2.1. Das Wasserstoffatom Atommodelle (vor 1900)

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1 2.1. Das Wasserstoffatom Atommodelle (vor 1900) 105

2 Eigenzustände des Wasserstoffatoms Ein einfaches Beispiel: Wasserstoff in Wechselwirkung mit einem klassischen Feld. Eigenenergien wasserstoffähnlicher Atome: Klassisches Feld (monochromatische Lichtwelle): Annahme: Die Frequenz des Lichtes ist in der Nähe der Übergangsfrequenz vom Übergang: d.h.: Für die Beschreibung des Systems müssen i.w. nur zwei Zustände berücksichtigt werden. 106

3 Die Eigenzustände des Wasserstoffatoms werden aus der stationären Schrödingergleichung berechnet. Allgemeines Problem (Zentralkraft): reduzierte Masse In Polarkoordinaten löst man die Gleichung durch einen Separationsansatz, d.h.: Theorielehrbücher Es ergeben sich 3 zu lösende Differentialgleichungen: 1) Azimutalgleichung (für Φ) 107

4 2) Polargleichung (für Θ) 3) Radialgleichung (für R) Diese Separation gilt ganz allgemein für alle Zentralpotentiale V(r)! Für physikalisch sinnvolle Lösungen (Verschwinden von ψ im Unendlichen; Eindeutigkeit der Lösung; Quadratintegrierbarkeit) folgen gewisse Bedingungen für die Separationskonstanten m und l: m magnetische Quantenzahl l Drehimpulsquantenzahl 108

5 Gleichzeitig gilt: oder Die normierten Funktionen die die Winkelverteilung der Eigenfunktionen im Zentralpotential angeben, heissen Kugelflächenfunktionen. Spezielle Eigenschaften der Kugelflächenfunktionen: a) Orthonormalität b) Parität 109

6 Die Radialgleichung lässt sich zur besseren physikalischen Interpretation noch umformen: mit: folgt: Man kann ein effektives Potential definieren: Es besteht eine Analogie zur Rotationsenergie E rot eines klassischen Teilchens der Masse m r um ein Zentrum im Abstand r: mit dem Bahndrehimpuls 110

7 Aus der formalen Energie ergibt sich die Mutmassung : oder Quantenmechanischer Drehimpuls Das Zentrifugalpotential verschiebt das Minimum der radialen Wellenfunktion zu größeren Abständen. Das rechte Bild zeigt die Kombination vom Zentrifugalpotential und von einem Coulombpotential zu einem effektiven Potential 1 r V eff 2 radiale Aufenthalts- Wahrscheinlichkeit 1 r r 111

8 Das Potentialminimum des effektiven Potentials V eff liegt bei: mit Man bezeichnet r l als den Bahnradius. Spezialfall für das Wasserstoffatom Radialgleichung: Es folgt Theorielehrbücher Hauptquantenzahl Drehimpulsquantenzahl Magnetische Quantenzahl 112

9 Bemerkungen: Jeder Energieeigenwert ist n 2 -fach entartet. Die Unabhängigkeit der Energie von m folgt für alle Zentralpotentiale. Die Unabhängigkeit der Energie von l ist ein Spezialfall für das Coulombpotential! Spektroskopische Notation: l Zustand m Zustand 0 s 1 p 2 d 3 f 4 g 0 σ 1 π 2 δ 3 ϕ 4 γ Beispiel: n = 4, l = 3, m = 2 4 f δ - Zustand 113

10 Einfaches Termschema des Wasserstoffs: E 0 n = 3 s ( l = 0) 3s p ( l = 1) 3p d ( l = 2) 3d n = 2 2s 2p 3-fach entartet 5-fach entartet Ry * n = 1 1s 114

11 Der Drehimpuls Hypothese: In Anlehnung an die klassische Physik lässt sich ein quantenmechanischer Drehimpulsoperator für den Bahndrehimpuls aufschreiben: Schreibweise als Determinante: Somit in Analogie: Drehimpulsoperator 115

12 Zusammenfassung der Eigenschaften des Bahndrehimpulsoperators 1) Der Bahndrehimpuls wird beschrieben durch den Operator 2) Die Eigenwerte von sind oder formal: mit 3) vertauscht mit vertauscht nicht mit und nicht mit vertauscht nicht mit und nicht mit vertauscht nicht mit und nicht mit 4) Die Eigenwerte der z-komponente des Drehimpulsoperators sind mit 5) Die Drehimpulsquantenzahl l ist die Maximalkomponente des Drehimpulsoperators gemessen in. 116

13 Darstellung des quantenmechanischen Drehimpulses im Kreiselmodell: Beispiel: l = 3 Kugelradius = l( l + 1)h m = 1 m = 0 m = 1 m = 3 m = 2 m = 2 z y h x Ist eine Quantisierungsachse festgelegt (hier z- Richtung) und präpariert man das quantenmechanische System mit genau bestimmter Projektion auf diese Achse, so sind die Komponenten in der x- und y- Richtung vollständig unbestimmt, d.h. sie liegen auf einem Kreiskegel. m = 3 Bem: Auch für maximale z-projektion (hier m=3) ist der Drehimpuls nicht parallel zur Z-Achse. 117

14 Diskussion der Wasserstoffwellenfunktion Winkelverteilung Die Winkelverteilung ist durch die Kugelflächenfunktionen bestimmt. Die nachfolgende Abbildung zeigt eine Polardarstellung von für die Hauptquantenzahl n=4. Allgemeine Bemerkungen: Nur Zustände mit l=0 sind kugelsymmetrisch Die Winkelverteilung der quantenmechanischen (Wellen-)Lösung kann als Projektion kreisförmiger Bewegungen eines klassischen Teilchens interpretiert werden. 118

15 l=0 m=0 l=1 m=0 l=2 m=0 l=3 m=0 z y x l=1 m=1 l=2 m=1 l=3 m=1 Bsp.: l=1, m=0 Im klassischen System zeige der Drehimpuls z.b. in die x-richtung. Dies entspricht einer klassischen Bewegung in der z-y-ebene. Eine Projektion dieser Bewegung auf die z-x- Ebene liefert maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit an den Polen. l=2 m=2 l=3 m=2 l=3 m=3 119

16 Radiale Verteilung Zusammenstellung verschiedener Funktionen: Radiale Wellenfunktion Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeitsamplitude Definition der radialen Aufenthaltswahrscheinlichkeitsdichte : gibt die Wahrscheinlichkeit an, das Elektron in einer Kugelschale (Dicke dr) mit Radius r zu finden. 120

17 Allgemeine Bemerkungen zur radialen Wellenfunktion : Kugelsymmetrische Zustände mit l=0 haben stets bei r=0 das Maximum der radialen Wellenfunktion. Bei gösseren Drehimpulsquantenzahlen verschiebt das Zentrifugalpotential das Maximum der radialen Wellenfunktionen zu grösseren Abständen. Die radiale Wellenfunktion kann auch durch die Anzahl der Knoten charakterisiert werden. Es ist: Mittelwert von r Bem.: Beim Bohrschen Radius ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit maximal. Im Mittel befindet sich das Elektron aber im Abstand 1,5 a 0 zum Kern. 121

18 Radiale Aufenthaltswahrscheinlichkeiten der ersten drei Energieniveaus im Wasserstoffatom: n = 1, l = 0 n r = 0 n = 3, l = 0 n r = 2 n = 3, l = 1 n r = 1 n = 2, l = 0 n r = 1 n = 3, l = 2 n r = 0 n = 2, l = 1 n r = 0 122

19 Gesamte räumliche Verteilung Das Gesamtbild der räumlichen Verteilung ergibt sich durch Multiplikation der Winkelverteilung mit der radialen Verteilung, d.h. von mit Allgemeine Bemerkungen: Die Summe über alle magnetischen Quantenzahlen m für alle Stehwellen (zu einer Drehimpulsquantenzahl l und einer Hauptquantenzahl n) ergibt stets eine kugelsymmetrische Verteilung, d.h. die Wahl der Quanisierungsachse (meist z-achse genannt) ist irrelevant. 123

20 für die ersten beiden Zustände des Wasserstoffatoms 100 1s 200 2s 210 2p 211 2p 124

21 300 3s 310 3p 320 3d 311 3p 321 3d für den Zustand n=3 des Wasserstoffatoms 322 3d 125

22 Zusammenfassung: Wellenfunktionen des H-Atoms Die Winkelwellenfunktion Normierungsfaktor 126

23 Die Radialwellenfunktion assoziiertes Laguerre-Polynom mit: und: = Angstroem 127

24 Experimente mit einzelnen Atomen Atomfallen Einzelne Ladungen können nicht allein durch statische elektrische Felder stabil im Raum gehalten werden (Earnshaw-Theorem). Elektrische Wechselfelder (Paul-Falle) Elektrische und magnetische Felder (Penning-Falle) Eine Paul-Falle (Nobelpreis 1989) besteht aus zwei parabolischen Elektroden und einer Ringelektrode: 128

25 Wird eine Gleichspannung U dc und eine Wechselspannung V ac mit der Frequenz Ω angelegt, so hat das Potential nahe des Fallenzentrum die Form: Wobei r 0 und z 0 den Abstand vom Fallenzentrum zu den Elektroden angibt. Das Potential ist harmonisch und stellt für einen bestimmten Zeitpunkt eine rücktreibende Kraft in einer Dimension dar: 129

26 Die Trägheit des gefangenen Teilchens verhindert, dass das Teilchen in der anderen Richtung aus der Falle getrieben wird, bevor cos(ωt) das Vorzeichen wechselt! Für bestimmte Ω rücktreibende Kraft in allen drei Raumrichtungen Bewegungsgleichungen in der Paul-Falle: Mit der Transformation: 130

27 folgt: Mathieu sche Differentialgleichung Falls (gilt üblicherweise) ist die Lösung: mit Die Lösung besteht aus einer schnellen Bewegung der Frequenz ω (Mikrobewegung) und einer langsamen Bewegung (Makrobewegung) in einem harmonischen Potential. Im Fallenzentrum verschwindet die Mikrobewegung! 131

28 Experimentelle Realisierungen (Beispiel: Iontraps in Innsbruck, AG Blatt) Linear Ion Traps Courtesy: Rainer Blatt, University Innsbruck Paul mass filter Innsbruck Ann Arbor München Boulder, Mainz, Aarhus Innsbruck, Oxford 132

29 Innsbruck linear ion trap (2000) 1.0 mm 6 mm ω z MHz ω x, y MHz 133

30 String of Ca + ions in in a linear Paul trap row of qubits in a linear Paul trap forms a quantum register 70 µm 134

31 Level scheme of of Ca + qubit on narrow S - D quadrupole transition P 3/2 854 nm P 1/2 393 nm 397 nm 866 nm D 5/2 D 3/2 729 nm S 1/2 135

32 Spectroscopy with withquantized fluorescence (quantum jumps) P monitor Fluorescence intensity S time (s) D spectroscopy S D Anzahl # of measurements der Messungen absorption and emission cause fluorescence steps (digital quantum jump signal) detection efficiency: 99.85% D-Zustand D state occupied besetzt S S-Zustand state occupied besetzt counts Zählrate per pro 9 ms 136