8. Der Fundamentalsatz der Algebra

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1 8. Aussage Fundamentalsatz der Algebra. Für jede natürlich Zahl n und beliebigen komplexen Koeffizienten a 0,a,...,a n hat die algebraische Gleichung x n +a n x n +...+a x+a 0 = 0, () eine Lösung in C. Man bemerke: dies ist eine Existenzaussage. Es wird nur behauptet, dass eine Lösung existiert, nicht aber, wie man sie findet Vorbereitung Die linke Seite der Gleichung () ist für jede komplexe Zahl x wiederum eine komplexe Zahl. Es handelt sich also um eine Funktion f: C C, f(x) = x n +a n x n +...+a x+a 0 Gesucht sind die Nullstellen dieser Funktion. Wie aber soll man eine Funktion C C darstellen? Zum Vergleich: eine Funktion, die jeder komplexen Zahl eine reelle Zahl zuordnet, also eine Funktion C kann man leicht darstellen. Als Beispiel betrachten wir:? : C. Man zeichnet den Wert x senkrecht über der Zahl x ein: z z z = x P P x x x Auch eine Funktion C lässt sich problemlos darstellen. Wir betrachten als Beispiel die Funktion e? i : C, t e ti. 8-

2 Komplexe Zahlen i i t i Schwierig ist es jedoch eine Funktion C C darzustellen. Wir bräuchten eigentlich vier Dimensionen. Daher ist es nützlich die Bilder von gewissen einfachen Kurven zu betrachten. Man schaut zum Beispiel, wie das Bild des Einheitskreises aussieht, oder das Bild der reellen oder imaginären Achse. Betrachten wir als Beispiel die Funktion f: C C, f(x) = x 4 2x 3 +2x 2 +8x+6 Dazu parametrisiert man die Kurve. Die reelle Achse ist einfacht durch x = t + 0 i parametrisiert; die imaginäre Achse durch x = 0+t i; der Einheitskreis durch x = e ti = cos(t)+isin(t). Nun wendet man f an und stellt die parametrisierte Bildkurve dar Beweisskizze Wir betrachten die Polynomfunktion p: C C, die durch gegeben ist. p(x) = x n +a n x n +...+a x+a 0 Zu zeigen: Die Funktion p hat eine Nullstelle. Wir betrachten Kreise K r mit adius r und Mittelpunkt 0 in der komplexen Ebene, mit anderen Worten K r = {re iϕ ϕ [0,2π]}. Nun betrachten wir das Bild B r = p(k r ), das heisst, B r ist die Menge aller Punkte p(x) wenn x ganz K r durchläuft. Ist r klein, so werden alle Potenzen r n für n > 0 auch klein, insbesondere die Potenzen für n >. Dies zeigt: für genügend kleine Werte von r wird x n +a n x n +...+a 2 x 2 genügend klein. Daher gilt dann mit guter Annäherung p(x) a x+a 0 8-2

3 Das Bild B r für sehr kleine r ist also annäherungsweise ein (kleiner) Kreis mit adius r a und Zentrum a 0. Der Punkt 0 liegt also ausserhalb von B r. Nun betrachten wir sehr grosse Werte für r. Dann geschieht gerade das Umgekehrte: jetzt wird x n zum wesentlichen Bestandteil und der est, also a n x n +...a x+a 0 ist klein im Vergleich zu x n. Daher gilt dann: p(x) x n. Das Bild ist dann ein annäherungsweise ein Kreis mit adius r n und Zentrum 0, der aber n-mal durchlaufen wird. Der Punkt 0 liegt also innerhalb von B r. Beim Übergang von kleinen zu grossen r vergrössert sich B r kontinuierlich, also ohne zu springen. Es muss daher mindestens einmal der Fall eintreten, dass B r genau durch 0 verläuft. Dies heisst aber, dass es eine Zahl x K r gibt, so dass p(x) = 0. Die folgenden Bilder illustrieren die beiden betrachteten Fälle (r klein und gross ): a 0 = 6 B B Die Bilder B 0.5 und B 6 im Falle p(x) = x 4 2x 3 + 2x 2 + 8x + 6. Gestrichelt ist links der Kreis mit adius 0.5 a = 4 und Zentrum a 0 = 6 und rechts der Kreis mit adius 6 4 = 296 und Zentrum Faktorisierung in Linearfaktoren Aus dem Fundamentalsatz der Algebra kann man folgendes ableiten: Satz. Jedes Polynom mit komplexen Koeffizienten vom Grad n lässt sich vollständig in Linearfaktoren zerlegen, d.h. es gibt komplexe Zahlen b,b 2,...,b n so, dass x n +a n x n +...+a x+a 0 = (x b ) (x b 2 )... (x b n ). (2) Um dies einzusehen benötigt man die Polynomdivision, siehe den Anhang. Demzufolge erlaubt jede Nullstelle b (die ja wegen dem Fundamentalsatz existieren muss!) eines 8-3

4 Komplexe Zahlen Polynoms p(x) eine Abspaltung eines Faktors (x b): p(x) = (x b) q(x). (3) Der Grad vom Polynom q ist dabei um Eins kleiner als der Grad von p(x). Erneutes Anwenden des Fundamentalsatzes auf q liefert eine Nullstelle von q, welche wegen (3) ebenfalls eine Nullstelle von p ist. Iteration dieses Prozesses liefert den Beweis dieses Satzes. Die Anzahl Male, die eine Faktor (x b) in der Zerlegung (2) (rechte Seite) auftaucht, ist die Multiplizität der Nullstelle b Folgerung Die für uns wichtige Schlussfolgerung ist, dass wir keine Möglichkeit haben, die Zahlmenge C nochmals zu erweitern um damit mehr algebraische Gleichungen lösen zu können. Die Zahlmenge der komplexen Zahlen ist also ein Schlussstein in einer eihe von Erweiterungen. Man sagt auch: C ist algebraisch abgeschlossen und meint damit nichts anderes, wie das was der Fundamentalsatz ausdrückt Anhang: Polynomdivision Es gibt einen einfachen Algorithmus, der erlaubt Polynome (in einer Variablen) mit est zu teilen. Die Variable wird einfachheisthalber immer x sein. Wir erläutern dies an einem einfachen Beispiel: (8+2x 2 3x) ( 4+x) =? Man ordent beide Polynome (der Dividend, d.h. das zu teilende und den Divisor, d.h. den Teiler) nach den Potenzen von x, links die hohen, rechts die niedrigen. (2x 2 3x+8) (x 4) =? Nun teilt man den ersten Monom des Dividenden durch das erste Monom des Divisors und schreibt es rechts hin. (2x 2 3x+8) (x 4) = 2x Nun multipliziert man disese 2x mit dem Divisor und zieht es vom Dividenden ab: (2x 2 3x+8) (x 4) = 2x Erneut dividiert man den ersten Monom (des esultates) durch den ersten Monom des Divisors und fügt es dem esultat hinzu. (2x 2 3x+8) (x 4) = 2x+5 8-4

5 Und erneut multipliziert man das esultat der letzten Monomdivision (also 5) mit dem Divisor und zieht das antstehende Produkt vom übriggebliebenen Dividenden ab. (2x 2 3x+8) (x 4) = 2x+5 (5x 20) 28 Wir erhalten den est 2. Wir können die Polynomdivison noch besser verstehen, wenn wir uns klar machen, dass wir im Prozess folgende Stufen von Gleichungen durchlaufen haben: 2x 2 3x+8 = (x 4) (2x)+ = (x 4) (2x+5)+28 Im Allgemeinen liefert der Prozess der Division eines Polynoms p(x) durch ein Polynom d(x) das esultat q(x) und den est r(x): p(x) = d(x) q(x)+r(x), (4) wobei der est r(x) einen Grad hat, der echt kleiner ist als der Divisor b(x). Spezialfall. Ist der Divisor von der Form x b und b eine Nullstelle von p(x) so folgt aus (4), dass 0 = p(b) = (b xb) q(b)+r(b) = r(b). Nun bedeutet aber r(b) = 0, dass b eine Nullstelle des estes ist. Der est ist ein Polynom vom Grad echt kleiner als der Divisors x b. Das heisst, r(x) ist vom Grad 0, d.h. eine Konstante. Damit bedeutet r(b) = 0 nichts anderes als r(x) = 0. Damit ist gezeigt: Satz. Ist b eine Nullstelle des Polynoms p(x) so ist p(x) ohne est durch x b teilbar, d.h. es gibt ein Polynom q(x) so, dass p(x) = (x b) q(x), wobei der Grad von q(x) echt kleiner ist als der Grad von p(x). 8-5