2. Zahlenbereiche:,,,,,

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1 2. Zhlenbereiche:,,,,, Zusmmenfssung Dieses Kpitel beinhltet zum grössten Teil eine Repetition von Inhlten, die schon uf der Sekundrstufe I in Mthemtik unterrichtet wurden. In symstemtischer Weise soll dieser Inhlt zusmmengefsst werden. Neu wird (vermutlich) der Stoff über die komplexen Zhlen sein. Wir strten mit den ntürlichen Zhlen und lernen die einfchsten Rechenopertionen (Addition, Multipliktion, Potenz) sowie die Rechengesetze (Kommuttivgesetz, Assozitivgesetz, Distributivgesetz) kennen. Wir lernen, dss bei den Berechnungen (ohne Klmmernsetzung) ds Ergebnis von der Präzedenz der Opertoren bzw. der Richtung der Abrbeitung der Opertionen bhängt. Wir lernen uch, dss es verschiedene Möglichkeiten gibt, eine ntürliche Zhl drzustellen (Binär, Deziml, Hexdeziml etc.). Wir stellen sodnn n einer einfchen Gleichung mit Addition (7 + x = 3) fest, dss wir innerhlb der ntürlichen Zhlen keine Lösung ngeben können. Wir müssen den Bereich der Zhlen uf die gnzen Zhlen erweitern. Wir stellen jedoch schnell fest, dss wir uch innerhlb der gnzen Zhlen einfchste Gleichungen (z.b. 2 ÿ x = 3) nicht lösen können und sind gezwungen den Zhlenbereich uf die rtionlen Zhlen zu erweitern. Dbei stellen wir fest, dss wir gnze Klssen von rtionlen Zhlen zusmmenfssen können, ws uns uf die wichtigen Begriffe des Kürzens, des KGV, des GGT sowie der Primzhlen führt. Aber uch im Bereich der rtionlen Zhlen gibt es noch (einfche) Gleichungen, die sich nicht lösen lssen (z.b. x 2 = 2). Dies führt uns uf die reellen Zhlen. Reelle Zhlen werden mit -lngen Dezimlbrüchen drgestellt, in der Prxis lso nur ungenu, d z.b. im Tschenrechner und in Mikroprozessoren (Computern) für die (gnzen und reellen) Zhlen nur ein fixer, endlicher Speicherpltz reserviert ist. Diese Zhlen hben deshlb einerseits obere Grenzen und beschränkte Präzision. Wir werden dies in Abhängigkeit des Speicherpltzes für einige (Computer-)Zhlentypen kennenlernen. Zum Abschluss der Reise durch ds Gebiet der Zhlen lernen wir noch die komplexen Zhlen kennen, die die Lösung von vielen weiteren Gleichungen (z.b. x 2 = -2), die mit den reellen Zhlen llein nicht lösbr wären, ermöglichen. Lerninhlte Im Folgenden werden stichwortrtig die Lerninhlte dieses Kpitels zusmmengefsst. Zhlen: Ntürliche Zhlen, Gnze Zhlen, Rtionle Zhlen, Reelle Zhlen, Komplexe Zhlen. Primzhlen, positive und negtive Zhlen, Bruchzhlen (Stmmbruch, echter und unechter Bruch), gemischte Zhl, Dezimlzhlen (endliche, periodische, reinperiodische, gemischtperiodische, Dezimlbruch), Binärzhlen, Hexdezimlzhlen, Römische Zhlen, Qudrtzhlen, Kubikzhlen. Rechenopertionen: Addition (Summe, Summnd), Subtrktion (Differenz, Minuend, Subtrhend), Multipliktion (Produkt, Fktor), Division (Quotient, Dividend, Divisor), Potenz (Bsis oder Grundzhl, Exponent oder Hochzhl). Rechengesetze: Kommuttivgesetz, Assozitivgesetz, Distributivgesetz.

2 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 2 Begriffe: Krdinlzhlen, Ordinlzhlen, bgeschlossen (bezüglich der Addition etc.), Kettenbruch, Zhlenstrhl, Zhlengerde, Neutrles Element (der Addition etc.), Inverses Element (der Addition etc.), Term, Termumformungen, Teiler, Vielfches, GGT, KGV, gleichnmig mchen, Huptnenner, Rundungsregel, Ntürliche Zhlen Einleitung Der Zhlbegriff entwickelte sich us zwei verschiedenen elementren Bedrüfnissen der Menschen herus. Zum einen htten die Menschen sehr frühzeitig ds Bestreben, gleichrtige Gegenstände oder Dinge, später uch Begriffe bzählen zu können (z.b. fünf Kinder, zwnzig Goldstücke etc.). Sieht mn von der Ntur der so gezählten Lebewesen und Gegenstände b, so hndelt es sich um die Zhlen us der Folge... null, eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, die wir ntürliche Zhlen nennen. Der zweite Gesichtspunkt, der zu demselben Zhlbegriff führt, ist der, dss mn schon sehr früh ds Bedürfnis htte, innerhlb einer bestimmten Gruppe (Menge) eine "Rngordnung" für die einzelnen Elemente dieser Gruppe einzuführen. So besss z.b. ds erste Kind einer Fmilie weit grössere Rechte ls ds zweite Kind. Die ntürlichen Zhlen treten demzufolge in zwei Erscheinungsformen uf. Wenn die ntürlichen Zhlen dzu benutzt werden, um die Anzhl der Elemente nzugeben, so nennt mn sie Krdinlzhlen. Benutzt mn sie hingegen dzu, um die Rngordnung eines bestimmten Elements einer gewissen Menge nzugeben, so nennt mn sie Ordinlzhlen. Im Folgenden sind einige Eigenschften der ntürlichen Zhlen ufgelistet (ohne sie jedoch xiomtisch zu begründen bzw. herzuleiten): Die Menge der ntürlichen Zhlen wird mit dem Symbol bezeichnet. Zu jeder ntürlichen Zhl gibt es einen Nchfolger. Mit Ausnhme der Zhl 0 ht jede ntürliche Zhl einen Vorgänger. Es gibt (bzählbr) unendlich viele ntürliche Zhlen. Mit + oder * werden die ntürlichen Zhlen, die grösser ls Null sind bezeichnet. Die Opertion "Bestimme einen Nchfolger" können wir uch mit der Opertion "Addiere " bezeichnen; us der ntürlichen Zhl n wird der Nchfolger m bestimmt mit: m = n +. Die ntürlichen Zhlen können uf verschiedene Weise (symbolisch, geometrisch) drgestellt werden. Wir werden dies in den nächsten Abschnitten noch genuer untersuchen. Rechenopertionen Addition, Multipliktion, Potenz Addition In der Einleitung hben wir die einfchste Rechenopertion kennengelernt: nämlich den Nchfolger einer ntürlichen Zhl zu bestimmen, ws der Opertion "Addiere " entspricht. Durch k-fches Anwenden dieser Opertion knn die Opertion "Addiere n und k" bzw. "n + k" definiert werden:

3 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 3 n++ ++ Æ Un+k k Die Addition ist bgeschlossen bezüglich der ntürlichen Zhlen. Ds heisst, wenn wir eine ntürliche Zhl zu einer zweiten ntürlichen Zhl ddieren, erhlten wir wieder eine ntürliche Zhl. Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. ds Ergebnis einer Addition (es können uch mehr ls zwei Summnden vorkommen). Addition H + b = cl Summnd plus Summnd gleich Summe Für die Addition gelten die folgenden Gesetze. Kommuttivgesetz Assozitivgesetz + b = b + +Hb + cl =H + bl + c Ds Assozitivgesetz heisst insbesondere, dss die Reihenfolge der Additionen keine Rolle spielt. Es resultiert ds gleiche Ergebnis, wenn ich b und c ddiere und dnn dzuddiere, oder ob ich und b ddiere und dnn c dzuddiere. Die Zhl 0 ist eine spezielle Zhl, d die Addition mit ihr (d.h. + 0 = ) die Zhl unverändert lässt und wird ls neutrles Element der Addition bezeichnet. Multipliktion Die Multipliktion ist einfch eine verkürzte Schreibweise für die Addition. Wenn eine Zhl mehrmls (z.b. n-ml) ddiert wird, knn verkürzt geschrieben werden: Æ Un n Es gelten die folgenden Bezeichnungen für die einzelnen Argumente bzw. ds Ergebnis einer Multipliktion (es können uch mehr ls zwei Summnden vorkommen). Multipliktion H ÿ b = cl Fktor ml Fktor gleich Produkt Für die Multipliktion gelten die folgenden Gesetze. Kommuttivgesetz Assozitivgesetz ÿ b = b ÿ ÿhb ÿ cl =H ÿ bl ÿ c Die Zhl ist eine spezielle Zhl, d die Multiplikion mit ihr (d.h. ÿ = ) die Zhl unverändert lässt und wird ls neutrles Element der Multipliktion bezeichnet. Multipliktion und Addition Weiters gibt es ein Rechengesetz, ds sowohl die Multipliktion ls uch die Addition enthält: Distributivgesetz ÿhb + cl = ÿ b + ÿ c Die Menge der ntürlichen Zhlen ist bgeschlossen bezüglich der Addition und Multipliktion. Ds heisst, dss die Addition (und dmit die Multipliktion) zweier ntürlicher Zhlen wieder eine ntürliche Zhl ist. Interprettion von gemischten Ausdrücken Ein wichtiger Punkt betrifft uch die Interprettion von gemischten Ausdrücken. Wie ist zum Beispiel der Ausdruck 3 ÿ 8 + 2

4 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 4 zu interpretieren? Sollen zuerst 3 und 8 multipliziert und dnn 2 dzuddiert werden ODER sollen zuerst 2 und 3 ddiert und dnn mit 8 multipliziert werden. In solchen Fällen entscheidet die Präzedenz der Opertoren (+ bzw. ). Und es gilt die Konvention: "Punkt vor Strich" Rechnung, ws soviel heisst, dss zuerst die Punktrechnung (Multipliktion, Division) und dnn die Strichrechnung (+, -) durchgeführt werden soll. Durch Anbringen von Klmmern knn die Reihenfolge der Opertionen immer eindeutig festgelegt werden: Bemerkung: H2 + 3L ÿ 8 = 40 3 ÿ = 26 Verschiedene Tschenrechner können die Reihenfolge der Opertionen unterschiedlich behndeln. Texs Instruments BAII Plus: "2 + 3 ÿ 8 = " Ø 40 Shrp EL-509A: " ÿ 8 = " Ø 26 Es gibt uch Tschenrechner, bei denen die zu verwendende Einstellung geändert werden knn. Ein ähnliches Problem wie bei der Präzedenz (von Addition und Multipliktion) betrifft die Frge, ob Ausdrücke mit gleichen Opertoren von links oder von rechts bgerbeitet werden sollen. Bei der Addition und Multipliktion spielt dies keine Rolle (es gilt ds Assozitivgesetz). Dies stimmt jedoch nicht für die Subtrktion und die Division: Konkret Ws ist ? Computer rechnen bei Ausdrücken gleicher Hierrchie von links nch rechts, lso (8-3L - 2. Auch diese Zweideutigkeit knn mit Klmmern vermieden werden. Potenz H8-3L - 2 = 5-2 = 3 8 -H3-2L = 8 - = 7 Die Potenz ist einfch eine verkürzte Schreibweise für die Multipliktion. Wenn eine Zhl mehrmls (z.b. n-ml) mit sich selbst multipliziert wird, knn verkürzt geschrieben werden: ÿ ÿ ÿ ÿ Æ U n n PotenzH n = cl Bsis hoch Exponent gleich PotenzHzur Bsis L Sttt Exponent knn mn uch den Ausdruck Hochzhl und sttt Bsis knn mn uch den Ausdruck Grundzhl verwenden. n wir gelesen: " hoch n" Die m häufigsten uftretenden Potenzen sind die zweite und dritte Potenz. Die zweite Potenz nennt mn uch Qudrt. Der Nme kommt dher, dss ein Qudrt mit der Seitenlänge den Flächeninhlt 2 ht. Dies führt uch uf den Begriff der Qudrtzhlen: ds sind die Zhlen, die sich ls 2 schreiben lssen. 2 wird uch ls " Qudrt" gelesen. Die dritte Potenz nennt mn uch Kubus. Der Nme kommt dher, dss ein Würfel (lt. Kubus) mit der Seitenlänge den Volumeninhlt 3 ht. Dies führt uch uf den Begriff der Kubikzhlen: ds sind die Zhlen, die sich ls 3 schreiben lssen. Es gelten die folgenden Regeln für Potenzen ( 0; m, n œ ): 0 =

5 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 5 -n = ÅÅÅÅÅÅÅ n m+n = m n H m L n = m n Bemerkungen Ds Multipliktionszeichen (oben mit drgestellt) wird vielfch weggelssen oder durch ein nderes Zeichen drgestellt: ÿ b = b = * b = ä b Es gilt die Konvention: Punktrechnung vor Strichrechnung (flls keine Klmmern gesetzt wurden), genuer Multipliktion und Division vor Addition und Subtrktion. Die Zhl 0 wird uch ls ds neutrle Element der Addition bezeichnet, d + 0 = gilt. Die Zhl wird uch ls ds neutrle Element der Multipliktion bezeichnet, d ÿ = gilt. Geometrische Drstellung der ntürlichen Zhlen Vektor Mn knn sich eine ntürliche Zhl uch ls Pfeil (Vektor) vorstellen, wobei ds Verhältnis der Länge des Vektors zur Länge eines Einheitsvektors (der per definitionem die Länge ht) der zu repräsentierenden Zhl entspricht. In der folgenden Grphik sind (z.b.) die drei Vektoren der Länge 4 (rot), der Länge (blu) und der Länge 3 (grün) drgestellt. Alle Vektoren zeigen in die gleiche Richtung. Eine ntürliche Zhl ist lso durch einen eindeutigen Vektor (Pfeil der entsprechenden Länge) gekennzeichnet. Wenn mn lle Vektoren beim untenstehenden Zhlenstrhl beim Wert 0 nbindet knn mn uch jede ntürliche Zhl mit einem Punkt uf dem (sogennnten) Zhlenstrhl identifizieren Die nächste Grphik zeigt noch nschulich die Addition 3 + = 4. Der Vektor der Länge (blu) strtet beim Endpunkt des Vektors der Länge 3 (grün). Es resultiert ein Vektor der Länge 4 mit dem Endpunkt Symbolische Drstellung der ntürlichen Zhlen Im Gespräch (und schriftlich bei kleinen Zhlen) werden die ntürlichen Zhlen durch (Zhl)wörter...

6 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 6 eins, fünf, zwölf, und zusmmengesetzte Wörter... einunddreissig, hundertzehn zwei Millionen fünfhundert Tusend und dreizehn (2'500'03)... repräsentiert. Zur (bkürzenden) Drstellung der ntürlichen Zhlen verwendete mn in den verschiedenen Zeitepochen und in den verschiedenen Kulturkreisen die unterschiedlichsten Symbole (Zhlsymbole, Zeichen, Zhlzeichen). Sie können grundsätzlich in verschiedene Ktegorien eingeteilt werden, in Additionssysteme und Stellenwertsyssteme. Bei den Additionssystemen setzt sich eine Zhl us der Addition oder Subtrktion der Werte für die einzelnen Symbole zusmmen (z.b. Römische Zhlen). Bei einem Stellenwertsystem (Positionssystem) wird der Wert eines Symbols zusätzlich noch durch die Position bestimmt (z.b. Dezimlsystem). Römische Zhlen Ds Römische Zhlensystem ist ein Additionssysstem. Dbei wird der Zhlenwert durch Addition und Subtrktion der vorkommenden Zhlzeichen bestimmt. Bei den römischen Zhlen werden die Zhlzeichen I, V, X, L, C, D, M verwendet. Sie stehen für die (dezimlen) Zhlen, 5, 0, 50, 00, 500 und 000. Die Römischen Zhlen sind nur von historischem Interesse. Sie eignen sich weder gut zur Drstellung noch gut zum Rechnen. Bechte: wenn ein Zhlzeichen vor einem Zhlzeichen mit grösserem Wert steht, wird ds Zhlzeichen subtrhiert (ds Vorzeichen und dmit der Wert des Zhlzeichens wird lso genugenommen uch hier durch die Position mitbestimmt): 9 0 = IX Weitere Beispiele: 3 0 = III 49 0 = XLIX = MMMCCCLXXXIII Dezimldrstellung (Bsis 0) Die meisten Länder der Welt benützen heute ds sogennnte Dezimlsystem. Hier werden die 0 Zhlzeichen 0,, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 und 9 zur Drstellung der Zhlen und die Zhl 0 (lt. decim) ls Bsis verwendet. Die Position dieser Zhlzeichen bestimmt den Wert dieser Zhlzeichen (Zhlzeichen gnz rechts: ml ; 2. Zeichen von rechts: ml 0, etc. ml 00, 000,...). Zum Beispiel ht ds Zhlzeichen 3 in der Zhl 367 den Wert 300. Ausführlich knn die Zhl 367 so zerlegt werden = 3 ÿ 00 Æ + 6 ÿ 0 Æ + 7 ÿ oder in Potenzenschreibweise = 3 ÿ 0 2 Æ + 6 ÿ 0 Æ + 7 ÿ 0 0 Æ 300 Wir wissen j, dss 0 0 =, 0 = 0, 0 2 = 00, Zhlen werden stndrdmässig im Dezimlsystem ngegeben. Wenn lso keine Bsis ngegeben wird (d.h. 367) wird die Bsis 0 ngenommen (d.h. 367 = ).

7 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 7 Binäre Drstellung (Bsis 2) Die binären Zhlen sind gleich ufgebut, es werden jedoch nur die beiden Zhlzeichen 0 und und die Bsis 2 verwendet. Anlog wird der Wert des Zhlzeichens durch die Position des Zhlzeichens bestimmt (von rechts: ml, 2, 4, 8, etc.). Die binäre Zhl 0 ht demnch den Wert Ø 0 ÿ 2 Æ + ÿ 2 0 Æ + ÿ 2 2 Æ = = Die binären Zhlen spielen eine wichtige Rolle im Bereich der Computer (Mikroprozessoren), weil sich zwei Zustände (0/) sehr einfch (es fliesst Strom/es fliesst kein Strom) repräsentieren lssen. Hexdezimle Drstellung (Bsis 6) Die hexdezimlen Zhlen sind gleich ufgebut, es werden jedoch die 6 Ziffern 0,,...8, 9, A, B, C, D, E, F und die Bsis 6 verwendet. Die Ziffer A entspricht dbei dem (dezimlen) Wert 0, B dem Wert,..., F dem Wert 5. Anlog wird der Wert der Ziffer durch die Position der Ziffer bestimmt (von rechts: ml, 6, 256 etc.). Die hexdezimle Zhl 3A ht demnch den Wert... 3 A 6 Ø 3 ÿ 6 Æ + 0 ÿ 6 0 Æ = = Gnze Zhlen Die ntürlichen Zhlen reichen nicht us, um uch die Umkehropertion der Addition durchzuführen: d.h. ein x zu bestimmen, so dss # + b = c; c#c + x =, konkret z.b. 3#3 + 4 = 7; 7#7 + x = 3. Innerhlb der ntürlichen Zhlen ht die Gleichung 7 + x = 3 keine Lösung. Wenn wir jedoch den Zhlenbereich uf die negtiven Zhlen erweitern , 3, 2,, 0,, 2, 3, 4, können wir obige Gleichung lösen: x = -4 (d.h. ds inverse Element von 4 bezüglich der Addition). Zhlen, die grösser ls Null sind hben ds + (plus) ls Vorzeichen (oder kein Vorzeichen) und werden positive Zhlen gennnt. Zhlen, die kleiner ls Null sind hben ds - (minus) ls Vorzeichen und werden negtive Zhlen gennnt. Die Menge der gnzen Zhlen wird mit dem Symbol drgestellt. Die positiven gnzen Zhlen werden mit +, die negtiven gnzen Zhlen mit - bezeichnet. Es gilt = - = + 80< -. Mit der Opertion "Betrg" (Abkürzung:... ) knn eine negtive Zhl in eine positive umgewndelt werden. -3 = 3. Die Opertion ändert nichts n einer positiven Zhl: 3 = 3. Der Zhlenstrhl wird uf die Zhlengerde erweitert Bemerkungen: Es gibt (bzählbr) unendlich viele gnze Zhlen. Die gnzen Zhlen enthlten die ntürlichen Zhlen. Die Zhl - wird uch ls ds inverse Element von bezüglich der Addition bezeichnet, d +H-L = 0 gilt. Die Menge der gnzen Zhlen ist bgeschlossen bezüglich der Addition, Multipliktion und Subtrktion. In Computerprogrmmen werden die gnzen Zhlen uch mit Integer bezeichnet.

8 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 8 Subtrktion Die Rechenopertion Subtrktion knn definiert werden ls die Addition mit dem inversen Element: d.h. - b = +H-bL. In dieser Gleichung ist links ds Opertionszeichen "-" und rechts ds Vorzeichen "-". Die Sutrktion und die Addition sind Umkehropertionen zueinnder, d jede Addition durch die Subtrktion rückgängig gemcht werden knn. Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Subtrktion H - b = cl Minuend minus Sutrhend gleich Differenz Für die Subtrktion gilt weder ds Kommuttivgesetz noch ds Assozitivgesetz. Rtionle Zhlen Rtionle Zhlen Mit den gnzen Zhlen können schon mehr Gleichungen ufgelöst werden (ls mit den ntürlichen Zhlen llein). Die gnzen Zhlen reichen jedoch nicht us, um uch die Umkehropertion der Multipliktion SQ ÿ T b c durchzuführen: d.h. ein x so zu bestimmen, dss csq ÿ T x, konkret z.b. 3SQ ÿ T 4 2 und 2SQ ÿ T x 3 Innerhlb der gnzen Zhlen ht die Gleichung 2 ÿ x = 3 keine Lösung. Wenn wir jedoch den Zhlenbereich uf die rtionlen Zhlen erweitern... 0, ±, ± 2, ± 2, ± können wir obige Gleichung lösen: x = 3 ÅÅÅÅÅ Bemerkungen: 2 = ÅÅÅÅ 4. Die Menge der rtionlen Zhlen wird mit dem Symbol drgestellt. Sie umfssen lle Terme (Brüche) ÅÅÅÅ p, wobei p und q gnze Zhlen und q 0 ist. q Alterntive Formulierung: Sie umfssen lle Brüche p ÅÅÅÅ q, wobei p eine gnze Zhl und q us + ist. Die Menge der rtionlen Zhlen ist bgeschlossen bezüglich der Addition, Multipliktion, Subtrktion und Division (usser durch 0). Es gibt (bzählbr) viele gnze Zhlen. Ds Abzählverfhren knn z.b. mit dem Cntor'schen Zählverfhren durchgeführt werden. Die rtionlen Zhlen enthlten die gnzen (und ntürlichen) Zhlen. Die rtionlen Zhlen liegen uch uf der Zhlengerden ( - ÅÅÅÅÅÅ 3, - ÅÅÅÅÅÅ 4, ÅÅÅÅ 2 sind hier ls Beispiel drgestellt). - Die Zhl ÅÅÅÅ wird uch ls ds inverse Element der Multipliktion bezeichnet, d ÿ ÅÅÅÅ = gilt. Die Rechenopertion Division ( ÅÅÅÅ b = : b = êb) knn definiert werden ls die Multipliktion mit dem inversen Element: d.h. ÅÅÅÅ b = ÿ ÅÅÅÅ b DivisionH ÅÅÅÅ b = cl Dividend Dividend durch Divisor gleich Quotient Hbzw. ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ gleich Quotient L Divisor

9 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 9 Bruch Bruch = Quotient = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Dividend ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Zähler ÅÅÅÅÅÅÅÅ Divisor Nenner Für die Division gilt weder ds Kommuttivgesetz noch ds Assozitivgesetz. Durch 0 drf nicht dividiert werden. Die folgenden Brüche sind gleichwertig: - ÅÅÅÅ b = ÅÅÅÅÅÅ - = b ÅÅÅÅÅÅ -b = - ÅÅÅÅ b = ÅÅÅÅÅÅ - = b ÅÅÅÅÅÅ -b = - - ÅÅÅÅÅÅ -b... Die rtionlen Zhlen umfssen eigentlich Klssen von Zhlen. So gehören zum Beispiel die folgenden rtionlen Zhlen... 3, 2 6, ,..., , zur gleichen Klsse, d.h. sie stellen uf der Zhlengerden den gleichen Punkt dr. Wir wollen im Folgenden (us Anschulichkeitsgründen) eine rtionle Zhl mit einem möglichst kleinen Zähler und Nenner drstellen. Dieses Vorhben führt uns uf die Teilbrkeit von ntürlichen Zhlen, die Primfktorzerlegung und die Begriffe kgv und ggt sowie die Umformung (bzw. ds Kürzen) von Brüchen, ws wir im folgenden Einschub genuer untersuchen wollen. Einschub: Primzhlen, ggt, kgv Ein llgemeines Produkt ÿ b knn folgendermssen geschrieben werden: ÿ b = n mit, b, n œ und b sind Teiler von n (in Kurzschreibweise»n und b»nl n ist ein Vielfches von und b. b ist der komplementäre Teiler zu bezüglich n. Die Teiler der Zhl n umfssen die Menge ller Zhlen, die die Zhl n ohne Rest teilen. Die Teiler und n werden ls unechte Teiler bezeichnet, die übrigen ls echte Teiler. Die Vielfchen der Zhl umfssen die Menge 8, 2, 3,...<. Die Zhl wird ls unechtes Vielfches von bezeichnet die nderen ls echte Vielfche. Mit Ausnhme der Qudrtzhlen (d.h., 4, 9, 6,...) ht jede ntürliche Zhl stets eine gerde Anzhl von Teilern. Jede ntürliche Zhl ist (unechter) Teiler und (unechtes) Vielfches von sich selbst (»): denn ÿ =. Jede ntürliche Zhl ist Teiler der Zhl 0 (»0): denn ÿ 0 = 0. Jede ntürliche Zhl ht den Teiler (»): denn =. Wenn»b und b»c, dnn gilt»c.»n knn uch ls " teilt n" usgesprochen werden. T n bezeichnet die Menge ller Teiler von n. Zum Beispiel T 8 =8, 2, 4, 8<. Ntürliche Zhlen, die den Teiler 2 hben, heissen gerde Zhlen; die nderen werden ungerde Zhlen gennnt. Mn knn gerde Zhlen p llgemein so drstellen: p = 2 n (n œ ) Mn knn ungerde Zhlen p llgemein so drstellen: p = 2 n + (n œ ) Es gibt viele gerde und ungerde (ntürliche) Zhlen.

10 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 0 Weiters gelten die folgenden Aussgen: Eine Zhl ist genu dnn teilbr durch... 2 wenn ihre letzte Ziffer durch 2 teilbr ist. 3 wenn ihre Quersumme durch 3 teilbr ist. 4 wenn die us ihren letzten beiden Ziffern gebildete Zhl durch 4 teilbr ist. 5 wenn ihre letzte Ziffer eine 5 oder 0 ist. 6 wenn sie gerde ist UND wenn sich ihre Quersumme durch 3 teilen lässt. 8 wenn die us ihren letzten drei Ziffern gebildete Zhl durch 8 teilbr ist. 9 wenn ihre Quersumme durch 9 teilbr ist. 0 wenn sie mit einer 0 endet. Eine ntürliche Zhl nhr2l, die nur die beiden trivilen (unechten) Teiler und n besitzt, heisst Primzhl. Alterntive Formulierung: Eine Zhl mit genu 2 (verschiedenen) Teilern heisst Primzhl. Die Zhl 2 ist die kleinste Primzhl und zugleich die einzige gerde Primzhl. Es gibt viele Primzhlen Beweis (von Euklid) Die ersten 00 Primzhlen sind Zum Beweis gehen wir von der Behuptung us, dss es nur endlich viele Primzhlen p, p 2,... p n gebe, und bilden drus die Zhl = p p 2... p n +. D bei Division von durch p, p 2,... p n stets der Rest bleibt, ist durch keine dieser Primzhlen teilbr. Somit ist die Zhl entweder eine weitere Primzhl oder teilbr durch eine Primzhl, die nicht uf der Liste ist. Die Liste ist lso nicht vollständig und die neue Primzhl muss zur Liste dzuddiert ddiert werden. Durch wiederholte Anwendung des obigen Tricks knn geschlossen werden, dss jede endliche Liste von Primzhlen unvollständig ist. Es gibt lso viele Primzhlen. QED. i, 8i,, 00<D, 0DD Sieb des Ertosthenes Zur Bestimmung der Primzhlen im nd knn ds "Sieb des Ertosthenes" Verfhren verwendet werden. Dies ist ein urltes Verfhren, ds uf den ntiken Philologen, Mthemtiker und Geogrphen Ertosthenes ( v. Chr.) zurückgeht und besteht us den folgenden Schritten: Zuerst schreibt mn lle Zhlen von 2 bis n in einer Liste. Dnn streicht mn lle echten Vielfchen von 2 (d.h. lle durch 2 teilbren Zhlen). Dnn streicht mn wiederholt lle echten Vielfchen der nächsten ungestrichenen Zhl (d.h. Vielfchen von 3, 5, 7,...) Sieb des Ertosthenes für den 30D

11 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb Jede ntürliche Zhl, die keine Primzhl ist, knn in (nichttrivile, echte) Teiler zerlegt werden. Dieses Verfhren knn solnge wiederholt werden bis nur noch Primzhlen ls Teiler vorliegen. Diese Teiler werden Primteiler gennnt und die dzugehörige eindeutige Drstellung eines Produkts ls Primfktorzerlegung. Zur Bestimmung der Primfktoren knn mn systemtisch vorgehen, indem mn der Reihe nch lle Primzhlen 2, 3, 5, 7,... ls Teiler überprüft. Idelerweise schreibt mn die Zhlen untereinnder und es resultiert ds folgende Schem: Beispielsweise für die Zhl 20 : 20» 2 60» 2 30» 2 5» 3 5» 5 Die Primfktoren von 20 sind: {2, 2, 2, 3, 5} Beispielsweise für die Zhl 42 : 42» 2 2» 3 7» 7 Die Primfktoren von 42 sind: {2, 3, 7} Die Primfktorzerlegung für die Zhlen 50 lutet Zu zwei vorgegebenen ntürlichen Zhlen und b findet mn den grössten gemeinsmen Teiler (ggt) durch Multipliktion der jeweils kleineren Potenz der in beiden Zerlegungen vorkommenden Primteiler. Beispiel - ggt von 6 und 40 Die Primzhlzerlegung ergibt: und Die kleinere Potenz für den Primfktor 2 ist 2 3 und die kleinere Potenz für den Primfktor 5 ist 5 0. Der ggt ist demnch Zu zwei vorgegebenen ntürlichen Zhlen und b findet mn ds kleinste gemeinsme Vielfche (kgv) durch Multipliktion der höchsten Potenzen ller vorkommenden Primteiler. Beispiel - kgv von 6 und 40 Die Primzhlzerlegung ergibt: und Die höchsten vorkommenden Potenzen sind 2 4 und 5. Der kgv ist demnch

12 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 2 Beispiel -Anschuliche Ermittlung des kgv und des ggt für 6 und 40 Anschulich knn mn den ggt und ds kgv uch ermitteln, indem mn die Primfktorzerlegung in folgender Weise übereinnderschreibt und für den ggt die gemeinsmen und ds kgv lle Potenzen übernimmt: 6 = = ggt = = 8 kgv = = 80 Ds Produkt b, der kgv(,b) sowie der ggt(,b) erfüllen die folgende Gleichung: b ã kgvh, bl ggth, bl. Diese Gleichung knn zur schnellen Berechnung des kgv (ggt) verwendet verwendet werden, flls der ggt (kgv) beknnt ist, sowie zur schnellen Überprüfung der Berechnung des kgv und ggt. Für unser obiges Beispiel führt diese Beziehung uf 6 ÿ 40 = 80 ÿ 8, ws korrekt ist. Rtionle Zhlen (Fortsetzung) Der im Einschub diskutierte ggt knn nun verwendet werden, um eine rtionle Zhl mit kleinerem Zähler und Nenner drzustellen. Es gilt nämlich: Um eine rtionle Zhl ÅÅÅÅÅ p mit kleinstmöglichem Zähler und Nenner drzustellen, müssen der Zähler und der Nenner durch den q ggt(p,q) geteilt werden. Beispiel 6 40 ggth6, 40L = 8 (siehe oben) ÅÅÅÅÅÅÅÅ 6 40 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 6ê8 40ê8 = ÅÅÅÅÅ 2 5 Weiters knn ds im Einschub diskutierte kgv nun verwendet werden, um rtionle Zhlen besser miteinnder vergleichen zu können. Es gilt nämlich: Die Grösse von zwei Brüchen ( p ÅÅÅÅÅÅ q, p 2 ÅÅÅÅÅÅ q 2 ) lässt sich m einfchsten vergleichen, wenn mn sie durch Erweitern (d.h. Zähler und Nenner mit der gleichen Zhl multiplizieren) gleichnmig mcht (d.h. uf den gleichen Nenner bringt). Dieser gemeinsme Nenner wird Huptnenner gennnt. Es gibt viele Huptnenner. Der kleinste Huptnenner ist ds kgv der beiden Nenner: d.h. kgv(q, q 2 ). Der einfchst zu berechnende Huptnenner ist ds Produkt der beiden Nenner: d.h. q ÿ q 2. Vergleich der beiden Brüche ÅÅÅÅ 3 4 und ÅÅÅÅ 7 9 (mit Huptnenner q ÿ q 2 ) Die beiden Brüche ÅÅÅÅ 3 4 und ÅÅÅÅ 7 werden verglichen, indem mn beide Brüche uf den Huptnenner 4 ÿ 9 = 36 erweitert, lso 9 3ÿ9 7ÿ4 ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ und ÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ. Jetzt sieht mn sofort, welcher Bruch der grössere ist. 4ÿ9 = ÿ4 = Vergleich der beiden Brüche 3 ÅÅÅÅÅ 8 Ds kgvh8, 27L ist 54. und 20 ÅÅÅÅÅ 27 ( mit Huptnenner kgv(q, q 2 )) Die beiden Brüche ÅÅÅÅÅ 3 8 und ÅÅÅÅÅ 20 3ÿ3 werden uf den Huptnenner 54 erweitert. Dies ergibt ÅÅÅÅÅÅÅÅ 27 mn sofort, welcher Bruch der grössere ist. 8ÿ3 = ÅÅÅÅÅ und 20ÿ2 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 27ÿ2 = ÅÅÅÅÅ Jetzt sieht

13 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 3 Je nch Grösse und Verhältnis von Zähler und Nenner gibt es unterschiedliche Bezeichnungen von Brüchen. Einen Bruch mit dem Zähler nennt mn Stmmbruch. Ist der Zähler kleiner ls der Nenner, so spricht mn von echten Brüchen, im ndern Fll von unechten Brüchen. Jeder unechte Bruch lässt sich durch Absplten einer gnzen Zhl in eine gemischte Zhl umschreiben. Beispiele Stmmbrüche: ÅÅÅÅ 5 ; - ÅÅÅÅ 3 Echte Brüche: ÅÅÅÅ 5 ; ÅÅÅÅ 3 5 ; - ÅÅÅÅ 2 3 Unechte Brüche und gemischte Zhlen: ÅÅÅÅ 4 3 = ÅÅÅÅ 3 ; - ÅÅÅÅ 8 3 = -2 ÅÅÅÅ 2 3 Gnze Zhlen ls unechte Brüche: 3 = ÅÅÅÅ 3 ; -4 = - ÅÅÅÅ 4 Brüche können in der Dezimldrstellung drgestellt werden. Wenn der Nenner in der Primfktorzerlegung nur die Fktoren 2 und/oder 5 enthält, lässt er sich mit einer endlichen Anzhl von Stellen nch dem Komm drstellen (endliche Dezimlzhl); ndernflls wiederholt sich eine bestimmte Folge von Zhlen oft (periodische Dezimlzhl). Die Periode wird mit einem wgrechten Strich über llen sich wiederholenden Nchkommzhlen gekennzeichnet. Wenn die Periode gleich hinter dem Komm beginnt spricht mn von reinperiodischen Dezimlzhlen, ndernflls von gemischtperiodischen Dezimlzhlen. Sttt Dezimlzhl wird uch der Ausdruck Dezimlbruch verwendet. Die Länge der Periode eines Bruches ÅÅÅÅ p knn ntürlich mximl q - Stellen erreichen, d bei der Division durch den q Nenner q j uch nur q - verschiedene Reste uftreten können und bei einer Periode der entstehende Rest von Null verschieden sein muss. Endliche Dezimlzhlen: ÅÅÅÅ 2 5 = 0.4, ÅÅÅÅÅ 3 0 = 0.3 Reinperiodische Dezimlzhlen: ÅÅÅÅ 3 = 0. 3êê, 9 êêêêêêê êê ÅÅÅÅ = Gemischtperiodische Dezimlzhlen: ÅÅÅÅ 5 6 = 0.8 3êê 3, ÅÅÅÅÅÅÅÅ = êê 900 Bei der Verwendung von Dezimlzhlen ht mn den Vorteil, die Grösse einer rtionlen Zhl leichter bschätzen zu können, doch müssen periodische Dezimlbrüche in der Prxis ls endliche Näherungszhlen gerundet werden. Die Rechnung wird ddurch mnchml ungenu. Eine endliche Dezimlzhl wird in einen Bruch umgewndelt, indem mn die Nchkommstellen ls Zähler und den Nenner ls der Stellenzhl entsprechende Zehnerpotenz drstellt ergibt 45 ÅÅÅÅÅÅÅÅ ergibt ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Eine reinperiodische Dezimlzhl wird in einen Bruch umgewndelt, indem mn den Zähler gleich der periodischen Zhlenfolge setzt und der Nenner soviele Neuner enthält wie die Periode lng ist. 0.3 êê gibt ÅÅÅÅ 3 9 = ÅÅÅÅ 3 êêêêê gibt 636 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 999 = ÅÅÅÅÅÅÅÅ Beweis êêêêê êêêêê êêêêê 000 ä = / subtrhiere êêêêê 999 ä = 636 / dividiere durch 999 êêêêê = 636 ÅÅÅÅÅÅÅÅ 999 Die folgende Rundungsregel gilt für lle Zweige der Wissenschft und Technik: Rundungsregel: Soll der Dezimlbruch oder uch eine gnze Zhl uf n Stellen (vor oder hinter dem Komm) gerundet werden, so ist für die Rundung die (n + )-te Stelle mssgebend. Die n-te Stelle wird ufgerundet, wenn die nchfolgende Stelle eine 5, 6, 7, 8 oder 9 ist; ndernflls wird bgerundet. Gerundete Zhlen werden durch ds Zeichen º gekennzeichnet, ds "ngenähert gleich" oder "rund" gelesen wird.

14 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb Ø 3400 Hgerundet uf HunderterL 3435 Ø 3440 Hgerundet uf ZehnerL.095 Ø.0 Hgerundet uf ZehntelL.095 Ø.0 Hgerundet uf HundertstelL Eine beim Runden ls letzte Ziffer entstehende Null drf nicht weggelssen werden, d durch ihr usdrückliches Mitschreiben ngedeutet wird, dss die gerundete Dezimlzhl bis zu dieser Stelle genu ist und dss die durch ds Runden entstndene Ungenuigkeit 5 Stellen der nächsten Dezimlstelle nicht übersteigt. Genuso dürfen bei gerundeten Dezimlbrüchen keine Nullen ngehängt werden, d dies eine nicht vorhndene Genuigkeit vortäuschen würde. Mn drf nicht zweiml hintereinnder runden, d dies Fehler verurscht. Beispielsweise ergibt die Zhl uf Hunderter gerundet Wenn mn die Zhl zunächst uf Zehner rundet (57450) und nschliessend uf Hunderter rundet erhält mn mit ein unterschiedliches Ergebnis. Zuweilen werden die Fehlergrenzen bei gerundeten Zhlen mit ngegeben z.b Einschub: Rechenregeln, Terme und Termumformungen Die meisten der folgenden Definitionen, Rechenregeln und Gesetze, hben wir schon uf der Sekundrstufe I kennengelernt und werden hier nur zusmmenfssend drgestellt. Ein Term ist ein mthemtischer Ausdruck, der us Zhlen, Vriblen (Pltzhlter), Symbolen für mthemtische Opertionen (+, -,, :) sowie Klmmern zur Gruppierung enthält. Terme sind sozusgen die grmmtiklisch korrekten Wörter oder Wortgruppen in der Sprche der Mthemtik. Beispiele: + b, 4-x ÅÅÅÅÅÅÅÅ x 2, Hx - sl 3 Gegenbeispiele (keine Terme): 9 > 5, y = 2 x + 4, 8x œ» x 20< Distributivgesetz (und drus bleitbr) Hb + cl = b + c Hb - cl = b - c Hb + c + dl = b + c + d =Hb + c + dl H - blêc = ê c + bêc Steht vor einer Klmmer ein Minuszeichen, so erhlten lle Summnden innerhlb der Klmmer ds umgekehrte Vorzeichen, wenn die Klmmer ufgelöst wird. -Hb + c - dl Ø - b - c + d +Hb + c - dl Ø + b + c - d Zhlen, die ncheinnder subtrhiert werden sollen, knn mn uch ddieren und en bloc ls Summe sutrhieren. - b - c - d - e Ø -Hb + c + d + el Ds Produkt (bzw. der Quotient) zweier gnzer Zhlen ist genu dnn positiv, wenn beide Fktoren (bzw. der Dividend und der Divisor) dsselbe Vorzeichen besitzen; im ndern Fll ist ds Produkt (bzw. der Quotient) negtiv. H+L H+L = H+L; H+L H L = H L; H L H+L = H L; H L H L = H+L; H+L:H+L = H+L; H+L:H L = H L; H L:H+L = H L; H L:H L = H+L;

15 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 5 Die Ordnungsreltion (,, >, ) dreht sich bei der Multipliktion mit einer negtiven Zhl (bzw. bei der Division durch eine negtive Zhl) um. c 0fl b fl c > c b Multipliziert mn den Zähler und den Nenner b eines Bruches mit derselben Zhl ( 0), so ht mn den Bruch erweitert. Der Wert des Bruches bleibt dbei unverändert. ÅÅÅÅÅ b = ÅÅÅÅÅÅÅÅ c b c ; c 0 Dividiert mn den Zähler und den Nenner b eines Bruches durch dieselbe Zhl ( 0), so ht mn den Bruch gekürzt. Der Wert des Bruches bleibt dbei unverändert. Wenn mn den Bruch mit dem ggt von und b kürzt, erhält mn die kleinstmöglichen gnzen Zhlen. ÅÅÅÅÅ b = ÅÅÅÅÅÅÅÅ : ÅÅÅÅÅ c b : c = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅ ; c 0 c b ÅÅÅÅÅÅÅ c Ein Bruch drf nicht mit Null erweitert oder gekürzt werden. Kreuzregel: Die Brüche ÅÅÅÅ b und ÅÅÅÅ c d sind genu dnn gleich und gehen durch Erweitern oder Kürzen ineinnder über, wenn d = b d ist. ÅÅÅÅÅ b = c ÅÅÅÅÅ d ñ d = b d Brüche b + c werden ddiert (bzw. subtrhiert), indem mn sie zunächst gleichnmig mcht. Dies knn einerseits geschehen, indem d mn den ersten Bruch mit dem Nenner des zweiten Bruchs und den zweiten Bruch mit dem Nenner des ersten Bruchs multipliziert d bd + cb. Der gemeinsme Nenner ist b d. Andererseits knn mn beide Brüche uch uf ds kgv der beiden Nenner erweitern. Die db nschlissende Addition (bzw. Subtrktion) der neuen Zähler ergibt den Zähler der Summe (bzw. der Differenz); der Nenner bleibt beibehlten. Methode: = = = = 24 Methode2: = = = 24 Zwei Brüche ÅÅÅÅ b und ÅÅÅÅÅ c werden miteinnder multipliziert, indem mn die vorkommenden Zähler und Nenner getrennt multipliziert: d ÅÅÅÅ b ÿ ÅÅÅÅÅ c d = ÅÅÅÅÅÅÅ ÿc. Bei der Division von zwei Brüchen ÅÅÅÅ bÿd b und ÅÅÅÅÅ c wird mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert: ÅÅÅÅ d b : ÅÅÅÅ c d = ÅÅÅÅ b ÿ ÅÅÅÅÅ d c = ÅÅÅÅÅÅÅÅ ÿd Die Multipliktion (und Division) von Brüchen ist somit einfcher ls die Addition bzw. Subtrktion von Brüchen. bÿc. Die Division ÅÅÅÅ b : ÅÅÅÅ c d ÅÅÅÅ b knn uch ls Doppelbruch geschrieben werden ÅÅÅÅÅÅ c ÅÅÅÅÅ d Reelle Zhlen Reelle Zhlen Durch Erweiterung von den ntürlichen uf die gnzen Zhlen und dnn uf die rtionlen Zhlen konnte die Anzhl der möglichen Berechnungen bedeutend erweitert werden. Sie reichen jedoch noch nicht us, um uch die folgende Gleichung zu lösen: x 2 =2

16 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 6 Es gibt keine rtionle Zhl, deren Qudrt gleich 2 ist. Beweis Wir nehmen n, dss es zwei positive ntürliche Zhlen p und q gibt, die die folgende Gleichung erfüllen: Drus folgt: J p ÅÅÅÅÅ q N2 = 2 p 2 = 2 q 2 Drus folgt, dss p 2 > q 2 > 0 und dss p 2 eine gerde Zhl ist. Drus folgt, dss uch p eine gerde Zhl ist (und nicht eine ungerde, d eine qudrierte ungerde Zhl immer uch ungerde wäre), lso p = 2 r (für ein bestimmtes r), und somit eingesetzt: H2 rl 2 = 2 q 2 q 2 = 2 r 2 Wir schliessen drus q 2 > r 2 > 0 und dss q 2 und q gerde Zhlen sind und mit dem Anstz q = 2 s ds obige Argument wiederholen und erhlten schlussendlich eine lnge Kette von Ungleichungen... p 2 > q 2 > r 2 > s 2 > 0 wobei lle Terme positiv sind. Dies knn jedoch nicht sein. Es gibt nicht viele positive gnze Zhlen zwischen 0 und p 2. Unsere Schlussfolgerungen führen lso uf einen Widerspruch. Dmit ist bewiesen, dss die Annhme flsch wr. QED. Bemerkung: Häufig wird ein etws kürzerer Beweis gezeigt, wo mn ber zusätzlich (ohne zu zeigen) vorussetzt, dss der Bruch p q vollständig gekürzt ist und p und q keine gemeinsmen Fktoren mehr hben. Wurzel ziehen Wir hben für die Zhl 2 bewiesen, dss die Umkehropertion (x = è!!! 2 2 = è!!! 2 ) zum Qudrieren (x 2 = 2) us der Menge der rtionlen Zhlen hinusführt. Dies gilt nicht nur für die Umkehropertion zur Potenz mit dem Exponent 2. Wir können llgemeiner für eine Potenz mit einem Exponenent ( 0) definieren. Wurzelziehen è!!!! q b = Wurzelexponent è!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!! Rdiknd = WurzelHwertL Die q-te Wurzel us einer Zhl b ist diejenige Zhl, deren Potenz mit dem Exponenten q gleich b ist: è!!!! q b = ñ b = q für lle + b œ 0 und q œ \ {0} Sttt Wurzelziehen sgt mn uch Rdizieren. Ist n = 2 spricht mn von der Qudrtwurzel. Ist n = 3 spricht mn der Kubikwurzel Wie jede Subtrktion ls Addition und jede Division ls Multipliktion knn uch jede Wurzel ls Potenz geschrieben werden: è!!!! q ÅÅÅÅ b = b q. Wenn der Exponent q eine rtionle Zhl ist (q = ÅÅÅÅÅ m n ), so ist uch eine Drstellung in der folgenden Form möglich : bq ÅÅÅÅÅÅ = b m n mit n œ + und m œ. = è!!!!!!! n b m

17 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 7 Der Exponent drf uch negtiv sein. Dnn gilt: b -q = ÅÅÅÅÅ. Die Bsis b muss von 0 verschieden sein, d sonst die Division durch Null b q entsteht. Die Potenzrechnung und die Wurzelrechnung sind im Bereich der nichtnegtiven Zhlen Umkehropertionen zueinnder; die q-te Wurzel hebt die q-te Potenz wieder uf und umgekehrt: è!!!!!! q b q = I è!!!! q bm q = b Für lle Zhlen gilt: 0 = Der Wert 0 0 wird nicht einheitlich definiert. Ein Tschenrechner gibt einen "Error" zurück. Wie wir jedoch später sehen werden gilt obige Beziehung ( 0 = ) uch für gleich 0: d.h. 0 0 = Für gerdzhlige Wurzelexponenten n ist die Wurzel è!!!! n b (in ) nur definiert, wenn b eine positive Zhl oder gleich Null ist; für ungerde n drf b uch negtiv sein. è!!!!!!! 2-3 nicht definierthin L è!!!!!!!! 3-8 = -2 Hin L Aus der Gleichheit zweier Qudrte (x 2 = 4) knn nicht uf die Gleichheit zweier Wurzeln (x = 2) geschlossen werden, denn è!!!!!! x 2 = è!!!! 4 ñ x = 2 ñ x = 2 fi x = -2 Potenz- und Wurzelgesetze Auf die Angbe des Definitionsbereiches für m, n, q,... wird verzichtet. Es gelten jedoch die gleichen Einschränkungen wie im vorigen Abschnitt. Wir vereinbren stillschweigend dss... die Rdiknden nichtnegtive reelle Zhlen; die Zähler der Exponenten gnze Zhlen; die Nenner der Exponenten ntürliche Zhlen > 0; sowie llfällige Nenner von Null verschieden; sind. Potenzen und Wurzeln dürfen nur ddiert (subtrhiert) werden, wenn sowohl die Exponenten ls uch die Bsen übereinstimmen: x n y n = Hx yl n Potenzen können folgendermssen miteinnder multipliziert werden, flls die Bsen übereinstimmen: n m = n+m Drus folgt uch für Wurzeln und die Division: è!!! n è!!! m = ÅÅÅÅ n ÅÅÅÅÅ m = ÅÅÅÅ n + ÅÅÅÅÅ m m+n = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅ n = n -m = n-m = -Hm-nL = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m m-n è!!!! n ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! m = ên ÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅÅÅÅ = êm n - ÅÅÅÅÅ m m-n = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅ m m n = è!!!!!!!!!!! n m m n = è!!!!!!!!!!! n m-n m+n Potenzen und Wurzeln können folgendermssen miteinnder multipliziert werden, flls die Exponenten übereinstimmen: n b n = H bl n Ausserdem gilt: H n L m = n m Drus folgt uch für Wurzeln und die Division:

18 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 8 è!!! n è!!! n b = è!!!!!!! n b n ÅÅÅÅÅ b n è!!!! n ÅÅÅÅÅÅÅÅ è!!!! b = n b -n = n Hb - L n =H b - L n =H ÅÅÅÅ b Ln n =... = "##### n ÅÅÅÅ b Potenzumformungen Die folgenden Formeln können dzu verwendet, Summen (und Differenzen) in Produkte umzuformen. Dies ist u.. zum Kürzen wichtig. Binomische Formeln: 2 + b 2 = unzerlegbr in 2 - b 2 =H - blh + bl 3 + b 3 =H + blh 2 - b + b 2 L 3 - b 3 =H - blh 2 + b + b 2 L H + bl 2 = b + b 2 H - bl 2 = 2-2 b + b 2 H + bl 3 = b b 2 + b 3 H - bl 3 = 3-3 b b 2 - b 3 Mit Hilfe des Pscl'schen Dreiecks lssen sich Ausdrücke H + bl n mit grösseren n sehr schnell berechnen. Irrtionle Zhlen So wie die Subtrktion (Umkehropertion der Addition) us der Menge der ntürlichen Zhlen uf und die Division (Umkehropertion der Multipliktion) us der Menge der gnzen Zhlen hinus uf geführt ht, führt uch ds Rdizieren (die Umkehropertion des Potenzierens) us der Menge der rtionlen Zhlen hinus und zwr uf die Menge der sogennnten reellen Zhlen. Die Menge der reellen Zhlen beinhltet somit die rtionlen sowie die (neuen) irrtionlen Zhlen. = Eine reelle Zhl ist lso entweder rtionl oder irrtionl. Eine irrtionle Zhl lässt sich weder durch eine endliche noch durch eine unendliche periodische Dezimlzhl drstellen, sondern nur mittels einer unendliche nicht-periodischen Dezimlzhl. Es knn gezeigt werden, dss è!!!! p irrtionl ist, wenn p eine Primzhl ist. Irrtionle Zhlen, die sich uf Wurzelusdrücke zurückführen lssen werden ls lgebrisch irrtionl bezeichnet; solche, bei denen dies nicht gelingt, trnszendent irrtionl. Die Kreiszhl Pi ( ) sowie die Eulerzhl E ( ) sind trnszendent irrtionl. è!!! 2 ist eine lgebrisch irrtionle Zhl.

19 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 9 Zhlendrstellungen in Computern In den Computern, in Prozessoren und in Tschenrechnern werden die Zhlen in der binären Drstellung drgestellt. Die mximle Grösse von gnzen Zhlen, ber uch die Genuigkeit der reellen Zhlen hängt b von der Anzhl Bytes, die für die Abspeicherung einer Zhl verwendet werden. Ein Byte entspricht dbei 8 Bits. Für den Dtentyp Unsigned (d.h. gnze Zhl ohne Vorzeichen) können dmit die Zhlen von 0 (' ', 8 Nullen) bis 255 ('', 8 Einsen) drgestellt werden, insgesmt lso 256 Zhlen. Die Progrmmiersprchen (C, C++, Jv, JvScript,...) verwenden unterschiedliche Dtentypen. JvScript unterscheidet beispielsweise nicht zwischen gnzen und Dezimlzhlen und stellt lle Zhlen im 64-Bit-Gleitkommformt dr. Jv ndererseits kennt die folgenden Dtentypen: Nme Länge in Bytes Wertebereich byte -28 bis 27 short bis int bis long bis flot ÿ 0-45 bis ÿ 0 38 double ÿ bis ÿ Für gnze Zhlen wird ein Bit für ds Vorzeichen verwendet. Dmit lssen sich mit einem Byte Zhlen von -28 bis 27 drstellen. Reelle Zhlen werden mit 2, 4 oder 8 Bytes bgespeichert. Dbei wird ein Teil für die Mntisse, ein nderer Teil für den Exponent verwendet. Auf Grund der begrenzten Anzhl von Stellen rechnet ein Prozessor oder Tschenrechner mit fixer Präzision. Insbesondere bei der Subtrktion von Zhlen, die sich nur um einen kleinen Wert unterscheiden (z.b. '000'000 - '000'00), knn die begrenzte Präzision zu Fehlern führen. Bei CAS (Computer Algebr Systems) knn mit (fst) beliebig grossen gnzen Zhlen gerechnet werden. Als Beispiel: Ö Ö Ö Diese Zhl entspricht in Dezimlschreibweise (uf 20 Stellen genu) , 20D `20.*^356 Diese Zhl (Exponent 356) wäre zu gross für Jv. Der folgende Ausdruck gibt die Zhl Pi uf 200 Stellen genu n. Dies übersteigt bei weitem die Präzision einer reellen Zhl in Jv (die Mntisse ht für den Dtentyp double in Jv nur rund 5 Ziffern). 200D Ö Ö `200.

20 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 20 Bemerkungen: Im Computer sind die Zhlen 0 und 0.0 nicht identisch. Komplexe Zhlen Definition der imginären Einheit Durch Erweiterung von den Ntürlichen uf die Gnzen Zhlen, dnn uf die Rtionlen Zhlen und schlussendlich uf die Reellen Zhlen konnte die Klsse der Gleichungen, die im entsprechenden Zhlenbereich gelöst werden können, bedeutend erweitert werden. Die Bereich der Reellen Zhlen reicht jedoch immer noch nicht us, um zum Beispiel uch die folgende Gleichung (in ) lösen zu können: x 2 = - Denn lle qudrierten reellen Zhlen sind grösser oder gleich 0. Wenn wir jedoch definieren... Definition: die imginäre Einheit erfüllt die Gleichung  2 U -... knn uch die obige Gleichung gelöst werden, denn die neu eingeführte imginäre Einheit löst diese direkt. Summen- und Prdrstellung Diese imginäre Einheit  nimmt eine zentrle Stellung ein, d durch Addition und Multipliktion reeller Zhlen mit der imginären Einheit  jede ndere komplexe Zhl konstruiert werden knn (z.b. 5 +  6, 3 Â, Â) Definition: Eine (llgemeine) komplexe Zhl z ht in der Summendrstellung die Form z = x +  y, wobei x und y reelle Zhlen sind: x wird Relteil und y wird Imginärteil der komplexen Zhl gennnt. Es können die beiden Funktionen und definiert werden, die den Relteil von z = x +  y bzw. den Imginärteil von z zurückgeben: lso +  yd = x und +  yd = y. Eine komplexe Zhl knn uch ls geordnetes Pr Hx; yl oder 8x, y< reeller Zhlen, drgestellt werden (Prdrstellung).

21 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 2 Während die reellen Zhlen ls Punkt uf einer -dimensionlen Zhlengerde drgestellt werden können, lssen sich die komplexen Zhlen (z.b. z = x + i y oder Hx; yl) ls Punkte (oder Ortsvektoren) in der sogennnten komplexen (2-dimensionlen) Ebene bzw. Guss'schen Zhlenebene drstellen. Dbei stellt der Relteil x die Abszisse und der Imginärteil y die Ordinte des der komplexen Zhl z = x + i y bzw. Hx; yl bzw. 8x, y< zugeordneten Punktes dr. Diese Zuordnung ist eindeutig. Jedem Punkt der komplexen Ebene entspricht genu eine komplexe Zhl und jeder komplexen Zhl entspricht genu ein Punkt dieser Ebene. Polrdrstellung Es gilt llgemein die folgende wichtige Formel:  f = coshfl +  sinhfl Und drus speziell für f = ph80 GrdL:  p + = 0 Drus folgt, dss sich jede komplexe Zhl x +  y (krtesische Koordinten) uch in der Form r  f (Polrkoordinten) drstellen lässt: z = x +  y = r  f = rhcoshfl +  sinhfll = r coshfl +  r sinhfl Dbei ist r der Betrg (Modulus) der komplexen Zhl z und f die Phse (Argument, Winkel). Die Umrechnung zwischen Hx, yl und Hr, fl erfolgt mit folgenden Formeln: r = è!!!!!!!!!!!!!!!! x 2 + y 2 x = r coshfl f = tn - H ÅÅÅÅ y y = r sinhfl x L Komplexe Ebene 5 i 4 i 3 i z 2 i r i y φ x i 2 i 3 i 4 i 5 i Bemerkungen Die Menge der komplexen Zhlen wird mit bezeichnet. Die komplexen Zhlen mit einem Imginärteil gleich 0 sind die reellen Zhlen. Die komplexen Zhlen mit einem Relteil gleich 0 werden ls rein imginäre Zhlen bezeichnet: z.b. 5 Â, -Â.

22 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 22 Für ds Rechnen mit komplexen Zhlen gelten die beknnten Gesetze der Algebr (Kommuttivgesetz, Assozitivgesetz, Distributivgesetz). Für die Addition, Subtrktion, Multipliktion und Division gelten die folgenden Rechenregeln. Addition und Sutrktion (komponentenweise) H + b ÂL +Hc + d ÂL =H + cl +Hb + dl  H + b ÂL -Hc + d ÂL =H - cl +Hb - dl  Multipliktion H + b ÂL ÿhc + d ÂL =H c - b dl +Hb c + dl  Dies knn durch Ausmultiplizieren und unter Verwendung von " b  d =  2 b d = - b d " gezeigt werden. Division + b ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c+â d H+ bl Hc- dl H c+b  c-â d-â b  dl = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ Hc+ dl Hc- dl c 2 +d 2 = ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ c+b d c 2 +d 2 +  ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ b c- d c 2 +d 2 Dies knn durch Multipliktion des Zählers und des Nenners mit c -  d (der zu c +  d komplex konjugierten Zhl, siehe später) und unter Verwendung von " b  d =  2 b d = - b d " gezeigt werden werden. Die reellen Zhlen liegen uf der Reellen Achse (Relchse) und die rein imginären Zhlen uf der Imginären Achse (Imginärchse). Die komplexen Zhlen lssen sich nicht grössenmässig vergleichen (d.h. mit <, >,...). Allerdings knn mn über den Abstnd eines komplexen Punktes in der Guss'schen Zhlenebene vom Ursprung eine Art Grössenvergleich unter den komplexen Zhlen herstellen. Unter dem Abstnd r eines komplexen Punktes z = x + i y vom Ursprung bzw. dem Betrg oder Modulus z einer komplexen Zhl z = x + i y versteht mn die reelle, nichtnegtive Zhl r = z = è!!!!!!!!!!!!!!!! x 2 + y 2 (Stz von Pythgors). Der Betrg von z =  f beträgt z = "################################### coshfl 2 + sinhfl 2 = è!!!! = ; ds heisst, die komplexe Zhl  f liegt uf dem Einheitskreis. z = x + i y und z ê = x - i y nennt mn konjugiert zueinnder. z ê knn us z durch Spiegelung n der Relchse erhlten werden. Ds Produkt z z ê beträgt x 2 + y 2 wie mn durch Ausmultipliktion leicht nchrechnen knn, ist lso immer eine nichtnegtive reelle Zhl. Jede komplexe Zhl knn uch uch ls Vektor oder gerichteter Pfeil (in der Guss'schen Ebene) ufgefsst werden. Die komplexe Addition z = z + z 2 entspricht dbei einer Vektorddition bzw. der Verschiebung des Punktes z um den Vektor z 2. Die komplexe Multipliktion z = z ÿ z 2 (mit z 2 = r 2  f 2 ) entspricht einer Rottion des Punktes z (um den Winkel f 2 um den Ursprung) plus Streckung um den Fktor r 2. Dies knn mn in der Polrdrstellung der komplexen Zhlen leicht verifizieren: mit z = r  f und z 2 = r 2  f 2 folgt: z = z ÿ z 2 = r  f r 2  f 2 = r r 2  f  f 2 = r r 2 ÂHf +f 2 L. Die Division komplexer Zhlen ist ähnlich wie bei der Multipliktion sehr viel einfcher in der Polrdrstellung ls in der Komponentenschreibweise. Bei der Division ist der Betrg des Quotienten gleich dem Quotienten der Einzelbeträge und ds Argument gleich der Differenz der Einzelrgumente: z = z ÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ z 2 = r r 2 ÂHf -f 2 L Ds neutrle Element bezüglich der Addition ist (die reelle Zhl) 0.

23 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 23 Ds neutrle Element bezüglich der Multipliktion ist (die reelle Zhl). Ds inverse Element zu x + Â y bezüglich der Additon ist -x - Â y. Ds inverse Element zu x + Â y bezüglich der Multipliktion ist x-â y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ x 2 +y 2. Denn Rechenregeln für komplexe Zhlen z, w: z 0 z = 0 ñ z = 0 w z = w z Dreiecksungleichung: w + z w + z Hx+Â ylhx-â yl ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ = x2 +y ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 2 x 2 +y 2 x 2 +y 2 =. Die Menge ist nicht identisch zur Menge der reellen Zhlenpre ( 2, Vektorrum). Die Addition ist gleich wie für den Rum 2 definiert, die Multipliktion ist jedoch speziell für. Wrum bruchen wir komplexe Zhlen? Die folgenden Abschnitte beschreiben einige wichtige Punkte, wrum es Sinn mcht sich mit den komplexen Zhlen zu beschäftigen. Physiklische Grössen Es gibt zwei grundsätzlich verschiedene Bereiche, in denen im wirklichen Leben die komplexen Zhlen eine wichtige Rolle spielen:.) Physiklische Grössen, die ntürlicherweise mit komplexen Zhlen (und nicht mit reellen Zhlen) beschrieben werden. 2.) Physiklische Grössen, die - uch wenn sie mit reellen Zhlen beschrieben werden - m besten mittels der Mthemtik von komplexen Zhlen verstnden werden. Es gibt reltiv wenige Grössen us dem ersten Bereich, während die Grössen us dem zweiten Bereich sehr häufig sind. Als Beispiel für den ersten Bereich sei der (komplexe) Brechwert eines Mediums ngegeben: ǹ = n + Â k. Hier beschreibt k die Absorption des Mediums. Polynomgleichungen Der Fundmentlstz der Algebr sgt us, dss jedes Polynom n-ten Grdes genu n komplexe oder reelle Lösungen ht. Zu jeder komplexen Lösung z ist uch die konjugiert komplexe Zhl z ê eine Lösung. Mit nderen Worten: zur Lösung der (einfchen lgebrischen Polynome) bruchen wir die komplexen Zhlen. Beispiele: 2-0 x , xd 99x Ø 5 - Â è!!!!!! 5=, 9x Ø 5 + Â è!!!!!! 5== , xd 88x Ø -7 Â<, 8x Ø 7 Â<< Physiklische Gleichungen Die komplexen Zhlen werden nicht nur gebrucht, um lgebrische Gleichungen zu lösen oder um physiklische Grössen zu beschreiben, sondern kommen explizit uch in wichtigen Gleichungen der Physik vor: z.b. der Schrödinger Gleichung. Die Schrödingergleichung geht dbei us der Gleichung für die Energie... E = ÅÅÅÅÅÅÅÅ p 2 2 m + V

24 BMS 2006 Mthemtik Skript.nb 24 mit totler Energie E, Impuls p, Msse m und potentieller Energie V... durch die Substitution der Energie und des Impulses durch Ableitungen nch dem Ort bzw. der Zeit ( p Ø -ÂÑ ê x, E Ø Â ê t) hervor: Â ÅÅÅÅÅÅÅ Y - ÅÅÅÅÅÅÅÅ Ñ2 dt 2 Y ÅÅÅÅÅÅ Å 2 m x 2 + V Geometrie in der Ebene Geometrische Vorgänge in der Ebene lssen sich sehr einfch mit komplexen Zhlen beschreiben. Trnsltion: Addition bzw. Subtrktion von komplexen Zhlen; Rottion, Streckung: Multipliktion und Division von komplexen Zhlen; Spiegelung n der Reellen Achse: z Komplex Konjugieren; Spiegelung n der Reellen Achse: z Komplex Konjugieren und mit - multiplizieren; Herleitung der Additionsformeln für Sinus und Cosinus Mit Hilfe der komplexen Zhlen lssen sich sehr einfch Winkelsätze für den Sinus und Cosinus herleiten. Beispielsweise führt... = cosh + bl + Â sinh + bl = cosh + bl + Â sinh + bl = Â Â b = HcosHL + Â sinhllhcoshbl + Â sinhbll = ÂHcosH bl sinhl + coshl sinhbll +HcosHL cosh bl - sinhl sinhbll... ds Gleichsetzen der Relteile und Imginärteile uf: cosh + bl = coshl coshbl - sinhl sinhbl sinh + bl = coshbl sinhl + coshl sinhbl Mndelbrot Menge Eine sehr einfche Itertionsvorschrift für komplexe Zhlen c führt uf die einzigrtige Mndelbrotmenge. z n+ = z n 2 + c und z 0 = 0 Zhlen c, die mit dieser Vorschrift endlich bleiben, werden schwrz eingefärbt; den nderen Zhlen wird - je nchdem wie schnell sie ins divergieren - eine Frbe zugewiesen. Dies führt uf sehr interessnte frktle Strukturen. Die Mndelbrotmenge wird mit dem Progrmm "C:\Progrmme\ModelingRelity\Mndelbrot.exe" illustriert.

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