Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik. Nachschreiber 15. Juni 2010

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1 Senatsverwaltung für Bildung, Wissenschaft und Forschung Schriftliche Prüfungsarbeit zum mittleren Schulabschluss 2010 im Fach Mathematik Nachschreiber 15. Juni 2010 Arbeitsbeginn: Uhr Bearbeitungszeit: 120 Minuten Zugelassene Hilfsmittel: - beiliegende Formelübersicht (eine Doppelseite) - wissenschaftlicher Standard-Taschenrechner (nichtgrafikfähig, nichtprogrammierbar, nicht symbolisch rechnend) Bitte bearbeiten Sie die, die mit dem Symbol gekennzeichnet sind, auf dem blatt. Alle anderen bearbeiten Sie bitte auf gesondertem Papier. Alle Lösungswege müssen nachvollziehbar dokumentiert sein. Denken Sie an Begründungen und vergessen Sie bei Textaufgaben nicht den Antwortsatz. Falls Sie eine Lösung durch Probieren finden, müssen Sie Ihre Überlegungen erläutern. Es sind maximal 62 Punkte zu erreichen. Name, Vorname: Klasse:

2 1. Kalkül (10 Punkte) a) Ergänzen Sie in den Leerstellen so, dass das Gleichheitszeichen stimmt. (x 5) (x + ) = x² 25 b) Wie nennt man ein Parallelogramm mit vier gleich großen Winkeln? c) Das Dreieck ABC ist rechtwinklig im Eckpunkt B. Fertigen Sie eine beschriftete Skizze an und ergänzen Sie die drei Gleichungen so, dass wahre Aussagen entstehen. Skizze: sin α = cos γ = a tan α = b d) Der Inhalt der schraffierten Fläche wird mit einem Term beschrieben. Kreuzen Sie an, ob die folgenden Aussagen wahr (w) oder falsch (f) sind. y x x y Der Term beschreibt den Flächeninhalt. w f (y x ) (y x) 4 (y + x) (y + x) (y + x) 4xy 2. Dreiecksberechnung (4 Punkte) In einem Dreieck ABC sind die Seite c = 7,5 cm und die Winkel β = 45 und γ = 80 gegeben. a) Ermitteln Sie die Größe des Winkels α. b) Berechnen Sie die Länge der Seite b des Dreiecks. Seite 2 von 8

3 3. Gesund bleiben (8 Punkte) Der Sportverein Wir-leben-gesund veranstaltet auch in diesem Jahr wieder einen 10-km- Lauf, an dem alle Mitglieder Jogger, Walker und Minis (Kinder bis 10 Jahre) teilnehmen können. Der Lauf beginnt am Vereinshaus, führt nach 5 km am Waldschlösschen vorbei und endet am See, an dem danach ein Picknick stattfindet. km Die Walker liefen im letzten Jahr mit einer Durchschnittsgeschwindigkeit von 8. h Den Lauf der Jogger vor einem Jahr beschreibt das folgende Diagramm: See Waldschlösschen Vereinshaus a) Ergänzen Sie in dem Diagramm den Graphen für die Walker. b) Die Laufzeiten sind in diesem Jahr genauso wie im letzten Jahr. Die Jogger möchten gleichzeitig mit den Walkern ankommen. Wie viele Minuten später müssen sie am Vereinshaus starten? c) Die Minis starten am Waldschlösschen und laufen genauso schnell wie die Jogger. Zeichnen Sie den Graphen für die Minis in das gegebene Koordinatenkreuz ein und kennzeichnen Sie ihn. Geben Sie an, wie lange die Minis für den Lauf zum See brauchen. d) Geben Sie eine Funktionsgleichung an, die den Lauf der Minis beschreibt. Seite 3 von 8

4 4. Kartenspiel (4 Punkte) Ein Kartenspiel (Skatblatt) besteht aus jeweils acht Karten der vier Farben Karo, Herz, Pik und Kreuz. Von jeder Kartenfarbe gibt es acht Karten: 7, 8, 9, 10, Ass und die Bilder Bube, Dame, König. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, verdeckt aus diesem Kartenspiel die Karte Herz-Dame zu ziehen? b) Von einem Ereignis E beim Ziehen von Karten ist bekannt, dass die Wahrscheinlichkeit 1 für E genau beträgt. Kreuzen Sie das passende Ereignis E an. 8 Gezogen wird eine Sieben ein Bild eine Herz-Karte. c) Berechnen Sie, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass bei zweimaligem verdeckten Ziehen ohne Zurücklegen aus dem Kartenspiel zwei Bilder (Bube, Dame oder König) gezogen werden. 5. Schwimmhalle (8 Punkte) Die Innenfläche der neuen Schwimmhalle soll 756 m² groß sein. Das rechteckige Schwimmbecken soll doppelt so lang wie breit werden. Außerdem soll der Abstand vom Schwimmbeckenrand zur Hallenwand an allen Seiten 3 m betragen. a) Fertigen Sie eine Skizze an und beschriften Sie diese mit x, 2x, x + 6 und 2x + 6. Die Variable x gibt die Breite des Schwimmbeckens an. b) Berechnen Sie Länge und Breite des Schwimmbeckens mit Hilfe der Gleichung 756 = (2x + 6)(x + 6) (Falls Sie die Gleichung nicht umformen können, arbeiten Sie mit 0 = x 2 + 9x 360.) Seite 4 von 8

5 6. Eisbären Berlin (8 Punkte) Preisliste der Saison 2008/09 in der O 2 World, Kategorie Stehplätze: normal ermäßigt Schüler Kind (13 bis 16 Jahre) (6 bis 12 Jahre) Tageskartenpreis 15,80 10,80 8,80 5,80 Vorverkaufspreis 17,50 11,90 9,70 6,40 Dauerkarte (mit Play-offs) 370,00 270,00 220,00 140,00 Es gibt insgesamt Zuschauerplätze. Die Stehtribüne fasst 2000 Fans. Im Wellblechpalast, der alten Spielstätte, gab es 4695 Zuschauerplätze, davon 3095 Stehplätze. a) Wie teuer sind die vier Tageskarten durchschnittlich? Berechnen Sie das arithmetische Mittel der Preise. b) Wie viel Prozent beträgt der Anteil der Stehplätze an der Gesamtplatzzahl für die O 2 -World bzw. für den Wellblechpalast? Berechnen und vergleichen Sie die Anteile. c) Florian, 15 Jahre alt, ist großer Eisbären-Fan. Er diskutiert mit seinem Vater über den Kauf einer Dauerkarte in der Kategorie Stehplätze. Im Spielplan der Saison zählt er 25 Heimspiele, die er alle besuchen will. Dazu kommen bei entsprechendem Erfolg weitere 8 Spiele der Play-off-Runde. Der Vater sagt zu Florian: Wenn du deine Tickets an der Tageskasse kaufst, wird es vermutlich billiger. Sind Dauerkarte oder Tageskarten günstiger? Argumentieren Sie, begründen Sie auch durch Rechnung. Seite 5 von 8

6 7. Lineares Gleichungssystem (4 Punkte) Im Koordinatensystem wird die zeichnerische Lösung eines Gleichungssystems dargestellt. Entscheiden Sie für jedes Gleichungssystem, ob es zur Darstellung im Koordinatensystem passt oder nicht passt. Kreuzen Sie jeweils an. a b c d I y 1 = 2x II 0,5x = y 4 I y 2 = x II y 4x = 0,5 I y = 0,5x + 1 II y = 10 x + 4 I 3y = 6x + 3 II 2y = x + 8 passt passt nicht zur Darstellung Seite 6 von 8

7 8. Unterwegs (4 Punkte) Welche der vier unten beschriebenen Situationen werden in dem Weg-Zeit-Diagramm richtig dargestellt? Kreuzen Sie jeweils an, ob die Beschreibung zum Diagramm passt oder nicht passt. 1. Fritz und Walter fahren von ihrer gemeinsamen Wohnung aus mit verschiedenen Fahrzeugen zum Familientreffen bei der Oma. Fritz startet später als Walter, kommt jedoch gleichzeitig am Ziel an. 2. Susanne joggt täglich und braucht für ihre Lieblingsstrecke 45 Minuten. Ihre Freundin Lisa betreibt Nordic Walking. Sie nimmt sich dafür auch 45 Minuten Zeit, läuft aber nur einen Teil der Strecke. 3. Familie Meyer zieht um. Der LKW mit dem Umzugsgut ist schon am Abend vorher losgefahren und hat einen Teil der Strecke noch nachts geschafft. Am folgenden Tag, der im Diagramm dargestellt ist, starten der LKW und Familie Meyer mit ihrem PKW zur gleichen Uhrzeit zur neuen Wohnung. Dort treffen beide Fahrzeuge zur gleichen Zeit ein. 4. Zwei Nahverkehrszüge starten zur gleichen Uhrzeit von verschiedenen Orten aus. Sie fahren mit der gleichen Durchschnittsgeschwindigkeit und kommen gleichzeitig in Berlin an. passt passt nicht zum Diagramm Seite 7 von 8

8 9. Straßenbau (7 Punkte) Als Schutzeinrichtungen im Straßenbau werden Betonelemente verwendet, z. B. um Fahrspuren bei Gegenverkehr voneinander zu trennen, siehe Foto. Die Skizze zeigt den Querschnitt eines Betonelements. Er ist achsensymmetrisch und hat die Maße: obere Breite: a = 26 cm untere Breite: b = 60 cm Höhe: h = 81 cm c = 48 cm a c h b (Die Skizze ist nicht maßstäblich.) Bernd fertigt die Querschnittszeichnung eines Betonelements im Maßstab 1:5 an. a) Bestimmen Sie durch Rechnung, wie lang er die Höhe h zeichnet. b) Berechnen Sie die Größe der Querschnittfläche eines solchen Betonelements. c) Beschreiben Sie (ohne Rechnung), wie das Volumen eines solchen Betonelements berechnet werden kann. 10. Flächenberechnung (5 Punkte) Bei dem Quadrat mit der Seitenlänge a (a > 3 cm) wird eine Seite um 3 cm verlängert, die andere um 3 cm verkürzt. a) Zeichnen Sie die Veränderungen in die Skizze ein, schraffieren Sie das entstandene Rechteck und beschriften Sie dessen Seiten entsprechend. b) Geben Sie einen Term an, mit dem Sie den Flächeninhalt des entstandenen Rechtecks bestimmen können und vergleichen Sie dann die Flächeninhalte von Rechteck und Quadrat. Seite 8 von 8