Statistik für Punktprozesse. Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen WS 2009/2010
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- Oskar Geisler
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1 Statistik für Punktprozesse Seminar Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen WS 009/00
2 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
3 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 3
4 I. Fragestellung / Problematik Gegeben: Punktmuster Mögliche Interessen: Wie hoch ist die Intensität λ? Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 4
5 I. Fragestellung / Problematik Gegeben: Punktmuster Mögliche Interessen: Ist das Punktmuster vom Poisson Typ? Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 5
6 I. Fragestellung / Problematik Gegeben: Punktmuster Mögliche Interessen: Ist das Punktmuster von einem anderen Typ? Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 6
7 I. Fragestellung / Problematik Gegeben: Punktmuster Mögliche Interessen: Ist das Punktmuster stationär? Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 7
8 I. Fragestellung / Problematik Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 8
9 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 9
10 a) die Schätzung der Intensität - Natürlicher Ansatz ˆ Φ( W ) λw = ν d ( W ) - Leere Quadrate Methode Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 0
11 a) die Schätzung der Intensität - Natürlicher Ansatz ˆ λ W Φ( W ) = ν ( W ) d Eigenschaften (im Poisson Fall): Erwartungstreu: Ε ( ˆ ) Φ( W ) = Ε ( Φ( W )) ( W ) ( ) d W ( W ) λ Ε λ ν ν ( ) = = ν ν = W d W d d λ Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
12 a) die Schätzung der Intensität W n Falls Folge von Beobachtungsfenstern, Schwach konsistent: ( ˆ λ > ε ) 0 lim Ρ = n λw n Aysmptotisch normalverteilt: ν d Wn lim Ρ ˆ n λ λ Falls zusätzlich W W... Stark konsistent: Ρ( lim ˆ = λ) = n λw n limν n ε > 0 ( ) ( ) λ x = Φ( x) W n d ( W ) = Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" n
13 a) die Schätzung der Intensität Konfidenzintervall(Approximation): ˆ λ W d ( W ) ( W ) Φ = ˆ λw ν d ν ( W ) = Φ( W ) ( ) ~ Poi ( λ ν ( W )) Damit gilt für große Φ W mit Wahrscheinlichkeit -α: d α / zα / Φ( W ) λ ν d ( W ) + Φ( W ) + z (siehe Crow&Gardner 959, Sachs 984) Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 3
14 a) die Schätzung der Intensität - Leere Quadrate -Methode Schritt: Zerlege W in p gleichgroße Quadrate Schritt: Sei p* die Anzahl der leeren Quadrate in W und sei p* p : = 0 p Schritt3: Dann ist ein Schätzer für λ gegeben durch: log λ = a² ( p ) ˆ Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 4
15 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 5
16 b) ein Testverfahren auf Stationarität wähle disjunkte Beobachtungsfenster W und W seien n bzw. n die Anzahl der Atome in W bzw. W ν d ( W ) ( n + ) Testgröße: F = ~ ν ( W ) (n + ) d (o.b.d.a. sei F>) Test: H o : Φist stationär vs. H : Φist nicht stationär H o ist abzulehnen mit Signifikanzlevelα, falls F > F n+,n+,-α/ (siehe Cox 953) F n +,n Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 6
17 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 7
18 c) das Testen anderer Prozess-Typen Kenngrößen von Punktprozessen sind z.b.: K-Funktion (und L-Funktion) Sphärische Kontaktverteilungsfunktion ( r) H s Nächster-Nachbar-Abstandverteilungsfunktion D r ( ) Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 8
19 c) das Testen anderer Prozess-Typen Problem: Minus-Sampling: W W Ѳb(o,r) W Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 9
20 c) das Testen anderer Prozess-Typen Plus-Sampling vs. Minus-Sampling: Plus-Sampling vergrößert das Beobachtungsfenster, benötigt mehr Informationen; es entsteht eine verzerrte Sicht, wenn man die benötigten Zusatzinformationen nicht zur Verfügung hat Minus-Sampling verkleinert das Beobachtungsfenster, benötigt weniger Informationen (verwirft aber auch Informationen!) Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 0
21 c) das Testen anderer Prozess-Typen Dˆ ( r) bei Minus-Sampling nicht monoton in r! W Ѳb(o,r) W Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
22 c) das Testen anderer Prozess-Typen K-Funktion(zweites reduziertes Momentenmaß):! µ ( ) ( B)! Κ B := wobei µ ( B) das Intensitätsmaß der λ reduzierten Palmschen Verteilung ist; Ripleysche K-Funktion: ( r) : = Κ( b( o r) ) K, Und aus Slivnyak s Theorem folgt: K ( r)! µ ( b( o, r) ) Slivniak µ ( b( o, r) ) = = = π r λ λ Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen"
23 c) das Testen anderer Prozess-Typen Schätzer für die Ripleysche K-Funktion: λ ^ K ( ) b( o, r ) r = ( S ) n n W W n, n ν ( W I ( W + ( S n ( S S S n n, S ))) n ) Beziehungsweise: K ˆ = ( r) λ ^ K ˆ λ ( r) mit ( W ) ( Φ( W ) ) ( ν ( W )) Φ ˆ λ = Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 3
24 c) das Testen anderer Prozess-Typen Sphärische Kontaktverteilungsfunktion: H s ( ) ( ) ( { 0 0 r : = P Z r = P min r 0 : Φ( b( x, r )) > 0} r) x Poisson = λ π r P o b e U x Φ ( x, r ) = Somit ergibt sich als Schätzer: ν Wѳb o, r Hˆ ( r) s = W ( ( )) b( x, r) ν IU x Φ ( b( o, r) ) Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 4 ѳ
25 c) das Testen anderer Prozess-Typen Nächster-Nachbar-Abstandverteilungsfunktion: ( )! = Ρ ( ϕ Ν : ϕ( b( o, r) ) = 0) D r = Ε λ ν W ( ) 0 n= Sn W,min S n m Somit ergibt sich der Schätzer: n S m r Poisson = e λ π r Dˆ r ( ) = # n= { ( ( ))} n : S W b o, r Sn Wѳ b( o, r ) n ѳ ( ),min n m S n S m r Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 5
26 c) das Testen anderer Prozess-Typen Konstruktion von Tests: Getestet werden soll (mit Hilfe der eingeführten Kenngrößen/Schätzer), ob ein Punktmuster zu einer bestimmten Art von Punktprozess gehört Problem: Tatsächliche Verteilung von Testgrößen zu diesen Kenngrößen ist schwierig zu ermitteln Lösung: Monte Carlo Simulation Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 6
27 c) das Testen anderer Prozess-Typen Monte Carlo Simulation: Φ 0 Schritt: Hypothetischer Punktprozess, Beobachtungsfenster, empirische Testgröße W 0 T i Schritt: Simuliere n mal die Testgröße im Beobachtungsfenster W des hypothetischen Punktprozesses T n Φ 0 Schritt3: Ordne einschließlich der Größe nach. Liegt T 0 in einem kritischen Bereich, also zu weit außen, ist die Hypothese (mit Signifikanzlevel-α) abzulehnen Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 7 T 0 T
28 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III. Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 8
29 d) das Testen der Poissonannahmen Distanz-Methoden Methoden, welche die K-Funktion benutzen Quadrat-Methoden Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 9
30 d) das Testen der Poissonannahmen Distanz-Methoden: Im Poisson-Fall muss gelten: Intuitives Vorgehen: ( r) D( r) H s = Distanzmessungen durchführen Daraus empirische Verteilungen berechnen Auf Gleichheit überprüfen Problem: Unabhängigkeitsannahme nicht erfüllt Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 30
31 d) das Testen der Poissonannahmen Lösungsmethode (von Byth& Ripley): Wähle m Lokationen in W (ca. 0% der Punkte) Mit der ersten Hälfte berechnet man die Distanzen zum nächsten Punkt: ( v,...,v m ) Mit der zweiten Hälfte definiert man Regionen, aus deren unmittelbarer Umgebung (so gewählt, dass durchschnittlich 5 Punkte darin liegen) man zufällig einen Punkt auswählt und zu diesem den Nächsten- Nachbar-Abstand berechnet: ( u,...,u ) m Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 3
32 d) das Testen der Poissonannahmen Damit ergeben sich folgende Testgrößen mit approximativen Verteilungen: m i = h F = m i = u v i i ~ F m, m h N = m m ui i = + ( u v ) i i ~ N, m (siehe Byth&Ripley 980) Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 3
33 d) das Testen der Poissonannahmen Methoden, welche die K-Funktion benutzen: ( ) Im Poisson-Fall muss gelten: K r = π r Man betrachtet statt der K-Funktion die L-Funktion: L ( r) = K π ( r) Poisson = Damit betrachtet man die Teststatistik: r τ = max r r max Lˆ ( r) r Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 33
34 d) das Testen der Poissonannahmen Quadrat-Methoden: Zerlegt man das Beobachtungsfenster W in gleich große Quadrate der Fläche ( Q), sollte gelten: ν ( ) Durchschnittlich λ ν Q Punkte pro Quadrat Anzahl der Punkte pro Quadrat sind unabhängig Aufbauend auf diesen Verteilungseigenschaften kann man Testverfahren konstruieren Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 34
35 d) das Testen der Poissonannahmen Index-of-dispersion Test : Mit k = Anzahl der Quadrate x= Mittelwert der Anzahl der Punkte pro Quadrat s² = Varianz der Anzahl der Punkte pro Quadrat gilt approximativ: ( ) k s I = ~ χ k x (gute Annäherung, falls k>6 und Q ) λ ν ( ) > Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 35
36 Inhalt I. Fragestellung / Problematik II. Ansätze für a) die Schätzung der Intensität b) ein Testverfahren auf Stationarität c) das Testen von Prozess-Typen d) Test der Poissonannahmen III.Zusammenfassung Statistik für Punktprozesse - Seminar "Stochastische Geometrie und ihre Anwendungen" 36
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