AUFGABEN. Klausur: Modul Planen mit mathematischen Modellen. Termin:

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1 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine AUFGABEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine

2 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 1 20 Punkte Der Betreiber eines mobilen Heißgetränkeverkaufs beabsichtigt, vor der Mensa einer Universität Kaffee und Espresso anzubieten. Da sein Mini Cooper nur über begrenzte Kapazität verfügt und sehr viele Studierende die Mensa täglich aufsuchen, kann er davon ausgehen, dass seine Absatzzahlen nur von seinen Vorräten an Wasser, Bechern und Plätzchen begrenzt werden. Ein Kaffee (Espresso) benötigt 0,35 (0,1) l Wasser, beide Produkte verbrauchen 0,03 kg Kaffeepulver und einen Becher; pro Espresso wird noch ein Plätzchen beigelegt. Zur Verfügung stehen dem Betreiber 50 l Wasser, 6 kg Kaffeepulver, 300 Becher und 100 Plätzchen. Die vom Betreiber errechneten Deckungsbeiträge pro verkauftem Kaffee (Espresso) belaufen sich auf 0,5 (0,3) Euro. Der Betreiber ist an der Deckungsbeitragsmaximierung für den Tagesverkauf von Kaffee und Espresso interessiert. a) Formulieren Sie ein entsprechendes lineares Optimierungsmodell und erläutern Sie die Bedeutung der Variablen. b) Stellen Sie ein zulässiges Ausgangstableau für das vorliegende Optimierungsproblem auf und benennen Sie den aktuellen Verkaufszustand. c) Lösen Sie das in a) aufgestellte Programm graphisch; benutzen Sie die vorgegebenen Hilfskästchen mit einer Einteilung von 20 Einheiten pro Kästchen (Lösungsbogen Seite 2). d) Wie hoch darf die Standgebühr maximal sein, sodass sich der Verkauf gerade noch lohnt?

3 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 2 15 Punkte Gegeben sei folgendes Maximierungsproblem: max 560x x x x x x x 7 u.d.n. 30x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i 0 für i =1,..,7 Das Problem ist mit dem Simplex-Algorithmus zu lösen. Verwenden Sie dazu die im Lösungsbogen (Seite 3) vorgegebenen Tableaus und geben Sie die Lösung explizit an.

4 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 3 35 Punkte Gegeben sei in einer Excel-Tabelle folgendes Transportproblem mit 4 Lagern und 4 Nachfrageorten: Tabelle: Transportproblem a) Formulieren Sie das Problem als (vollständiges) mathematisches Modell. Geben Sie dabei explizit (d.h. mit konkreten Zahlen) Zielfunktion und Restriktionen an, und erläutern Sie die Bedeutung der Variablen.

5 Modul vom Aufgabenteil b) Stellen Sie das zugehörige Solver-Modell auf; ergänzen Sie dazu alle fehlenden Solver-Parameter im Excel-Screenshot (Lösungsbogen Seite 6). c) Welche Formel ist in Zelle Z46 hinterlegt? d) Lösen Sie das Problem mit der Vogel schen Approximationsmethode. Verwenden Sie dazu die Tabellenvorlage (Lösungsbogen Seite 7). Berechnen Sie die Gesamttransportkosten und geben Sie den Transportplan explizit an!

6 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 4 15 Punkte Aus dem Kurs ist Ihnen der multiplikative Kongruenzgenerator von Lehmer bekannt. a) Erzeugen Sie fünf normierte Zufallszahlen nach dem Verfahren von Lehmer, benutzen Sie dazu die folgenden Parameterwerte: z 0 = 2, a = 7, b = 8, k = 0. Sind die gewählten Parameter zur Erzeugung von Zufallszahlen geeignet? b) Bilden Sie das Inverse zur angegebenen Logistischen-Verteilung F(x) = e x α β mit β > 0 sowie < α, x < + und simulieren Sie mit der ersten erzeugten Zufallszahl aus a) eine Logistisch-verteilte Zufallszahl mit α = 0 und β = 1. Anmerkung: Bitte geben Sie auch Ihre Umformungsschritte an!

7 Modul vom Aufgabenteil Aufgabe 5 15 Punkte a) Vervollständigen Sie folgende Projektliste, indem Sie die fehlenden Werte der Spalten Zeitrechnung und Puffer berechnen. Hinweis: Die entsprechende Tabellenvorlage finden Sie im Lösungsbogen auf Seite 10. b) Skizzieren Sie die Abhängigkeitsbeziehungen zwischen den Vorgängen in einem Graphen. Vorgang Vorgänger Zeitrechnung Puffer Nr Dauer Nr WZ FAZ FEZ SAZ GP FP NV Projektplan Legende FAZ FEZ SAZ GP FP WZ Früheste AnfangsZeit des Vorgangs Früheste EndZeit des Vorgangs Späteste AnfangsZeit des Vorgangs GesamtPuffer des Vorgangs Freier Puffer des Vorgangs WarteZeiten. Wartezeiten werden hier als Ende-Anfang-Beziehungen abgebildet.

8 Lehrstuhl für Betriebswirtschaftslehre, insb. Quantitative Methoden und Wirtschaftsmathematik Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine LÖSUNGSBÖGEN Klausur: Modul Termin: Prüfer: Univ.-Prof. Dr. Andreas Kleine Name, Vorname : Matrikelnummer : Aufgabe Summe maximale Punktzahl erreichte Punktzahl Gesamtpunktzahl: Datum: Note: Unterschriften der Prüfer:

9 Hinweise für die Bearbeitung Füllen Sie zunächst das Deckblatt und den Kopf der Lösungsbögen aus. Trennen Sie von den Lösungsbögen keine Blätter ab; am Ende der Klausur müssen alle Lösungsbögen abgegeben werden. Die Lösungen müssen in dem vorgesehenen Raum auf den Lösungsbögen eingetragen werden. Falls der Platz nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die Rückseite, und geben Sie einen deutlichen Hinweis hierauf. Bedenken Sie, dass vor allem der Lösungsweg einschließlich Ansatz und Zwischenschritten bewertet wird. Die Klausur umfasst 5 Aufgaben, die in 120 Minuten zu bearbeiten ist. Zu jeder Aufgabe ist die maximal erreichbare Punktzahl angegeben; die Summe aller Punkte beträgt 100. Die Klausur ist auf jeden Fall bestanden, wenn 50 Punkte erreicht wurden. Zugelassene Hilfsmittel für diese Klausur: Die Verwendung eines Taschenrechners ist dann und nur dann erlaubt, wenn dieser einer der drei folgenden Modellreihen angehört: Casio fx86, Texas Instruments TI 30 X II, Sharp EL 531. Die Verwendung anderer Taschenrechnermodelle wird als Täuschungsversuch gewertet und mit der Note nicht ausreichend (5,0) sanktioniert. Ob ein Taschenrechner einer der drei Modellreihen angehört, können Sie selbst überprüfen, indem Sie die vom Hersteller auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung mit den oben angegebenen Bezeichnungen vergleichen: Bei vollständiger Übereinstimmung ist das Modell erlaubt. Ist die auf dem Rechner angebrachte Modellbezeichnung umfangreicher, enthält aber eine der oben angegebenen Bezeichnungen vollständig, ist das Modell ebenfalls erlaubt. In allen anderen Fällen ist das Modell nicht erlaubt. Eventuelle Vorgänger- oder Nachfolgemodelle, die nicht in der oben aufgeführten Liste enthalten sind, sind ebenfalls nicht erlaubt. Darüber hinaus sind ausschließlich die zum Modul gehörenden Kurseinheiten einschließlich der darin enthaltenen Lösungen zu den Übungsaufgaben zugelassen. Die Kurse dürfen Markierungen und textbezogene Anmerkungen enthalten. Lesen Sie den Aufgabentext gut durch und nun: Viel Erfolg!

10 Modul vom Name: 1 Lösung zu Aufgabe 1

11 Modul vom Name: 2 Lösung zu Aufgabe 1 (Fortsetzung)

12 Modul vom Name: 3 Lösung zu Aufgabe / / / / / /2 1/ /2 1 1/2 1 1/2 0 1/20 295

13 Modul vom Name: 4 Lösung zu Aufgabe 2 (Fortsetzung)

14 Modul vom Name: 5 Lösung zu Aufgabe 3 a)

15 Modul vom Name: 6 Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) b) c)

16 Modul vom Name: 7 Lösung zu Aufgabe 3 (Fortsetzung) d)

17 Modul vom Name: 8 Lösung zu Aufgabe 4

18 Modul vom Name: 9 Lösung zu Aufgabe 4 (Fortsetzung)

19 Modul vom Name: 10 Lösung zu Aufgabe 5 Vorgang Vorgänger Zeitrechnung Puffer Nr Dauer Nr WZ FAZ FEZ SAZ GP FP NV

20 Modul vom Name: 11 Zusätzliche Seite 1; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

21 Modul vom Name: 12 Zusätzliche Seite 2; Bezug zu den Aufgaben bitte deutlich machen.

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