Stoff für Ü6. Anwendung von AL Teil 2. Aufgaben: typische Fallen erkennen, natürliches Schließen

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1 Stoff für Ü6 Anwendung von AL Teil 2 Aufgaben: typische Fallen erkennen, natürliches Schließen 1 2 Man möchte hier wieder etwas wie p q bzw. p q analysieren. Aber dann hängt der Satzanfang gewissermaßen in der Luft: Maigret meint, dass oder Es ist notwendig, dass ist ja kein vollständiger Satz und kann daher nicht ins Abkürzungsverzeichnis aufgenommen werden. In beiden Fällen bleibt einem bei der AL-Analyse nichts anderes übrig, als für den ganzen Satz einen einzigen Buchstaben, z.b. p ins Abkürzungsverzeichnis aufzunehmen. I) Typische Probleme für AL: Quantifizierende und intensionale Ausdrücke So gut AL manchmal zum Analysieren von Argumenten taugen mag - es hat seine Grenzen, und um die zu überwinden, braucht man ggfs. feinkörnigere Logiken. Diese Grenzen der Anwendung von AL muss man natürlich kennen, damit mit man erkennt, wann man aussagenlogisch nicht weiter kommt. Das Tückische daran ist, dass es gewisse Wendungen gibt, die größere Abschnitte innerhalb eines Satzes gewissermaßen für den Zugriff durch AL sperren, selbst wenn sich innerhalb des logischen Wirkungsbereichs dieser Wendungen wieder aussagenlogische Strukturen finden. (1) Einerseits kann es sich hierbei um die (schon in der aristotelischen Logik bekannten) Quantitätsanzeiger wie kein, jeder, (es gibt) einige, alle handeln. Bsp.1: Wenn es heiß ist, geht jeder, wenn er nicht blöd ist, an den Strand oder ein Eis essen. Man ist versucht, hier etwas zu analysieren wie p ( ~ q ( r s )). Aber man sieht schon wenn man q im Abkürzungsverzeichnis aufschlüsseln will, dass das nicht geht: Das er verweist auf jeder zurück, und er ist blöd ist gar kein logisch kompletter Satz, der zur aussagenlogischen Verknüpfung taugt. Man kann als rein aussagenlogische Struktur hier nicht mehr herausholen als p q. Anmerkungen: (1) Fälle, in denen Notwendigkeit oder Möglichkeit eine Rolle spielen, sind manchmal nicht ganz einfach zu erkennen, wenn sie mit kann formuliert sind. (2) Reine Konjunktionen im Bereich eines intensionalen Ausdrucks lassen sich oft gewissermaßen ausmultiplizieren (sonst bitte immer äußerste Vorsicht mit Analogien zur Mathematik!). Bsp.4: Maigret glaubt, dass Lucas an der Bastille und Lapointe an den Markthallen ist ist bedeutungsgleich mit: 4*: Maigret glaubt, dass Lucas an der Bastille ist, und Maigret glaubt, dass Lapointe an den Markthallen ist, hat also die aussagenlogische Struktur p q, dies aber natürlich nicht mit p = Lucas ist an der Bastille und q = Lapointe ist an den Markthallen, sondern mit p = Maigret glaubt, dass Lucas an der Bastille ist und q = Maigret glaubt, dass Lapointe an den Markthallen ist. Vorsicht: Bei glaubt nicht o.ä. klappt das schon wieder nicht mehr ohne weiteres. (3) Ins Abkürzungsverzeichnis gehört natürlich nur, was einen Wahrheitswert haben kann. Anderen sprachlichen Gebilden ist mit AL überhaupt nicht beizukommen. (2) Die andere typische Fallgruppe sind Wendungen wie 1. X glaubt (meint, vermutet), dass X weiß, dass X hält es für möglich, dass 2. Es ist möglich, dass Es ist notwendig, dass Es ist unmöglich, dass (bzw. Es kann (nicht) sein, dass, Es muss so sein, dass ) 3. Es ist verboten, dass Es ist erlaubt, dass Es ist geboten, dass 4. Es war schon immer so, dass Es wird immer so sein, dass Es war einmal so, dass Es wird so sein, dass. Die von diesen Ausdrücken gesperrten Zonen lassen sich im Rahmen der modernen Modallogiken der aussagenlogischen Analyse zugänglich machen, aber noch nicht mit AL. Bsp.2: Maigret meint, dass der Mörder entweder im 13. oder im 11. Arondissement wohnt. Bsp.3: Es ist notwendig, dass die Straße nass wird, wenn es regnet.

2 3 II) Natürliches Schließen: Der (!) Kalkül AL-Hybrid Um den Anschluss an das Spiel PL ab der übernächsten Sitzung zu erleichtern, sei i.f. ein Kalkül des natürlichen Schließens definiert, der sich später erweitern lässt und eine ergiebige Kreuzung aus folgenden Kalkülen darstellt: Kalkül in L.T.F. GAMUT, Logic, Language and Meaning, Bd. 1, Chicago 1991, S Quines Kalkül des natürlichen Schießens aus den Methods of Logic. Typisch für einen Kalkül des natürlichen Schließens ist: es gibt keine Axiome, nur Herleitungsregeln der Form: Wenn du in einer Zeile dieses hast, darfst du jenes darunter legen. Dabei gibt es im Kern jeweils zwei Schlussregeln für jeden aussagenlogischen Junktor: - eine Einführungsregel, die mir sagt, wann ich einen Junktor einsetzen darf - eine Eliminationsregel, die mir sagt, wie ich ihn wieder loswerde. Auf Einführungsregeln wird mit einem I für introduction Bezug genommen und auf Eliminationsregeln mit einem E für elimination. Eine Beweiszeile in AL-Hybrid besteht aus fünf standardisierten Elementen: a) die Sternspalten b) die Zeilennummer c) eine wff von AL d) die Bezugszeilenspalte e) die Regelbezugsspalte Anmerkung Die dritte Spalte bildet den Kern der Zeile. In einer sechsten Spalte mögen in eckigen Klammern kurze informale Kommentare hinzugefügt werden. Die 4. und 5. Spalte sind nicht irgendwie frei formuliert, sondern gehören mit zum formalen Aufbau einer Beweiszeile. Die Nennung der verwendeten Regeln und der Bezugszeilen ist absolut unverzichtbar. Schließlich ist ein Beweis eine öffentliche Darlegung zur Begründung eines Ergebnisses und nicht etwa eine Gedankenskizze! AL-Hybrid Regel Motivation 1. Prämisseneinführung Hyp Du darfst einfach so die wff α hinlegen, Annehmen kann man erstmal, was wenn du das mit Hyp kommentierst man will - aber man muss es deutlich und eine Sternspalte davor aufmachst. sagen. In jeder weiteren Zeile, in der du dich auf Es muss immer klar sein, unter welcher α beziehst, musst du den Stern mitschleppen. Voraussetzung argumentiert wird. 2. Die zweistelligen Junktoren: Konjunktion, Alternation, Implikation I : Wenn du in einer Zeile α hast, Aus α und β folgt α und β und in einer Zeile β hast, darfst du (α β ) darunter legen. E : Wenn du in einer Zeile (α β ) hast, dann darfst darunter α legen und darfst darunter β legen. Aus α und β folgt α und auch β I : Wenn du in einer Zeile α hast, Aus α folgt bereits α oder β darfst du (α β ) darunter legen. E : Wenn du in einer Zeile (α β ) hast, in einer weiteren Zeile (α γ ) und in einer weiteren Zeile (β γ ), dann darfst du γ darunter legen. E : Wenn du in einer Zeile (α β ) hast, Und in einer weiteren Zeile α, dann darfst du β darunter legen. Wenn ich weiß, dass α oder β der Fall ist, aber nicht, welches von beiden, obendrein aber weiß, dass beides γ impliziert, kann ich auf γ schließen. modus ponens 4 1 L.T.F. GAMUT ist keine lebende Person, sondern ein Autorenkollektiv der besten niederländischen Logiker (der bekannteste unter ihnen: Johan van Benthem). Der Nachname setzt sich aus den Namen der Arbeitsplätze der Autoren zusammen: GroningenAMsterdamUTrecht. Was L.T.F. heißt, weiß ich nicht, aber es hat sicher etwas zu bedeuten. I : Wenn du in einer Zeile α mit Hyp Wenn unter der Annahme, dass α, folgt, kommentiert hast und mit Bezug dass β, dann gilt wenn α, dann β auf diese Zeile β gewonnen hast, so darfst du (α β ) darunter legen und den ggfs. bisher für α mitgeschleppten Stern löschen. (Konditionalisierung)

3 3. Der Negator und das Falsum (im Zush. mit der reductio ad absurdum) E ~ : Wenn du in einer Zeile ~ α hast Widersprüche sind immer falsch und in einer weiteren Zeile α, darfst du die immer weiße Formel (das Falsum) darunter legen. I ~ : Wenn du in einer Zeile α mit Hyp kommentiert hast, und du, in einer Zeile mit deshalb mitgeschlepptem Stern, auf kommst, so darfst du ~ α darunter legen und den Stern löschen. EFQ: Wenn du in einer Zeile hast, darfst du α darunter legen (dabei aber den Stern nicht löschen). DN: Wenn du in einer Zeile ~ ~ α hast, darfst du α darunter legen. Wenn im indirekten Beweis aus einer Annahme ein Widerspruch gefolgert wird, darf die Annahme negiert werden. Aus einem Widerspruch folgt Beliebiges (ex falso quodlibet) Gesetz der doppelten Negation 4. Zusatzregeln zur Vereinfachung (nicht unbedingt nötig) ALT: ( AL-Tautologie ) Bereits mit der Wahrheitswertanalyse als allgemeingültig erwiesene Formeln dürfen jederzeit mit dem Kürzel ALT in Beweisgänge eingeführt werden. AL: Wenn bereits mit der Wahrheitswertanalyse bewiesen ist, dass α β a.l.-allgemeingültig ist, und du hast α, dann darfst du β legen. (Abkürzung für ALT + E ) WDH: Zeilen dürfen jederzeit kopiert und mit neuer Nummer versehen werden (dabei sind Sterne ggfs. mitzukopieren!). Bezugszeile ist die usprüngliche Zeile, die kopiert wird. DEF: Definierte Zeichen wie und dürfen in mit DEF markierten Zeilen lt. Definition eingeführt und wieder eliminiert werden. 5 6 Das sieht viel komplizierter aus, als es ist. Tatsächlich kann man beweistaugliche Gedankengänge sehr schön mit einem solchen Kalkül nachvollziehen, und man kann damit bestens allgemeingültige Formeln herleiten. Die Grundidee ist dabei: 1. Eine gesternte letzte Zeile besagt: Die Annahme(n), auf die der Stern oder die Sterne zurückverweisen, impliziert bzw. implizieren die Formel in der letzten Zeile. 2. Eine ungesternte letzte Zeile ist allgemeingültig, die Herleitung ein Beweis dafür. Einen Kalkül des natürlichen Schließens lernt man am besten an Beispielen kennen - und zwar ruhig an ausführlichen. Hier ist noch einmal das Beispiel von den Folien der Sitzung über logische Gesetze: Beispiel 1: NWS und DN implizieren den SAD; da NWS und DN im System eingebaut sind, ist das im Rahmen dieses Systems ein Beweis für den SAD. Informale Beweisidee: Angenommen, der SAD sei nicht wahr, es gelte also nicht, dass p oder nicht p. Dann gilt, da nicht (α oder β) gleichbedeutend ist mit nicht α und nicht β (De Morgan!) und für β non-p stehen kann, auch, dass nicht p und dass nicht nicht p. Daraus folgt wegen des Gesetzes der doppelten Negation, dass nicht p und p. Das widerspricht aber dem NWS. Also ist es nicht der Fall, dass der SAD nicht wahr ist. Also ist er wahr. Herleitung mit AL-Hybrid: [a) b) c) d) e)] * 1. ~ ( p ~ p ) Hyp 2. ~ ( p ~ p ) ( ~ p ~ ~ p ) ALT [De Morgan mit ~ p für q] * 3. ~ p ~ ~ p 1.,2. E [m.p.] * 4. ~ ~ p 3. E * 5. p 4. DN * 6. ~ p 3. E * 7. p ~ p 5., 6. I 8. ~ ( p ~ p ) ALT [NWS] * 9. 7., 8 E ~ 10. ~ ~ ( p ~ p ) 1., 9. I ~ 11. ( p ~ p ) 10. DN [QED]

4 7 Erläuterung: In der ersten Zeile wird die Negation des SAD angenommen. Die zweite Zeile lässt sich ohne Bezug zu Vorhergehendem als Instantiierung eines bereits bewiesenen aussagenlogischen Gesetzes einführen, das eine Beziehung zwischen der Negation der Alternation und der Konjunktion beinhaltet ( nicht (p oder q) ist gleichbedeutend mit und impliziert daher auch nicht p und nicht q ). Aus 2. und 1. folgt mit modus ponens 3. Da dies eben u.a. aus der Annahme 1. folgt, ist der Stern mitzuschleppen. 2. und 3. hätte sich auch in einen Schritt mit AL abkürzen lassen. Das zweite Konjunktionsglied aus 3. lässt sich in der vierten Zeile isolieren. Da 3. einen Stern hat, muss auch 4. einen bekommen. Nun lässt sich die doppelte Negation wegkürzen, und der Stern wird weiter mitgeschleppt. In der sechsten Zeile wird, wieder mit indirektem Rückgriff auf die Annahme, das erste Konjunktionsglied aus 3. isoliert. Nun ist es erlaubt, 5. und 6. als Konjunktion zusammenzufassen, was 7. ergibt. Gegen 7. kann man voraussetzungslos als 8. Zeile den NWS erwähnen. Da 7. und 8. kontradiktorisch zueinander sind, führt das in 9. zum Falsum als Widerspruchs-Schild. Das erlaubt in 10., Zeile 1. (!), die Annahme, zu negieren und den Stern zu löschen. Schließlich kann man die doppelte Negation eliminieren und kommt so in Zeile 11. auf den SAD. Die Zeilen 7. und 8. sind dabei streng genommen ein Umweg, da man auch unter 6. gleich das Falsum hätte legen dürfen, bilden aber den informalen Gedankengang aus der Vorlesung über logische Gesetze besser ab. Beispiel 2: Beweis mit mehreren Prämissen für den disjunktiven modus tollendo ponens 1. Wir beweisen zunächst mit der Turbo-Methode den folgenden praktischen Satz, das sog. Importationsgesetz (Import): 2 ( α ( β γ )) (( α β ) γ ) ist allgemeingültig. Beweis, da Einsetzen Allgemeingültigkeit erhält: ( p ( q r )) (( p q ) r ) ( T ( q r )) (( T q ) r ) ( ( q r )) (( q ) r ) ( q r ) ( q r ) T ( r) ( T r ) ( T r ) T T r r T T T T T 2. Herleitung: * 1. p q Hyp * 2. ~ p Hyp * 3. (p q) ~ ( p q ) 1. DEF * 4. p q 3. E * 5. ~ ( ~ p ~ q ) 4 AL * 6. ~ q Hyp * * 7. ( ~ p ~ q ) 2., 6. I * * * 8. 5., 7. E ~ * * 9. ~ ~ q 6., 8. I ~ * * 10. q 9. DN * 11. ~ p q 2., 10. I 12. (p q) (~ p q ) 1., 11. I 13. (( p q) ~ p) q 12. AL [Import] Erläuterung: Die Beweisidee (Fettdruck) ist, die Prämissen des disj. m.t.p. anzunehmen (1., 2.), daraus die Konklusion (also 10.: q) herzuleiten. Zunächst wird die Disjunktion p q aus Zeile 1. per def. in (p q) ~ ( p q ) aufgelöst und daraus das erste Konjunktionsglied (p q) isoliert. Dieses wird zu ~ ( ~ p ~ q ) umgeformt. Das geht, denn p oder q ist gleichbedeutend mit nicht (weder p noch q). Nun wird als Zusatzhypothese das kontradiktorische Gegenteil der Konklusion des disj. m.t.p. angenommen: ~q. Das lässt sich mit der zweiten Prämisse zu ( ~ p ~ q ) konjugieren. Das widerspricht jedoch der Umformung der ersten Prämisse in 5., wodurch sich in 10. q etablieren lässt und wobei die Zusatzhypothese wieder fallen gelassen wird. In den Zeilen 11. bis 13. wird dieses Ergebnis durch Weg- Konditionalisieren der Sterne in einen Ein-Zeilen-Schluss zusammengezogen. 8 2 Dadurch wird nämlich gewissermaßen ein Import von b ins Antezedens der Haupt-Implikation bewerkstelligt. Das Schema kann als Import-Export-Gesetz zur Äquivalenz verstärkt werden.

5 Proto-Übungszettel 6 Übungsgruppe:... 9 I) Formalisieren Sie, soweit möglich, mit AL das folgende Gespräch von Derrick mit Harry: 1. Die Petra war nicht nur Sekretärin vom Geschäftsführer, sondern auch seine Geliebte 2. Wenn das so ist, dann scheiden ja die Frau und die Exfrau aus - es sei denn, alle stecken unter einer Decke. 3. Die Frau ahnt aber doch gar nicht, dass die Petra nicht nur Sekretärin vom Geschäftsführer, sondern auch seine Geliebte war. 4. Wenn auch die Frau nicht ahnt, dass die Petra nicht nur Sekretärin vom Geschäftsführer, sondern auch seine Geliebte war, kann es trotzdem sein, dass die Exfrau und der Compagon es wussten. 5. Es haben genau alle die, die ein Motiv haben, auch ein Alibi 6. Die Exfrau hat ein Motiv, aber kein Alibi 7. Hast du das überprüft? 8. Sie hat kein Alibi! II) Führen Sie mit AL-Hybrid einen indirekten Beweis für den Nichtwiderspruchssatz III) Leiten Sie mit AL-Hybrid den hypothetischen modus ponendo ponens als wff her, indem Sie zunächst seine Prämissen einzeln mit Hyp einführen. Könnte man den Beweis abkürzen? Wenn ja, wie?