Multiplikation. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79

Transkript

1 Multiplikation Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 79

2 Multiplikation nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a * b? Beispiel: Multiplikand A: Multiplikator B: * Produkt: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 80

3 Maximale Länge des Ergebnisses Beobachtung: Multiplikand der Länge n Bits und Multiplikator der Länge m Bits ergibt Produkt einer Länge mit maximal n+m Bits. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 81

4 Das Verfahren als Algorithmus 1 Addiere Multiplikand zum Produkt Beispiel für 4 Bit Zahlen Start Teste erstes Multiplikator Bit Shifte Multiplikand ein Bit nach Links Shifte Multiplikator ein Bit nach Rechts 5ter Durchlauf? ja Ende nein 0 Beispiel 1001*0101: * Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 82

5 Das Verfahren in Hardware Links Shift 8 Bit Multiplikand Demonstration mit 1001 * 0110 = Links Shift 8 Bit ALU Rechts Shift 4 Bit Multiplikator 3.Rechts Shift 8 Bit Produkt 1. Produkt = Produkt + Multiplikand, wenn Bit 0 des Multiplikators = 1 Control Test 4. Anzahl Durchläufe = 5 Ende Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 83

6 Vorzeichenbehaftete Multiplikation Betrachte Multiplikand x und Multiplikator y. Sei x = x wenn x nicht negativ bzw. x = x sonst. Sei y = y wenn y nicht negativ bzw. y = y sonst. Berechne z = x * y. Ergebnis z = z wenn x und y nicht negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = z. Möglichkeit 2: Tausche im Verfahren der vorigen Folie das Produktregister mit einem vorzeichenbehafteten Rechts Shift Register aus. Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 84

7 Weitere Beschleunigungen Eine ALU für jede Summation x 3 *y x 2 *y 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 1 *y 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 0 *y 3 y 2 y 1 4 Bit ALU c s 3 s 2 s 1 s 0 x 0 *y 0 Beobachtung: (Y) * (X) = = = (Z) z 7 z 6 z 5 z 4 z 3 z 2 z 1 z 0 Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 85

8 Weitere Beschleunigungen Parallele Organisation der ALUs in einen Binärbaum (keine weiteren Details hier) Jede ALU Operation verbrauche einen Taktzyklus. Wie viele Taktzyklen dauert die Multiplikation von 32 Bit Zahlen? Bildquelle: David A. Patterson und John L. Hennessy, Computer Organization and Design, Fourth Edition, 2012 Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 86

9 Division Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 87

10 Division nach der Schulmethode Gegeben seien die Binärzahlen A und B. Was ist a : b? Beispiel: Dividend Divisor Quotient : = Rest: Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 88

11 Shifte Quotient nach Links und setze dessen LSB=1. Beispiel für 4 Bit Zahlen Das Verfahren als Algorithmus 0 Start Subtrahiere Divisor vom Rest Teste Rest Shifte Divisor ein Bit nach Rechts 6ter Durchlauf? ja Ende <0 Restauriere den alten Rest. Shifte Quotient nach Links und setze dessen LSB=0. nein Beispiel 1001 : 10: Dvdt :Dvsr= Qtnt : 10 = Rest Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 89

12 Das Verfahren in Hardware Rechts Shift 8 Bit Divisor Demonstration mit 1001 : 0010 = 100 Rest 1 3. Rechts Shift Links Shift 4 Bit Quotient 8 Bit ALU 2. Links Shift; LSB=Rest wurde verändert 1. Rest=Rest Divisor, wenn Divisor < Rest 4. Anzahl Durchläufe = 6 Ende 8 Bit Rest Control Test Beispiel für 4 Bit Zahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 90

13 Vorzeichenbehaftete Division Umgang mit dem Quotienten (analog wie für Multiplikation): Betrachte Divisor x und Dividend y (also: Quotient z von y:x). Sei x = x wenn x nicht negativ bzw. x = x sonst. Sei y = y wenn y nicht negativ bzw. y = y sonst. Berechne Quotient z von y : x. Ergebnis z = z wenn x und y nicht negativ oder x und y negativ, ansonsten ist z = z. Und was ist das Vorzeichen des Rests? Beispiel: Dividend : Divisor Quotient Rest Quotient * Divisor + Rest = Dividend 7 : * = 7-7 : * 2 1 = -7 7 : * = 7-7 : * -2 1 = -7 Also: Vorzeichen des Rests ist Vorzeichen des Dividend. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 91

14 Gleitkommazahlen Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 92

15 Reelle Gleitkommazahlen Beispiel Kleine Zahl Große Zahl Wissenschaftliche Darstellung (eine Ziffer links des Kommas) Normalisierte Darstellung (keine führende Null) Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 93

16 Binäre Gleitkommazahlen Was ist der Dezimalwert der binären Gleitkommazahl 101,1001? Was bedeutet 11,011 * 2 2? Also: mit 2 i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach rechts. Analog: mit 2 i multiplizieren verschiebt das Komma um i Stellen nach links. Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 94

17 Binäre Gleitkommazahlen Was ist die wissenschaftliche, normalisierte Darstellung der binären Gleitkommazahl zur dezimalen Gleitkommazahl 0,625? Grundlagen der Rechnerarchitektur Logik und Arithmetik 95