ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden.

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1 1.13 Koordinatensysteme (Anwendungen) Man ist immer bemüht, für die mathematische Beschreibung einer wissenschaftlichen Aufgabe ( Chemie, Biologie,Physik ) ein geeignetes Koordinatensystem zu verwenden. In der Chemie werden insbesondere sowohl kartesische und auch sphärische Koordinaten sehr gerne verwendet. 1

2 Kartesische Koordinaten 2D-Fall: x, y 3D-Fall: x, y, z Wertebereich: Für alle Koordinaten: [ -, + ] Einheitsvektoren in kartesischen Koordinaten: e x = 1 0 0, e y = 0 1 0, e z = E =

3 Ebene Polarkoordinaten 2D-Fall: Radius r und Winkel φ. Wertebereich: r [0, + ], φ [0, 2π ] 2 r = x 2 + y 2 tan φ = y x φ = + arccos(x r) für y 0 arccos x r für y < 0 x = r cos φ y = r sin φ x y = r cos φ r sin φ 3

4 sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) 3D-Fall: Radius r, Winkel φ und Winkel θ. Wertebereich: r [0, + ], φ [0, 2π ], θ [0, π ] x y z = r sin θ cos φ r sin θ sin φ r cos θ 4

5 sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) 3D-Fall: Radius r, Winkel φ und Winkel θ. Wertebereich: r [0, + ], φ [0, 2π ], θ [0, π ] Bei der Berechnung von φ kommt man mit weniger Fallunterscheidungen aus, wenn man die Formel verwendet, die bei den ebenen Polarkoordinaten eingeführt wurde. In dem Fall muss allerdings r 1 = x² + y² verwendet werden: 5

6 Zylinderkoordinaten. x y z = r cos φ r sin φ z 6

7 sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) 3D-Fall: Radius r, Winkel φ und Winkel θ. Wertebereich: r [0, + ], φ [0, 2π ], θ [0, π ] Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten: Die Basisvektoren sind die Einheitsvektoren: e r senkrecht auf der Kugeloberfläche e θ Tangente an den Längenkreis e φ Tangente an den Breitenkreis 7

8 sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) 3D-Fall: Radius r, Winkel φ und Winkel θ. Wertebereich: r [0, + ], φ [0, 2π ], θ [0, π ] Darstellung eines Vektors in Kugelkoordinaten: o e r = sin θ cos φ e x + sin θ sin φ e y + cos θ e z o e θ = cos θ cos φ e x + cos θ sin φ e y - sin θ e z o e φ = - sin φ e x + cos φ e y e r = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ, e θ = cos θ cos φ cos θ sin φ e sin θ, e φ = sin φ cos φ 0 8

9 sphärische Polarkoordinaten (Kugelkoordinaten) Der Übergang von der kartesischen Basis e x, e y, e z zur neuen Basis e r, e θ, e φ lässt sich durch eine orthogonalen Transformationsmatrix A beschreiben: cos φ sin φ 0 A = sin φ cosφ Umgekehrt können die alten Basisvektoren e x, e y, e z aus den neuen Basisvektoren e r, e θ, e φ bestimmt werden. Die Transformationsmatrix ist in diesem Fall die zu A inverse cos φ sin φ 0 Matrix A -1 = sin φ cosφ

10 Koordinatentransformation Eine Umrechnung von kartesischen Koordinaten in ein anderes Koordinatensystem und umgekehrt ist in der Regel mit mehr oder weniger Aufwand problemlos möglich. Transformation von Punkten oder Funktionen: Substitution, z.b. f(x,y) = x y f(r,φ) = r² sin φ cos φ Ableitungen: mehrdimensionale Kettenregel beachten Integration: f(x, y, z) dv(x,y,z) B 1 = f(r, θ, φ) dv(r, θ, φ ) B 2 10

11 Koordinatentransformation Integration: f(x, y, z) dv(x,y,z) B 1 = f(r, θ, φ) dv(r, θ, φ ) B 2. zu beachten: Transformation von f(x, y, z) nach f(r, θ, φ) Transformation der Integrationsgrenzen hier: Transformation des Bereichs B 1 in x, y, z zum Bereich B 2 in r, θ, φ Transformation des Volumenelementes dv(x,y,z) = dxdydz in dv(r, θ, φ ) =? (analog beim Flächenelementes) 11

12 Beispiel: Im R² betrachen wir die Koordinatentransformation von kartesischen Koordinaten (x,y) in Polarkoordinaten (r,φ). Koordinatenwechsel am Beispiel einer vektorwertigen Funktion: x(r,φ) r cos φ x: R² R² mit x ( r,φ ) = = y(r,φ) r sin φ Beschrieben werden soll ein Kreis mit dem Radius a. Es gilt: Die Fläche beträgt F = π a². In kartesischen Koordinaten: B 1 = { (x,y) -a x a, - a² x² y a² x² } In Polarkoordinaten: B 2 = { (r,φ ) 0 r a, 0 y 2 π }. B 1 und B 2 beschreiben denselben Bereich, => Integration über B 1 und B 2 muss dasselbe Ergebnis liefern. 12

13 Da die Integration über B 1 und B 2 das gleiche Ergebnis liefern muss, muss gelten B df(x,y) = df(r,φ)) 1 B = π a². 2 Zu beachten ist df(x,y) = dx dy dr dφ a o 2π 0 dr dφ = 2π a π a². Grund für den Fehler: Bei der Berechnung des Bereichsintegrals als Doppelintegral ist eine Umrechnung des Flächenelementes erforderlich. 13

14 Umrechnung des Flächenelementes Wir betrachten zuerst einen Fall in zweidimensionalen Raum. Eine allgemeine Transformation von kartesischen Koordinaten x,y auf die andere (krummlinigen) Koordinaten u, v kann man mit der vektorwertigen Funktion x beschreiben:. x: R² R² mit x ( u,v ) = x = x( u,v ) y = y( u,v ) x(u,v) y(u,v) 14

15 Umrechnung des Flächenelementes x: R² R² mit x ( u,v ) = x = x( u,v ) y = y( u,v ) x(u,v) y(u,v) Koordinatentransformation: Betrachtet wird ein rechteckiger Bereich mit den Koordinaten u im Intervall u + u und v im Intervall v + v. (u + u, v + v) (u, v + v) Eckpunkt des Rechtecks: (u, v), Seitenlängen des Rechtecks: u und v. (u, v) (u + u, v ) 15

16 Umrechnung des Flächenelementes x(u,v) x: R² R² mit x ( u,v ) = y(u,v) Koordinatentransformation: Die Abbildung auf ein krummliniges Viereck in den (x,y)- Koordinaten führt zur Approximation des Flächeninhalt des krummlinigen Vierecks durch ein Parallelogramm Das Parallelogramm besitzt den Eckpunkt (x(u,v); y(u,v)) und wird aufgespannt von den Vektoren a = x u u y u u und b = x u u y u u 16

17 Umrechnung des Flächenelementes Zur Erinnerung (Taylor-Entwicklung): x(u + u, v + v) = x(u,v) + x u u + x v v x(u + u, v ) = x(u,v) + x u u x(u, v + v) = x(u,v) + x v v. 17

18 Umrechnung des Flächenelementes Für die Komponenten der Vektoren a = x u u y u u gilt: x(u + u, v) - x(u, v) = y(u + u, v) - y(u, v) = x(v, v + v) - x(u, v) = y(u, v + v) - y(u; v) = x u u = x u u y u u = y u u x v = x v v v y v = y v v v und b = x u u y u u Beim Übergang von kleinen Änderungen u und v zu beliebig kleinen Änderungen (infinitesimalen Änderungen) du und dv wird die Approximation beliebig genau (exakt). (vergleiche Mathe I) 18

19 Umrechnung des Flächenelementes Berechnung des Flächeninhaltes des Parallelogramms mit Hilfe des Vektorproduktes. Hierzu werden die Vektoren des R² durch Hinzufügen einer 3. Dimension zu Vektoren des R³: df = x u u y u u 0 x x v v y v v 0 => x u du y u du 0 x x v dv y v dv 0 = x u y v y u x v du dv = det x u x v y u y v du dv 19

20 Beispiel: In Ebenen Polarkoordinaten gilt: x = r cos φ y = r sin φ det x r x φ y r y φ = cos φ r sin φ sin φ r cos φ = r cos² φ + r sin² φ = r ( vergleiche x u y v y u x v du dv = det x u x v y u y v du dv ) dx dy = r dr dφ Für die Berechnung des Flächeninhaltes des Kreises mit Radius a gilt also F = 2π B df(x,y) = df (r,φ)) 1 B = rdφdr 2 o 0 a = π a². 20

21 Erweiterung auf höhere Dimensionen Das hier für zwei Dimensionen vorgestellte Verfahren lässt sich auf beliebig viele Dimensionen erweitern: Sei x mit x : B 2 B 1 eine vektorwertige Funktion, die eine Koordinatentransformation der Koordinaten x i auf die Koordinaten u i beschreibe (mit i = 1, 2,, n). x (u 1, u 2,, u n ) = x 1 (u 1, u 2,, u n ) x 2 (u 1, u 2,, u n ) x n (u 1, u 2,, u n ). B 1 und B 2 seien Bereiche des R n und f(x) ist eine stetige Abbildung auf B 1. 21

22 Erweiterung auf höhere Dimensionen x 1 (u 1, u 2,, u n ) x x (u 1, u 2,, u n ) = 2 (u 1, u 2,, u n ). x n (u 1, u 2,, u n ) B 1 R n, B 2 R n ; f(x) ist eine stetige Abbildung auf B 1, dann gilt f(x) dv = f (x B 1 1, x 2,, x n ) dv(x B 1 1, x 2,, x n ) = f (x 1 (u 1, u 2,, u n ), x 2 (u 1,, u n ),, x n (u 1,, u n )) B 2 dv(u 1,u 2,, u n ) = f (x 1 (u 1, u 2,, u n ), x 2 (u 1,, u n ),, x n (u 1,, u n )) B 2 (x 1, x 2,, x n ) (u 1,u 2,, u n ) du 1du 2 du n ) 22

23 Hierbei ist (x 1, x 2,, x n ) (u 1,u 2,, u n ) = det (J) der Betrag der sogenannten Fundamentaldeterminante, der Determinante der Jacobi-Matrix J mit J = x 1 x 1 u 1 u 2 x 2 x 2 u 1 u 2 x n u 1 x 1 u n x 2 u n x n u 2 x n u n Die Jacobi Matrix J ist die Matrix mit allen partiellen 1.Ableitungen x i u i 23

24 Für den 2D-Fall gilt (Transformation x und y nach u und v): x u y v y u x v du dv = det x u x v y u y v du dv det J = x u y v y u x v Beispiel: 2D-Polarkoordinaten ( x und y nach r und φ): det J = x r y φ y r x φ = cos φ r cos φ sin φ r ( sin φ) = r cos² φ + r sin² φ = r cos² φ + sin² φ = r => Die Fundamentaldeterminante det J für ebene Polarkoordinaten beträgt r. 24

25 Für den 3D-Fall gilt (Transformation x,y und z nach u, v und w): det J = det x u y u z u x v y v z v = det x w y w z w x u y v z w x u y v z w x u y v z w Beispiel: 3D-Polarkoordinaten ( x, y und z nach r, θ und φ): = det J = x r y r z r x θ y θ z θ x φ y φ z φ = x r x θ x φ y r y θ y φ z r z θ z φ sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ r cosθ cos φ r cos θ sin φ r sin θ r sin θsin φ r sin θ cos φ 0 25

26 det J = = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ r cosθ cos φ r cos θ sin φ r sin θ r sin θ sin φ r sin θ cos φ 0 = sin θ cos φ r cos θ sin φ 0 + sin θ sin φ ( r sin θ) ( r sin θ sin φ) + cos θ r cos θ cos φ r sin θ cos φ - ( -r sin θ sin φ) r cos θ sin φ cos θ ) - ( r sin θ cos φ ) (-r sin θ ) sin θ cos φ - 0 r cos θ cos φ sin θ sin φ 26

27 det J = = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ r cosθ cos φ r cos θ sin φ r sin θ r sin θ sin φ r sin θ cos φ 0 = r² + sin² θ sin² φ sin θ + cos² θ cos² φ sin θ + cos² θ sin² φ sin θ ) + sin² θ cos² φ sin θ ) = r² + sin² θ sin² φ sin θ + cos² θ sin² φ sin θ + cos² θ cos² φ sin θ + sin² θ cos² φ sin θ = r² sin² φ sin θ + cos² φ sin θ = r² sin θ = r² sin θ ( Warum dürfen die Betragstriche weg?) 27

28 Bemerkung: Man nimmt den Betrag der Fundamentaldeterminante, da das Volumenelement positiv ist Mit Hilfe der Fundamentaldeterminante kann für verschiedene Koordinatensysteme das Volumen- bzw. Flächenelement bestimmt werden: Kartesische Koordinaten: dv = dx dy dz bzw. df = dx dy ebene Polarkoordinaten: df = rdr dφ Kugelkoordinaten: dv = r² sinθ dr dθ dφ Zylinderkoordinaten: dv = r dr dφ dz 28

29 Für den 3D-Fall gilt (Transformation x,y und z nach u, v und w): det J = det x u y u z u x v y v z v = det x w y w z w x u y v z w x u y v z w x u y v z w Beispiel: 3D-Zylinderkoordinaten ( x, y und z nach r, φ und z): det J = x r y r z r x φ y φ z φ x z y z z z = cos φ r sin φ 0 sin φ r cos φ = (cos φ r cos φ sin φ r ( sin φ)) 1 = r cos² φ + r sin² φ = r cos² φ + sin² φ = r 29