Kurze Einführung in die elementare Mathematik von Dr.-Ing. Herbert Voß

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1 Kurze Eiführug i die elemetare Mathematik vo Dr.-Ig. Herbert Voß Erstfassug 1972/73 Überarbeitug 1995

2 2 Ihaltsverzeichis 1 MATHEMATISCHE HILFSMITTEL Grudlage der Aussagelogik Verküpfuge Die Ud -Verküpfug (Kojuktio) Die Oder -Verküpfug (Alterative) Die Etweder-Oder - Verküpfug (Disjuktio) Die Nicht -Verküpfug (Negatio) Die We-So -Verküpfug (Implikatio) Die Äquivalez 4 2 MENGEN Der Megebegriff Relatioe zwische Mege Gleichheit vo Mege Teilmege, Restmege Operatioe mit Mege Vereiigugsmege Durchschitt Differez Produktmege Potezmege Zusammefassug 7 3 ZAHLBEREICHE 8 4 DER BEREICH DER NATÜRLICHEN ZAHLEN Recheoperatioe im Bereich der atürliche Zahle Additio Subtraktio Multiplikatio Divisio 9 5 DER BEREICH DER GANZEN ZAHLEN Wese ud arithmetische Struktur Vorzeicheregel 10 6 DER KÖRPER DER RATIONALEN ZAHLEN Wese der ratioale Zahle Die Mege der ratioale Zahle als Zahlekörper 11 7 ABSOLUTE BETRÄGE UND ABSCHÄTZUNGEN Absolute Beträge Abschätzuge Allgemei Beroullische Ugleichug Cauchy-Schwarzsche Ugleichug Dreiecksugleichug 12 8 POTENZEN, LOGARITHMEN Poteze mit ratioale Expoete Ratioalmache des Neers Poteze vo Biome (biomischer Lehrsatz) Logarithme reeller Zahle Defiitioe ud Gesetze Logarithmesysteme 16

3 3 1 Mathematische Hilfsmittel 1.1 Grudlage der Aussagelogik Gegestad mathematischer Betrachtuge sid Aussage. Die aussagelogische Kostate diee dazu, Aussageforme zu eue Aussageforme zu verküpfe. Eie Aussage ist etweder wahr oder falsch Verküpfuge Die Ud -Verküpfug (Kojuktio) 2 Symbol der Ud -Verküpfug:! Die beide Aussageforme 2 teilt x; 3 teilt x werde durch Ud zusammegefaßt zu der eie Aussageform 2 teilt x ud 3 teilt x. Die Kojuktio zweier Aussage ist wieder eie Aussage, ud sie ist geau da wahr, we jede der beide durch Ud -verküpfte Kompoete wahr ist. Tabelle 1 Wahrheitstafel der Ud -Verküpfug A w f w f B w w f f A! B w f f f Die Oder -Verküpfug (Alterative) 3 Symbol der Oder -Verküpfug: " Währed das umgagssprachliche Oder verschiedee Bedeutuge hat, verwedet ma i der Mathematik das Oder meist im Sie des lateiische vel als ichtausschließedes Oder, z.b., we ma sagt: Jede atürliche Zahl, die größer als zwei ist, ist eie Primzahl, oder sie besitzt eie Primteiler. Eie Alterative ist geau da wahr, we weigstes eie ihrer Kompoete wahr ist: Tabelle 2 Wahrheitstafel der Oder -Verküpfug A w f w f B w w f f A " B w w w f Die Etweder-Oder -Verküpfug (Disjuktio) 4 Symbol der Etweder-Oder -Verküpfug: #! Die Etweder-Oder -Verküpfug soll a Had eies kleie Schaltbildes verdeutlicht werde: 1 Die sogeate Fuzzy-Logik versucht diese Aussage zu erweiter, idem eie Aussage weder richtig wahr och richtig falsch zugelasse wird. 2 Lat.: et 3 Lat.: vel 4 Lat.: aut-aut

4 4 Die Disjuktio ist geau da wahr, we ei Schalter obe ud ei Schalter ute steht (Leuchte der Glühlampe). "Etweder" ist S1 obe (wahr) ud S2 ute (falsch), Oder S1 ist ute (falsch) ud S2 obe (wahr). Abbildug 1 Darstellug der Disjuktio als Schaltug Tabelle 3 Wahrheitstafel der Etweder-Oder - Verküpfug A w f w f B w w f f A B f w w f Die Nicht -Verküpfug (Negatio) Symbol der Nicht -Verküpfug: $ Bei ichtklassische Auffassuge wird die Negatio etweder überhaupt icht zugelasse, oder je ach dem eigeommee Stadpukt iterpretiert. We ma die Negatio zuläßt, geschieht das immer derart, daß ie zugleich eie Aussage ud ihre Negatio aerkat werde. Im klassische Fall der zweiwertige Logik folgt daraus, daß icht de Wahrheitswert umkehrt (egiert). Tabelle 4 Wahrheitstafel der Nicht -Verküpfug A w f $ A f w Die We-So -Verküpfug (Implikatio) Symbol der We-So -Verküpfug: % Gelese: We A so B (A%B). Adere Aussageforme sid We A, da B oder Aus A folgt B & B gilt, we A gilt & A ist hireiched für B & B ist otwedig für A & A ka ur gelte, we B Gilt & We A falsch ist, wird ichts ausgesagt. & Gegeüber de adere Verküpfuge hat die We-So -Verküpfug keie iere Zusammehag. Tabelle 5 Wahrheitstafel der We-So -Verküpfug A w f w f B w w f f A % B w w f w & Aus etwas Wahrem folgt also immer etwas Wahres! & Aus etwas Falschem ka etwas Wahres oder Falsches folge! Für (A,B,C) = (f,w,f) folgt daher: (A%B)%C ' A%(B%C) Die Äquivalez Symbol der Äquivalez: ( Die Äquivalez ( Geau da, we ) läßt sich als Kojuktio reziproker Implikatioe auffasse: A gilt da ud ur da, we B gilt.

5 5 Zwei Aussage heiße äquivalet, we beide i alle mögliche Fälle de gleiche Wahrheitswert ergebe. Es existiere folgede Sprechweise für die Äquivalez A(B: a) geau we A, so B oder b) da ud ur da, we A, so B oder c) aus A folgt B ud umgekehrt. Beispiele: $(A!B)(($A"$B) $(A"B)(($A!$B) (A%B)(($A"B) (A%B)(($B%$B) 2 Mege 2.1 Der Megebegriff Eie Mege ist eie Zusammefassug bestimmter wohluterschiedeer Objekte userer Aschauug oder useres Dekes zu eiem Gaze (Cator). Diese Objekte werde die Elemete der Dige geat. & x ) A wird gelese als x ist Elemet vo A & y * A wird gelese als y ist icht Elemet vo A & Soll eie Mege aus de edlich oder uedlich viele Elemete a,b,c,... gebildet werde, so bezeichet ma sie mit {a,b,c,...}. & Ist a Elemet der Mege A, so wird das durch a ) A symbolisiert. & Die Defiitio schließt icht aus, daß die Mege ur aus eiem Elemet besteht. A={a}. & Die leere Mege ethält kei Elemet. Sie wird mit dem Symbol + bzw. {} bezeichet. 2.2 Relatioe zwische Mege Gleichheit vo Mege Eie Mege A ist gleich eier Mege B, i Zeiche A=B, we jedes Elemet vo A auch Elemet vo B ud umgekehrt jedes Elemet vo B auch Elemet vo A ist Teilmege, Restmege Eie Mege A ist i eier Mege B ethalte, i Zeiche A,B, we jedes Elemet der Mege A auch Elemet der Mege B ist. A heißt da Utermege oder Teilmege vo B. & Ist A'B, spricht ma auch vo eier echte Teilmege (A,B). & Ist A=B, spricht ma vo eier uechte Teilmege (A-B). & Die leere Mege + ist Teilmege eier jede Mege. Ist A eie echte Teilmege vo B, so et ma die Mege der Elemete vo B, die A icht agehöre, die Restmege R vo B zu A (oder die zu A komplemetäre Mege vo B), i Zeiche R=B-A. & Zu jeder Mege vo Elemete gibt es geau 2 Utermege. 5 & Ist eie Mege A i eier Mege B, ethalte ud die Mege B Teilmege eier Mege C, so ist auch A Teilmege vo C: A,A.B ud B,C % A,C. 5 Siehe auch Beispiel zur Potezmege.

6 6 2.3 Operatioe mit Mege Vereiigugsmege Uter der Vereiigugsmege A.B 6 der beide Mege A ud B versteht ma die Mege aller Elemete, die zu A oder zu B oder zu A ud B gehöre. 7 Es gilt daher: A,A.B ud B,A.B. Aus der vorstehede Defiitio folgt, daß für die Vereiigug vo Mege die aus der elemetare Arithmetik bekate Gesetze gelte: Kommutativgesetz (Vertauschbarkeitsgesetz): A.B = B.A Assoziativgesetz (Vereiigugsgesetz): (A.B).C = A.(B.C). Beispiele: a) A sei die Mege aller durch 5 teilbare Zahle, die kleier als 25 sid. B sei die Mege aller durch 7 teilbare Zahle, die kleier als 35 sid. Es gilt da A.B={0,5,7,10,14,15,20,21,24,28} b) A sei die Mege aller Quadrate. B sei die Mege Aller Dreiecke. A.B ist da die Mege aller Quadrate ud Dreiecke Durchschitt Uter dem Durchschitt A/B 8 der beide Mege A ud B versteht ma die Mege aller Elemete, die sowohl zu A als auch zu B gehöre. 9 Es gilt daher: A/B,A ud A/B,B. Für die Bildug des Durchschitts gelte die folgede Gesetze: Kommutativgesetz (Vertauschbarkeitsgesetz): A/B = B/A Assoziativgesetz (Vereiigugsgesetz): (A/B)/C = A/(B/C). Abbildug 2 Vereiigug der Mege A ud B Distributivgesetz (Verteilugsgesetz): (A/B). C = (A/B).(A/C). Abbildug 3 Durchschitt der Mege A ud B & We die Mege A ud B kei gemeisames Elemet ethalte, we also gilt A/B=+, et ma derartige Mege elemetfremde oder disjukte Mege. Beispiele: a) A ist die Mege aller Rhombe. B ist die Mege aller Rechtecke. A/B ist da die Mege aller Quadrate. 6 Das Megezeiche. eriert a das Symbol " der ODER-Verküpfug. Nicht zu verwechsel mit der Etweder-Oder -Verküpfug! (Vgl. etsprechedes Kapitel) 7 C=A.B wird gelese als C gleich A vereiigt mit B. 8 Das Megezeiche / eriert a das Symbol! der UND -Verküpfug. 9 C=A/B wird gelese als C gleich A geschitte mi B

7 7 b) A ist die Mege aller Rhombe. B ist die Mege aller Quadrate. Es gilt da A/B=B; de alle Elemete vo B gehöre auch zu A Differez & Uter der Differez A\B der beide Mege A ud B ma die Mege aller Elemete vo A, die icht zu B gehöre. 10 & Sid die Mege A ud B elemetfremd, so stimmt die Differez A\B mit A überei ud umgekehrt. Auf jede Fall aber gilt: A\B = A\ (A/B), weil bei der Differezbildug vo A ur Elemete weggelasse werde, die sowohl zu A als auch zu B gehöre. Beispiel: Aus A={a,b,c,d} ud B={b,,a} folgt A\B={c,d} Produktmege Uter dem Megeprodukt AxB der beide Mege A ud B versteht ma die Mege aller geordete Elemetpaare (a;b) mit a)a ud b)b. 11 Beispiel: Aus A={a 1,a 2,a 3 } ud B={b 1,b 2 } folgt AxB={(a 1,b 1 ),(a 1 b 2 ),(a 2,b 1 ),(a 2 b 2 ),(a 3,b 1 ),(a 3 b 2 )} Potezmege Die Potezmege 0(A) der Mege A ethält als Elemete alle Utermege vo A. Besteht aus A aus Elemete, so ethält 0(A) isgesamt 2 Utermege. Beispiel: Aus A={a,b,c} folgt 0(A)={+,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} Abbildug 4 Differez der beide Mege A ud B 2.4 Zusammefassug Bezeichug Teilmege Gleichheit zweier Mege Vereiigugsmegmege Durchschitts- Differezmege Symbolik A,B A=B A.B A/B A\B Defiitio x ) A% x ) B x ) A% x ) B x ) A.B ( x ) A/B ( x ) A\B ( x ) A " x ) x ) A! x ) x ) A! x * B B B Erfaßt werde alle Elemete, die etweder i A oder i B oder i beide Mege liege.... sowohl i A als auch i B liege.... zwar i A aber icht i B liege. 10 C=A\B wird gelese als C gleich Differez vo A ud B 11 Bei de Paarbilduge stehe jeweils die Elemete vo A a erster Stelle.

8 8 3 Zahlbereiche Abbildug 5 Übersicht über die verschiedee Zahlbereiche 4 Der Bereich der atürliche Zahle 4.1 Recheoperatioe im Bereich der atürliche Zahle De Operatioe mit edliche Mege etspreche Recheoperatioe mit atürliche Zahle Additio Die Elemetezahl s der Vereiigugsmege S der beide elemetfremde edliche Mege A ud B mit de EIemetezahle a ud b heißt Summe der beide Zahle a ud b ud wird durch a+b bezeichet: S=A.B mit A/B=+ s=a+b & a ud b heiße Summade. & Die Rechug heißt Additio. & Summe = Summad plus Summad. Assoziatiosgesetz (Vereiigugsgesetz): a+(b+c) = (a+b)+c.

9 9 Kommutativgesetz (Vertauschugsgesetz): a+b = b+a. Mootoiegesetz: Aus a<b folgt stets a+c<b+c Subtraktio Ist für die beide Zahle a ud b die Bedigug b+d=a erfüllbar, so heißt die durch sie eideutig bestimmte Zahl d Differez vo a ud b ud wird mit a-b bezeichet. & I der Subtraktio d=a-b wird a Miued ud b Subtrahed geat. & Differez = Miued Mius Subtrahed. & Die Rechug heißt Subtraktio. We die edliche Mege B mit der Elemetezahl b i der edliche Mege A mit der Elemetezahl a ethalte ist, so hat die Differezmege D die Elemetezahl d=a-b: Das Assoziativgesetz gilt icht: (1-2)-3'1-(2-3)! Das Kommutativgesetz gilt icht: 1-2'2-1! D=A\B mit B,A s=a-b Mootoiegesetz: Aus a<b folgt stets a+c<b+c Multiplikatio Die Elemetezahl p des Megeprodukts P der beide edliche Mege A ud B mit de Elemetezahle a ud b heißt Produkt der Zahle a ud b ud wird durch a2b oder kurz ab bezeichet: P=AxB p=a2b & a ud b heiße Faktore. & Die Rechug heißt Multiplikatio. Assoziatiosgesetz (Vereiigugsgesetz): a2(b2c) = (a2b)2c. Kommutativgesetz (Vertauschugsgesetz): a2b = b2a. Distributiosgesetz (Verteilugsgesetz): a2(b+c) =a2b+a2c. Mootoiegesetz: Aus a<b ud c>0 folgt stets a2c<b2c Divisio Ist für die beide Zahle a ud b die Bedigug b2c=a erfüllbar ud b'0, heißt die durch sie eideutig bestimmte Zahl c Quotiet aus a ud b ud wird mit a:b bezeichet. & Im Quotiete wird a Divided, b Divisor geat. 12 Gilt icht für c<0!

10 10 & Quotiet = Divided dividiert durch Divisor. & Die Rechug heißt Divisio. Vo größter Bedeutug für praktische Rechuge ist: 13 Das Kommutativgesetz gilt icht: 1:2'2:1! Das Distributivgesetz gilt icht: 1:(2+3)'1:2 + 1:3)! Die Divisio durch Null ist per Defiitio ausgeschlosse. Assoziatiosgesetz (Vereiigugsgesetz): a:(b:c) = (a:b):c. Mootoiegesetz: Aus a<b ud c>0 folgt stets a:c<b:c Der Bereich der gaze Zahle 5.1 Wese ud arithmetische Struktur Der Bereich G der gaze Zahle wird vo de Zahle..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,... gebildet. I diesem Bereich trete vorzeichebehaftete Zahle auf, über die zuächst eiiges Grudsätzliches gesagt werde soll Vorzeicheregel Es ist stets: a) a+(-a)=0. 15 b) -(-a) = a. c) a+(-b) = a-b. 16 a+(-b)+b=a. d) a-(-b) = a+b. 17 e) -(a+b) = -a+(-b). 18 f) -(a-b) = -a+b. 19 g) a-(-b) = -ab. h) (-a)2(-b) = -(-a)2b = a2b. 6 Der Körper der ratioale Zahle 6.1 Wese der ratioale Zahle Alle Brüche g/h, die sich aus gaze Zahle g ud h mit h'0 (die Divisio durch Null ist i keiem Zahlebereich möglich) bilde lasse, werde als ratioale Zahle oder gebrochee Zahle bezeichet. Die Mege K der ratioale Zahle ethält die Mege G der gaze Zahle: G, K. Zwei Brüche g/h ud g /h sid geau da gleich, we gh =g h ist: 13 Es gibt allerdigs ersthafte Diskussiosbeiträge, die Uedlich als atürliche Zahl befürworte, womit die Divisio durch Null erlaubt sei köte. 14 Gilt icht für c<0! 15 De 0-a=-a ist ach Defiitio vo die Zahl, die zu a addiert Null ergibt. 16 De a-b ist die Zahl, die zu b addiert a ergibt. Dieselbe Eigeschaft besitzt aber auch die Zahl a+(-b). (vgl. Regel a). 17 Ersetzt ma i der Regel c) die Zahl b durch (-b) folgt da durch b) die Regel d). 18 Oder ach c: (-a-b). 19 Dies ergibt sich aus Regel e) uter Beachtug vo b) ud c).

11 11 g h g = gh g h h = Ei Bruch hat da ud ur da de Wert Null, we sei Zähler gleich Null ist! 6.2 Die Mege der ratioale Zahle als Zahlekörper Bei der Multiplikatio zweier Brüche wird Zähler mit Zähler ud Neer mit Neer multipliziert. Bei der Divisio vo Brüche wird der Divided mit dem Kehrwert des Divisors multipliziert. Zur Additio oder Subtraktio werde zwei ratioale Zahle zuächst so erweitert, daß sie eie gleiche Neer, eie Haupteer, erhalte. Als Haupteer diet bekatlich das kleiste gemeischaftliche Vielfache der beide Neer. Bei der Additio (Subtraktio) gleichamiger Brüche (gleicher Neer) werde dere Zähler addiert (subtrahiert) ud der Neer beibehalte. Idem also im Bereich der ratioale Zahle die vier Grudrechearte bis auf die Divisio durch Null ubeschräkt ausführbar sid, ist ei i dieser Hisicht volledeter Zahlebereich erreicht. Zahlebereiche dieser Art werde Zahlekörper geat. Der Körperbegriff wird aber auch auf Mege agewedet, die icht ur aus Zahle bestehe. Eie Mege M, uter dere Elemete eie Additio, eie Subtraktio, eie Multiplikatio ud eie Divisio mit de uter 3.1 geate Grudgesetze erklärt ud bis auf die Divisio durch Null (=a-a für ei beliebiges a)m) ubeschräkt ausführbar sid, heißt Körper. Der Körper K der ratioale Zahle ist der kleiste Zahlekörper, der de Bereich der atürliche Zahle ethält. 7 Absolute Beträge ud Abschätzuge 7.1 Absolute Beträge Uter dem absolute Betrag eier Zahl a, i Zeiche a, versteht ma die ichtegative der beide Zahle a ud (-a). Hieraus ergebe sich die Folgeruge: a ist iemals egativ! Für jede Wahl des Vorzeiches gilt: ±a3 a. -a = a. Der Betrag eies Produktes ist gleich dem Produkt aus de Beträge der Faktore: a2b = a 2 b. Der Betrag eies Quotiete ist gleich dem Quotiete aus de Beträge vo Divided ud Divisor: a:b = a : b. 7.2 Abschätzuge Allgemei Für ichtegative Zahle a ud b ud jede beliebige atürliche Zahl '0 gilt: ( ) a + b a+ b

12 12 Dies folgt umittelbar daraus, daß liks ur die beide Radglieder der Summeetwicklug vo (a+b) ach dem biomische Lehrsatz stehe ud keier der vorkommede Summade egativ ist Beroullische Ugleichug Für jedes ichtegative a ud jede atürliche Zahl gilt: ( a) a Hier sid rechts ur die beide der ach dem biomische Lehrsatz zu errechede Glieder aufgeschriebe währed die übrige icht-egativ sid Cauchy-Schwarzsche Ugleichug Für beliebige 2 Zahle a 1, a 2,..., a, b 1, b 2,..., b gilt die Ugleichug: 20 2 ( ab 11+ a2b ab) ( a1 2 + a a 2 )( b1 2 + b b 2 ) Dreiecksugleichug Der Betrag eier Summe ist iemals größer als die Summe der Beträge der Summade: a 1 +a a 3 a 1 + a a Der Beweis ka durch vollstädige Iduktio geführt worde. 8 Poteze, Logarithme 8.1 Poteze mit ratioale Expoete Die eifachste Poteze sid solche mit atürliche Zahle als Expoete, auf die weiter eigegage wird. Bei der Potez a, ()N\{0}) heißt a dabei Basis, Expoet ud a Potezwert. a 0 defiiert ma sivollerweise als 1: a 0 =1 Die erste Erweiterug dieses Potezbegriffes besteht i der Defiitio vo Poteze mit egative gaze Expoete, bei dee die Basis ' 0 sei muß. Ist a'0 ud (-) eie egative gaze Zahl, so versteht ma uter der Potez a - de Wert 1/a : 1 a = ; a N 0; \{ 0} a g Ist a eie positive reelle Zahl ud g/ (g)g, )N\{0}) eie beliebige ratioale Zahl, so versteht ma uter a die positive Zahl, dere -te Potez a g ist. Statt a 1/ darf auch a geschriebe werde. Dieser Ausdruck wird -te Wurzel aus a geat. Dabei heiße: & : Wurzelexpoet, & a: Radikad, & : Wurzelwert. a Für die Multiplikatio, die Divisio ud das Poteziere der Poteze gelte folgede Potezgesetze: 20 Hier ohe Beweis.

13 13 Poteze mit gleicher Basis werde multipliziert, idem ma ihre Expoete addiert ud die Basis beibehält: s t s+ t aa = a Poteze mit gleicher Basis werde dividiert, idem ma ihre Expoete subtrahiert ud die Basis beibehält: s t s t a : a = a Poteze mit gleiche Expoete werde multipliziert, idem ma ihre Base multipliziert ud das Produkt mit dem gleiche Expoete poteziert: 21 s s ab = ( ab) Poteze mit gleiche Expoete werde dividiert idem ma ihre Base dividiert ud de Quotiete mit dem gleiche Expoete poteziert: 22 s s a b s a = b Eie Potez wird poteziert, idem ma die Expoete multipliziert ud die Basis der Potez beibehält: s t st ( a ) = a Die letzte drei Potezgesetze werde auch als Wurzelgesetze formuliert: a b = ab a a = b b m m a = a Eie Zusammefassug vo Poteze bzw. Wurzel durch Additio ud Subtraktio ist ur möglich, we Basis ud Expoet bzw. Radikad ud Wurzelexpoet übereistimme. Im Falle a -b gilt: ( )(... ) a b = a b a + a b+ + ab + b mit dem Spezialfall ( )( ) 2 2 a b = a b a+ b s Aus der Defiitio für Poteze folgt für egative Base: ( a) 2 2 = a a R +, Z = a ( a) 21 Oder: ei Produkt wird poteziert, idem ma jede Faktor eizel poteziert: 22 Oder: Ei Bruch wird poteziert, idem ma Zähler ud Neer eizel poteziert.

14 Ratioalmache des Neers Bei der umerische Berechug vo Brüche, dere Neer Wurzel als Irratioalzahle sid, ist es zweckmäßig, vor dem Reche de Neer i eie Ratioalzahl zu verwadel. Dies erspart die ugüstige Divisio durch eie Dezimalbruch als Näherugswert eier Irratioalzahl. Die Irratioalität des Neers wird durch etsprechedes Erweiter beseitigt. 8.3 Poteze vo Biome (biomischer Lehrsatz) Sid a,b)4 * ud )N, so läßt sich (a+b) i eie Summe zerlege: a a b a b ab b k a k b k + = = k = 1 ( a b) Rechts stehe (+1) Summade, i dere Produkte die Expoete vo a mit begied je um 1 ach rechts abehme, die vo b umgekehrt mit 0 begied je um 1 zuehme ud die als Eulersche Symbole geschriebee Biomialkoeffiziete k (Sprechweise: über k) aus de folgede Defiitioe heraus berechet werde köe: k = ( 1)( 2)...( k+ 1) = ( k 1) k! k!( k)! R, k N 23 Hierbei gilt: 0! = 1; 1; = 0. 1 = = k k k = k k Schreibt ma für =0,1,2,... die Biomialkoeffiziete zeileweise auf, so erhält ma das ute dargestellte Pascalsche Zahledreieck. I der rechts stehede ausgerechete Form läßt sich die Symmetrie der Zahle zur Mittelsekrechte der Zeile ud die Darstellug eier Zahl als Summe der liks ud rechts darüber stehede erkee. Damit ka das rechts stehede Zahledreieck formal etwickelt werde. =0: 1 (a+b) 0 =1 =1: 1 1 (a+b) 1 =a+b =2: (a+b) 2 =a 2 +2ab+b 2 =3: (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 =4: (a+b) 4 =a 4 +4a 3 b+6a 2 b 2 +4ab 3 +b 4 =5: (a+b) 5 =... =6: (a+b) 6 =... usw. Abbildug 6 Pascalsche Zahledreieck 23 Sprechweise für k!: k Falkultät.

15 Abbildug 7 Pascalsche Zahledreieck mit Biomialkoeffiziete 8.4 Logarithme reeller Zahle Defiitioe ud Gesetze Vorausgesetzt, a>1 ud b sid positive reelle Zahle, so gibt es geau eie Zahl =log a b, Logarithmus b zur Basis a geat, die als Expoet zur Basis a geau b ergibt: & ist der Logarithmus. & a ist die Logarithmebasis. & b ist der Numerus des Logarithmus. 24 = log a b a = b; a, b R + Aus der Defiitio folgt: Das Logarithmiere ist die Umkehrug des Potezieres, ud Logarithmiere ud Poteziere zur gleiche Basis hebe sich auf: 25 b ( ) log a a b = loga a = b Weitere Folgeruge (a>1): & log a b=1, we b=a (Basis gleich Numerus) & log a b>0, we b>1 & log a b=0, we b=1 & log a b<0, we 0<b<1. Auf Grud dieser Beziehuge ka jeweils durch Logarithmiere eie Recheoperatio mit reelle Zahle auf eie daruterliegede Operatiosstufe zurückgeführt werde, also & aus Poteziere wird Multipliziere & aus Multipliziere/Dividiere wird Additio/Subtraktio. 24 Die Base 0<a<1 werde selte beutzt Awedug vo Fuktio ud Umkehrfuktio liefert immer die Variable: x 3 = x

16 16 ( ) loga uv = logau + loga v u loga = logau loga v v loga u m = mloga u loga u = 1 loga u Logarithmesysteme Sämtliche Logarithme (0<b<5) zu eier bestimmte Basis a>0 werde als ei Logarithmesystem bezeichet. Zwei Logarithmesysteme mit de Base a ud c sid durch die Beziehug verküpft. Für b=a folgt log a c log c a=1. log a b = log a c log c b Die Logarithme eies Systems köe also i die Logarithme eies beliebig adere Systems umgerechet werde. Als Ausgagssystem werde häufig die atürliche Logarithme mit der Basis a=e verwedet. Der sich ergebee Umrechugsfaktor M c =log c e wird Modul des Systems c geat, so daß für eie Umrechug da gilt: logcb = Mcl b = l b l c Tabelle 6 Die i der Praxis gebräuchliche Logarithmesysteme Bezeichug des Systems Basis Schreibweise Modul M c Natürliche oder Napiersche Logarithme e = lim 1+ 1 l b 1 M l Dekadische oder Briggsche Logarithme 2, lg b Dyadische Logarithme 2 ld b e = e = 1 1 M 10 = 0, l10 1 M 2 = 1, 443 l 2 Zum umerische Reche (außer Additio ud Subtraktio) sid am beste die dekadische Logarithme geeiget, da dere Logarithme vo Zeherpoteze gaze Zahle sid ud sich jede Zahl b durch Abspaltug eier Zeherpotez 10 i b=10 b' mit 13b 310 zerlege läßt. lg b läßt sich da wie folgt schreibe: lg b=+lg b, wobei als Keziffer ud die hiter dem Komma erscheiede Stelle vo lg b i der Dezimalbruchschreibweise als Matisse bezeichet werde. I de Naturwisseschafte kommt dagege fast ausschließlich der atürliche Logarithmus zum Eisatz, da für diese Fall Umrechugsfaktore etfalle; aturwisseschaftliche Prozesse folge häufig der Expoetialfuktio zur Basis e.

17 17 Abbildug 8 Darstellug ausgewählter Expoetialfuktioe

18 18 Abbildug 9 Darstellug ausgewählter Logarithmusfuktioe (Umkehrug der Expoetialfuktioe)