,28 x 2 +1,67 x+1,59 K' x= 0,057 x 2 0,56 x+1,67 Bedeutung der Grenzkostenfunktion in der Wirtschaft: Zunahme bei den Produktionskosten, wenn Produktionsmenge um 1 ME erhöht wird. Vorrangig abgeprüfte Kompetenzen: Operieren und Technologieeinsatz Transferieren Fakultative Fragen: Wie kann man diese Funktion händisch ableiten? (Nennung der entsprechenden Differenziationsregeln) Operieren Erläutern Sie den Unterschied zwischen der Definition der Grenzkostenfunktion aus der Wirtschaft und der mathematischen Definition Differenzialquotient. (Δx = 1, also Differenzenquotient, also genau genommen nicht Differenzialquotient K'(x)) Argumentieren

6 Teilaufgabe d) Zu berechnen ist vorerst der Berührpunkt B. Vorrangig abgeprüfte Kompetenzen: Interpretieren Argumentieren Ablesen des Berührpunktes der Erlösfunktion: : ca.: 8 ME und 6,4 GE (Gesamtkosten) 0,8 GE/ME Stückkosten ist die Stelle des Betriebsoptimums langfristige Preisuntergrenze ist 0,8 GE/MEE das entspricht auch dem Anstieg der Erlösfunktion E(x) = 0,8x

7 Beurteilungsschema Kompetenzbereiche Modellieren und Transferieren Operieren und Technologieeinsatz Interpretieren und Dokumentieren Argumentieren und Kommunizieren Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Basismodelle im allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext erkennen und erstellen (im Sinne der Grundkompetenzen) Basiszusammenhänge aus dem Alltag in einfachster Form in die Mathematik und umgekehrt transferieren Rechen- und Konstruktionsabläufe auf Basis grundlegenden Operierens planen und korrekt durchführen operative Tätigkeiten zur Lösung grundlegender Problemstellungen an die jeweils verfügbare Technologie (im Mindestausmaß) auslagern und Technologie adäquat einsetzen aus Informationen oder mathematischen Darstellungen grundlegende Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte im Mindestmaß erkennen und darlegen Modelle, Lösungswege und Ergebnisse in grundlegender Form einfach darstellen und erläutern Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt grundlegende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden und erklären grundlegende Zusammenhänge in mathematischer Beschreibung transferieren auf Basis eines zugrunde liegenden tieferen Verstehens über die einfache Rechenkompetenz hinausgehend operieren grundlegende Technologie-Kompetenz nachweisen vorgegebene mathematische Zusammenhänge und Ergebnisse in allgemeinen und schulformspezifischen Kontexten erfassen und deuten grundlegende Lösungsstrategien für andere Personen verständlich und nachvollziehbar darstellen **) mathematische Sachverhalte und Fremdentscheidungen ausreichend begründen **) Defizite durch Aspekte des Argumentierens ausgleichbar Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt über das Grundlegende hinausgehende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden mathematische Zusammenhänge in berufsfeldspezifische Bereiche und umgekehrt übertragen über die normale Rechenkompetenz hinausgehend anspruchsvoll unter Nachweis eines kompetenten Technologieeinsatzes operieren mathematische Zusammenhänge in Fachsprache interpretieren Lösungsstrategien in Fachsprache nachvollziehbar darstellen mathematische Sachverhalte und Entscheidungen unter Verwendung mathematischer Fachsprache begründen und erklären Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Modelle im Bereich komplexer Problemstellungen und Sachzusammenhänge erstellen komplexe mathematische Zusammenhänge in berufsfeldspezifische Bereiche übertragen und diese nutzen in komplexen bzw. anspruchsvollen Situationen auf den jeweiligen Cluster abgestimmt operieren über eine tiefgehende Werkzeugkompetenz verfügen und diese nachweisen komplexe mathematische Zusammenhänge auf den jeweiligen Cluster abgestimmt interpretieren komplexe Lösungsstrategien auf den jeweiligen Cluster abgestimmt dokumentieren mathematische Sachverhalte und Entscheidungen mit mathematischer Fachsprache unter Berücksichtigung unterschiedlicher Aspekte und Sichtweisen analysieren, begründen und erklären

8 Beurteilungsraster Bezug zu den Aufgabenteilen (fakultative Fragen) Kompetenzbereiche Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt a (a) b c d Modellieren und Transferieren (a) c (c) d Operieren und Technologieeinsatz b (b) Interpretieren und Dokumentieren (b) (c) d Argumentieren und Kommunizieren Gesamtbeurteilung:

9 Aufgabe 2 prototypische Aufgabe für Cluster 3 Schadstoffausbreitung Aufgabenstellung Der Ausstoß von Schadstoffmengen an einem bestimmten Ort in einer bestimmten Entfernung von der Schadstoffquelle wird häufig normalverteilt angenommen, vor allem dann, wenn ungefähr zur gleichen Tageszeit und am gleichen Ort die Emissionsmenge betrachtet wird. Dies wird bei den folgenden Aufgabenstellungen vorausgesetzt. Die Angabe der Schadstoffmengen erfolgt in Milligramm pro Betriebsstunde (mg/h). a) Ein Unternehmen gibt an, dass Langzeitmessungen immer um die gleiche Zeit am Vormittag normalverteilte Schadstoffwerte mit = 140 mg und = 8 mg ergeben haben. Eine private Bürgerinitiative zieht diese Ergebnisse in Zweifel und möchte auf eigene Faust Messwerte ermitteln. 1) Geben Sie jenen zweiseitigen Bereich an, in dem Stichprobenmittelwerte (mit Stichprobenumfang n = 10) mit 95 % bzw. 99 % Wahrscheinlichkeit liegen müssten, wenn die Angaben der Firma als richtig angesehen werden. Es wurde schließlich folgende Messreihe von der Bürgerinitiative ermittelt: Nr Schadstoffmenge in mg/h ) Bestimmen Sie den Mittelwert und die Stichprobenstandardabweichung dieser Messreihe. 3) Ziehen Sie daraus entsprechende Schlussfolgerungen. b) Unter der Annahme der Normalverteilung kann man die emittierten Schadstoffmengen sowohl mit Hilfe der Dichtefunktion als auch mit Hilfe der Verteilungsfunktion der Normalverteilung beschreiben. Skizzieren Sie daher für = 160 mg und = 10 mg den Verlauf der Dichtefunktion und der Verteilungsfunktion maßstabsgerecht und erklären Sie den Zusammenhang dieser beiden Funktionen. Zeichnen Sie auch und in die Grafiken ein. c) Die Schadstoffmenge hängt natürlich auch stark von der Entfernung der Emissionsquelle ab. Bei Untersuchungen wurde festgestellt: Je Kilometer Entfernung von der Schadstoffquelle nimmt die Schadstoffkonzentration um 10 % ab. Erklären Sie, welcher Funktionstyp demnach geeignet ist, die Schadstoffmenge in Abhängigkeit von der Entfernung zu beschreiben. Stellen Sie schließlich die Funktionsgleichung auf. d) Die Dichtefunktion der sogenannten normierten Normalverteilung lautet: g(u) 1 2 e Führen Sie wichtige Rechenschritte an, um die Wendepunkte dieser Funktion zu finden. u 2 2.

10 Schadstoffausbreitung Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch Aufgabe Teilaufgabe a) 1) Bestimmung des 95-%- bzw. 99-%-Zufallsstreubereiches für den Mittelwert, ausgehend vom gegebenen und : Kompetenzen und fakultative Fragen Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Operieren und Technologieeinsatz Interpretieren, aber auch Modellieren (Zufallsstreubereich) u x x 0,975 unten oben 1,96 (95% Zufallsstreubereich) u0, ,32 mg n u0, ,68 mg n u x x 0,995 unten unten 2,576 (99% Zufallsstreubereich) u0, ,39 mg n u0, ,61 mg n 2) Berechnung von Mittelwert und Standardabweichung der 10 Messwerte: 1 x n n i1 x 158,5mg i 1 s x x n 1 n ( i 2 ) 8,55 mg i1 3) Der gemessene Mittelwert liegt außerhalb des 95-%-Zufallsstreubereiches ausgehend von den Angaben des Unternehmens, aber innerhalb des 99-%- Zufallsstreubereiches. Es besteht daher der Verdacht, dass die Angaben des Unternehmens nicht stimmen, jedoch ist die Irrtumswahrscheinlichkeit der Behauptung Die Angaben des Unternehmens stimmen nicht jedenfalls größer als 1 %. In vielen Fällen sagt man in so einem Fall: Weitere Untersuchungen anstellen.

11 Teilaufgabe b) - + Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Interpretieren Argumentieren und Kommunizieren Fakultative Fragen Erklären Sie den Zusammenhang der beiden Funktionen in einzelnen Punkten (z. B. bei x = ). ( siehe Skizze: G() = 0,5) Interpretieren Der Erwartungswertt teilt die Dichtefunktion in zwei symmetrische Hälften. Bei sind die Wendepunkte der Dichtefunktion (im Bereich liegen l ca. 688 % der Werte). Für den Zusammenhang Dichtefunktion Verteilungsfunktion gilt: Gx ( ) g() tdt x 0 Erläutern Sie, wie man den Zusammenhang Gx ( ) g() tdt umkehren kann. dg( x) ( g ( x) ; dx Hauptsatz der r Diff.-Int.) Modellieren Argumentieren und Kommunizieren x 0

12 Teilaufgabe c) Als Funktionstyp kommt nur die Exponentialfunktion in Frage (in gleichen Abständen gleiche prozentuelle Abnahme). Im Wesentlichen kann man 2 verschiedene Vorgangsweisen zur Ermittlung der Funktionsgleichung unterscheiden (beide Lösungswege sind als gleichwertig anzusehen): 1) Direktes Ansetzen mit der Basis 0,9: Sd ( ) S0 0,9 d (d Abstand von der Emissionsquelle in km) 2) Ansatz über eine e-funktion: d Sd ( ) S0 e 0,9 S S e 0,105 km Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: Modellieren (beim 2. Ansatz auch Operieren ) Fakultative Frage: Je 2 Kilometer Entfernung von der Schadstoffquelle nimmt die Schadstoffkonzentration um 10 % ab. Stellen Sie die Funktionsgleichung auf. d 2 Sd ( ) S0 0,9 Modellieren Teilaufgabe d) Diese Aufgabe lässt je nach der (noch) zur Verfügung stehenden Zeit und des Beurteilungsspielraumes (größere Komplexität) viel Spielraum ( siehe fakultative Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: Argumentieren und Kommunizieren

13 Fragestellungen). Kurzantwort: Man muss die zweite Ableitung der Funktion ermitteln und diese gleich null setzen. Fakultative Fragen: Warum muss die 2. Ableitung gleich 0 gesetzt werden? (Wendepunkt als Extremstelle der 1. Ableitung) Argumentieren und Kommunizieren Wie berechnen Sie den Wendepunkt mit Technologie? (Lösung technologieabhängig) Operieren und Technologieeinsatz gu ( ) 1 e 2 2 u 2 1 2u g( u) e u g( u) 1e u e 2 2 g( u) u u u 2 2 Führen Sie die Berechnungsschritte ohne Technologie durch. (Lösung nebenstehend; Anzahl der Lösungsschritte je nach zur Verfügung stehenden Zeit) Operieren Dies führt nach Kürzen bzw. Wegstreichen schließlich zur Gleichung u 2 1 bzw. u 1.

14 Schadstoffausbreitung Beurteilungsraster: Beurteilung / Kompetenzbereiche Bezug zu den Aufgabenteilen Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Modellieren und Transferieren Teilaufgabe a (Teilaufgabe b) Teilaufgabe c (Teilaufgabe c) Operieren und Technologieeinsatz Teilaufgabe a (Teilaufgabe c) (Teilaufgabe d) Interpretieren und Dokumentieren Teilaufgabe a Teilaufgabe b (Teilaufgabe b) Argumentieren und Kommunizieren Teilaufgabe b Teilaufgabe d (Teilaufgabe d) Beurteilung:

15 Aufgabe 3 prototypische Aufgabe für Cluster 2 Wirkstoffabbau Aufgabenstellung Zur Bestimmung des Verlaufes des Wirkstoffabbaus eines neuen Medikaments wurde die folgende Messreihe ermittelt: Zeit t in Stunden (h) Masse m in Milligramm (mg) a) Nehmen Sie einen exponentiellen Zusammenhang gemäß der Funktion mt () c e bt an. Ermitteln Sie durch Ausgleichsrechnung die bestmöglichen Parameter c und b. Stellen Sie die Messpunkte und den Funktionsgraphen dar. b) Gehen Sie wiederum von der Funktion mt () c e bt aus. d mt ( ) Ermitteln Sie m() t und erläutern Sie, welche Bedeutung diese Funktion im gegebenen Kontext hat. dt c) Gegeben sind nun n Punkte (Messdaten) x y. Erklären Sie, was mit der Funktion s( ab, ) axb y 2 des Gleichungssystems bestimmt werden kann. i i n i i beschrieben wird und was mit der Lösung i1 sab (, ) 0 a sab (, ) 0 b

16 Wirkstoffabbau Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch Aufgabe Teilaufgabe a) m in Milligramm Wirkstoffabbau (Exponentialfunktion) y = 150,12e -0,166x t in Stunden Kompetenzen und fakultative Fragen Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: Operieren und Technologieeinsatz Fakultative Fragen: Welches Grundprinzip steckt hinter der Suche nach den bestmöglichen Parametern? (Prinzip der kleinsten Quadrate) Modellieren und Transferieren Argumentieren und Kommunizieren Wie kann man aus der Funktionsgleichung 0,166 x y 150,12 e den Funktionsverlauf erklären/begründen? Interpretieren Diese Frage kann auch gestellt werden, wenn die Funktionsgleichung nicht gefunden wurde. Teilaufgabe b) bt mt () ce dm() t cbe dt bt Die Ableitungsfunktion kann als Abbaugeschwindigkeit zum Zeitpunkt t interpretiert werden. Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Operieren und Technologieeinsatz Interpretieren Fakultative Fragen: Erläutern Sie die verwendeten Ableitungsregeln (Konstanten, Kettenregel) Operieren Warum liefert die Ableitungsfunktion die Abbaugeschwindigkeit zum Zeitpunkt t? (momentane Änderungsrate ) Modellieren und Transferieren Argumentieren und Kommunizieren Teilaufgabe c) Diese Aufgabe lässt relativ viel Spielraum hinsichtlich der möglichen Beantwortung und hinsichtlich fakultativer Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Modellieren Argumentieren und Kommunizieren

17 Fragen. n Mit s( ab, ) ax 2 i byi wird die Summe der i1 Abstandsquadrate zwischen der Funktion y ax b und den Datenpunkten beschrieben (siehe Skizze). y x i y i Mit der Lösung des Gleichungssystems kann man das Minimum der Funktion s(a, b) bestimmen (Prinzip der kleinsten Quadrate nach C. F. Gauß). x Fakultative Fragen: Können Sie ihre Überlegungen graphisch veranschaulichen [falls dies nicht ohnehin erfolgt ist]? Modellieren Argumentieren und Kommunizieren Welche Funktion wird gemäß der Angabe n s( ab, ) ax 2 i b yi durch die i1 Punktwolke x y gelegt? (lineare Funktion: y ax b) Modellieren i Warum liefert das Gleichungssystem sab (, ) 0 a sab (, ) 0 b das Minimum der Funktion s(a, b)? i (Fläche Tangentialebene Richtungsableitungen parallel zur a-b- Ebene) Argumentieren und Kommunizieren

18 Wirkstoffabbau Prüfungsprotokoll Teilaufgabe a) Teilaufgabe b) Teilaufgabe c) Beurteilungsraster: Beurteilung / Kompetenzbereiche Modellieren & Transferieren Operieren & Technologieeinsatz Interpretieren & Dokumentieren Argumentieren & Kommunizieren Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Beurteilung:

19 Aufgabe 4 prototypische Aufgabee für Cluster 7 Keplergesetz Aufgabenstellung In der folgenden Tabelle sind die Entfernungen n von Planeten zur Sonne in Astronomischen Einheiten (Einheitsstrecke = Entfernung Sonne Erde) und deren Umlaufzeiten umm die Sonne angegeben. mittlere Entfernung x zur Sonne in Astronomischen Einheiten (AE) gerundete Umlaufzeit y in Tagen (d) Merkur 0,39 88 Venus ErdeE Jupiter Saturn 0,72 1 5,22 9, a) Der Zusammenhang zwischen Entfernung und Umlaufzeit wird durch y = a x c beschrieben. Bestimmen Sie aus den Werten von Venus und Erde die Parameter a und c und berechnen Sie die erwarteten Werte für den Jupiter. b) Die Anwendung der natürlichenn Logarithmusfunktion auf die obige Tabelle führt auf diese Tabelle: Merkur Venus Erde Jupiter Saturn Logarithmus der mittleren Entfernung zur Sonne in Astronomischen Einheiten (AE) x -0,94-0,33 0 1,65 2,26 Logarithmus der Umlaufzeit in Tagen (d) y 4,48 5,425 5,90 8,37 9,28 Damit besteht hier ein lineares Modell. Durch Ungenauigkeiten liegen die Punktee nicht exakt auf einer Geraden und werden daher günstigerweise durch eine Regressionsge erade bestimmt. Berechnen Sie die Gleichung der Regressionsgeraden und interpretieren Sie ihre Parameter. Erläutern Sie, wie Sie daraus die Daten für den Mars (mittlere Entfernung zur Sonne = 1,53 AE) ) be- rechnen können.

20 c) Mögliche Korrelationskoeffizienten für die oben angegebene Regression berechnen sich wie folgt: r 1 0,7 r 2 0,999 r 3 0,999 r 4 0,7 r 5 1,01 Erklären Sie, welcher der angegebenen Werte richtig sein kann und warum die anderen nicht stimmen können.

21 Keplergesetz Lösung und Anleitung für das Prüfungsgespräch Lösungsvorschlag Teilaufgabe a) y= ax c 365= a1 c 225= a0,721 c a= = 0,72c ln( ) c= ln (0,72) = 1,47 Jupiter: y= 3655,2 1,47 = 4119 Kompetenzen und fakultative Fragen Vorwiegend abgeprüfte Kompetenzen: Modellieren und Transferieren Operieren Fakultative Fragen: Um welchen Funktionstyp handelt es sich? (Potenzfunktion) Modellieren und Transferieren Wie bestimmen die Parameter a und c die Form des Funktionsgraphen? Interpretieren Welche Werte können a und c sinnvoll annehmen? Interpretieren

22 Teilaufgabe b) Berechnung mit Technologie y= x Geradensteigung = (Steigungsdreieck) Ordinatenabschnitt = 5,89950 Berechnung Mars 1.50ln (1,53)+ 5,90= 6,54= ln (690) (letzte Gleichheit aus e 6,54 = 690 ) Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: Operieren und Technologieeinsatz Fakultative Fragen: Welche Arten der Regressionsgerade (erste/zweite) gibt es und wie unterscheiden sie sich? Modellieren und Transferieren Wozu werden Regressionen verwendet? (Voraussagen treffen, Zwischenwerte berechnen) Warum ist aus den Tabellen ln (1)= 0 ablesbar? Modellieren Interpretieren

23 Teilaufgabe c) Beobachtung: Alle Punkte liegen beinahe auf der Geraden, die Steigung ist positiv. Der Korrelationskoeffizient muss sich daher sehr nahe an 1 befinden und positiv sein. r 3 0,999 ist daher richtig. r 1 0,7 nicht passend, weil nicht nahe genug an 1. Vorwiegend abgeprüfte Kompetenz: Argumentieren und Kommunizieren Fakultative Frage: Welcher Zusammenhang besteht zwischen Regressionsgerade und Korrelationskoeffizient? (Steigungen erste/zweite Regressionsgerade) r 2 0,999 nicht passend, weil zwar nahe genug an 1, aber negativ. Passt nicht zu positiver Steigung der Regressionsgeraden. r 4 0,7 nicht passend, weil negativ bzw. nicht nahe genug an 1. r 5 1,01 nicht passend, weil größer als 1. Modellieren und Transferieren

24 Beurteilungsschema Kompetenzbereiche Modellieren und Transferieren Operieren und Technologieeinsatz Interpretieren und Dokumentieren Argumentieren und Kommunizieren Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Basismodelle im allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext erkennen und erstellen (im Sinne der Grundkompetenzen) Basiszusammenhänge aus dem Alltag in einfachster Form in die Mathematik und umgekehrt transferieren Rechen- und Konstruktionsabläufe auf Basis grundlegenden Operierens planen und korrekt durchführen operative Tätigkeiten zur Lösung grundlegender Problemstellungen an die jeweils verfügbare Technologie (im Mindestausmaß) auslagern und Technologie adäquat einsetzen aus Informationen oder mathematischen Darstellungen grundlegende Fakten, Zusammenhänge oder Sachverhalte im Mindestmaß erkennen und darlegen Modelle, Lösungswege und Ergebnisse in grundlegender Form einfach darstellen und erläutern Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt grundlegende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden und erklären grundlegende Zusammenhänge in mathematischer Beschreibung transferieren auf Basis eines zugrunde liegenden tieferen Verstehens über die einfache Rechenkompetenz hinausgehend operieren grundlegende Technologie-Kompetenz nachweisen vorgegebene mathematische Zusammenhänge und Ergebnisse in allgemeinen und schulformspezifischen Kontexten erfassen und deuten grundlegende Lösungsstrategien für andere Personen verständlich und nachvollziehbar darstellen **) mathematische Sachverhalte und Fremdentscheidungen ausreichend begründen **) Defizite durch Aspekte des Argumentierens ausgleichbar Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt über das Grundlegende hinausgehende Modelle aus dem allgemeinen bzw. schulformspezifischen Kontext bilden mathematische Zusammenhänge in berufsfeldspezifische Bereiche und umgekehrt übertragen über die normale Rechenkompetenz hinausgehend anspruchsvoll unter Nachweis eines kompetenten Technologieeinsatzes operieren mathematische Zusammenhänge in Fachsprache interpretieren Lösungsstrategien in Fachsprache nachvollziehbar darstellen mathematische Sachverhalte und Entscheidungen unter Verwendung mathematischer Fachsprache begründen und erklären Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Modelle im Bereich komplexer Problemstellungen und Sachzusammenhänge erstellen komplexe mathematische Zusammenhänge in berufsfeldspezifische Bereiche übertragen und diese nutzen in komplexen bzw. anspruchsvollen Situationen auf den jeweiligen Cluster abgestimmt operieren über eine tiefgehende Werkzeugkompetenz verfügen und diese nachweisen komplexe mathematische Zusammenhänge auf den jeweiligen Cluster abgestimmt interpretieren komplexe Lösungsstrategien auf den jeweiligen Cluster abgestimmt dokumentieren mathematische Sachverhalte und Entscheidungen mit mathematischer Fachsprache unter Berücksichtigung unterschiedlicher Aspekte und Sichtweisen analysieren, begründen und erklären

25 Beurteilungsraster Bezug zu den Aufgabenteilen (fakultative Fragen) Kompetenzbereiche Anforderungen in den wesentlichen Bereichen überwiegend erfüllt Anforderungen in den wesentlichen Bereichen zur Gänze erfüllt Anforderungen über das Wesentliche hinausgehend erfüllt Anforderungen weit über das Wesentliche hinausgehend erfüllt a (a) b c d Modellieren und Transferieren (a) c (c) d Operieren und Technologieeinsatz b (b) Interpretieren und Dokumentieren (b) (c) d Argumentieren und Kommunizieren Gesamtbeurteilung:

26 Prüfungsprotokoll und Auswertung a) b) c) d) A B C D Während die Aufgaben 1 und 2 am unteren Ende der verfügbaren Prüfungszeit anzusiedeln sind, liegen die Aufgaben 3 und 4 am oberen Ende des verfügbaren Prüfungszeitrahmens.

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